חשבון אינפיניטסימלי/נגזרת/הגדרת הנגזרת: הבדלים בין גרסאות בדף

קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש
מ
אין תקציר עריכה
אין תקציר עריכה
מאין תקציר עריכה
== שיפוע של פונקציה לא לינארית ==
עבור פונקציות לינאריות, הנוסחה המוכרת לחישוב השיפוע היא כנלמד: <math>m=\frac{y_2-y_1 \over }{x_2-x_1}</math>.
<br>
אולם, אנו מעוניינים למצוא את שיפוען של פונקציות כלליות, לאו דווקא לינארית. לא נוכל להשתמש בנוסחה הקודמת, משום ששיפוען של פונקציות אלה אינו קבוע - הנוסחה הקודמת תלויה בנקודות שבחרנו, אך אם נבחר נקודות שונות לא נקבל תמיד את אותה התוצאה.
<br />
 
==הגדרת הנגזרת==
 
השיפוע שבין שתי נקודות אלו ניתן לחישוב על פי הנוסחה הקודמת:
<math>m=\frac{f(x+\Delta x)-f(x) \over }{(x+\Delta x)-x}=\frac{f(x+\Delta x)-f(x) \over }{\Delta x}</math>
 
ככל ש-<math>\Delta x</math> קטן, הישר העובר דרך שתי הנקודות מתקרב למשיק בנקודה, ולכן המשיק הוא הגבול.<br />{{ש}}
נסכם ונגדיר את הנגזרת בנקודה כשיפוע שבין שתי נקודות על פונקציה ההולכות וקרבות אחת לשנייה.<br>{{ש}}
<math>f'\left( x \right) =\lim _{ \Delta x \rightarrow 0 }{ \frac { f\left( x+\Delta x \right) - f\left( x \right) }{ \Delta x } } </math>
 
<br>אם נסמן <math>h=\Delta x</math>, נקבל:<br><br>{{ש}}{{ש}}
<math>f'\left( x \right) =\lim _{ h \rightarrow 0 }{ \frac { f\left( x+h \right) - f\left( x \right) }{ h } } </math>
 
ככל ש-<math>\Delta x</math> קטן, הישר העובר דרך שתי הנקודות מתקרב למשיק בנקודה, ולכן המשיק הוא הגבול.<br />
נסכם ונגדיר את הנגזרת בנקודה כשיפוע שבין שתי נקודות על פונקציה ההולכות וקרבות אחת לשנייה.<br>
<math>f'\left( x \right) =\lim _{ \Delta x\rightarrow 0 }{ \frac { f\left( x+\Delta x \right) -f\left( x \right) }{ \Delta x } } </math>
<br>
<br>אם נסמן <math>h=\Delta x</math>, נקבל:<br><br>
<math>f'\left( x \right) =\lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { f\left( x+h \right) -f\left( x \right) }{ h } } </math>
==דוגמא==
גזור (לפי הגדרת הנגזרת) את הפונקציה: <math>yf(x)=x^2</math>:
{{ש}}
<br>
<math>
<math>\lim _lim_{ \Delta x \rightarrow 0 }{ \frac { { \left( x+\Delta x \right) }^{ 2 }-{ x }^{ 2 } }{ \Delta x } } =\lim _\lim_{ \Delta x \rightarrow 0 }{ \frac { 2x\Delta x +{ \Delta x }^{ 2 } }{ \Delta x }} = \lim _lim_{ \Delta x \rightarrow 0 }{ \frac {\Delta x(2x + \Delta x )}{ \Delta x } } = } +\lim _lim_{ \Delta x \rightarrow 0 }{2x \frac { { +\Delta x }^{ 2= } }\lim_{ \Delta x } } =\lim _{ \Delta x\rightarrow 0 }{ 2x } + \lim _lim_{ \Delta x \rightarrow 0 }{ \Delta x } = 2x + 0 = 2x</math>
</math>

תפריט ניווט