חשבון אינפיניטסימלי/אינטגרציה/מבוא

הקדמה

אינטגרציה היא הפעולה ההפוכה של גזירה. במילים אחרות, מציאת הפונקציה באמצעות הנגזרת שלה. כשמתעסקים עם אינטגרלים הרעיון הוא לחשוב על נגזרות, אבל ב"רוורס".

לנגזרת יכולות להיות מספר פונקציות מתאימות, בניגוד לפונקציה לה יש נגזרת אחת. למשל, הפונקציות עבורה הנגזרת $F'(x)=x^{2}$ יכולות להיות: $f(x)={\frac {x^{3}}{3}}$, $f(x)={\frac {x^{3}}{3}}+1$ ,$f(x)={\frac {x^{3}}{3}}+2$ וכן הלאה. לכן, בתום האינטגרציה נוסיף את הסימן C, קבוע האינטגרציה, נעלם המייצג את כלל הפונקציות המתאימות לנגזרת זו.

פונקציה קדומה ($F(x)$) - היא הפונקציה הראשונית, אותה קיבלו לאחר האינטגרציה. דהיינו, זוהי הפונקציה הראשונה אותה גזרו $F(x)={\frac {x^{3}}{3}}$ וקיבלו נגזרת מסוימת, פונקציה חדשה $f(x)=x^{2}$ . פונקציה $F(x)$ נקראת פונקציה קדומה של $f(x)$ בקטע כלשהו, אם לכל נקודה בקטע $F'(x)=f(x)$ . כלומר $f(x)$ היא הנגזרת של $F(x)$ בקטע.

אינטגרל לא-מסוים - כל הפונקציות הקדומות עבור נגזרת (שיפוע) מסוימת. סימונם $\int f(x)dx$ .

הנגזרת היא שיפוע מכאן שהיא מבטא את: $m=f'(x)={\frac {y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}}$ ובמילים אחרות: $m=f'(x)={\frac {dy}{dx}}$ (דלתא $\Delta$ = מרחק). כאשר $F'(x)$ (הנגזרת של פונקציה קדומה) שווה $f(x)$ (לפונקציה חדשה) נוכל לרשום ${\frac {dy}{dx}}=F'(x)=f(x)$ . באמצעות אינטגרציה ל- $d$ (לא חשוב איך) נקבל $dy=f(x)dx$ . על-ידי ביצוע לשני האגפים (שוב, לא חשוב איך) נקבל $y=\int f(x)dx$ . לכן נוכל לומר $\int f(x)dx=F(x)+C$ כאשר $F'(x)=f(x)$

ראו גם

דף נוסחאות המכיל את כל הכללים באינטגרלים לבגרות, מתוך סיכומונה.