חשבון אינפיניטסימלי/מושגים בסיסיים בתורת הקבוצות/קבוצות חסומות: הבדלים בין גרסאות בדף

קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש
מ
אין תקציר עריכה
מאין תקציר עריכה
מאין תקציר עריכה
קל לראות, על-פי ההגדרה, ש- <math>M</math> אינו יחיד (כי: יהא <math>M</math> מספר המקיים את התנאי. אז כל מספר הגדול מ- <math>M</math> יקיים את התנאי אף הוא). כל <math>M</math> המקיים את התנאי הנ"ל נקרא ''חסם מלעיל'' (''upper bound'').{{ש}}
<u>הגדרה</u>: תהא <math>A\subset\R</math> . נגיד שהקבוצה <math>A</math> ''חסומה מלרע'' (''Bounded below'') אם קיים מספר <math>m</math> כך שלכל <math>x\in A</math> , מתקיים: <math>x\ge m</math> .
ושוב קל לראות, על-פי ההגדרה, ש- <math>m</math> אינו יחיד.{{ש}}
כל <math>m</math> המקיים את התנאי הנ"ל נקרא ''חסם מלרע''(lower bound'').{{ש}}
<u>דוגמאות</u>:{{ש}}
1. <math>\N=\{1,2,3,\ldots\}</math> חסומה מלרע - כל <math>m\le 1</math> הוא חסם מלרע.
לעומת זאת, הקבוצה <math>\N</math> אינה חסומה ''מלעיל''.</br>{{ש}}
2. <math>A=(0,1]</math> :
*קיים חסם מלעיל בתוך <math>A</math> (שהוא, כמובן, המספר <math>1</math>). פרט לכך, קיימים, כמובן, אינסוף חסמי מלעיל נוספים!
*קיים חסם מלרע <math>0</math> , אך הוא אינו בתוך <math>A</math> (קיימים, כמובן, נוספים, שגם אף אחד מהם אינו נמצא בתוך הקבוצה <math>A</math>).
3. <math>A=\left\{\frac1{n}\bigg|n\in\N\right\}</math> חסומה מלעיל (למשל: ע"י <math>\ 1 </math>) ומלרע (למשל: ע"י <math>\ 0 </math>).</br></br>
<u>הגדרה</u>: קבוצה תקרא ''חסומה'' אם היא חסומה '''גם''' מלעיל ו'''גם''' מלרע.</br></br>
<u>הגדרה</u>: נתונה <math>\ A </math>, קבוצה החסומה מלעיל ב- <math>\ \mathbb{R} </math>.
המספר <math>\ M </math> יקרא ''החסם העליון הקטן ביותר'' (לפעמים פשוט ''"החסם העליון"'') או ''סופרמום'' של <math>\ A </math>, אם מתקיים:</br>
1) <math>\ M </math> חסם מלעיל של <math>\ A </math>.</br>
2) אין חסם מלעיל אחר של <math>\ A </math> שקטן ממש מ-<math>\ M </math>.
(במילים אחרות, אם <math>\ M_1 </math> חסם מלעיל של <math>\ A </math> אף הוא, אז מתקיים: <math>\ M_1 \ge M </math>).</br>
ניסוח אחר: <math>\ \forall M_2<M,\ \exists x\in A|x>M_2 </math>.</br>
<u>סימון</u>: <math>\ M=\sup \left\{ A \right\} </math>.</br>
דוגמה: <math>\ A= \left( 0,1 \right],\ B= \left[ 0,1 \right) </math>. בשני המקרים, <math>\ M=1 </math> הוא החסם העליון.</br>
 
<u>הגדרה</u>: קבוצה תקרא ''חסומה'' אם היא חסומה '''גם''' מלעיל ו'''גם''' מלרע.</br></br>
נגדיר כעת ''חסם תחתון גדול ביותר'' או ''אינפימום'' (infimum):</br>
 
המספר <math>\ m </math> יקרא ''החסם התחתון הגדול ביותר'' (לפעמים פשוט ''"החסם התחתון"'') או ''אינפימום'' של <math>\ A </math>, אם מתקיים:</br>
1) <mathu>\הגדרה</u>: mנתונה <math>A</math> חסם, מלרעקבוצה שלהחסומה מלעיל ב- <math>\ A R</math> .</br>
המספר <math>\ M </math> יקרא ''החסם העליון הקטן ביותר'' (לפעמים פשוט ''"החסם העליון"'') או ''סופרמום'' של <math>\ A </math> , אם מתקיים:</br>{{ש}}
2) אין חסם מלרע של <math>\ A </math> הגדול מ-<math>\ m </math>.</br>
1) <umath>סימוןM</u>: <math>\ m=\infחסם \left\{מלעיל A \right\}של <math>A</math> .{{ש}}
2) אין חסם מלעיל אחר של <math>\ A </math> שקטן ממש מ- <math>\ M </math> .
*הערה: ניתן להגדיר אינפימום ע"י סופרמום, באופן הבא: <math>\ \inf \left\{ A \right\} =- \sup \left\{ -A \right\} </math>, כאשר מגדירים: <math>\ -A =\left\{ -x|x\in A \right\}</math>.
(במילים אחרות, אם <math>\ M_1 </math> חסם מלעיל של <math>\ A </math> אף הוא, אז מתקיים: <math>\ M_1 \ge M </math>).</br>{{ש}}
ניסוח אחר: <math>\ \forall M_2<M,\ \exists x\in A|x>M_2 </math> .</br>{{ש}}
<u>סימון</u>: <math>\ M=\sup \left\{ A \right\} </math> .</br>{{ש}}
דוגמהדוגמא: <math>\ A= \left( 0,1 \right]\ ,\ B= \left[ 0,1 \right) </math> . בשני המקרים, <math>\ M=1 </math> הוא החסם העליון.</br>{{ש}}
 
נגדיר כעת ''חסם תחתון גדול ביותר'' או ''אינפימום'' (infimum):</br>{{ש}}
המספר <math>\ m </math> יקרא ''החסם התחתון הגדול ביותר'' (לפעמים פשוט ''"החסם התחתון"'') או ''אינפימום'' של <math>\ A </math> , אם מתקיים:</br>{{ש}}
1) <math>\ M m</math> חסם מלעילמלרע של <math>\ A </math> .</br>{{ש}}
2) אין חסם מלרע של <math>\ A </math> הגדול מ- <math>\ m </math> .</br>{{ש}}
<u>סימון</u>: <math>m=\inf\{A\}</math>.
*הערה: ניתן להגדיר אינפימום ע"י סופרמום, באופן הבא: <math>\ \inf \left\{ A \right\} =- \sup \left\{ -A \right\} </math>, כאשר מגדירים: <math>\ -A =\left\{ -x|x\in A \right\}</math> .
<u>הגדרה</u>:

תפריט ניווט