חשבון אינפיניטסימלי/סדרות/סדרות חסומות: הבדלים בין גרסאות בדף

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
שורה 58: שורה 58:
<math> \left( \Rightarrow \right) </math> כיוון זה הוא טריביאלי ונובע ישירות מההגדרה של חסימות מלעיל ומלרע.
<math> \left( \Rightarrow \right) </math> כיוון זה הוא טריביאלי ונובע ישירות מההגדרה של חסימות מלעיל ומלרע.
}}
}}
[[קטגוריה:חשבון אינפיניטסימלי]]
[[קטגוריה:חשבון אינפיניטסימלי (ספר)]]

גרסה מ־14:47, 5 בפברואר 2015

סדרות חסומות

ישנן סוגים רבים של סדרות שניתן לחשוב עליהן, אך בפרק זה אנחנו נשים דגש מיוחד בתכונות של סדרות מסוימות, סדרות שכל איבריהן גדולים או קטנים ממספרים ממשיים כלשהם ונשים לב לתכונות המיוחדות שלהן. אך ראשית, מספר דוגמאות.

דוגמאות

  • נסתכל על הסדרה

קל לראות (וכן להוכיח) שאיברי הסדרה הזו תמיד קטנים או שווים ל1 ותמיד גדולים מ0 (בכלל, יותר גדולים מכל מספר אי חיובי כלשהו).

  • איברי הסדרה תמיד גדולים שווים ל1 ותמיד קטנים שווים ל2.

באופן פורמלי, אלו ההגדרות של סדרות חסומות:


הגדרה 1: סדרה חסומה מלעיל

סדרה תיקרא חסומה מלעיל (או חסומה מלמעלה) אם קיים כך שלכל מתקיים: .
במקרה זה יקרא חסם מלעיל (או חסם מלמעלה) של .

לפי ההגדרה הזו, נוכל לומר שבדוגמה הראשונה 1 הוא חסם מלעיל של הסדרה.

הגדרה 2: סדרה חסומה מלרע

סדרה תיקרא חסומה מלרע (או חסומה מלמטה) אם קיים כך שלכל מתקיים .
במקרה זה נאמר ש הוא חסם מלרע (או חסם מלמטה) של הסדרה .


הגדרה 3: סדרה חסומה

סדרה תיקרא חסומה, אם היא חסומה גם מלעיל וגם מלרע.

משפטים

משפט 1: סדרה חסומה

סדרה חסומה אם ורק אם קיים כך שלכל מתקיים .


הוכחה זו מאוד פשוטה ולכן רצוי שהקורא ינסה לעשות אותה בעצמו ורק אם יתקשה עליו להסתכל בהוכחה למטה.


הוכחה: תהי סדרה חסומה. לפי ההגדרה חסומה מלעיל וחסומה מלרע. לפי ההגדרה של חסימות מלעיל, קיים כך שלכל מתקיים:

חסומה מלרע לכן, לפי ההגדרה, קיים כך שלכל מתקיים:

כעת, נבחר: מבחירה זו נקבל: וגם לכן, וע"י שימוש בכלל הטרנזיטיביות נקבל:


כיוון זה הוא טריביאלי ונובע ישירות מההגדרה של חסימות מלעיל ומלרע.