חשבון אינפיניטסימלי/נגזרת/רציפות: הבדלים בין גרסאות בדף

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מאין תקציר עריכה
אין תקציר עריכה
שורה 1: שורה 1:
באופן אינטואיטיבי, פונקציה נקראת '''רציפה''' אם ניתן לצייר אותה בקטע בלי להרים את העט. לדוגמה, הפונקציה <math>f(x)=\frac1{x}</math> לא רציפה בקטע <math>[-1,1]</math> כי נצטרך להרים את העט במעבר בין השליליים לחיוביים. עוד דוגמא לפונקציה לא רציפה היא <math>f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}</math> והיא לא רציפה על כל הישר הממשי כיון שנצטרך להרים את העט לקראת ההגעה שלנו ל- <math>x=2</math> ואז לחזור ולכתוב בצד השני של ה"חור" הזה.{{ש}}
באופן אינטואיטיבי, פונקציה נקראת '''רציפה''' אם ניתן לצייר אותה בקטע בלי להרים את העט. לדוגמא, הפונקציה <math>f(x)=\frac1{x}</math> לא רציפה בקטע <math>[-1,1]</math> כי נצטרך להרים את העט במעבר בין השליליים לחיוביים. עוד דוגמא לפונקציה לא-רציפה היא <math>f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}</math> והיא לא רציפה על כל הישר הממשי כיון שנצטרך להרים את העט לקראת ההגעה שלנו ל- <math>x=2</math> ואז לחזור ולכתוב בצד השני של ה"חור" הזה.

ההגדרה הזאת של "להרים את העט" ממש לא פורמלית ולא קבילה, ולכן ננסה להגדיר רציפות של פונקציה בקטע בתור רציפות שלה בכל נקודה ונקודה. איך נגדיר רציפות של פונקציה בנקודה? אם הפונקציה מתקרבת יותר ויותר לערך שהיא בסופו של דבר מקבלת, ככל שהיא מתקרבת לנקודה מסוימת.
ההגדרה הזאת של "להרים את העט" ממש לא-פורמלית ולא קבילה, ולכן ננסה להגדיר רציפות של פונקציה בקטע בתור רציפות שלה בכל נקודה ונקודה. איך נגדיר רציפות של פונקציה בנקודה? אם הפונקציה מתקרבת יותר ויותר לערך שהיא בסופו של דבר מקבלת, ככל שהיא מתקרבת לנקודה מסוימת.


==הגדרה==
==הגדרה==
פונקציה <math>f(x)</math> נקראת '''רציפה''' בנקודה <math>x_0</math> אם מתקיים <math>\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)</math> .{{ש}}
פונקציה <math>f(x)</math> נקראת '''רציפה''' בנקודה <math>x_0</math> אם מתקיים <math>\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)</math> .

פונקציה נקראת רציפה בקטע <math>[a,b]</math> אם לכל <math>x_0</math> בקטע, הפונקציה רציפה ב- <math>x_0</math> .
פונקציה נקראת רציפה בקטע <math>[a,b]</math> אם לכל <math>x_0</math> בקטע, הפונקציה רציפה ב- <math>x_0</math> .


שורה 10: שורה 12:
==מיון נקודות אי-רציפות==
==מיון נקודות אי-רציפות==
תהי פונקציה שלא רציפה ב- <math>x_0</math> . נחלק ל-3 מקרים שונים שיכול להיות אז:
תהי פונקציה שלא רציפה ב- <math>x_0</math> . נחלק ל-3 מקרים שונים שיכול להיות אז:

*נק' אי-רציפות '''סליקה''' (או מסוג 0) - אם קיים (במובן הצר, כלומר, לא אינסופי) <math>\lim_{x\to x_0}f(x)</math> אך הוא שונה מ- <math>f(x_0)</math> . דוגמא לכך זה אותה פונקציה <math>f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}</math> שבה <math>x=2</math> נק' אי-רציפות סליקה.
*נק' אי-רציפות '''סליקה''' (או מסוג 0) - אם קיים (במובן הצר, כלומר, לא אינסופי) <math>\lim_{x\to x_0}f(x)</math> אך הוא שונה מ- <math>f(x_0)</math> . דוגמא לכך זה אותה פונקציה <math>f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}</math> שבה <math>x=2</math> נק' אי-רציפות סליקה.
*נק' אי-רציפות מסוג ראשון - אם קיימים (במובן הצר) הגבולות <math>\lim_{x\to x_0^+}f(x_0) , \lim_{x\to x_0^-}f(x_0)</math> אך שונים זה מזה. דוגמא לכך היא פונקצית הסימן, <math>\sgn(x)=\begin{cases}1 & \text{ if } x>0\\ 0 & \text{ if } x=0 \\ -1 & \text{ if } x<0 \end{cases}</math> .{{ש}}
*נק' אי-רציפות מסוג ראשון - אם קיימים (במובן הצר) הגבולות <math>\lim_{x\to x_0^+}f(x_0)\ ,\ \lim_{x\to x_0^-}f(x_0)</math> אך שונים זה מזה. דוגמא לכך היא פונקציית הסימן, <math>\sgn(x)=\begin{cases}1 & \text{ if } x>0\\ 0 & \text{ if } x=0 \\ -1 & \text{ if }x<0\end{cases}</math> .{{ש}}
:הנקודה <math>x=0</math> היא נק' אי-רציפות מסוג ראשון כיון שהגבול החד-צדדי מהצד השלילי הוא <math>-1</math> אבל הגבול החד-צדדי מהצד החיובי הוא <math>\lim_{x\to 0^+}\sgn(x)=1</math> והרי <math>1</math> ו- <math>-1</math> שונים.
:הנקודה <math>x=0</math> היא נק' אי-רציפות מסוג ראשון כיון שהגבול החד-צדדי מהצד השלילי הוא <math>-1</math> אבל הגבול החד-צדדי מהצד החיובי הוא <math>\lim_{x\to 0^+}\sgn(x)=1</math> והרי <math>1</math> ו- <math>-1</math> שונים.
*נק' אי-רציפות מסוג שני - כל מקרה אחר. כלומר, לפחות אחד הגבולות החד-צדדיים לא קיים במובן הצר
*נק' אי-רציפות מסוג שני - כל מקרה אחר. כלומר, לפחות אחד הגבולות החד-צדדיים לא קיים במובן הצר.


[[קטגוריה:חשבון אינפיניטסימלי (ספר)]]
[[קטגוריה:חשבון אינפיניטסימלי (ספר)]]

גרסה מ־21:53, 31 ביולי 2016

באופן אינטואיטיבי, פונקציה נקראת רציפה אם ניתן לצייר אותה בקטע בלי להרים את העט. לדוגמא, הפונקציה לא רציפה בקטע כי נצטרך להרים את העט במעבר בין השליליים לחיוביים. עוד דוגמא לפונקציה לא-רציפה היא והיא לא רציפה על כל הישר הממשי כיון שנצטרך להרים את העט לקראת ההגעה שלנו ל- ואז לחזור ולכתוב בצד השני של ה"חור" הזה.

ההגדרה הזאת של "להרים את העט" ממש לא-פורמלית ולא קבילה, ולכן ננסה להגדיר רציפות של פונקציה בקטע בתור רציפות שלה בכל נקודה ונקודה. איך נגדיר רציפות של פונקציה בנקודה? אם הפונקציה מתקרבת יותר ויותר לערך שהיא בסופו של דבר מקבלת, ככל שהיא מתקרבת לנקודה מסוימת.

הגדרה

פונקציה נקראת רציפה בנקודה אם מתקיים .

פונקציה נקראת רציפה בקטע אם לכל בקטע, הפונקציה רציפה ב- .

נסתכל על . נראה כי אבל לא-מוגדר. לכן הפונקציה לא רציפה בנקודה, ובפרט בכל הישר הממשי.

מיון נקודות אי-רציפות

תהי פונקציה שלא רציפה ב- . נחלק ל-3 מקרים שונים שיכול להיות אז:

  • נק' אי-רציפות סליקה (או מסוג 0) - אם קיים (במובן הצר, כלומר, לא אינסופי) אך הוא שונה מ- . דוגמא לכך זה אותה פונקציה שבה נק' אי-רציפות סליקה.
  • נק' אי-רציפות מסוג ראשון - אם קיימים (במובן הצר) הגבולות אך שונים זה מזה. דוגמא לכך היא פונקציית הסימן, .
הנקודה היא נק' אי-רציפות מסוג ראשון כיון שהגבול החד-צדדי מהצד השלילי הוא אבל הגבול החד-צדדי מהצד החיובי הוא והרי ו- שונים.
  • נק' אי-רציפות מסוג שני - כל מקרה אחר. כלומר, לפחות אחד הגבולות החד-צדדיים לא קיים במובן הצר.