מתמטיקה תיכונית/טריגונומטריה/זהויות/רשימת זהויות

מקרא

* צבע כחול - הזהות רשומה בדף הנוסחאות של הבגרות. אדום - זהות שימושית ביותר

רשימת זהויות עבור פונקצית הסינוס

$\sin(\alpha )=\sin(\alpha +360^{\circ })$

$\sin(180^{\circ }-\alpha )=\sin(\alpha )$

$\sin(-\alpha )=-\sin(\alpha )$

רשימת זהויות עבור הפונקציה קוסינוס

$\cos(\alpha )=\cos(\alpha +360^{\circ })$

$\cos(180^{\circ }-\alpha )=-\cos(\alpha )$

$\cos(-\alpha )=\cos(\alpha )$

רשימת זהויות עבור הפונקציה טנגנס

$\tan(180^{\circ }+\alpha )=\tan(\alpha )$

$\tan(180^{\circ }-\alpha )=-\tan(\alpha )$

$\tan(-\alpha )=-\tan(\alpha )$

מעברים

$\sin(\alpha )=\cos(90^{\circ }-\alpha )$

$\cos(\alpha )=\sin(90^{\circ }-\alpha )$

$\cot(\alpha )=\tan(90^{\circ }-\alpha )$

$\cot(\alpha )={\frac {\cos(\alpha )}{\sin(\alpha )}}$

$\tan(\alpha )={\frac {\sin(\alpha )}{\cos(\alpha )}}={\frac {1}{\cot(\alpha )}}$

משפט פיתגורס

$\color {red}\sin ^{2}(\alpha )+\cos ^{2}(\alpha )=1$

$1+\tan ^{2}(\alpha )={\frac {1}{\cos ^{2}(\alpha )}}$

$1+\cot ^{2}(\alpha )={\frac {1}{\sin ^{2}(\alpha )}}$

סכום והפרש זויות

$\color {blue}\sin(\alpha \pm \beta )=\sin(\alpha )\cdot \cos(\beta )\pm \cos(\alpha )\cdot \sin(\beta )$

$\color {blue}\cos(\alpha \pm \beta )=\cos(\alpha )\cdot \cos(\beta )\mp \sin(\alpha )\cdot \sin(\beta )$

$\color {blue}\tan(\alpha \pm \beta )={\frac {\tan(\alpha )\pm \tan(\beta )}{1\mp \tan(\alpha )\cdot \tan(\beta )}}$

זוית כפולה

$\color {red}\sin(2\alpha )=2\,\sin(\alpha )\cdot \cos(\alpha )$

$\color {red}\cos(2\alpha )=\cos ^{2}(\alpha )-\sin ^{2}(\alpha )=2\cos ^{2}(\alpha )-1=1-2\sin ^{2}(\alpha )$

$\tan(2\alpha )={\frac {2\tan(\alpha )}{1-\tan ^{2}(\alpha )}}$

מחצית זוית

$\color {blue}\sin \left({\frac {\alpha }{2}}\right)=\pm {\sqrt {\frac {1-\cos(\alpha )}{2}}}$

$\color {blue}\cos \left({\frac {\alpha }{2}}\right)=\pm {\sqrt {\frac {1+\cos(\alpha )}{2}}}$

${\color {blue}\tan \left({\frac {\alpha }{2}}\right)=\pm {\sqrt {\frac {1-\cos(\alpha )}{1+\cos(\alpha )}}}}={\frac {\sin(\alpha )}{1+\cos(\alpha )}}={\frac {1-\cos(\alpha )}{\sin(\alpha )}}$

מעבר מסכום/הפרש פונקציות למכפלת פונקציות

$\color {blue}\sin(\alpha )\pm \sin(\beta )=2\,\sin \left({\frac {\alpha \pm \beta }{2}}\right)\cdot \cos \left({\frac {\alpha \mp \beta }{2}}\right)$

$\color {blue}\cos(\alpha )+\cos(\beta )=2\,\cos \left({\frac {\alpha +\beta }{2}}\right)\cdot \cos \left({\frac {\alpha -\beta }{2}}\right)$

$\color {blue}\cos(\alpha )-\cos(\beta )=-2\,\sin \left({\frac {\alpha +\beta }{2}}\right)\cdot \sin \left({\frac {\alpha -\beta }{2}}\right)$

מעבר ממכפלת פונקציות לסכום/הפרש פונקציות

$\sin(\alpha )\cdot \sin(\beta )={\frac {\cos(\alpha -\beta )-\cos(\alpha +\beta )}{2}}$

$\cos(\alpha )\cdot \cos(\beta )={\frac {\cos(\alpha -\beta )+\cos(\alpha +\beta )}{2}}$

$\sin(\alpha )\cdot \cos(\beta )={\frac {\sin(\alpha +\beta )+\sin(\alpha -\beta )}{2}}$

$\cos(\alpha )\cdot \sin(\beta )={\frac {\sin(\alpha +\beta )-\sin(\alpha -\beta )}{2}}$