תורת הקבוצות/אקסיומת הבחירה: הבדלים בין גרסאות בדף

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
יצירת דף עם התוכן "==רקע והסבר אינטואיטיבי== התחום שחקרנו עד עתה נקרא '''תורת הקבוצות הנאיבית'''. הוא נקרא כך כי..."
(אין הבדלים)

גרסה מ־21:38, 31 במרץ 2021

רקע והסבר אינטואיטיבי

התחום שחקרנו עד עתה נקרא תורת הקבוצות הנאיבית. הוא נקרא כך כי לא ביססנו אותו אקסיומטית, אלא הגדרנו קבוצה כ"אוסף של איברים", ולא הטלנו מגבלות על מהי קבוצה. בשנים 1895-1901 התגלו שתי סתירות עמוקות בתורת הקבוצות הנאיבית (הפרדוקס של קנטור והפרדוקס של ראסל), שגרמו למתמטיקאים לבסס אקסיומטית את תורת הקבוצות, ולהטיל מגבלות שימנעו את הפרדוקסים. לא נעסוק פה בכל האקסיומות (ניתן לראות אותן כאן), אך נעסוק באחת האקסיומות בעלות ההשפעה הכי גדולה על תורת הקבוצות: אקסיומת הבחירה. אקסיומת הבחירה קובעת כי בהינתן אוסף של קבוצות, ניתן לבחור איבר אחד מכל קבוצה. אין צורך באקסיומה כאשר יש הבדל ידוע מראש בין האיברים, למשל אם הקבוצות סדורות וסופיות ניתן לבחור על ידי הכלל "האיבר הראשון בכל קבוצה". אך אם אין הבדל ידוע מראש, מובנת מאליה ככל שתהא האקסיומה, לא ניתן להוכיח אותה משאר האקסיומות.

הגדרה פורמלית

תהי משפחה של קבוצות (איננו אומרים קבוצה של קבוצות, כי במסגרת תורת הקבוצות האקסיומטית ייתכנו אוספים שאינם קבוצות, ועדיין ברצוננו להחיל עליהם את האקסיומה). קיימת פונקציה המקיימת לכל .

שימושים

השתמשנו עד עתה באקיומת הבחירה כל הזמן בלי לשים לב. למשל בהוכחת משפט 2.4, הנחנו שניתן לבחור . בהוכחת משפט 3.7, הנחנו שניתן לבחור , וכן בעוד מקומות לרוב. נשתמש באקסיומה זו גם כדי להוכיח את משפט הסדר הטוב, וכן נוכיח שאם נקבל את המשפט כאקסיומה, נוכל להוכיח את אקסיומת הבחירה.