חשבון אינפיניטסימלי/סדרות/סדרות מונוטוניות

פרק זה לוקה בחסר. אתם מוזמנים לתרום לוויקיספר ולהשלים אותו. ראו פירוט בדף השיחה.

סדרה מונוטונית הינה סידרה שהכיוון שלה קבוע, כלומר סדרה תהא מונוטונית אם היא רק עולה או רק יורדת. נאמר על סדרה כי היא מונוטונית יורדת אם הכיוון הוא כלפי מעלה, ומונוטונית עולה אם הכיוון הוא כלפי מעלה.

דוגמאות:

• הסדרה $a_{n}=e^{n}$ היא מונוטונית עולה.
• הסדרה $a_{n}={\frac {n+1}{n}}$ היא מונוטונית יורדת.
• הסדרה $a_{n}=n^{2}$ אינה מונוטונית.

הוכחה כי סדרה היא מונוטונית

דרך אלגברית

ניתן להוכיח כי סדרה היא מונוטונית (עולה או יורדת) בדרך אלגברית, באמצעות הוכחה כי $\forall h>0\forall n,a_{n}<a_{n+h}$ או $\forall h>0\forall n,a_{n}>a_{n}+h$.

דוגמה:

הוכח כי הסדרה $a_{n}={\frac {n}{n+3}}$ היא מונוטונית עולה.

פיתרון

נכתוב ${\frac {n}{n+3}}<{\frac {n+h}{n+h+3}}$.

נקבל:

${\frac {n+3}{n}}>{\frac {n+h+3}{n+h}}\Rightarrow 1+{\frac {3}{n}}>1+{\frac {3}{n+h}}\Rightarrow {\frac {1}{n}}>{\frac {1}{n+h}}\Rightarrow n<n+h$, מה שכמובן מתקיים לכל h חיובי.

דרך דיפרנציאלית

ניתן להוכיח כי סדרה היא מונוטונית באמצעות גזירתה והוכחה כי הנגזרת תמיד חיובית או תמיד שלילית.

דוגמה:

הוכח כי הסדרה $a_{n}=-n^{3}+{\frac {1}{n}}$ היא מונוטונית עולה.

פיתרון

ניגזור את הסדרה:

$(a_{n})'=-3x^{2}-{\frac {1}{x^{2}}}<0\ \ \ \ (\forall x)$

קיבלנו כי הנגזרת שלילית לכל x ולכן הסדרה היא מונוטונית יורדת.

חלק זה של הספר הינו קצרמר. אתם מוזמנים לתרום לוויקיספר ולערוך אותו.