מתמטיקה תיכונית/הנדסה אנליטית/ישר/משוואת הקו הישר: הבדלים בין גרסאות בדף

תוכן שנמחק תוכן שנוסף

בשורה

גרסה מ־01:10, 10 בספטמבר 2015

הישר

ישר הוא קו העובר דרך שתי נקודות.

ההבחנה בין פונקציה ישרה לישר: קו ישר יכול להיות פונקציה ישרה כאשר הוא עונה על תנאי הפונקציה. לא כל ישר הוא פונקציה ישרה אבל כל פונקציה ישרה היא ישר. למשל $\ x=2$ הוא ישר העובר דרך הנקודות $\ (2,0),(2,1)$ וכן הלאה אך אינו ממלא את תנאי הפונקציה.

בנית ישר באמצעות הצבת ערכים

כאשר נתונת משוואת הישר ניתן להציב נקודות על הישר ולצייר אותו.

משוואת הישר

$\ y=mx+n$ (לעיתים מסמנים $\ a$ במקום $\ m$ ו- $\ b$ במקום $\ n$ ). כאשר $\ m$ ו- $\ n$ הם מספרים (מקדמים) ידועים.

כל אחד מהמקדמים הידועים משפיע באופן אחר על גרף הפונקציה: $\ m$

נקודת החיתוך עם ציר ה-y - האיבר החופשי

ניתן לראות בפשטות כי האיבר n אינו תלוי בערכו של x, והוא ישאר קבוע, על כן הוא נקרא "האיבר החופשי". לאיבר זה תכונה מיוחדת אחת - כאשר נציב 0 במקום x בתבנית הפונקציה (דבר המסמל בעצם את נקודת החיתוך עם ציר הy), נקבל $\ y=n$ . כלומר, נקודת החיתוך עם ציר הy שווה לn.

n בעצם, לא משפיע על הצורה של הגרף (הזווית שלה), כי כפי שראינו, השיפוע הוא מה שמשפיע. אז מה n כן עושה ? פשוט מאוד - "מרים" (ומוריד במקרה והוא שלילי) את הישר למעלה ולמטה על ציר הy.

שיפוע

ראה הרחבה מצב הדדי בין פונקציות
- אם נתון ישר מקביל, יש להם אותו שיפוע, ואם נתון ישר מאונך, אז השיפועים מקיימים: $\ m_{1}\cdot m_{2}=-1$
- אם נתונה הזווית $\ \alpha$ עם ציר ה-x, מתקיים: $\ \tan \alpha =m$

פתרון בעיות

מציאת ישר באמצעות שתי נקודות

בהתאם להגדרת הישר, ניתן לבנות ישר באמצעות שתי נקודות.

נמצא את השיפוע של הישר באמצעות נוסחת השיפוע: ${y_{1}-y_{2} \over x_{1}-x_{2}}$
הצבת השיפוע ונקודה ב $\ y-y_{1}=m(x-x_{1})$

מציאת n בהינתן נקודה ושיפוע

במידה וידוע לנו שיפוע כלשהו, $\ m_{1}$ , של פונקציה כלשהי, שבה אנחנו יודעים נקודה אחת של אותה הפונקציה, $\ A(x_{1},y_{1})$ , קל מאוד למצוא את n.

אז איך עושים זאת? פשוט נציב את כל הידוע לנו בתבנית הפונקציה:

$\ y=mx+n$ ונקבל:
$\ y_{1}=m_{1}\cdot x_{1}+n$ מכאן פשוט לפתור את המשוואה:
$\ b=y_{1}-m_{1}\cdot x_{1}$ . זהו, מצאנו.

דוגמה

נתונה הפונקציה $\ y=5x+n$ (כלומר $m_{1}=5$ ), וידוע כי עליה נקודה כלשהי, $\ A(4,30)$ . מהי תמונת הפונקציה עבור המקור $\ x=7$ ?

פשוט וקל, נציב את ערכי הנקודה בתבנית הפוקנציה:

$\ 30=5\cdot 4+n$ . נפתור ונקבל:
$\ n=10$ . עכשיו נקבל את תבנית הפונקציה במלואה:
$\ y=5x+10$ . נציב את ערך ה-x שביקשו מאיתנו ונקבל את הפתרון:
$\ y=5\cdot 7+10=45$ . פתרנו!

מציאת b בהנתן 2 נקודות

השיטה הפשוטה ביותר, היא כמובן, להציב את ערכי 2 הנקודות בנוסחה למציאת השיפוע (או, אם נתונה זווית, להציבה בטגנס ולמצוא שיפוע) ואז למצוא את n בעזרת נקודה אחת מהשתיים והשיפוע שמצאנו.

שיטה נוספת, ארוכה במקצת, אך חוסכת את ידיעת הנוסחות בעל-פה היא הצבת 2 הנקודות בתבנית פונקצית ישר, ולקבל 2 משוואות ב2 נעלמים ממעלה ראשונה, אותן אנחנו יודעים לפתור. נניח ויש לנו 2 נקודות: $\ A(x_{1},y_{1})$ ו- $\ B(x_{2},y_{2})$ . המשוואות שנקבל יהיו: $\left\{{\begin{matrix}y_{1}&=&m\cdot x_{1}+b\\y_{2}&=&m\cdot x_{2}+b\end{matrix}}\right.$

כמובן שאם ברצוננו למצוא את n בלבד, אין צורך בפתירה מלאה של 2 המשוואות, אלא פתרון עד מציאת n בלבד, אך בדרך כלל מבקשים למצוא את כל הפונקציה.

@@ שורה 1: / שורה 1: @@
 {{לשכתב}}
+==הישר==
-פונקציה של קו ישר היא כל פונקציה מהצורה:
+[[מתמטיקה תיכונית/גיאומטריה אוקלידית/ישר וחלקיו|ישר]] הוא קו העובר דרך שתי נקודות.
-<math> \ y = mx + n</math> (לעיתים מסמנים<math> \ a</math>  במקום <math> \ m</math> ו-<math> \ b</math> במקום <math> \ n</math>). כאשר <math> \ m</math> ו- <math> \ n</math> הם  מספרים (מקדמים) ידועים.
+'''ההבחנה בין פונקציה ישרה לישר:''' קו ישר יכול להיות [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/פונקציה ישרה|פונקציה ישרה]] כאשר הוא עונה על [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/הגדרת הפונקציה|תנאי הפונקציה]]. לא כל ישר הוא פונקציה ישרה אבל כל פונקציה ישרה היא ישר. למשל <math> \ x = 2</math> הוא ישר העובר דרך הנקודות <math> \ (2,0), (2,1)</math> וכן הלאה אך אינו ממלא את תנאי הפונקציה.
-בפונקציה מסוג זה כל נקודות גרף הפונקציה, נמצאות על ישר אחד, ועל כן נקראת הפונקציה "פונקציה של קו ישר", או לעיתים "משוואת הישר" (שם נוסף הוא "פונקציה ממעלה ראשונה", שכן הx הוא בחזקת 1, וכן "פונקציה לינארית").
+===בנית ישר באמצעות הצבת ערכים===
+כאשר נתונת משוואת הישר ניתן להציב נקודות על הישר ולצייר אותו.
+==משוואת הישר==
+<math> \ y = mx + n</math> (לעיתים מסמנים<math> \ a</math>  במקום <math> \ m</math> ו-<math> \ b</math> במקום <math> \ n</math>). כאשר <math> \ m</math> ו- <math> \ n</math> הם  מספרים (מקדמים) ידועים.
-כל אחד מהמקדמים הידועים משפיע באופן אחר על גרף הפונקציה: <math> \ m</math> הוא [[מתמטיקה תיכונית/הנדסה אנליטית/שיפוע|שיפוע]] הפונקציה ו-<math> \ n</math> הוא נקודת החיתוך עם ציר ה-y.
+כל אחד מהמקדמים הידועים משפיע באופן אחר על גרף הפונקציה: <math> \ m</math>
-== נקודת החיתוך עם ציר ה-y - האיבר החופשי ==
+=== נקודת החיתוך עם ציר ה-y - האיבר החופשי ===
 ניתן לראות בפשטות כי האיבר n אינו תלוי בערכו של x, והוא ישאר קבוע, על כן הוא נקרא "האיבר החופשי".
 לאיבר זה תכונה מיוחדת אחת - כאשר נציב 0 במקום x בתבנית הפונקציה (דבר המסמל בעצם את נקודת החיתוך עם ציר הy), נקבל <math> \ y = n</math>. כלומר, נקודת החיתוך עם ציר הy שווה לn.
 n בעצם, לא משפיע על הצורה של הגרף (הזווית שלה), כי כפי שראינו, השיפוע הוא מה שמשפיע. אז מה n כן עושה ? פשוט מאוד - "מרים" (ומוריד במקרה והוא שלילי) את הישר למעלה ולמטה על ציר הy.
+===שיפוע===
+* ראה הרחבה [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/מצב הדדי בין פונקציות|מצב הדדי בין פונקציות]]
+** אם נתון ישר מקביל, יש להם אותו שיפוע, ואם נתון ישר מאונך, אז השיפועים מקיימים: <math>\ m_1 \cdot m_2 = -1</math>
+** אם נתונה הזווית <math>\ \alpha</math> עם ציר ה-x, מתקיים: <math>\ \tan \alpha = m</math>
+==פתרון בעיות==
+===מציאת ישר באמצעות שתי נקודות===
+בהתאם להגדרת הישר, ניתן לבנות ישר באמצעות שתי נקודות.
+* נמצא את השיפוע של הישר באמצעות [[נוסחת השיפוע]]: <math>{y_1 - y_2 \over x_1 - x_2}</math>
+* הצבת השיפוע ונקודה ב<math>\ y-y_1=m(x-x_1) </math>
 === מציאת n בהינתן נקודה ושיפוע ===
@@ שורה 30: / שורה 48: @@
 * <math> \ y = 5x + 10</math>. נציב את ערך ה-x שביקשו מאיתנו ונקבל את הפתרון:
 * <math> \ y = 5 \cdot 7 + 10 = 45</math>. פתרנו!
 === מציאת b בהנתן 2 נקודות ===
@@ שורה 46: / שורה 66: @@
 כמובן שאם ברצוננו למצוא את n בלבד, אין צורך בפתירה מלאה של 2 המשוואות, אלא פתרון עד מציאת n בלבד, אך בדרך כלל מבקשים למצוא את כל הפונקציה.
-==נוסחה למציאת הישר==
-כדי למצוא משוואת ישר, משתמשים בדרך כלל בנוסחה:
-<math>\ y-y_1=m(x-x_1) </math>
-כדי להשתמש בנוסחה זאת, דרושים שיפוע ונקודה.
-אם לא נתון השיפוע, ניתן לגלות אותו באמצעות דרכים אחרות:
-* אם נתונות שתי נקודות, אפשר על ידי הנוסחה <math>{y_1 - y_2 \over x_1 - x_2}</math>
-* אם נתון ישר מקביל, יש להם אותו שיפוע, ואם נתון ישר מאונך, אז השיפועים מקיימים: <math>\ m_1 \cdot m_2 = -1</math>
-* אם נתונה הזווית <math>\ \alpha</math> עם ציר ה-x, מתקיים: <math>\ \tan \alpha = m</math>
 [[קטגוריה:הנדסה אנליטית]]