אלגברה לינארית/מערכות של משוואות לינאריות: הבדלים בין גרסאות בדף

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
Ysd2018 (שיחה | תרומות)
אין תקציר עריכה
שורה 1: שורה 1:
=משוואה ליניארית ב-n נעלמים=
=משוואה לינארית ב־n נעלמים=
'''משוואה לינארית ב-<math>n</math> נעלמים''' היא משוואה מהצורה <math> a_{1}x_{1}+...+a_{n}x_{n}=b</math> כאשר <math>a_{1},..,a_{n}\in\mathbb{R} </math> ו-<math> x_{1},..,x_{n}</math> נעלמים. <math>b</math> מייצג '''מקדם חופשי'''.
'''משוואה לינארית ב־<math>n</math> נעלמים''' היא משוואה מהצורה <math>a_1x_1+\cdots+a_nx_n=b</math> כאשר <math>a_1,\ldots,a_n\in\R</math> ו־<math>x_1,\ldots,x_n</math> נעלמים. <math>b</math> מייצג '''מקדם חופשי'''.


ניתן לייצג משוואה לינארית כסכום של הסקלרים והנעלמים בה, <math>ax_1+\cdots+a_nx_n=\sum_{j=i}^na_jx_i</math>
ניתן לייצג משוואה לינארית כסכום של הסקלרים והנעלמים בה, <math>ax_1+\cdots+a_nx_n=\sum_{j=i}^na_jx_i</math>


'''מרחב (<math>\R^{n}</math>), ''' למשל <math>\R^{2}</math> הוא המישור,<math> \R^{3} </math> מרחב תלת מימדי וכן הלאה.
'''מרחב (<math>\R^n</math>), ''' למשל <math>\R^2</math> הוא המישור, <math>\R^3</math> מרחב תלת־ממדי וכן הלאה.


'''אניות (<math>n</math>-יה סדורה) -''' אוסף של איברים מסודרים לפי סדר, למשל, <math>\R^{n}=\left\{ \left(x_{1},..,x_{n}\right)|x_{i}\in\R\;\forall1\le i\le n\right\}</math> , אזי <math>x_{1},...x_{n}</math> היא אניה.
'''אניות (<math>n</math>־יה סדורה) ''' אוסף של אברים מסודרים לפי סדר, למשל, <math>\R^n=\Big\{(x_1,\ldots,x_n):x_i\in\R,\forall1\le i\le n\Big\}</math> , אזי <math>x_1,\ldots,x_n</math> היא אניה.


'''וקטור''' <math>\left(x_{1},..,x_{n}\right) </math> הוא '''פתרון של המשוואה''' <math> a_{1}x_{1}+...+a_{n}x_{n}=b</math> אם בעת הצבתו במקום הנעלמים <math>x_{1},..x_{n}</math> מתקבלת משוואה אמת. למשל <math>x_1+x_2=0</math> כאשר הווקטור הוא למשל <math>(2,-2)</math>.
'''וקטור''' <math>(x_1,\ldots,x_n)</math> הוא '''פתרון של המשוואה''' <math>a_1x_1+\cdots+a_nx_n=b</math> אם בעת הצבתו במקום הנעלמים <math>x_1,\ldots,x_n</math> מתקבלת משוואה אמת. למשל <math>x_1+x_2=0</math> כאשר הווקטור הוא למשל <math>(2,-2)</math> .


===קבוצת הפתרונות של מערכת משוואות===
===קבוצת הפתרונות של מערכת משוואות===
'''קבוצת הפתרונות של משוואה לינארית''' הוא אוסף (קבוצת) הפתרונות של משוואה, אניה <math>\left\{ \left(x_{1},..x_{n}\right)\in\R^{n}\mid a_{1}x_{1}+...+a_{n}x_{n}=b\right\}</math> אשר ניתן להציגה באמצעות גרף. פתרון משוואה לינארית משמעותו הצגת קבוצות הפתרונות באמצעות פרמטרים.
'''קבוצת הפתרונות של משוואה לינארית''' הוא אוסף (קבוצת) הפתרונות של משוואה, אניה <math>\Big\{(x_1,\ldots,x_n)\in\R^n:a_1x_1+\cdots+a_nx_n=b\Big\}</math> אשר ניתן להציגה באמצעות גרף. פתרון משוואה לינארית משמעותו הצגת קבוצות הפתרונות באמצעות פרמטרים.


בהמשך לדוגמה הקודמת, אוסף הפתרונות של <math>x_1+x_2=0</math> היא האניה <math>\{(x_{1},x_{2})\in\mathbb{\mathbb{R}}^{2}|x_{1}+x_{2}=0\}</math>
בהמשך לדוגמא הקודמת, אוסף הפתרונות של <math>x_1+x_2=0</math> היא האניה <math>\Big\{(x_1,x_2)\in\R^2:x_1+x_2=0\Big\}</math>


מאחר ש-<math>x_1=-x_2</math> נסמן את <math>x_2=t</math> ולכן ההצגה הפרמטרית היא <math>\left\{ \left(-t,t\right)|t\in\R\right\} =\left\{ \left(x_{1},x_{2}\right)\in\R^{2}\mid x_{1}-x_{2}=1\right\} </math>
מאחר ש־<math>x_1=-x_2</math> נסמן את <math>x_2=t</math> ולכן ההצגה הפרמטרית היא <math>\Big\{(-t,t):t\in\R\Big\}=\Big\{(x_1,x_2)\in\R^2:x_1-x_2=1\Big\}</math>


נוכל לצייר את הפתרון על גרף באמצעות ציר שייצג את <math>x_1</math> וציר שני את <math>x_2</math>
נוכל לצייר את הפתרון על גרף באמצעות ציר שייצג את <math>x_1</math> וציר שני את <math>x_2</math> .


=מערכת של משוואות ליניאריות=
=מערכת משוואות לינאריות=
'''ערכת m משוואות לינאריות ב־n נעלמים''' היא מערכת עם <math>m</math> משוואות ו־<math>n</math> נעלמים:
מערכת עם <math>m</math> משוואות ו־<math>n</math> נעלמים:
:<math>\begin{alignat}{7}
:<math>\begin{alignat}{7}
a_{11} x_1 &&\; + \;&& a_{12} x_2 &&\; + \cdots + \;&& a_{1n} x_n &&\; = \;&&& b_1 \\
a_{11}x_1&&\;+\;&&a_{12}x_2&&\;+\;\cdots\;+\;&&a_{1n}x_n&&\;=\;&&&b_1\\
a_{21} x_1 &&\; + \;&& a_{22} x_2 &&\; + \cdots + \;&& a_{2n} x_n &&\; = \;&&& b_2 \\
a_{21}x_1&&\;+\;&&a_{22}x_2&&\;+\;\cdots\;+\;&&a_{2n}x_n&&\;=\;&&&b_2\\
\vdots\;\;\; && && \vdots\;\;\; && && \vdots\;\;\; && &&& \;\vdots \\
\vdots\;\;\;&& &&\vdots\;\;\;&& &&\vdots\;\;\;&& &&&\;\vdots\\
a_{m1} x_1 &&\; + \;&& a_{m2} x_2 &&\; + \cdots + \;&& a_{mn} x_n &&\; = \;&&& b_m. \\
a_{m1}x_1&&\;+\;&&a_{m2}x_2&&\;+\;\cdots\;+\;&&a_{mn}x_n&&\;=\;&&&b_m\\
\end{alignat}</math>
\end{alignat}</math>
כאשר <math>a_{ij},b_i\in\R</math>

כאשר <math>a_{ij},b_{i}\in\mathbb{R}</math>
*<math>\alpha</math> מקדם (סקלר)
*<math>b</math> מקדם חופשי

* <math>\alpha</math> מקדם (סקלר)
*<math>x_1,\ldots,x_n</math> נעלמים.
* <math>b</math> מקדם חופשי
* <math>x_{1},...,x_{n}</math> נעלמים.


===קבוצת הפתרונות של מערכת משוואות===
===קבוצת הפתרונות של מערכת משוואות===
<math>\left(x_{1},..,x_{n}\right)\in\R^{n} </math> נקרא פתרון של מערכת המשוואות אם בעת הצבתו במערכת המשוואות במקום הנעלמים <math>x_{1},..x_{n}</math> כל אחת מהמשוואות תניב משוואת אמת.
<math>(x_1,\ldots,x_n)\in\R^n</math> נקרא פתרון של מערכת המשוואות אם בעת הצבתו במערכת המשוואות במקום הנעלמים <math>x_1,\ldots,x_n</math> כל אחת מהמשוואות תניב משוואת אמת.


דוגמה: תהי מערכת משוואות עם <math>m=2</math> ו-<math>n=2</math>
דוגמה: תהי מערכת משוואות עם <math>m=2,n=2</math>
:<math>\begin{cases}x_1+x_2=0\\x_2=1\end{cases}</math>

מספר הפתרונות למערכת המשוואות הוא יחיד ופתרונו <math>\bigl\{(-1,1)\bigr\}</math>
<math>\begin{cases}
x_{1}+x_{2}=0\\
x_{2}=1
\end{cases}.

</math>

מספר הפתרונות למערכת המשוואות הוא יחיד ופתרונו <math>\{(-1,1) \}</math>


==סוגי מערכת פתרונות ופתרונות==
==סוגי מערכת פתרונות ופתרונות==
*מערכת משוואות קונסיסטנטית – מערכת משוואות שקבוצת הפתרונות שלה ריקה.
*מערכת משוואות קונסיסטנטית – מערכת משוואות שקבוצת הפתרונות שלה ריקה.
*מערכת משוואות הומוגנית – מערכת משוואות קונסיסטנטית שקבוצת הפתרונות שלה טריוויאלית, כלומר שווה לאפס או במילים אחרות
*מערכת משוואות הומוגנית – מערכת משוואות קונסיסטנטית שקבוצת הפתרונות שלה טריויאלית, כלומר שווה לאפס או במלים אחרות
:<math>\begin{bmatrix}b_1\\\vdots\\b_n\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\\vdots\\0\end{bmatrix}</math>
:<math>\begin{bmatrix}b_1\\\vdots\\b_n\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\\vdots\\0\end{bmatrix}</math>
*מערכת משוואות עם אינסוף פתרונות – כאשר אחד ממקדמי הנעלמים שווה לאפס, לדוגמא <math>0x=0</math> או
*מערכת משוואות עם אינסוף פתרונות – כאשר אחד ממקדמי הנעלמים שווה לאפס, לדוגמא <math>0x=0</math> או
:<math>\begin{cases}0x+y+2z=-1\\z+y=3\end{cases}</math>
:<math>\begin{cases}0x+y+2z=-1\\z+y=3\end{cases}</math>
*מערכת משוואות לינארית עם <math>n</math> נעלמים ללא פתרונות – מערכת משוואות מהצורה <math>0x+0y=2</math>
*מערכת משוואות לינארית עם <math>n</math> נעלמים ללא פתרונות – מערכת משוואות מהצורה <math>0x+0y=2</math>
*מערכת משוואות עם פתרון יחיד – כאשר מספר המשוואות שווה למספר הנעלמים.
*מערכת משוואות עם פתרון יחיד – כאשר מספר המשוואות שווה למספר הנעלמים.
*מערכת משוואות עם אוסף פתרונות – כאשר מספר הנעלמים גדול ממספר המשוואות.
*מערכת משוואות עם אוסף פתרונות – כאשר מספר הנעלמים גדול ממספר המשוואות.



{{אלגברה לינארית|מוגבל=כן}}
{{אלגברה לינארית|מוגבל=כן}}

גרסה מ־21:42, 23 באפריל 2019

משוואה לינארית ב־n נעלמים

משוואה לינארית ב־ נעלמים היא משוואה מהצורה כאשר ו־ נעלמים. מייצג מקדם חופשי.

ניתן לייצג משוואה לינארית כסכום של הסקלרים והנעלמים בה,

מרחב (), למשל הוא המישור, מרחב תלת־ממדי וכן הלאה.

אניות (־יה סדורה) – אוסף של אברים מסודרים לפי סדר, למשל, , אזי היא אניה.

וקטור הוא פתרון של המשוואה אם בעת הצבתו במקום הנעלמים מתקבלת משוואה אמת. למשל כאשר הווקטור הוא למשל .

קבוצת הפתרונות של מערכת משוואות

קבוצת הפתרונות של משוואה לינארית הוא אוסף (קבוצת) הפתרונות של משוואה, אניה אשר ניתן להציגה באמצעות גרף. פתרון משוואה לינארית משמעותו הצגת קבוצות הפתרונות באמצעות פרמטרים.

בהמשך לדוגמא הקודמת, אוסף הפתרונות של היא האניה

מאחר ש־ נסמן את ולכן ההצגה הפרמטרית היא

נוכל לצייר את הפתרון על גרף באמצעות ציר שייצג את וציר שני את .

מערכת משוואות לינאריות

מערכת עם משוואות ו־ נעלמים:

כאשר

  • מקדם (סקלר)
  • מקדם חופשי
  • נעלמים.

קבוצת הפתרונות של מערכת משוואות

נקרא פתרון של מערכת המשוואות אם בעת הצבתו במערכת המשוואות במקום הנעלמים כל אחת מהמשוואות תניב משוואת אמת.

דוגמה: תהי מערכת משוואות עם

מספר הפתרונות למערכת המשוואות הוא יחיד ופתרונו

סוגי מערכת פתרונות ופתרונות

  • מערכת משוואות קונסיסטנטית – מערכת משוואות שקבוצת הפתרונות שלה ריקה.
  • מערכת משוואות הומוגנית – מערכת משוואות קונסיסטנטית שקבוצת הפתרונות שלה טריויאלית, כלומר שווה לאפס או במלים אחרות
  • מערכת משוואות עם אינסוף פתרונות – כאשר אחד ממקדמי הנעלמים שווה לאפס, לדוגמא או
  • מערכת משוואות לינארית עם נעלמים ללא פתרונות – מערכת משוואות מהצורה
  • מערכת משוואות עם פתרון יחיד – כאשר מספר המשוואות שווה למספר הנעלמים.
  • מערכת משוואות עם אוסף פתרונות – כאשר מספר הנעלמים גדול ממספר המשוואות.


הפרק הקודם:
מבוא לשדות
מערכות של משוואות לינאריות הפרק הבא:
חשבון מטריצות