{{הגדרה|מספר=3|שם=סכום וכפל בסקלר של מטריצות|תוכן=
{{הגדרה|מספר=3|שם=סכום וכפל בסקלר של מטריצות|תוכן=
כאשר יש לנו מטריצה <math>A \in M_{m,n}(\mathbb{F})</math>, וסלקר <math>\lambda \in \mathbb{F}</math>, את כפל המטריצה <math>A</math> בסקלר <math>\lambda</math> נגדיר ככפל כל איבר במטריצה בסקלר הזה. כאשר יש לנו שתי מטריצות מאותו הסדר, <math>A,B\in M_{m,n}(\mathbb{F})</math>, נסמן את סכומן <math>A+B</math>, והאיבר במקום ה<math>(i,j)</math> של מטריצת הסכום שלהן מוגדר להיות <math>a_{i,j}+b_{i,j}</math>.
כאשר יש לנו מטריצה <math>A \in M_{m,n}(\mathbb{F})</math>, וסקלר <math>\lambda \in \mathbb{F}</math>, את כפל המטריצה <math>A</math> בסקלר <math>\lambda</math> נגדיר ככפל כל איבר במטריצה בסקלר הזה. כאשר יש לנו שתי מטריצות מאותו הסדר, <math>A,B\in M_{m,n}(\mathbb{F})</math>, נסמן את סכומן <math>A+B</math>, והאיבר במקום ה<math>(i,j)</math> של מטריצת הסכום שלהן מוגדר להיות <math>a_{i,j}+b_{i,j}</math>.
מטריצה היא מערך דו מימדי, שרכיביו הם סקלרים מהשדה המדובר,את אוסף המטריצות מסדר נהוג לסמן .
הגדרה 2: סימון רכיבי המטריצה
את האיבר במקום ה של המטריצה, נסמן כ.
דוגמא: במטריצה , את האיבר 2 נסמן כ, את האיבר 7 נסמן כ, את האיבר 5 נסמן כ, ואת האיבר 7 נסמן כ.
הגדרה 3: סכום וכפל בסקלר של מטריצות
כאשר יש לנו מטריצה , וסקלר , את כפל המטריצה בסקלר נגדיר ככפל כל איבר במטריצה בסקלר הזה. כאשר יש לנו שתי מטריצות מאותו הסדר, , נסמן את סכומן , והאיבר במקום ה של מטריצת הסכום שלהן מוגדר להיות .
דוגמא: ניקח את המטריצה , ונכפול אותה בסלקר 2, נקבל .
דוגמא 2: ניקח את המטריצות , אזי הסכום יהיה .
המטריצה המשוחלפת
הגדרה 4: המטריצה המשוחלפת
כאשר , נסמן את המטריצה המשוחלפת שלה כ, וההגדרה שלה היא שכל איבר במטריצה הרגילה, יהפוך לאיבר במטריצה המשוחלפת, קל לראות שאם מסדר , אז מסדר .
דוגמא: ניקח את המטריצה , אזי
הגדרה 5: מטריצה סימטרית ואנטי סימטרית
מטריצה תיקרא מטריצה סימטרית אם , ומטריצה תחקרא מטריצה אנטי סימטרית אם
כפל מטריצות ותכונותיו
הגדרה 6: כפל מטריצות
כפל מטריצות בין מטריצה ,מטריצה מסומן כ אם כופלים מצד ימין, או לחלופין אם כופלים מצד שמאל, הכפל מוגדר רק כאשר אם מסדר , אז מסדר , כלומר הדרישה היא שמספר העמודות במטריצה הימנית יהיה שווה למספר השורות במטריצה השמאלית.
כאשר הכפל מוגדר, כלומר כאשר , האיבר במקום ה במטריצה , יהיה מוגדר כ, כלומר נרוץ על סכימת הכפל של כל זוג איברים.
דוגמא: אזי מתקיים .
משפט 1: אסוציאטיביות כפל מטריצות, אם המכפלה מוגדרת אז מתקיים
הוכחה:
משפט 2: אם המכפלה מוגדרת, אז מתקיים
הוכחה:
משפט 3: פילוגיות כפל מטריצות משמאל מעל חיבור, אם המטריצות מוגדרות, אזי מתקיים
הוכחה:
משפט 4: פילוגיות כפל מטריצות מימין מעל חיבור, אם המטריצות מוגדרות, אזי מתקיים
הוכחה:
מטריצה ריבועית
הגדרה 7: מטריצה ריבועית
מטריצה תיקרא מטריצה ריבועית אם ורק אם מתקיים , כלומר אם ורק אם מספר העמודות שלה שווה למספר השורות שלה.
הגדרה 8: מטריצת היחידה
מטריצת היחידה מסדר , תסומן כ, ומוגדרת כך: , כאשר
משפט 5: מטריצת היחידה ניטרלית ביחס לכפל מטריצות, כלומר מתקיים
הוכחה:
מטריצה הפיכה ותכונותיה
הגדרה 9: מטריצה הפיכה
מטריצה תיקרא מטריצה הפיכה אם ורק אם קיימת מטריצה כך שמתקיים , מטריצה הפיכה תיקרא מטריצה רגולרית, ומטריצה לא הפיכה תיקרא מטריצה סינגולרית, את המטריצה ההופכית של נסמן .
משפט 6: משפטי הפיכות 1
אם מטריצה הפיכה ומתקיים , או , בהכרח .
אם מטריצה הפיכה ומתקיים או אז .
אם מטריצה הפיכה, אז מתקיים .
מטריצה הפיכה אם ורק אם המטריצה הפיכה ומתקיים .
אם מטריצות הפיכות מאותו הסדר, מתקיים .
אם מטריצה הפיכה, ו סקלר, גם הפיכה ומתקיים .
הוכחה:
, ההוכחה במקרה השני זהה לחלוטין.
ההוכחה במקרה השני זהה לחלוטין.
נובע ישירות מהשוויון, מתקיים .
ולכן , בכיוון השני ההוכחה זהה לחלוטין.
, וגם .
, וגם .
מטריצה אלמנטרית
הגדרה 10: מטריצה אלמנטרית
מטריצה תיקרא מטריצה אלמנטרית אם היא התקבלה ממטריצת היחידה על ידי פעולה אלמנטרית, נהוג לסמן את המטריצה אשר התקבלה ממטריצת היחידה על ידי הפעולה האלמנטרית , ב.
טענה 1: תהי המטריצה האלמנטרית שהתקבלה ממטריצת היחידה על ידי הפעולה האלמנטרית , אזי מתקיים
משפט 7: כל מטריצה אלמנטרית הפיכה, ומתקיים
הוכחה:
נבצע על המטריצה את הפעולה ההפוכה, ונקבל את מטריצת היחידה.
טענה 2: כל מטריצה הפיכה היא מכפלת מטריצות אלמנטריות
עוד על מטריצה הפיכה
משפט 8: משפטי הפיכות 2
כל אחד מהתנאים הבאים הוא תנאי הכרחי ומספיק להפיכות המטריצה :
למשוואה קיים רק הפתרון הטריוויאלי
לכל וקטור עמודה קיים פתרון למשוואה .
לכל וקטור עמודה קיים פתרון יחיד למשוואה .
הוכחה:
.
לכל וקטור , מתקיים ש הוא פתרון של המשוואה , כיוון שמתקיים .
נניח כי מטריצה הפיכה, יהיה וקטור עמודה, אם הוא פתרון של המשוואה, אז , ולכן נוכל לכפול את שני האגפים ב ונקבל , לכן אם קיים פתרון הוא בהכרח שווה ל,ולכן אם קיים פתרון הוא יחיד.