מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/אסימפטוטות: הבדלים בין גרסאות בדף

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
Denniss (שיחה | תרומות)
תקלדה
שורה 13: שורה 13:
# אסימפטוטה אנכית היא כל אותן נקודות המופיעות בתחום ההגדרה.
# אסימפטוטה אנכית היא כל אותן נקודות המופיעות בתחום ההגדרה.


==אסיפטוטה אופקית==
==אסימפטוטה אופקית==
# מציאת ערך ה-X הגדול ביותר בפונקציה.
# מציאת ערך ה-X הגדול ביותר בפונקציה.
# שלושת המצבים :
# שלושת המצבים :
#* '''y=0 (מתלכדת עם ציר ה-X בגרף)-''' כאשר מעריך החזקה הגבוה ביותר נמצא במכנה (מספר קטן חלקי מספר גדול שווה לכמו אפס).
#* '''y=0 (מתלכדת עם ציר ה-X בגרף)-''' כאשר מעריך החזקה הגבוה ביותר נמצא במכנה (מספר קטן חלקי מספר גדול שווה לכמו אפס).
#* '''אין אסימפטוטה המקבילה לציר X-'''כאשר מעריך החזקה הגבוה ביותר נמצא במונה. במקרה כזה המכנה הופך להיות לכמו אפס. חלוקה לאפס אינה חוקית, ולכן אין אסימפטוטה אופקית.
#* '''אין אסימפטוטה המקבילה לציר X-'''כאשר מעריך החזקה הגבוה ביותר נמצא במונה. במקרה כזה המכנה הופך להיות לכמו אפס. חלוקה לאפס אינה חוקית, ולכן אין אסימפטוטה אופקית.
#*''' אסיפטוטה Y היא ערך מקדמי ה-X הגבוה -''' אם גם במונה וגם במכנה קיים איבר המכיל את x ברמה הגבוהה שנבחרה, הרי שאחרי הצמצום יישארו רק המקדמים של האיברים, ומנתם תהיה ערך האסימפטוטה האופקית.
#*''' אסימפטוטה Y היא ערך מקדמי ה-X הגבוה -''' אם גם במונה וגם במכנה קיים איבר המכיל את x ברמה הגבוהה שנבחרה, הרי שאחרי הצמצום יישארו רק המקדמים של האיברים, ומנתם תהיה ערך האסימפטוטה האופקית.
# רשימת הערכים בהם :
# רשימת הערכים בהם :
#* <math>\lim_{X \to \infty}</math>.
#* <math>\lim_{X \to \infty}</math>.

גרסה מ־22:51, 29 באוגוסט 2015

דוגמא לאסימפטוטה

אסימפטוטה הינה קו גבול אליו הפונקציה מתקרבת יותר ויותר כאשר ערכי ה-x מתקרבים לאינסוף או לאיזור שאינו בתחום ההגדרה. את האסימפטוטות מחלקים לשתי קטגוריות  :

סיכום שלבים

זהו תמצות השלבים המופעים בפרק אסימפטוטות המאונכות לציר X ובפרק אסימפטוטות אופקיות (המקבילות לציר X) .

אסיפטוטה אנכית לציר X

  1. פישוט הפונקציה ככל הניתן.
  2. בדיקת תחום הגדרה.
  3. אסימפטוטה אנכית היא כל אותן נקודות המופיעות בתחום ההגדרה.

אסימפטוטה אופקית

  1. מציאת ערך ה-X הגדול ביותר בפונקציה.
  2. שלושת המצבים :
    • y=0 (מתלכדת עם ציר ה-X בגרף)- כאשר מעריך החזקה הגבוה ביותר נמצא במכנה (מספר קטן חלקי מספר גדול שווה לכמו אפס).
    • אין אסימפטוטה המקבילה לציר X-כאשר מעריך החזקה הגבוה ביותר נמצא במונה. במקרה כזה המכנה הופך להיות לכמו אפס. חלוקה לאפס אינה חוקית, ולכן אין אסימפטוטה אופקית.
    • אסימפטוטה Y היא ערך מקדמי ה-X הגבוה - אם גם במונה וגם במכנה קיים איבר המכיל את x ברמה הגבוהה שנבחרה, הרי שאחרי הצמצום יישארו רק המקדמים של האיברים, ומנתם תהיה ערך האסימפטוטה האופקית.
  3. רשימת הערכים בהם :
    • .
    • .
  4. בדיקת נקודת חיתוך - הצבת הפתרונות y אסימפטוטת בפונקציה.

התנהגות

הגדרה:

התנהגות פונקציה בסביבה בה יש אסימפטוטה : ערך x של הפונקציה שואף להיות אינסוף (או למינוס אינסוף). כלומר, הפונקציה תרצה להיות הכי קרובה שהיא יכולה אסימפטוטה, לכן היא שואפת להיות במרחק של אינסוף.

דוגמה

פרק זה לוקה בחסר. אתם מוזמנים לתרום לוויקיספר ולהשלים אותו. ראו פירוט בדף השיחה.





ניקח את הפונקציה ונבדוק בה אסימפטוטות אנכיות ואופקית.

פישוט ותחום הגדרה

כדי להקל על מציאת תחום ההגדרה והשימוש בפונקציה בהמשך, נפשט את הפונקציה. כאן הפישוט ייעשה על ידי הוצאת גורם משותף במונה ופירוק הטרינום במכנה.

אחרי הפירוק קל מאוד לראות שתחום ההגדרה של הפונקציה הוא .

אסימפטוטה אנכית וחור

מהן האסימפטוטות האנכיות של הפונקציה? מכיוון שפירקנו גם את המונה, קל לראות מיידית שרק ‎ הוא אסימפטוטה, לעומת שהוא חור, כי הוא מאפס גם את המונה. ‏ כעת נבדוק (בעזרת הטבלה) לאן שואפת הפונקציה (לאלו ערכי y) בסביבת האסימפטוטה שגילינו. ‏

גזירה

לצורך הצבת ערכים מתאימים בטבלה עלינו להציב גם את נקודות הקיצון של הפונקציה בטבלה, כך שלא נטעה ונבחר נקודה שבינה לבין האסימפטוטה יש נקודת קיצון, מה שיגרום לנו לטעות לגבי כיוון הפונקציה באזור האסימפטוטה. לשם כך נגזור את הפונקציה על פי הנוסחה לגזירת מנת פונקציות (ונפשט להקלת השימוש בהמשך).

נקודות קיצון

אחרי הפישוט, קל מאוד למצוא את נקודות הקיצון:









אם כן גילינו נקודת קיצון אפשרית אחת. בשיטה הקלאסית היינו גוזרים את הפונקציה שנית כדי לגלות אם זו אכן נקודת קיצון או רק נקודת פיתול, אבל כעת כשממילא נשתמש בטבלה, הדבר מיותר, כפי שנראה.

בניית הטבלה

מדיה:Example.ogg