מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/פונקציה ריבועית: הבדלים בין גרסאות בדף

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
אין תקציר עריכה
אין תקציר עריכה
שורה 8: שורה 8:
!
!
תבנית
תבנית
|colspan="2"|
|colspan="5"|
[[קובץ:Parabola.svg|left|thumb|100px|
[[קובץ:Parabola.svg|left|thumb|100px|
<math>y=ax^2+bx+c</math>
<math>y=ax^2+bx+c</math>
שורה 17: שורה 17:
הפונקציה מורכבת משלושה משתנים:
הפונקציה מורכבת משלושה משתנים:
# '''קודקוד''' או '''מוקד''' ([[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/נקודות קיצון מקומיות|נקודת הקיצון]]).
# '''קודקוד''' או '''מוקד''' ([[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/נקודות קיצון מקומיות|נקודת הקיצון]]).
# '''ישר הסימטריה''' או '''ישר מנחה''' - הישר המקביל לציר y ועובר דרך קודקוד הפרבולה כך שהוא מחלק את הפונקציה לשני חלקים שווים.
# '''ישר הסימטריה''' או '''ישר מנחה''' הוא ישר המקביל לציר <math>y</math> ועובר דרך קודקוד הפרבולה. ישר מנחה מחלק את הפונקציה לשני חלקים שווים.
# שני ענפים סימטריים - יוצאים כל אחד מקודקוד הפרבולה וסימטרים לישר הסימטריה של הפרבולה.
# '''שני ענפים סימטריים''' - יוצאים כל אחד מקודקוד הפרבולה וסימטריים לישר הסימטריה של הפרבולה.


<gallery>
<gallery>
Parabolas.JPG|ככל שערך המוחלט של המקדם <math>a</math> גדול יותר, כך הפרבולה צרה יותר
Parabolas.JPG|ככל שערך המוחלט של המקדם <math>a</math> גדול יותר, כך הפרבולה צרה יותר
Parabolas + c.JPG| ערך C מבטא את נקודת החיתוך עם ציר y. ככל חיובי שערכו חיובי כך הפרבולה עולה במעלה ציר y ולהפך. ככל שערך ה-C שלילי יותר, כך הפרבולה יורדת בתחתית ציר y.
Parabolas + c.JPG| ערך C מבטא את נקודת החיתוך עם ציר y. ככל שערכו גדל כך הפרבולה עולה במעלה ציר <math>y</math>, ולהפך. ככל שערך <math>c</math> קטן, כך הפרבולה יורדת בתחתית ציר <math>y</math>.
Function x^2-bx.svg|'''כאשר b שלילי –''' הפרבולה זזה לכיוון ימין
Function x^2-bx.svg|'''כאשר <math>b</math> שלילי –''' הפרבולה זזה לכיוון ימין
Function x^2+bx.svg|'''כאשר b חיובי – ''' הפרבולה זזה לכיוון שמאל.
Function x^2+bx.svg|'''כאשר <math>b</math> חיובי – ''' הפרבולה זזה לכיוון שמאל.
</gallery>
</gallery>
|-
|-
!
!
[[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/תחום הגדרה|תחום הגדרה]] ותנאים מקדמים
[[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/תחום הגדרה|תחום הגדרה]] ותנאים מקדמים
|colspan="2"|
|colspan="4"|
<math>a\ne0</math> <small>כנלמד בפרק [[חקירת פונקציה ריבועית]], פונקציה ממעלה שנייה יכולה להיות תחפושת ל[[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/פונקציה ישרה|פונקציה לינארית]] ולכן כדי חייבים לבדוק את מקדם <math>a</math>.</small>
<math>a\ne0</math> <small>כנלמד בפרק [[מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/חקירת משוואות/חקירת משוואה ריבועית|חקירת פונקציה ריבועית]], פונקציה ממעלה שנייה יכולה להיות תחפושת ל[[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/פונקציה ישרה|פונקציה לינארית]] ולכן כדי חייבים לבדוק את מקדם <math>a</math>.</small>


הפונקציה הריבועית, כמו כל [[פולינום]], מוגדרת לכל <math>x</math>.
הפונקציה הריבועית, כמו כל [[פולינום]], מוגדרת לכל <math>x</math>.
שורה 39: שורה 39:
|-
|-
|
|
# בדיקה סוג הפרבולה ישרה (a>0) או הפוכה (a<0). נניח הפרבולה היא <math>y=X^2+6X+9</math> היא פרבולה ישרה מפני שהמקדם של <math>X^2</math> הוא חיובי (אחד) ולכן a>0.
# בדיקה סוג הפרבולה ישרה (<math>a>0</math>) או הפוכה (<math>a<0</math>).
# הצבה y=0 בפונקציה <math>0=X^2+6X+9</math>
# הצבה <math>y=0</math> בפונקציה.
# מציאת ערכי X עבורם y=0 באמצעות [[פעולות פישוט שונות לפתירת משוואה ממעלה שנייה]] כגון: טרינום, פירוק לגורמים ועוד.במקרה שלנו נעזר בנוסחאת הכפל המקוצר <math>(x+3)^2=0</math> ונקבל <math>x=-3</math>.
# מציאת ערכי <math>x</math> עבורם <math>y=0</math> באמצעות [[מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/טכניקות אלגבריות פשוטות|פעולות פישוט שונות לפתירת משוואה ממעלה שנייה]] ([[מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/טכניקות אלגבריות פשוטות/הטרינום|טרינום]], [[מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/טכניקות אלגבריות פשוטות/טכניקות של פישוט/פירוק לגורמים|פירוק לגורמים]] ועוד).
#שרטוט ציר וסימון נקודות חיתוך.
# שרטוט ציר וסימון נקודות חיתוך.
# ציור הפרבולה ע"פ סוגה - ישרה (צורה: "מחייכת") או הפוכה (צורה: "עצובה").
# ציור הפרבולה ע"פ סוגה - ישרה (צורה: "מחייכת") או הפוכה (צורה: "עצובה").
|
לפנינו הפרבולה : <math>y=X^2+6X+9</math>.
# המקדם של הפרבולה <math>y=x^2+6x+9</math> הוא <math>1*x^2</math>. מאחר ש-<math>1>0</math> הפרבולה ישרה <math>a>0</math>.
# נציב <math>y=0</math> בפונקציה <math>0=x^2+6x+9</math>
# נעזר ב[[מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/טכניקות אלגבריות פשוטות/טכניקות של פישוט/פירוק לגורמים על פי נוסחאות הכפל הקצר|נוסחת הכפל המקוצר]] <math>(x+3)^2=0</math>. נקבל <math>x=-3</math>. נקודת החיתוך עם ציר ה-<math>x</math> היא <math>(-3, 0)</math>
# [[File:X^2+6x+9.png|thumb|נקודת החיתוך של הפונקציה x^2+6x+9]]
|-
|-
|'''איזה סוג של נקודות חיתוך'''
|'''כמה נקודות חיתוך'''
|
|colspan="2"|
[[קובץ:Quadratic equation discriminant.png|left|thumb|100px|דוגמא לשלושת המצבים]]
[[קובץ:Quadratic equation discriminant.png|left|thumb|100px|דוגמא לשלושת המצבים]]
בכדי לגלות כמה נקודות חיתוך יש לפונקציה עם ציר ה-<math>x</math> פתרנו את המשוואה <math>\Delta = b^2-4ac</math>. בהתאם להסבר ב[[מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/חקירת משוואות/חקירת משוואה ריבועית|חקירת משוואה ממעלה שנייה]] כאשר:
בנושא חקירת משוואה ממעלה שנייה הועלה נושא "שלושת המצבים של המשוואה", כזכור שלושת המצבים הם :
*כאשר <math>\ \Delta>0</math> יש שתי נקודות חיתוך.
# כאשר <math>\ \Delta>0</math> יש שתי נקודות חיתוך.
*כאשר <math>\ \Delta=0</math> יש נקודת חיתוך אחת (שימו לב, ישנם פעמים בהם שואלים : באילו ערכי X לפונקציה הבאה יש נקודת חיתוך אחת? – יש צורך גם לבדוק עבור פונקציה ממעלה ראשונה).
# כאשר <math>\ \Delta=0</math> יש נקודת חיתוך אחת.
*כאשר <math>\ \Delta<0</math> אין נקודות חיתוך.
*כאשר <math>\ \Delta<0</math> אין נקודות חיתוך.
על פי רוב, נתבקש בסוף התרגיל לצייר את גרף הפונקציה ולכן נעדיף להציב במשוואה <math>y=0</math> במשוואת הפונקציה ולמצוא את <math>x</math>.

|נמצא כמה נקודות חיתוך יש לפונקציה <math>y=x^2+6x+9</math> עם ציר ה-<math>x</math>:
בכדי לגלות '''מתי''' לפונקציה יש שתי, נקודה או אין בכלל נקודות חיתוך עם ציר ה-X פתרנו את המשוואה <math>\Delta = b^2-4ac</math>.
* נמצא דלתא : <math>\Delta = 6^2-4*9</math>

שימוש בדרך זו אינה יעילה כיוון שהיא רק מציינת בפנינו : האם לפונקציה יש נקודות חיתוך עם ציר ה-X? כמה נקודות?

====דוגמא====

בכדי לגלות '''איזה סוג של נקודות חיתוך''' יש לה עם ציר ה-X, נעזר בדלתא. השלבים :
* הפונקציה : <math>y=X^2+6X+9</math>
* נגלה את דלתא : <math>\Delta = 6^2-4*9</math>
* נפתח : <math>\Delta = 36-36</math>
* נפתח : <math>\Delta = 36-36</math>
* נצמצם : <math>\Delta = 36-36 = 0</math>
* נצמצם : <math>\Delta = 36-36 = 0</math>
* המצב : <math>\ \Delta=0</math>, כלומר לפונקציה <math>y=X^2+6X+9</math> יש נקודת חיתוך אחת עם ציר ה-X. נקודה זו מצאנו בדרך של השוואה.
* המצב : <math>\ \Delta=0</math>, כלומר לפונקציה <math>y=x^2+6x+9</math> יש נקודת חיתוך אחת עם ציר ה-<math>x</math>.
|-
|-
!חיתוך עם ציר <math>y</math>
!חיתוך עם ציר <math>y</math>
|colspan="2"|
|colspan="5"|
# הצבה <math>x=0</math>.

# הצבה X=0.
# פתירת המשוואה - קיימים 2 מצבים :
# פתירת המשוואה - קיימים 2 מצבים :
#* חיתוך עם ציר Y - פתרון יחיד.
#* חיתוך עם ציר <math>y</math> - פתרון יחיד.
#* אין חיתוך עם ציר Y - משוואה לא הגיונית, כמו למשל 0=2.
#* אין חיתוך עם ציר <math>y</math> - משוואה לא הגיונית, כמו למשל <math>2=0</math>.
|-
|-
![[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/תחום שלילי וחיובי|תחום שלילי וחיובי]]
!rowspan="3"|[[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/נקודות קיצון מקומיות|נקודת הקיצון]]
|colspan="2"|
[[קובץ:תמונה ובה סימון מעל ציר X ומתחת לציר|left|thumb|60px|כיתוב תמונה]]
# יצירת אי שיוויון על פי הדרישה :
#*'''תחום חיובי -''' יצירת [[מתמטיקה תיכונית/אלגברה/אי שוויונות ממעלה שנייה |אי שיוויון ריבועי]] כך : <math>ax^2+bx+c>0</math>.
#* '''תחום שלילי -''' יצירת [[מתמטיקה תיכונית/אלגברה/אי שוויונות ממעלה שנייה |אי שיוויון ריבועי]] כך : <math>ax^2+bx+c<0</math>.
# מציאת נקודות חיתוך עם ציר X.
# שרטוט ציר, נקודות חיתוך וצורת פרבולה ("מחייכת" או "עצובה")
# קביעת תחום - סימון ה[[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי|תחום]] הנדרש :
#* '''מעל ציר X -''' [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/מושגי יסוד|תחום]] חיובי.
#* '''מתחת ציר X -''' [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/מושגי יסוד|תחום]] שלילי.
|-
|-
| דרך א'
![[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/נקודות קיצון מקומיות|נקדת הקיצון]]
|
|colspan="2"|
# ערך הנקודה
===דרך א'===
כאשר הפרבולה היא מצורה <math>y=(x\pm b)^{2}+c </math> קודקוד הפרבולה <math>(x_c, c)</math>
#* שיעור <math>x</math> של קודקוד הפרבולה : <math>x=\frac{-b}{2a}</math>.
#* שיעור <math>y</math> של קודקוד הפרבולה - הצבת ערך ה-<math>x</math> במשוואת הפונקציה. במקרה שהפרבולה היא מצורה <math>y=(x\pm b)^{2}+c </math> קודקוד הפרבולה <math>(x_c, c)</math>
====ערך הנקודה====
#*סוג נקודת קיצון נקבע על פי מקדם <math>a</math>. כאשר:
שיעור X של קודקוד הפרבולה : <math>X=\frac{-b}{2a}</math>.או הצבת y במוואת הפונקציה
#** מנמום (<math>a>0</math>).
<br /><br />
#** מקסימום (<math>a<0</math>).
שיעור Y של קודקוד הפרבולה : <math>Y=c-\frac{b^2}{4a}</math> או הצבת x במוואת הפונקציה
|

# נציב במשוואה <math>x=\frac{-b}{2a}</math> את הנתונים של הפונקציה <math>y=x^2+6x+9</math>
קודקוד הפרבולה <math>(x_c, c)</math>
# <math>x=\frac{-6}{2*1}=-3</math>

# נציב את ערך ה-<math>x</math> במשוואת הפונקציה <math>y=(-3)^2+6*-3+9</math> ונקבל <math>(-3,0)</math>. מאחר שניתן לייצג את הפרבולה שלנו באמצעות <math>y=(x\pm b)^{2}+c </math>, יכול לגלות את ערך ה-<math>y</math> בקלות יתרה: <math>y=(x+3)^{2}+0 </math> ערך ה-<math>y</math> הוא <math>c=0</math>.
====סוג נקודת תחת====
# מקדם ה-<math>x</math> הוא חיובי (<math>1*x</math>) הפונקציה היא ישרה (<math>a>0</math>) ולכן נקודת הקיצון של הפונקציה היא נקודת מינמום.
# מינמום - a>0.
במקרה זה נקודת הקיצון של הפונקציה היא גם נקודת החיתוך של הפונקציה.
# מקסימום - a<0.
#

|-
===דרך ב'===
|דרך ב'
מציאת [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/הנגזרת של פונקציה|נגזרת]] הפרבולה ע"פ [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/רשימת נגזרות והוכחתן|כללי הגזירה]]. השלבים :
|מציאת [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/הנגזרת של פונקציה|נגזרת]] הפרבולה ע"פ [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/רשימת נגזרות והוכחתן|כללי הגזירה]]. השלבים :
# גזירה.
# גזירה על פי [[הדף מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/רשימת נגזרות והוכחתן/חזקה|חוקי גזירת חזקה]]
# מציאת סוג הנקודה ע"פ גזירה שנייה או טבלה (3 מספרים : הנקודה עצמה, נקודה לפני ונקודה אחרי).
# מציאת ערך ה-<math>x</math> - נשווה לאפס ונמצא נקודות קיצון.
# סימון על גרף מיקום.
# מציאת ערך ה-<math>y</math> - נציב במשוואת הפונקציה את ערך ה-<math>x</math>.
# סימון מקסימום מינמום על הגרף.
# זיהוי סוג הנקודה על פי מקדם <math>a</math>.
|
# נבצע גזירה לפונקציה <math>y=x^2+6x+9</math> על פי גללי גזירת חזקה. נקבל <math>y'=2x^{2-1}+6</math>.
# נשווה לאפס <math>0=2x+6</math> נקבל כי נקודת הקיצון היא <math>x=-3</math>.
# נציב את ערך ה-<math>x</math> בפונקציה ונקבל <math>y=(-3)^2+6*-3+9</math>. נקודת הקיצון המתקבלת היא <math>(-3,0)</math>.
# מקדם ה-<math>x</math> הוא חיובי (<math>1*x</math>) הפונקציה היא ישרה (<math>a>0</math>) ולכן נקודת הקיצון של הפונקציה היא נקודת מינמום.
|-
|-
![[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/נקודות פיתול|נקודות פיתול]]
![[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/נקודות פיתול|נקודות פיתול]]
|colspan="2"| אין
|colspan="5"| אין
|-
|-
![[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/תחומי עלייה וירידה|פונקציה עולה או יורדת]]
![[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/תחום שלילי וחיובי|תחום שלילי וחיובי]]
|colspan="2"|
|colspan="5"|
# מציאת נקודות חיתוך עם ציר <math>x</math>.
כדי למצוא נקודות עליה וירידה יש למצוא את קודקוד הפרבולה
# שרטוט צירים, נקודות חיתוך עם הצירים, נקודת קיצון והפרבולה.

# קביעת תחומי עליה וירידה בהתאם לשרטוט של הגרף - סימון ה[[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי|תחום]] הנדרש :
שתי דרכים :
#* '''מעל ציר <math>x</math> -''' [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/מושגי יסוד|תחום]] חיובי.
# ע"פ העין - שרטוט וציור נקודות קיצון.
#* '''מתחת ציר <math>x</math> -''' [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/מושגי יסוד|תחום]] שלילי.
# פתרית משוואה :
|-
#*פרבולה ישרה - יורדת כאשר <math>X<\frac{-b}{2a}</math> ועולה כאשר <math>X>\frac{-b}{2a}</math>.
!rowspan="2"|[[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/תחומי עלייה וירידה|פונקציה עולה או יורדת]]
#* פרבולה הפוכה - יורדת כאשר <math>X>\frac{-b}{2a}</math> ועולה כאשר <math>X<\frac{-b}{2a}</math>.
|colspan="4"| על פי קודקוד הפרבולה, בהתאם לשרטוט.

|-
| פתירת משוואה
|colspan="3"|
#פרבולה ישרה - יורדת כאשר <math>x<\frac{-b}{2a}</math> ועולה כאשר <math>x>\frac{-b}{2a}</math>.
# פרבולה הפוכה - יורדת כאשר <math>x>\frac{-b}{2a}</math> ועולה כאשר <math>x<\frac{-b}{2a}</math>.
|-
|-
![[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/אסימפטוטות|אסימפטוטות]]
![[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/אסימפטוטות|אסימפטוטות]]
|colspan="2"|אין
|colspan="5"|אין
|-
|-
|}
|}

גרסה מ־18:42, 28 באוגוסט 2015

פונקציה ריבועית או פרבולה.

תבנית

הפונקציה מורכבת משלושה משתנים:

  1. קודקוד או מוקד (נקודת הקיצון).
  2. ישר הסימטריה או ישר מנחה הוא ישר המקביל לציר ועובר דרך קודקוד הפרבולה. ישר מנחה מחלק את הפונקציה לשני חלקים שווים.
  3. שני ענפים סימטריים - יוצאים כל אחד מקודקוד הפרבולה וסימטריים לישר הסימטריה של הפרבולה.

תחום הגדרה ותנאים מקדמים

כנלמד בפרק חקירת פונקציה ריבועית, פונקציה ממעלה שנייה יכולה להיות תחפושת לפונקציה לינארית ולכן כדי חייבים לבדוק את מקדם .

הפונקציה הריבועית, כמו כל פולינום, מוגדרת לכל .

חיתוך עם הצירים חיתוך עם ציר
  1. בדיקה סוג הפרבולה ישרה () או הפוכה ().
  2. הצבה בפונקציה.
  3. מציאת ערכי עבורם באמצעות פעולות פישוט שונות לפתירת משוואה ממעלה שנייה (טרינום, פירוק לגורמים ועוד).
  4. שרטוט ציר וסימון נקודות חיתוך.
  5. ציור הפרבולה ע"פ סוגה - ישרה (צורה: "מחייכת") או הפוכה (צורה: "עצובה").
  1. המקדם של הפרבולה הוא . מאחר ש- הפרבולה ישרה .
  2. נציב בפונקציה
  3. נעזר בנוסחת הכפל המקוצר . נקבל . נקודת החיתוך עם ציר ה- היא
  4. נקודת החיתוך של הפונקציה x^2+6x+9
כמה נקודות חיתוך
דוגמא לשלושת המצבים

בכדי לגלות כמה נקודות חיתוך יש לפונקציה עם ציר ה- פתרנו את המשוואה . בהתאם להסבר בחקירת משוואה ממעלה שנייה כאשר:

  1. כאשר יש שתי נקודות חיתוך.
  2. כאשר יש נקודת חיתוך אחת.
  • כאשר אין נקודות חיתוך.

על פי רוב, נתבקש בסוף התרגיל לצייר את גרף הפונקציה ולכן נעדיף להציב במשוואה במשוואת הפונקציה ולמצוא את .

נמצא כמה נקודות חיתוך יש לפונקציה עם ציר ה-:
  • נמצא דלתא :
  • נפתח :
  • נצמצם :
  • המצב : , כלומר לפונקציה יש נקודת חיתוך אחת עם ציר ה-.
חיתוך עם ציר
  1. הצבה .
  2. פתירת המשוואה - קיימים 2 מצבים :
    • חיתוך עם ציר - פתרון יחיד.
    • אין חיתוך עם ציר - משוואה לא הגיונית, כמו למשל .
נקודת הקיצון
דרך א'
  1. ערך הנקודה
    • שיעור של קודקוד הפרבולה : .
    • שיעור של קודקוד הפרבולה - הצבת ערך ה- במשוואת הפונקציה. במקרה שהפרבולה היא מצורה קודקוד הפרבולה
    • סוג נקודת קיצון נקבע על פי מקדם . כאשר:
      • מנמום ().
      • מקסימום ().
  1. נציב במשוואה את הנתונים של הפונקציה
  2. נציב את ערך ה- במשוואת הפונקציה ונקבל . מאחר שניתן לייצג את הפרבולה שלנו באמצעות , יכול לגלות את ערך ה- בקלות יתרה: ערך ה- הוא .
  3. מקדם ה- הוא חיובי () הפונקציה היא ישרה () ולכן נקודת הקיצון של הפונקציה היא נקודת מינמום.

במקרה זה נקודת הקיצון של הפונקציה היא גם נקודת החיתוך של הפונקציה.

דרך ב' מציאת נגזרת הפרבולה ע"פ כללי הגזירה. השלבים :
  1. גזירה על פי חוקי גזירת חזקה
  2. מציאת ערך ה- - נשווה לאפס ונמצא נקודות קיצון.
  3. מציאת ערך ה- - נציב במשוואת הפונקציה את ערך ה-.
  4. זיהוי סוג הנקודה על פי מקדם .
  1. נבצע גזירה לפונקציה על פי גללי גזירת חזקה. נקבל .
  2. נשווה לאפס נקבל כי נקודת הקיצון היא .
  3. נציב את ערך ה- בפונקציה ונקבל . נקודת הקיצון המתקבלת היא .
  4. מקדם ה- הוא חיובי () הפונקציה היא ישרה () ולכן נקודת הקיצון של הפונקציה היא נקודת מינמום.
נקודות פיתול אין
תחום שלילי וחיובי
  1. מציאת נקודות חיתוך עם ציר .
  2. שרטוט צירים, נקודות חיתוך עם הצירים, נקודת קיצון והפרבולה.
  3. קביעת תחומי עליה וירידה בהתאם לשרטוט של הגרף - סימון התחום הנדרש :
    • מעל ציר - תחום חיובי.
    • מתחת ציר - תחום שלילי.
פונקציה עולה או יורדת על פי קודקוד הפרבולה, בהתאם לשרטוט.
פתירת משוואה
  1. פרבולה ישרה - יורדת כאשר ועולה כאשר .
  2. פרבולה הפוכה - יורדת כאשר ועולה כאשר .
אסימפטוטות אין