חשבון אינפיניטסימלי/סדרות/סדרות חסומות: הבדלים בין גרסאות בדף

קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש
מ
אין תקציר עריכה
מאין תקציר עריכה
 
===דוגמאות===
* נסתכל על הסדרה <math>1,\frac{1}{2},\frac {1}{3},\frac{1}{4} \dots</math>. קל לראות (וכן להוכיח) שאיברי הסדרה הזו תמיד קטנים או שווים ל1ל- <math>1</math> ותמיד גדולים מ0מ- <math>0</math> (בכלל, יותר גדולים מכל מספר אי -חיובי כלשהו).
* נסתכל על הסדרה
* איברי הסדרה <math> \left( \{1+\frac{1}{n^2}\right)\}_{n=1}^\infty</math> תמיד גדולים או שווים ל1ל- <math>1</math> ותמיד תמיד קטנים או שווים ל2מ- <math>2</math>.
<math> 1, \frac{1}{2} , \frac {1}{3},\frac{1}{4}... </math>
קל לראות (וכן להוכיח) שאיברי הסדרה הזו תמיד קטנים או שווים ל1 ותמיד גדולים מ0 (בכלל, יותר גדולים מכל מספר אי חיובי כלשהו).
* איברי הסדרה <math> \left( 1+\frac{1}{n^2}\right)_{n=1}^\infty</math> תמיד גדולים שווים ל1 ותמיד קטנים שווים ל2.
 
באופן פורמלי, אלו ההגדרות של סדרות חסומות:
 
{{הגדרה|מספר=1|שם=סדרה חסומה מלעיל|תוכן=
סדרה <math> \left( {a_n \right)}_{n=1}^\infty</math> תיקרא חסומה מלעיל (או חסומה מלמעלה) אם קיים <math>M \in \mathbb{R}</math> כך שלכל <math> n\in\mathbb{N} </math> מתקיים: <math>a_n < M</math>.{{ש}}
<br/>במקרה זה <math> M </math> יקרא חסם מלעיל (או חסם מלמעלה) של <math> \left( {a_n \right)}_{n=1}^\infty</math>.
<math> M\in\mathbb{R} </math>
כך שלכל <math> n\in\mathbb{N} </math> מתקיים: <math> a_n < M </math>.
<br/>במקרה זה <math> M </math> יקרא חסם מלעיל (או חסם מלמעלה) של <math> \left( a_n \right)_{n=1}^\infty</math>.
}}
 
לפי ההגדרה הזו, נוכל לומר שבדוגמה הראשונה 1 הוא חסם מלעיל של הסדרה.
{{הגדרה|מספר=2|שם=סדרה חסומה מלרע|תוכן=
סדרה <math> \left( {a_n \right)}_{n=1}^\infty</math> תיקרא חסומה מלרע (או חסומה מלמטה) אם קיים <math> M \in \mathbb{R} </math> כך שלכל <math> n \in \mathbb{N} </math> מתקיים <math> a_n > M </math>.{{ש}}
<br/> במקרה זה נאמר ש <math> M </math> הוא חסם מלרע (או חסם מלמטה) של הסדרה <math> \left( {a_n \right)}_{n=1}^\infty</math>.
}}
 
{{הגדרה|מספר=3|שם=סדרה חסומה|תוכן=
סדרה <math> \left( {a_n \right)}_{n=1}^\infty</math> תיקרא חסומה, אם היא חסומה גם מלעיל וגם מלרע. }}
 
==משפטים==
 
{{משפט|מספר=1|שם=סדרה חסומה|תוכן=
סדרה <math> \left( {a_n \right)}_{n=1}^\infty</math> חסומה אם ורק אם קיים <math> M \in \mathbb{R} </math> כך שלכל <math> n \in \mathbb{N} </math> מתקיים <math> \left| a_n \right| < M </math>. }}
 
הוכחה זו מאוד פשוטה ולכן רצוי שהקורא ינסה לעשות אותה בעצמו ורק אם יתקשה עליו להסתכל בהוכחה למטה.
 
{{הוכחה|
<math>(\Leftarrow)</math> תהי <math> \left( {a_n \right)}_{n=1}^\infty</math> סדרה חסומה. לפי ההגדרה <math> \left( {a_n \right)}_{n=1}^\infty</math> חסומה מלעיל וחסומה מלרע. לפי ההגדרה של חסימות מלעיל, קיים <math> M_1 \in \mathbb{R} </math> כך שלכל <math> n \in \mathbb{N} </math> מתקיים: <br/>
<math> \left( \Leftarrow \right) </math>
 
תהי <math> \left( a_n \right)_{n=1}^\infty</math> סדרה חסומה. לפי ההגדרה <math> \left( a_n \right)_{n=1}^\infty</math> חסומה מלעיל וחסומה מלרע. לפי ההגדרה של חסימות מלעיל, קיים <math> M_1\in\mathbb{R} </math> כך שלכל <math> n\in\mathbb{N} </math> מתקיים: <br/>
<math> a_n < M_1 </math>
 
<br/>
<math> \left( {a_n \right)}_{n=1}^\infty</math> חסומה מלרע לכן, לפי ההגדרה, קיים <math>M_2 M_2\in \mathbb{R} </math> כך שלכל <math> n \in \mathbb{N} </math> מתקיים: <br/>
 
<math> a_n > M_2 </math>
<math>a_n M\in\mathbb{R}> M_2</math>
<br/>
 
כעת, נבחר:
<math>M M= \max\left({M_1 , -M_2 \right) }</math>
מבחירה זו נקבל: <math> M > M_1 </math> וגם <math> M > -M_2 </math> לכן, <math>-M < M_2</math>
וע"י שימוש בכלל הטרנזיטיביות נקבל:<br/>
<math> {-M} < M_2 </math>
 
וע"י שימוש בכלל הטרנזיטיביות נקבל:<br/>
<math>
\begin{matrix}-M & < & M_2 & < & a_n & < & M_1 & < M \\
-M & < & M_2 & < & a_n & < & M_1 & < M \\
\ & \ & \ & \ & \Downarrow \ & \ & \ & \\
\ & \ & \ & \ & \left| |a_n \right| & < M & \ & \end{matrix}
\end{matrix}
</math>
 
<br/>
<math> \left( \Rightarrow \right) </math> כיוון זה הוא טריביאליטריוויאלי ונובע ישירות מההגדרה של חסימות מלעיל ומלרע.
<br/>
<math> \left( \Rightarrow \right) </math> כיוון זה הוא טריביאלי ונובע ישירות מההגדרה של חסימות מלעיל ומלרע.
}}
[[קטגוריה:חשבון אינפיניטסימלי (ספר)]]

תפריט ניווט