מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/פונקציה ריבועית: הבדלים בין גרסאות בדף
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
אין תקציר עריכה |
אין תקציר עריכה |
||
שורה 8: | שורה 8: | ||
! |
! |
||
תבנית |
תבנית |
||
|colspan=" |
|colspan="5"| |
||
[[קובץ:Parabola.svg|left|thumb|100px| |
[[קובץ:Parabola.svg|left|thumb|100px| |
||
<math>y=ax^2+bx+c</math> |
<math>y=ax^2+bx+c</math> |
||
שורה 17: | שורה 17: | ||
הפונקציה מורכבת משלושה משתנים: |
הפונקציה מורכבת משלושה משתנים: |
||
# '''קודקוד''' או '''מוקד''' ([[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/נקודות קיצון מקומיות|נקודת הקיצון]]). |
# '''קודקוד''' או '''מוקד''' ([[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/נקודות קיצון מקומיות|נקודת הקיצון]]). |
||
# '''ישר הסימטריה''' או '''ישר מנחה''' |
# '''ישר הסימטריה''' או '''ישר מנחה''' הוא ישר המקביל לציר <math>y</math> ועובר דרך קודקוד הפרבולה. ישר מנחה מחלק את הפונקציה לשני חלקים שווים. |
||
# שני ענפים סימטריים - יוצאים כל אחד מקודקוד הפרבולה |
# '''שני ענפים סימטריים''' - יוצאים כל אחד מקודקוד הפרבולה וסימטריים לישר הסימטריה של הפרבולה. |
||
<gallery> |
<gallery> |
||
Parabolas.JPG|ככל שערך המוחלט של המקדם <math>a</math> |
Parabolas.JPG|ככל שערך המוחלט של המקדם <math>a</math> גדול יותר, כך הפרבולה צרה יותר |
||
Parabolas + c.JPG| ערך C מבטא את נקודת החיתוך עם ציר y. ככל |
Parabolas + c.JPG| ערך C מבטא את נקודת החיתוך עם ציר y. ככל שערכו גדל כך הפרבולה עולה במעלה ציר <math>y</math>, ולהפך. ככל שערך <math>c</math> קטן, כך הפרבולה יורדת בתחתית ציר <math>y</math>. |
||
Function x^2-bx.svg|'''כאשר b שלילי –''' הפרבולה זזה לכיוון ימין |
Function x^2-bx.svg|'''כאשר <math>b</math> שלילי –''' הפרבולה זזה לכיוון ימין |
||
Function x^2+bx.svg|'''כאשר b חיובי – ''' הפרבולה זזה לכיוון שמאל. |
Function x^2+bx.svg|'''כאשר <math>b</math> חיובי – ''' הפרבולה זזה לכיוון שמאל. |
||
</gallery> |
</gallery> |
||
|- |
|- |
||
! |
! |
||
[[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/תחום הגדרה|תחום הגדרה]] ותנאים מקדמים |
[[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/תחום הגדרה|תחום הגדרה]] ותנאים מקדמים |
||
|colspan=" |
|colspan="4"| |
||
<math>a\ne0</math> <small>כנלמד בפרק [[חקירת פונקציה ריבועית]], פונקציה ממעלה שנייה יכולה להיות תחפושת ל[[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/פונקציה ישרה|פונקציה לינארית]] ולכן כדי חייבים לבדוק את מקדם <math>a</math>.</small> |
<math>a\ne0</math> <small>כנלמד בפרק [[מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/חקירת משוואות/חקירת משוואה ריבועית|חקירת פונקציה ריבועית]], פונקציה ממעלה שנייה יכולה להיות תחפושת ל[[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/פונקציה ישרה|פונקציה לינארית]] ולכן כדי חייבים לבדוק את מקדם <math>a</math>.</small> |
||
הפונקציה הריבועית, כמו כל [[פולינום]], מוגדרת לכל <math>x</math>. |
הפונקציה הריבועית, כמו כל [[פולינום]], מוגדרת לכל <math>x</math>. |
||
שורה 39: | שורה 39: | ||
|- |
|- |
||
| |
| |
||
# בדיקה סוג הפרבולה ישרה (a>0) או הפוכה ( |
# בדיקה סוג הפרבולה ישרה (<math>a>0</math>) או הפוכה (<math>a<0</math>). |
||
# הצבה |
# הצבה <math>y=0</math> בפונקציה. |
||
# מציאת ערכי |
# מציאת ערכי <math>x</math> עבורם <math>y=0</math> באמצעות [[מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/טכניקות אלגבריות פשוטות|פעולות פישוט שונות לפתירת משוואה ממעלה שנייה]] ([[מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/טכניקות אלגבריות פשוטות/הטרינום|טרינום]], [[מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/טכניקות אלגבריות פשוטות/טכניקות של פישוט/פירוק לגורמים|פירוק לגורמים]] ועוד). |
||
#שרטוט ציר וסימון נקודות חיתוך. |
# שרטוט ציר וסימון נקודות חיתוך. |
||
# ציור הפרבולה ע"פ סוגה - ישרה (צורה: "מחייכת") או הפוכה (צורה: "עצובה"). |
# ציור הפרבולה ע"פ סוגה - ישרה (צורה: "מחייכת") או הפוכה (צורה: "עצובה"). |
||
| |
|||
לפנינו הפרבולה : <math>y=X^2+6X+9</math>. |
|||
# המקדם של הפרבולה <math>y=x^2+6x+9</math> הוא <math>1*x^2</math>. מאחר ש-<math>1>0</math> הפרבולה ישרה <math>a>0</math>. |
|||
# נציב <math>y=0</math> בפונקציה <math>0=x^2+6x+9</math> |
|||
# נעזר ב[[מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/טכניקות אלגבריות פשוטות/טכניקות של פישוט/פירוק לגורמים על פי נוסחאות הכפל הקצר|נוסחת הכפל המקוצר]] <math>(x+3)^2=0</math>. נקבל <math>x=-3</math>. נקודת החיתוך עם ציר ה-<math>x</math> היא <math>(-3, 0)</math> |
|||
# [[File:X^2+6x+9.png|thumb|נקודת החיתוך של הפונקציה x^2+6x+9]] |
|||
|- |
|- |
||
|''' |
|'''כמה נקודות חיתוך''' |
||
| |
|||
|colspan="2"| |
|||
[[קובץ:Quadratic equation discriminant.png|left|thumb|100px|דוגמא לשלושת המצבים]] |
[[קובץ:Quadratic equation discriminant.png|left|thumb|100px|דוגמא לשלושת המצבים]] |
||
בכדי לגלות כמה נקודות חיתוך יש לפונקציה עם ציר ה-<math>x</math> פתרנו את המשוואה <math>\Delta = b^2-4ac</math>. בהתאם להסבר ב[[מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/חקירת משוואות/חקירת משוואה ריבועית|חקירת משוואה ממעלה שנייה]] כאשר: |
|||
בנושא חקירת משוואה ממעלה שנייה הועלה נושא "שלושת המצבים של המשוואה", כזכור שלושת המצבים הם : |
|||
# כאשר <math>\ \Delta>0</math> יש שתי נקודות חיתוך. |
|||
# כאשר <math>\ \Delta=0</math> יש נקודת חיתוך אחת. |
|||
*כאשר <math>\ \Delta<0</math> אין נקודות חיתוך. |
*כאשר <math>\ \Delta<0</math> אין נקודות חיתוך. |
||
על פי רוב, נתבקש בסוף התרגיל לצייר את גרף הפונקציה ולכן נעדיף להציב במשוואה <math>y=0</math> במשוואת הפונקציה ולמצוא את <math>x</math>. |
|||
|נמצא כמה נקודות חיתוך יש לפונקציה <math>y=x^2+6x+9</math> עם ציר ה-<math>x</math>: |
|||
בכדי לגלות '''מתי''' לפונקציה יש שתי, נקודה או אין בכלל נקודות חיתוך עם ציר ה-X פתרנו את המשוואה <math>\Delta = b^2-4ac</math>. |
|||
* נמצא דלתא : <math>\Delta = 6^2-4*9</math> |
|||
שימוש בדרך זו אינה יעילה כיוון שהיא רק מציינת בפנינו : האם לפונקציה יש נקודות חיתוך עם ציר ה-X? כמה נקודות? |
|||
====דוגמא==== |
|||
בכדי לגלות '''איזה סוג של נקודות חיתוך''' יש לה עם ציר ה-X, נעזר בדלתא. השלבים : |
|||
* הפונקציה : <math>y=X^2+6X+9</math> |
|||
* נגלה את דלתא : <math>\Delta = 6^2-4*9</math> |
|||
* נפתח : <math>\Delta = 36-36</math> |
* נפתח : <math>\Delta = 36-36</math> |
||
* נצמצם : <math>\Delta = 36-36 = 0</math> |
* נצמצם : <math>\Delta = 36-36 = 0</math> |
||
* המצב : <math>\ \Delta=0</math>, כלומר לפונקציה <math>y= |
* המצב : <math>\ \Delta=0</math>, כלומר לפונקציה <math>y=x^2+6x+9</math> יש נקודת חיתוך אחת עם ציר ה-<math>x</math>. |
||
|- |
|- |
||
!חיתוך עם ציר <math>y</math> |
!חיתוך עם ציר <math>y</math> |
||
|colspan=" |
|colspan="5"| |
||
# הצבה <math>x=0</math>. |
|||
# הצבה X=0. |
|||
# פתירת המשוואה - קיימים 2 מצבים : |
# פתירת המשוואה - קיימים 2 מצבים : |
||
#* חיתוך עם ציר |
#* חיתוך עם ציר <math>y</math> - פתרון יחיד. |
||
#* אין חיתוך עם ציר |
#* אין חיתוך עם ציר <math>y</math> - משוואה לא הגיונית, כמו למשל <math>2=0</math>. |
||
|- |
|- |
||
![[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/ |
!rowspan="3"|[[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/נקודות קיצון מקומיות|נקודת הקיצון]] |
||
|colspan="2"| |
|||
[[קובץ:תמונה ובה סימון מעל ציר X ומתחת לציר|left|thumb|60px|כיתוב תמונה]] |
|||
# יצירת אי שיוויון על פי הדרישה : |
|||
#*'''תחום חיובי -''' יצירת [[מתמטיקה תיכונית/אלגברה/אי שוויונות ממעלה שנייה |אי שיוויון ריבועי]] כך : <math>ax^2+bx+c>0</math>. |
|||
#* '''תחום שלילי -''' יצירת [[מתמטיקה תיכונית/אלגברה/אי שוויונות ממעלה שנייה |אי שיוויון ריבועי]] כך : <math>ax^2+bx+c<0</math>. |
|||
# מציאת נקודות חיתוך עם ציר X. |
|||
# שרטוט ציר, נקודות חיתוך וצורת פרבולה ("מחייכת" או "עצובה") |
|||
# קביעת תחום - סימון ה[[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי|תחום]] הנדרש : |
|||
#* '''מעל ציר X -''' [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/מושגי יסוד|תחום]] חיובי. |
|||
#* '''מתחת ציר X -''' [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/מושגי יסוד|תחום]] שלילי. |
|||
|- |
|- |
||
| דרך א' |
|||
![[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/נקודות קיצון מקומיות|נקדת הקיצון]] |
|||
| |
|||
|colspan="2"| |
|||
# ערך הנקודה |
|||
===דרך א'=== |
|||
#* שיעור <math>x</math> של קודקוד הפרבולה : <math>x=\frac{-b}{2a}</math>. |
|||
#* שיעור <math>y</math> של קודקוד הפרבולה - הצבת ערך ה-<math>x</math> במשוואת הפונקציה. במקרה שהפרבולה היא מצורה <math>y=(x\pm b)^{2}+c </math> קודקוד הפרבולה <math>(x_c, c)</math> |
|||
====ערך הנקודה==== |
|||
#*סוג נקודת קיצון נקבע על פי מקדם <math>a</math>. כאשר: |
|||
שיעור X של קודקוד הפרבולה : <math>X=\frac{-b}{2a}</math>.או הצבת y במוואת הפונקציה |
|||
#** מנמום (<math>a>0</math>). |
|||
<br /><br /> |
|||
#** מקסימום (<math>a<0</math>). |
|||
שיעור Y של קודקוד הפרבולה : <math>Y=c-\frac{b^2}{4a}</math> או הצבת x במוואת הפונקציה |
|||
| |
|||
# נציב במשוואה <math>x=\frac{-b}{2a}</math> את הנתונים של הפונקציה <math>y=x^2+6x+9</math> |
|||
קודקוד הפרבולה <math>(x_c, c)</math> |
|||
# <math>x=\frac{-6}{2*1}=-3</math> |
|||
# נציב את ערך ה-<math>x</math> במשוואת הפונקציה <math>y=(-3)^2+6*-3+9</math> ונקבל <math>(-3,0)</math>. מאחר שניתן לייצג את הפרבולה שלנו באמצעות <math>y=(x\pm b)^{2}+c </math>, יכול לגלות את ערך ה-<math>y</math> בקלות יתרה: <math>y=(x+3)^{2}+0 </math> ערך ה-<math>y</math> הוא <math>c=0</math>. |
|||
====סוג נקודת תחת==== |
|||
# מקדם ה-<math>x</math> הוא חיובי (<math>1*x</math>) הפונקציה היא ישרה (<math>a>0</math>) ולכן נקודת הקיצון של הפונקציה היא נקודת מינמום. |
|||
# מינמום - a>0. |
|||
במקרה זה נקודת הקיצון של הפונקציה היא גם נקודת החיתוך של הפונקציה. |
|||
# מקסימום - a<0. |
|||
# |
|||
|- |
|||
===דרך ב'=== |
|||
|דרך ב' |
|||
מציאת [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/הנגזרת של פונקציה|נגזרת]] הפרבולה ע"פ [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/רשימת נגזרות והוכחתן|כללי הגזירה]]. השלבים : |
|||
|מציאת [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/הנגזרת של פונקציה|נגזרת]] הפרבולה ע"פ [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/רשימת נגזרות והוכחתן|כללי הגזירה]]. השלבים : |
|||
# גזירה. |
|||
# גזירה על פי [[הדף מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/רשימת נגזרות והוכחתן/חזקה|חוקי גזירת חזקה]] |
|||
# מציאת סוג הנקודה ע"פ גזירה שנייה או טבלה (3 מספרים : הנקודה עצמה, נקודה לפני ונקודה אחרי). |
|||
# מציאת ערך ה-<math>x</math> - נשווה לאפס ונמצא נקודות קיצון. |
|||
# סימון על גרף מיקום. |
|||
# מציאת ערך ה-<math>y</math> - נציב במשוואת הפונקציה את ערך ה-<math>x</math>. |
|||
# סימון מקסימום מינמום על הגרף. |
|||
# זיהוי סוג הנקודה על פי מקדם <math>a</math>. |
|||
| |
|||
# נבצע גזירה לפונקציה <math>y=x^2+6x+9</math> על פי גללי גזירת חזקה. נקבל <math>y'=2x^{2-1}+6</math>. |
|||
# נשווה לאפס <math>0=2x+6</math> נקבל כי נקודת הקיצון היא <math>x=-3</math>. |
|||
# נציב את ערך ה-<math>x</math> בפונקציה ונקבל <math>y=(-3)^2+6*-3+9</math>. נקודת הקיצון המתקבלת היא <math>(-3,0)</math>. |
|||
# מקדם ה-<math>x</math> הוא חיובי (<math>1*x</math>) הפונקציה היא ישרה (<math>a>0</math>) ולכן נקודת הקיצון של הפונקציה היא נקודת מינמום. |
|||
|- |
|- |
||
![[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/נקודות פיתול|נקודות פיתול]] |
![[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/נקודות פיתול|נקודות פיתול]] |
||
|colspan=" |
|colspan="5"| אין |
||
|- |
|- |
||
![[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/ |
![[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/תחום שלילי וחיובי|תחום שלילי וחיובי]] |
||
|colspan=" |
|colspan="5"| |
||
# מציאת נקודות חיתוך עם ציר <math>x</math>. |
|||
כדי למצוא נקודות עליה וירידה יש למצוא את קודקוד הפרבולה |
|||
# שרטוט צירים, נקודות חיתוך עם הצירים, נקודת קיצון והפרבולה. |
|||
# קביעת תחומי עליה וירידה בהתאם לשרטוט של הגרף - סימון ה[[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי|תחום]] הנדרש : |
|||
שתי דרכים : |
|||
#* '''מעל ציר <math>x</math> -''' [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/מושגי יסוד|תחום]] חיובי. |
|||
# ע"פ העין - שרטוט וציור נקודות קיצון. |
|||
#* '''מתחת ציר <math>x</math> -''' [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/מושגי יסוד|תחום]] שלילי. |
|||
# פתרית משוואה : |
|||
|- |
|||
#*פרבולה ישרה - יורדת כאשר <math>X<\frac{-b}{2a}</math> ועולה כאשר <math>X>\frac{-b}{2a}</math>. |
|||
!rowspan="2"|[[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/תחומי עלייה וירידה|פונקציה עולה או יורדת]] |
|||
#* פרבולה הפוכה - יורדת כאשר <math>X>\frac{-b}{2a}</math> ועולה כאשר <math>X<\frac{-b}{2a}</math>. |
|||
|colspan="4"| על פי קודקוד הפרבולה, בהתאם לשרטוט. |
|||
|- |
|||
| פתירת משוואה |
|||
|colspan="3"| |
|||
#פרבולה ישרה - יורדת כאשר <math>x<\frac{-b}{2a}</math> ועולה כאשר <math>x>\frac{-b}{2a}</math>. |
|||
# פרבולה הפוכה - יורדת כאשר <math>x>\frac{-b}{2a}</math> ועולה כאשר <math>x<\frac{-b}{2a}</math>. |
|||
|- |
|- |
||
![[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/אסימפטוטות|אסימפטוטות]] |
![[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/אסימפטוטות|אסימפטוטות]] |
||
|colspan=" |
|colspan="5"|אין |
||
|- |
|- |
||
|} |
|} |
גרסה מ־18:42, 28 באוגוסט 2015
פונקציה ריבועית או פרבולה. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
|