מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/הגדרת הפונקציה: הבדלים בין גרסאות בדף

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
שורה 94: שורה 94:
לעומת זאת, בעזרת צורת הסימון השנייה ניתן לסמן זאת באופן הבא: <math>\ f(1) </math>.
לעומת זאת, בעזרת צורת הסימון השנייה ניתן לסמן זאת באופן הבא: <math>\ f(1) </math>.


===פרמטרים (=נעלמים)===
דוגמא לפונקציה עם פרמטרים : <math>\ f \left( x,y,z,t \right) =ax+t </math>.


מה יכול להופיע בנעלם?
* '''מקדמים -''' כידוע לכל נעלם קיים מקדם. למשל, המקדם של 2x הוא 2, המקדם של y הוא 1, וכן הלאה. לפעמים, יהיו תרגלים בהן יופיעו המקדמים כפרמטרים. בדוגמא : a.
* '''מקדם חופשי -'''כל המספרים הנלווים למשוואת הפונקציה שאינם נכפלים בנעלמים. במקרה שלנו : t.


[[קטגוריה : חשבון דיפרנציאלי לתיכון]]
במהלך הספר נחקור פונקציות, שהנן משוואות עם פרמטרים, ונגלה את הפרמטרים בדרכים שונות.


[[קטגוריה : מתמטיקה לתיכון]]

גרסה מ־20:53, 28 באוגוסט 2015


מהי פונקציה?

פונקציה מבטאת את היחס שיש בין לבין . למשל: הינה פונקציה שהקשר לבין הוא ש- גדול מ- ב- . היחס של פונקציה יכול לייצג קשר אמיתי בין שני נתונים, למשל הקשר בין מרחק שעבר רכב לבין הזמן שחלף מתחילת הנסיעה. לא כל יחס בין X ל- יקרא פונקציה. על מנת שיחס זה יהיה פונקציה יש לקיים את הגדרת הפונקציה.

כלל ההתאמה

לכל פונקציה יש כלל התאמה (יחס בין שני איברים). כלומר לכל פונקציה יש חוקיות, "תבנית" מסוימת שאם נציב בה ערכים, הן יתקיימו.

דרך ההצגה היא באמצעות משוואה. מצד שמאל של המשוואה כתוב סימון הפונקציה, ובצד ימין כתוב כלל ההתאמה. למשל:

בצורת סימון זו נהוג לחשוב על כעל משתנה כמו , אך להבדיל מ-x, ערכו של לא נבחר בצורה שרירותית, אלא הוא תלוי בערכו של . מסיבה זו נהוג לכנות את x המשתנה הבלתי תלוי ואת המשתנה התלוי.

שיטת הצגה נוספת, מודרנית יותר, לפונקציות היא:

כאן הפונקציה מסומנת על ידי האות f, וההופעה של x בסוגריים פירושה שהפונקציה f פועלת על המשתנה .

הגדרת הפונקציה

הגדרת הפונקציה: עבור כל ערך של קיים ערך אחד ויחיד בלבד אותו הפונקציה מחזירה. במילים אחרות, לא יהיו שתי הגדרות של שונות בערכן עבור אותו .

  • כל הפונקציות שבהן נעסוק בספר זה הן פונקציות ממשיות, פונקציות שמקבלות מספרים ממשיים ומחזירות מספרים ממשיים.

הצגה גרפית של פונקציה - כל פונקציה ניתן לתאר על מערכת צירים.

מקור וטווח

עבור כל פונקציה ישנן שתי קבוצות של מספרים ממשיים הקשורות אליה: התחום והטווח של הפונקציה. התחום של הפונקציה הוא קבוצת המספרים שהפונקציה יכולה לקבל. הטווח של הפונקציה הוא קבוצה שמכילה את המספרים שהפונקציה יכולה להחזיר.

בעזרת מושגי התחום והטווח ניתן להגדיר פונקציה בצורה מדוייקת:

הגדרה: בהינתן קבוצות עבור התחום והטווח, פונקציה היא כלל המתאים לכל איבר בקבוצת התחום איבר אחד ויחיד מקבוצת הטווח.

מתי אין פונקציה?

על פי הגדרת הפונקציה , פונקציה אשר ל-X שלה (תחום) יש שתי הגדרות שונות (שתי נקודות Y), היא אינה פונקציה.

ל- יש שתי טווחים/תמונות ולכן ההתאמה המתוארת אינה התאמה של פונקציה.

בגרף, הדבר בא לידי ביטוי יש ישר העובר דרך נקודה X ומקביל לציר Y (עבור אותו X, יש הרבה Y).

נקודה על הפונקציה

כל נקודה הנמצאת על פונקציה חייבת לקיים את המשוואה שלה. כלומר, אם נתונה פונקציה ונקודות אנו יכולים לבצע 2 פעולות :

  1. האם הנקודה נמצאת על הפונקציה - הצבה במשוואה ובדיקה האם מתקבלת התוצאה : 0=0.
  2. מציאת ערכי הנקודה - אם נתון לנו רק X של הנקודה ואנו יודעים בוודאות שהיא על פונקציה, נוכל להציב את X במשוואה ולגלות את y.

דוגמא

למשל, אם נתונה הפונקציה והנקודות:

  • (2,4)A
  • (2,10)B
  • (X,2)C - נמצאת על הפונקציה.

אז :

  • הצבת ערכי בפונקציה נותן : A כיוון שהמשוואה היא פסוק אמת, A נמצאת על הפונקציה.
  • הצבת ערכי B בפונקציה נותן : כיוון שהמשוואה היא פסוק שקר, B אינה נמצאת על הפונקציה - B אינה מקיימת את משוואת הפונקציה.
  • Yc = 2. C נמצאת על הפונקציה, לכן הצבה בפונקציה תגלה לנו את ערכי X. . לאחר סידור אגפים, אנו מגלים כי Xc=0.

חקירת פונקציה

כאשר אנו רוצים לאייר פונקציה עלינו לחקור אותה. במהלך החקירה אנו נבדוק את המאפיינים הבאים :

  1. תחום הגדרה -
  2. תחומי עליה ירידה
  3. נקודות חיתוך עם הצירים
  4. נקודות קיצון ופיתול.
  5. אסיפטוטות

סוגים של פונקציות

קיים מגוון רחב של סוגים של פונקציות. במהלך הספר תכירו (נחקור) חלק מהפונקציות הקיימות ותלמדו את תכונותהן. רשימת הפונקציות שנלמדות בכרך :

  1. פונקציה לינארית/ישרה/קווית - הפונקציה הפשוטה ביותר.
  2. פונקציה ריבועית - פונקציה ממעלה שנייה.
  3. פונקציה הערך המוחלט
  4. פונקציה זוגית ואי זוגית
  5. פונקצית הפולינום
  6. פונקציה רציונלית
  7. פונקצית השורש הריבועי
  8. פונקציה סתומה
  9. פונקציה טריגונומטרית
  10. פונקציה עם פרמטרים - פונקציה עם נעלים.

סימוני הפונקציה

פונקציה פשוטה

פונקציה פשוטה, מסומנת כך: , למשל: .

קיימות שתי תבניות אפשריות :

  1. פונקציה מפורשת - פונקציה בה הנעלם y מבודד. כמו למשל : , וכדומה.
  2. פונקציה סתומה - פונקציב שבה הנעלם y אינו מבודד. כמו למשל : , וכדומה.

פונקציה מורכבת

בדרך כלל, בפונקציות מורכבות יותר, נהוג לרשום במקום y, את האות באנגלית המייצגת פונקציה (function) ; f, בתוספת סוגרים שבתוכן X. כלומר, .
.
לפעמים קורים מקרים בהן אנו חוקרים יותר מפונקציה אחת, ולכן, אנו נעזר באותיות הבאות ל-g (f,g,h...t), שירשמו באופן זהה : אות, סוגרים ובתוכן X. ניתן להחליף את f בכל אות או מילה שרוצים, מאחר ומדובר בסימון בלבד. דרך נוספת מקובלת, היא להוסיף מספר לפונקציה, הרשום בקטן ליד שמה: וכולי. למספר הרשום בקטן קוראים "האינדקס של f".

ערכי X ו-Y

כאמור, בכדי לגלות את ערך Y, נציב את X ונגלה את ערך Y ע"פ היחס הנתון.

בפונקציה פשוטה, בכדי לגלות את ערכי y, אנו חייבים לרשום "נציב ב- את הערך 1", אחרת הפעולה/דרך הפתרון לא תהיה ברורה למתבונן.

לעומת זאת, בעזרת צורת הסימון השנייה ניתן לסמן זאת באופן הבא: .