אלגברה לינארית/כפל מטריצה בווקטור: הבדלים בין גרסאות בדף
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
אין תקציר עריכה |
|||
שורה 1: | שורה 1: | ||
==מכפלה של מטריצה בוקטור - שורה של וקטור כפול עמודה במטריצה== |
==מכפלה של מטריצה בוקטור - שורה של וקטור כפול עמודה במטריצה== |
||
תהי מטריצה <math>A</math> בגודל <math>m\times n |
תהי מטריצה <math>A</math> בגודל <math>m\times n</math> וגם הווקטור <math>\vec v\in\R^n</math>. |
||
אז נייצג את הווקטור <math> |
אז נייצג את הווקטור <math>v=\begin{bmatrix}v_1\\\vdots\\v_n\end{bmatrix}</math> ואת המטריצה <math>A=(C_1,\ldots,C_n)</math>. |
||
\vdots\\ |
|||
v_{n} |
|||
\end{bmatrix}</math> ואת המטריצה <math>A=\left(C_{1},...,C_{n}\right)</math>. |
|||
אז מכפלה של המטריצה בווקטור מוגדרת כפל |
אז מכפלה של המטריצה בווקטור מוגדרת כפל וקטורים: <math>A\vec v=v_1C_1+\cdots+v_nC_n\in\R^m</math> |
||
</math> |
|||
דוגמא: <math>A=\begin{bmatrix} |
דוגמא: <math>A=\begin{bmatrix}1&5&3\\4&5&0\end{bmatrix}\quad,\vec v=\begin{bmatrix}3\\1\\0\end{bmatrix}</math> |
||
1 & 5 & 3\\ |
|||
4 & 5 & 0 |
|||
\end{bmatrix}</math> |
|||
אז מכפלתם: <math>A\vec v=3\cdot\begin{bmatrix}1\\4\end{bmatrix}+1\cdot\begin{bmatrix}5\\5\end{bmatrix}+0\cdot\begin{bmatrix}3\\0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3\\12\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}5\\5\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}8\\17\end{bmatrix}\in\R^2</math> |
|||
וגם הווקטור <math> V=\begin{bmatrix}3\\ |
|||
1\\ |
|||
0 |
|||
\end{bmatrix}</math> |
|||
אז מכפלתם : <math>Av=3\cdot\begin{bmatrix}1\\ |
|||
4 |
|||
\end{bmatrix}+1\cdot\begin{bmatrix}5\\ |
|||
5 |
|||
\end{bmatrix}+0\cdot\begin{bmatrix}3\\ |
|||
0 |
|||
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3\\ |
|||
12 |
|||
\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}5\\ |
|||
5 |
|||
\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0\\ |
|||
0 |
|||
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}8\\ |
|||
17 |
|||
\end{bmatrix}\in\R^{2}</math> |
|||
==מכפלה של מטריצה שורה של מטריצה כפול עמודת הוקטור== |
==מכפלה של מטריצה שורה של מטריצה כפול עמודת הוקטור== |
||
תהי מטריצה <math>A=\begin{bmatrix}a_{11} |
תהי מטריצה <math>A=\begin{bmatrix}a_{11}&\dots&a_{1n}\\\vdots&&\vdots\\a_{m1}&\dots&a_{mn}\end{bmatrix}</math> בגודל <math>m\times n</math> ו־<math>v=\begin{bmatrix}v_1\\\vdots\\v_n\end{bmatrix}\in\R^n</math> |
||
\vdots & & \vdots\\ |
|||
a_{m1} & \dots & a_{mn} |
|||
\end{bmatrix}</math>. |
|||
אז <math>A\vec v=\vec w=\begin{bmatrix}w_1\\\vdots\\w_m\end{bmatrix}</math> |
|||
\vdots\\ |
|||
v_{n} |
|||
\end{bmatrix}\in\R^{n}</math> |
|||
אז <math>Av=w=\begin{bmatrix}w_{1}\\ |
|||
\vdots\\ |
|||
w_{m} |
|||
\end{bmatrix}</math> |
|||
<math>\begin{align}w_1&=v_1a_{11}+v_2a_{12}+\cdots+v_na_{1n}\\\vdots&\\w_m&=v_1a_{m1}+v_2a_{m2}+\cdots+v_na_{mn}\end{align}</math> |
|||
כלומר אם <math> |
כלומר אם <math>C_i=\begin{bmatrix}a_{1i}\\\vdots\\a_{mi}\end{bmatrix}</math> הוא טור <math>i</math> ב־<math>A</math> אז <math>Av=v_1C_1+\cdot+v_nC_n\in\R^m</math>. |
||
\vdots\\ |
|||
a_{mi} |
|||
\end{bmatrix} </math> הוא טור <math>i</math> ב-<math>A</math>. אז <math>Av=v_{1}C_{1}+...+v_{n}C_{n}\in\R^{m}</math>. מכפלת מטריצה בוקטור. |
|||
ניתן לייצג באופן סכמתי בתור <math> |
ניתן לייצג באופן סכמתי בתור <math>w_i=\sum_{j=1}^na_{ij}v_j</math>. |
||
אם נתונה מערכת משוואות לינארית עם מטריצה מורחבת <math>\begin{bmatrix} |
אם נתונה מערכת משוואות לינארית עם מטריצה מורחבת <math>[A|b]</math> כאשר <math>A=\begin{bmatrix}a_{11}&\dots&a_{1n}\\\vdots&&\vdots\\a_{m1}&\dots&a_{mn}\end{bmatrix},\quad\vec b=\begin{bmatrix}b_1\\\vdots\\b_m\end{bmatrix}</math> |
||
</math> |
|||
כאשר <math> A=\begin{bmatrix}a_{11} & ... & a_{1n}\\ |
|||
\vdots & & \vdots\\ |
|||
a_{m1} & \dots & a_{mn} |
|||
\end{bmatrix}</math> |
|||
ו <math>b=\begin{bmatrix}b_{1}\\ |
|||
\vdots\\ |
|||
b_{m} |
|||
\end{bmatrix} </math> |
|||
אז המערכת היא |
אז המערכת היא |
||
<math>\begin{cases}a_{11}x_1+\cdots+a_{1n}x_n=b_1\\\vdots\\a_{m1}x_1+\cdots+a_{mn}x_n=b_m\end{cases}</math> |
|||
<math> \begin{cases} |
|||
a_{11}x_{1}+...+a_{1n}x_{n}=b_{1}\\ |
|||
\vdots\\ |
|||
a_{m1}x_{1}+\dots+a_{mn}x_{n}=b_{m} |
|||
\end{cases} |
|||
</math> |
|||
אז ניתן לרשום את המערכת בצורה <math> |
אז ניתן לרשום את המערכת בצורה <math>A\vec x=\vec b</math> כאשר <math>\vec x=\begin{bmatrix}x_1\\\vdots\\x_n\end{bmatrix}</math> וקטור שרכיביו הם הנעלמים. |
||
<math> |
|||
x=\begin{bmatrix}x_{1}\\ |
|||
\vdots\\ |
|||
x_{n} |
|||
\end{bmatrix} </math> |
|||
וקטור שרכיביו הם הנעלמים. |
|||
דוגמא: <math>A=\begin{bmatrix} |
דוגמא: <math>A=\begin{bmatrix}1&5&3\\4&5&0\end{bmatrix}\quad,\vec v=\begin{bmatrix}3\\1\\0\end{bmatrix}</math> |
||
1 & 5 & 3\\ |
|||
4 & 5 & 0 |
|||
\end{bmatrix}</math> |
|||
אזי <math>\begin{bmatrix}1&5&3\\4&5&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}3\\1\\0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\cdot3+5\cdot1+3\cdot0\\4\cdot3+5\cdot1+0\cdot0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}8\\17\end{bmatrix}</math> |
|||
וגם הווקטור <math> V=\begin{bmatrix}3\\ |
|||
1\\ |
|||
0 |
|||
\end{bmatrix}</math> |
|||
אזי |
|||
<math> |
|||
\begin{bmatrix} |
|||
1 & 5 & 3\\ |
|||
4 & 5 & 0 |
|||
\end{bmatrix} |
|||
\begin{bmatrix} |
|||
3\\ |
|||
1\\ |
|||
0 |
|||
\end{bmatrix} |
|||
= |
|||
\begin{bmatrix} |
|||
1*3+5*1+3*0 |
|||
\\ |
|||
4*3+5*1+0*0 |
|||
\end{bmatrix}= |
|||
\begin{bmatrix} |
|||
8\\ |
|||
17 |
|||
\end{bmatrix} |
|||
</math> |
|||
==תכונות== |
==תכונות== |
||
# |
#<math>A\vec{e}_i=\vec{c}_i</math>, למשל <math>\begin{bmatrix}1&5&3\\4&5&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}5\\5\end{bmatrix}</math> |
||
#יהי <math>\vec v=\begin{bmatrix}v_1\\\vdots\\v_n\end{bmatrix}\in\R^n</math> אז <math>I_n\vec v=v_1\vec{e}_1+\cdots+v_n\vec{e}_n=\vec v</math>. למשל <math>\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix}</math> |
|||
1 & 5 & 3\\ |
|||
4 & 5 & 0 |
|||
\end{bmatrix} |
|||
\begin{bmatrix} |
|||
0\\ |
|||
1\\ |
|||
0 |
|||
\end{bmatrix} |
|||
= |
|||
\begin{bmatrix} |
|||
5\\ |
|||
5\end{bmatrix}</math> |
|||
# יהי <math>v=\begin{bmatrix}v_{1}\\ |
|||
\vdots\\ |
|||
v_{n} |
|||
\end{bmatrix}\in\R^{n}</math> אז <math>I_{n}v=v_{1}e_{1}+\dots+v_{n}e_{n}=v</math>. דוגמה, <math>\left[\begin{array}{ccc} |
|||
1 & 0 & 0\\ |
|||
0 & 1 & 0\\ |
|||
0 & 0 & 1 |
|||
\end{array}\right]\left[\begin{array}{c} |
|||
1\\ |
|||
1\\ |
|||
1 |
|||
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c} |
|||
1\\ |
|||
1\\ |
|||
1 |
|||
\end{array}\right]</math> |
|||
[[קטגוריה:אלגברה לינארית]] |
[[קטגוריה:אלגברה לינארית]] |
גרסה מ־14:49, 14 ביולי 2019
מכפלה של מטריצה בוקטור - שורה של וקטור כפול עמודה במטריצה
תהי מטריצה בגודל וגם הווקטור .
אז נייצג את הווקטור ואת המטריצה .
אז מכפלה של המטריצה בווקטור מוגדרת כפל וקטורים:
דוגמא:
אז מכפלתם:
מכפלה של מטריצה שורה של מטריצה כפול עמודת הוקטור
תהי מטריצה בגודל ו־
אז
כלומר אם הוא טור ב־ אז .
ניתן לייצג באופן סכמתי בתור .
אם נתונה מערכת משוואות לינארית עם מטריצה מורחבת כאשר
אז המערכת היא
אז ניתן לרשום את המערכת בצורה כאשר וקטור שרכיביו הם הנעלמים.
דוגמא:
אזי
תכונות
- , למשל
- יהי אז . למשל