חשבון אינפיניטסימלי/נגזרת/רציפות: הבדלים בין גרסאות בדף

באופן אינטואיטיבי, פונקציה נקראת '''רציפה''' אם ניתן לצייר אותה בקטע בלי להרים את העט. לדוגמה, הפונקציה <math>f(x)=\frac{1}frac1{x}</math> לא רציפה בקטע <math>[-1,1]</math> כי נצטרך להרים את העט במעבר בין השליליים לחיוביים. עוד דוגמהדוגמא לפונקציה לא רציפה היא <math>f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}</math> והיא לא רציפה על כל הישר הממשי כיווןכיון שנצטרך להרים את העט לקראת ההגעה שלנו ל- <math>x=2</math> ואז לחזור ולכתוב בצד השני של ה"חור" הזה.{{ש}}

פונקציה <math>f(x)</math> נקראת '''רציפה''' בנקודה <math>x_0</math> אם מתקיים <math>\lim_{x \to x_0}f(x)=f(x_0)</math> .{{ש}}

פונקציה נקראת רציפה בקטע <math>[a,b]</math> אם לכל <math>x_0</math> בקטע, הפונקציה רציפה ב- <math>x_0</math> .

נסתכל על <math>f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}</math> . נראה כי <math>\lim_{x \to 2}f(x)=4</math> אבל <math>f(2)</math> לא -מוגדר. לכן הפונקציה לא רציפה בנקודה, ובפרט בכל הישר הממשי.

תהי פונקציה שלא רציפה ב- <math>x_0</math> . נחלק ל-3 מקרים שונים שיכול להיות אז:

*נק' אי-רציפות '''סליקה''' (או מסוג 0) - אם קיים (במובן הצר, כלומר, לא אינסופי) <math>\lim_{x \to x_0}f(x)</math> אך הוא שונה מ- <math>f(x_0)</math> . דוגמא לכך זה אותה פונקציה <math>f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}</math> שבה <math>x=2</math> נק' אי-רציפות סליקה.

*נק' אי-רציפות מסוג ראשון - אם קיימים (במובן הצר) הגבולות <math>\lim_{x \to x_0^+}f(x_0) , \lim_{x \to x_0^-}f(x_0)</math> אך שונים זה מזה. דוגמהדוגמא לכך היא פונקצית הסימן, <math>\sgn(x)=\begin{cases}1 & \text{ if } x>0\\ 0 & \text{ if } x=0 \\ -1 & \text{ if } x<0 \end{cases}</math>. .{{ש}}
:הנקודה <math>x=0</math> היא נק' אי-רציפות מסוג ראשון כיון שהגבול החד-צדדי מהצד השלילי הוא 1<math>-1</math> אבל הגבול החד-צדדי מהצד החיובי הוא <math>\lim_{x \to 0^+}\sgn(x)=1</math> והרי <math>1</math> ו- 1<math>-1</math> שונים.

*נק' אי-רציפות מסוג שני - כל מקרה אחר. כלומר, לפחות אחד הגבולות החד -צדדיים לא קיים במובן הצר