אלגברה לינארית/כפל מטריצה בווקטור

מכפלה של מטריצה בוקטור - שורה של וקטור כפול עמודה במטריצה

תהי מטריצה $A$ בגודל $m\times n$ וגם הווקטור $v\in \mathbb {R} ^{n}$.

אז נייצג את הווקטור $v={\begin{bmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n}\end{bmatrix}}$ ואת המטריצה $A=\left(C_{1},...,C_{n}\right)$.

אז מכפלה של המטריצה בווקטור מוגדרת כפל ווקטורים: $A\cdot v=v_{1}C_{1}+v_{2}C_{2}+...+v_{n}C_{n}\in \mathbb {R} ^{m}$

דוגמא: $A={\begin{bmatrix}1&5&3\\4&5&0\end{bmatrix}}$

וגם הווקטור $V={\begin{bmatrix}3\\1\\0\end{bmatrix}}$

אז מכפלתם : $Av=3\cdot {\begin{bmatrix}1\\4\end{bmatrix}}+1\cdot {\begin{bmatrix}5\\5\end{bmatrix}}+0\cdot {\begin{bmatrix}3\\0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}3\\12\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}5\\5\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}8\\17\end{bmatrix}}\in \mathbb {R} ^{2}$

מכפלה של מטריצה שורה של מטריצה כפול עמודת הוקטור

תהי מטריצה $A={\begin{bmatrix}a_{11}&\dots &a_{1n}\\\vdots &&\vdots \\a_{m1}&\dots &a_{mn}\end{bmatrix}}$.

בגודל $m\times n$ ו- $v={\begin{bmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n}\end{bmatrix}}\in \mathbb {R} ^{n}$ אז $Av=w={\begin{bmatrix}w_{1}\\\vdots \\w_{m}\end{bmatrix}}$

כאשר $w_{1}=v_{1}\cdot a_{11}+v_{2}\cdot a_{12}+...+v_{n}\cdot a_{1n}$ וכן הלאה עד $w_{m}=v_{1}\cdot a_{m1}+v_{2}\cdot a_{m2}+...+v_{n}\cdot a_{mn}$.

כלומר אם $C_{i}={\begin{bmatrix}a_{1i}\\\vdots \\a_{mi}\end{bmatrix}}$ הוא טור $i$ ב-$A$. אז $Av=v_{1}C_{1}+...+v_{n}C_{n}\in \mathbb {R} ^{m}$. מכפלת מטריצה בוקטור.

ניתן לייצג באופן סכמתי בתור $w_{i}={\sum }_{j=1}^{n}a_{ij}v_{j}$.

אם נתונה מערכת משוואות לינארית עם מטריצה מורחבת ${\begin{bmatrix}A|b\end{bmatrix}}$ כאשר $A={\begin{bmatrix}a_{11}&...&a_{1n}\\\vdots &&\vdots \\a_{m1}&\dots &a_{mn}\end{bmatrix}}$ ו $b={\begin{bmatrix}b_{1}\\\vdots \\b_{m}\end{bmatrix}}$

אז המערכת היא ${\begin{cases}a_{11}x_{1}+...+a_{1n}x_{n}=b_{1}\\\vdots \\a_{m1}x_{1}+\dots +a_{mn}x_{n}=b_{m}\end{cases}}$

אז ניתן לרשום את המערכת בצורה $Ax=b$ כאשר $x={\begin{bmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}$ וקטור שרכיביו הם הנעלמים.

דוגמא: $A={\begin{bmatrix}1&5&3\\4&5&0\end{bmatrix}}$

וגם הווקטור $V={\begin{bmatrix}3\\1\\0\end{bmatrix}}$

אזי ${\begin{bmatrix}1&5&3\\4&5&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}3\\1\\0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1*3+5*1+3*0\\4*3+5*1+0*0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}8\\17\end{bmatrix}}$

תכונות

1. $Ae_{i}=c_{i}$, לדוגמה, ${\begin{bmatrix}1&5&3\\4&5&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}5\\5\end{bmatrix}}$

1. יהי $v={\begin{bmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n}\end{bmatrix}}\in \mathbb {R} ^{n}$ אז $I_{n}v=v_{1}e_{1}+\dots +v_{n}e_{n}=v$. דוגמה, $\left[{\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}}\right]$