חשבון אינפיניטסימלי/סדרות/סדרות מונוטוניות: הבדלים בין גרסאות בדף

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
תיקנתי שגיאה: היה כתוב: מונוטונית יורדת אם הכיוון שלה כלפי מעלה.. תיקנתי את זה ל"כלפי מטה"
תגיות: עריכה ממכשיר נייד עריכה דרך האתר הנייד
שורה 8: שורה 8:
* הסדרה <math>a_n=n^2</math> אינה מונוטונית.
* הסדרה <math>a_n=n^2</math> אינה מונוטונית.


==הוכחה כי סדרה היא מונוטונית==
===דרך אלגברית===
ניתן להוכיח כי סדרה היא מונוטונית (עולה או יורדת) בדרך אלגברית, באמצעות הוכחה כי <math>\forall h>0\forall n, a_n<a_{n+h}</math> או <math>\forall h>0\forall n,a_n>a_{n+h}</math>.


'''דוגמה:'''

הוכח כי הסדרה <math>a_n=\frac{n}{n+3}</math> היא מונוטונית עולה.

'''פיתרון'''

נכתוב <math>\frac{n}{n+3}<\frac{n+h}{n+h+3}</math>.

נקבל:

<math>\frac{n+3}{n}>\frac{n+h+3}{n+h}\Rightarrow 1+\frac{3}{n}>1+\frac{3}{n+h}\Rightarrow \frac{1}{n}>\frac{1}{n+h}\Rightarrow n<n+h</math>, מה שכמובן מתקיים לכל h חיובי.

===דרך דיפרנציאלית===
ניתן להוכיח כי סדרה היא מונוטונית באמצעות גזירתה והוכחה כי הנגזרת תמיד חיובית או תמיד שלילית.

'''דוגמה:'''

הוכח כי הסדרה <math>a_n=-n^3+\frac{1}{n}</math> היא מונוטונית יורדת.

'''פיתרון'''

ניגזור את הסדרה:

<math>(a_n)'=-3n^2-\frac{1}{n^2}<0\ \ \ \ (\forall n)</math>

קיבלנו כי הנגזרת שלילית לכל n ולכן הסדרה היא מונוטונית יורדת.
{{קצרמר}}
{{קצרמר}}
[[קטגוריה:חשבון אינפיניטסימלי (ספר)]]
[[קטגוריה:חשבון אינפיניטסימלי (ספר)]]

גרסה מ־22:22, 4 באוגוסט 2021


פרק זה לוקה בחסר. אתם מוזמנים לתרום לוויקיספר ולהשלים אותו. ראו פירוט בדף השיחה.



סדרה מונוטונית הינה סידרה שהכיוון שלה קבוע, כלומר סדרה תהא מונוטונית אם היא רק עולה או רק יורדת. נאמר על סדרה כי היא מונוטונית יורדת אם הכיוון הוא כלפי מטה, ומונוטונית עולה אם הכיוון הוא כלפי מעלה.

דוגמאות:

  • הסדרה היא מונוטונית עולה.
  • הסדרה היא מונוטונית יורדת.
  • הסדרה אינה מונוטונית.


  חלק זה של הספר הינו קצרמר. אתם מוזמנים לתרום לוויקיספר ולערוך אותו.