מתמטיקה תיכונית/הנדסה אנליטית/ישר/משוואת הקו הישר: הבדלים בין גרסאות בדף

תוכן שנמחק תוכן שנוסף

בשורה

גרסה מ־17:10, 6 בנובמבר 2015

הישר

ישר הוא קו העובר דרך שתי נקודות.

ההבחנה בין פונקציה ישרה לישר: קו ישר יכול להיות פונקציה ישרה כאשר הוא עונה על תנאי הפונקציה. לא כל ישר הוא פונקציה ישרה אבל כל פונקציה ישרה היא ישר. למשל $\ x=2$ הוא ישר העובר דרך הנקודות $\ (2,0),(2,1)$ וכן הלאה אך אינו ממלא את תנאי הפונקציה.

בנית ישר באמצעות הצבת ערכים

כאשר נתונת משוואת הישר ניתן להציב נקודות על הישר ולצייר אותו.

משוואת הישר

$\ y=mx+n$ (לעיתים מסמנים $\ a$ במקום $\ m$ ו- $\ b$ במקום $\ n$ ). כאשר $\ m$ ו- $\ n$ הם מספרים (מקדמים) ידועים.

כל אחד מהמקדמים הידועים משפיע באופן אחר על גרף הפונקציה: $\ m$

נקודת החיתוך עם ציר ה-y - האיבר החופשי

ניתן לראות בפשטות כי האיבר n אינו תלוי בערכו של x, והוא ישאר קבוע, על כן הוא נקרא "האיבר החופשי". לאיבר זה תכונה מיוחדת אחת - כאשר נציב 0 במקום x בתבנית הפונקציה (דבר המסמל בעצם את נקודת החיתוך עם ציר הy), נקבל $\ y=n$ . כלומר, נקודת החיתוך עם ציר הy שווה לn.

n בעצם, לא משפיע על הצורה של הגרף (הזווית שלה), כי כפי שראינו, השיפוע הוא מה שמשפיע. אז מה n כן עושה ? פשוט מאוד - "מרים" (ומוריד במקרה והוא שלילי) את הישר למעלה ולמטה על ציר הy.

שיפוע

ראה הרחבה מצב הדדי בין פונקציות
- אם נתון ישר מקביל, יש להם אותו שיפוע, ואם נתון ישר מאונך, אז השיפועים מקיימים: $\ m_{1}\cdot m_{2}=-1$
- אם נתונה הזווית $\ \alpha$ עם ציר ה-x, מתקיים: $\ \tan \alpha =m$

פתרון בעיות

מציאת ישר באמצעות שתי נקודות

בהתאם להגדרת הישר, ניתן לבנות ישר באמצעות שתי נקודות.

נמצא את השיפוע של הישר באמצעות נוסחת השיפוע: ${y_{1}-y_{2} \over x_{1}-x_{2}}$
הצבת השיפוע ונקודה ב $\ y-y_{1}=m(x-x_{1})$

מציאת n בהינתן נקודה ושיפוע

במידה וידוע לנו שיפוע $\ m_{1}$ של פונקציית־ישר כלשהי, ובנוסף אנחנו יודעים שנקודה מסויימת שתסומן $\ A(x_{1},y_{1})$ נמצאת על הישר (כלומר, ערכי הנקודה מקיימים את פונקציית הישר), אזי קל מאוד למצוא את n.

אז איך עושים זאת? מאחר וערך השיפוע $m$ ידוע, וכן ערכי $y$ ו־ $x$ ידועים, פשוט נציב את כל הידוע לנו במשוואת הישר $\ y=mx+n$ :

$\ y_{1}=m_{1}\cdot x_{1}+n$
נפתור את המשוואה: $\ n=y_{1}-m_{1}\cdot x_{1}$ .

זהו, מצאנו.

דוגמה

נתונה פונקציית הישר $\ y=5x+n$ (כלומר $m_{1}=5$ ), וידוע כי על הישר נמצאת הנקודה $\ A(4,30)$ . מהו ערכו של $y$ כאשר $\ x=7$ ?

פתרון:

נציב את ערכי הנקודה במשוואת הישר: $\ 30=5\cdot 4+n$
נפתור ונקבל: $\ n=10$
עכשיו ננסח מחדש את פונקציית הישר במלואה לפי תבנית הפונקציה: $\ y=5x+10$
נציב את ערך ה־x שביקשו מאיתנו, ונקבל את הפתרון: $\ y=5\cdot 7+10=45$

וקיבלנו את הפתרון.

מציאת b בהנתן 2 נקודות

השיטה הפשוטה ביותר, היא כמובן, להציב את ערכי 2 הנקודות בנוסחה למציאת השיפוע (או, אם נתונה זווית, להציבה בטגנס ולמצוא שיפוע) ואז למצוא את n בעזרת נקודה אחת מהשתיים והשיפוע שמצאנו.

שיטה נוספת, ארוכה במקצת, אך חוסכת את ידיעת הנוסחות בעל-פה היא הצבת 2 הנקודות בתבנית פונקצית ישר, ולקבל 2 משוואות ב2 נעלמים ממעלה ראשונה, אותן אנחנו יודעים לפתור. נניח ויש לנו 2 נקודות: $\ A(x_{1},y_{1})$ ו- $\ B(x_{2},y_{2})$ . המשוואות שנקבל יהיו: $\left\{{\begin{matrix}y_{1}&=&m\cdot x_{1}+b\\y_{2}&=&m\cdot x_{2}+b\end{matrix}}\right.$

כמובן שאם ברצוננו למצוא את n בלבד, אין צורך בפתירה מלאה של 2 המשוואות, אלא פתרון עד מציאת n בלבד, אך בדרך כלל מבקשים למצוא את כל הפונקציה.

@@ שורה 33: / שורה 33: @@
 === מציאת n בהינתן נקודה ושיפוע ===
-במידה וידוע לנו שיפוע כלשהו, <math> \ m_1</math>, של פונקציה כלשהי, שבה אנחנו יודעים נקודה אחת של אותה הפונקציה, <math> \ A(x_1, y_1)</math>, קל מאוד למצוא את n.
+במידה וידוע לנו שיפוע <math> \ m_1</math>  של פונקציית־ישר כלשהי, ובנוסף אנחנו יודעים שנקודה מסויימת שתסומן <math> \ A(x_1, y_1)</math> נמצאת על הישר (כלומר, ערכי הנקודה מקיימים את פונקציית הישר), אזי קל מאוד למצוא את n.
-אז איך עושים זאת? פשוט נציב את כל הידוע לנו בתבנית הפונקציה:
+אז איך עושים זאת? מאחר וערך השיפוע <math>m</math> ידוע, וכן ערכי <math>y</math> ו־<math>x</math> ידועים, פשוט נציב את כל הידוע לנו במשוואת הישר <math> \ y = mx + n</math>:
-*<math> \ y = mx + n</math> ונקבל:
+* <math> \ y_1 = m_1 \cdot x_1 + n</math>
-*<math> \ y_1 = m_1 \cdot x_1 + n</math> מכאן פשוט לפתור את המשוואה:
+* נפתור את המשוואה: <math> \ n = y_1 - m_1 \cdot x_1</math>.
-*<math> \ b = y_1 - m_1 \cdot x_1</math>. זהו, מצאנו.
+זהו, מצאנו.
 ==== דוגמה ====
-נתונה הפונקציה <math> \ y = 5x + n</math> (כלומר <math> m_1 = 5 </math>), וידוע כי עליה נקודה כלשהי, <math> \ A(4, 30)</math>. מהי תמונת הפונקציה עבור המקור <math> \ x = 7</math>?
+נתונה פונקציית הישר <math> \ y = 5x + n</math> (כלומר <math> m_1 = 5 </math>), וידוע כי על הישר נמצאת הנקודה <math> \ A(4, 30)</math>. מהו ערכו של <math>y</math> כאשר <math> \ x = 7</math>?
-פשוט וקל, נציב את ערכי הנקודה בתבנית הפוקנציה:
-* <math> \ 30 = 5 \cdot 4 + n</math>. נפתור ונקבל:
-* <math> \ n = 10</math>. עכשיו נקבל את תבנית הפונקציה במלואה:
-* <math> \ y = 5x + 10</math>. נציב את ערך ה-x שביקשו מאיתנו ונקבל את הפתרון:
-* <math> \ y = 5 \cdot 7 + 10 = 45</math>. פתרנו!
+פתרון:
+* נציב את ערכי הנקודה במשוואת הישר: <math> \ 30 = 5 \cdot 4 + n</math>
+* נפתור ונקבל: <math> \ n = 10</math>
+* עכשיו ננסח מחדש את פונקציית הישר במלואה לפי תבנית הפונקציה: <math> \ y = 5x + 10</math>
+* נציב את ערך ה־x שביקשו מאיתנו, ונקבל את הפתרון: <math> \ y = 5 \cdot 7 + 10 = 45</math>
+וקיבלנו את הפתרון.
 === מציאת b בהנתן 2 נקודות ===