חשבון אינפיניטסימלי/נגזרת/הגדרת הנגזרת: הבדלים בין גרסאות בדף
< חשבון אינפיניטסימלי | נגזרת
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
אין תקציר עריכה |
מאין תקציר עריכה |
||
שורה 1: | שורה 1: | ||
== שיפוע של פונקציה לא לינארית == |
== שיפוע של פונקציה לא לינארית == |
||
עבור פונקציות לינאריות, הנוסחה המוכרת לחישוב השיפוע היא כנלמד: <math>m={y_2-y_1 |
עבור פונקציות לינאריות, הנוסחה המוכרת לחישוב השיפוע היא כנלמד: <math>m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}</math>. |
||
<br> |
<br> |
||
אולם, אנו מעוניינים למצוא את שיפוען של פונקציות כלליות, לאו דווקא לינארית. לא נוכל להשתמש בנוסחה הקודמת, משום ששיפוען של פונקציות אלה אינו קבוע - הנוסחה הקודמת תלויה בנקודות שבחרנו, אך אם נבחר נקודות שונות לא נקבל תמיד את אותה התוצאה. |
אולם, אנו מעוניינים למצוא את שיפוען של פונקציות כלליות, לאו דווקא לינארית. לא נוכל להשתמש בנוסחה הקודמת, משום ששיפוען של פונקציות אלה אינו קבוע - הנוסחה הקודמת תלויה בנקודות שבחרנו, אך אם נבחר נקודות שונות לא נקבל תמיד את אותה התוצאה. |
||
<br /> |
|||
==הגדרת הנגזרת== |
==הגדרת הנגזרת== |
||
שורה 9: | שורה 8: | ||
השיפוע שבין שתי נקודות אלו ניתן לחישוב על פי הנוסחה הקודמת: |
השיפוע שבין שתי נקודות אלו ניתן לחישוב על פי הנוסחה הקודמת: |
||
<math>m={f(x+\Delta x)-f(x) |
<math>m=\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{(x+\Delta x)-x}=\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}</math> |
||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
<br> |
|||
⚫ | |||
⚫ | |||
==דוגמא== |
==דוגמא== |
||
גזור (לפי הגדרת הנגזרת) את הפונקציה |
גזור (לפי הגדרת הנגזרת) את הפונקציה <math>f(x)=x^2</math>: |
||
{{ש}} |
|||
<br> |
|||
<math> |
|||
\lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{(x+\Delta x)^2 - x^2}{\Delta x}} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{2x\Delta x + \Delta x^2}{\Delta x}} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{\Delta x(2x + \Delta x)}{\Delta x}} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{2x +\Delta x} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{2x} + \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\Delta x} = 2x + 0 = 2x |
|||
</math> |
גרסה מ־22:59, 21 בנובמבר 2015
שיפוע של פונקציה לא לינארית
עבור פונקציות לינאריות, הנוסחה המוכרת לחישוב השיפוע היא כנלמד: .
אולם, אנו מעוניינים למצוא את שיפוען של פונקציות כלליות, לאו דווקא לינארית. לא נוכל להשתמש בנוסחה הקודמת, משום ששיפוען של פונקציות אלה אינו קבוע - הנוסחה הקודמת תלויה בנקודות שבחרנו, אך אם נבחר נקודות שונות לא נקבל תמיד את אותה התוצאה.
הגדרת הנגזרת
נכליל את הגדרת השיפוע עבור פונקציה כללית. תהי f פונקציה כלשהי, ו- הפרש שיעורי ה-X של שתי נקודות עליה.
השיפוע שבין שתי נקודות אלו ניתן לחישוב על פי הנוסחה הקודמת:
ככל ש- קטן, הישר העובר דרך שתי הנקודות מתקרב למשיק בנקודה, ולכן המשיק הוא הגבול.
נסכם ונגדיר את הנגזרת בנקודה כשיפוע שבין שתי נקודות על פונקציה ההולכות וקרבות אחת לשנייה.
אם נסמן , נקבל:
דוגמא
גזור (לפי הגדרת הנגזרת) את הפונקציה :