מתמטיקה תיכונית/גיאומטריה אוקלידית/משפט פיתגורס: הבדלים בין גרסאות בדף

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
שמזן (שיחה | תרומות)
אין תקציר עריכה
שורה 1: שורה 1:
'''''טקסט מודגש''נה נה נה נה נה נה לאהוב אותך
[[Image:Pythagoras proof.svg|שמאל|200px]]
ביתר בכל הכח לעודד מהנשמה ולשמוח להביט בך
נוסחאת משפט פיתגורס, במשולש ישר זוית בעל שני ניצבים a ו-b ויתר c:
ולהגיד לך שאני שלך
<math>c = \sqrt{a^2 + b^2}</math>
כוולם עכשיו ביחד וביתר משחקת בלי פחד

עוד גול מגיע וביציע יש חגיגה גדולה
== הוכחת משפט פיתגורס ==
וביתר משחקת כמו פעם מחזירה לקהל את הטעם

תשחקי בשבילי ותתני לי לאהוב אותך!!
תארו לעצמכם ריבוע קטן בתוך ריבוע גדול. הריבוע הקטן מוטה כך שכל קודקודיו נוגעים בצלעות הריבוע הגדול. <br>
נה נה נה נה לאהוב אותך
(ראו תמונה בקישורים חיצוניים)<br />אנו נוכיח שהמשולשים שנוצרו חופפים, וידוע לנו שהם ישרי זויות. אנו נציב את ערכי הניצבים כ-<math>a</math> ו-<math>b</math>, ואת ערך היתר <math>c</math>. בסוף נגיע ע"י אלגברה לביטוי <math>c = \sqrt{a^2 + b^2}</math>.<br />
לחן:השיר של קובי פרץ -כל הכח
נוכיח שהמשולשים החיצוניים שנוצרו חופפים:
יאללה בית"ר יאללה חיים בכפר'''
ניקח את אחת מנק החיבור. אנו יודעים שהזוית האמצעית שווה לתשעים מעלות כי היא זוית של הריבוע הקטן.
נסמן ב<math>\alpha</math> את הזוית מצד אחד של הזוית האמצעית. לאחר חישוב מהיר נגיע לכך שהזוית מהצד השני שווה <math>90 - \alpha</math><br />
<math>\beta = 180 - 90 - \alpha = 90 - \alpha</math>
נסתכל על המשולש שבתוכו נמצאת הזוית האחרונה שמצאנו, <math>90 - \alpha</math><br />
אנו יודעים שהזוית של הריבוע הגדול שווה תשעים מעלות, ובחישוב מהיר נוסף נגיע לכך שהזוית השלישית במשולש זה שווה <math>\alpha</math>.<br />
<math>\gamma = 180 - 90 - (90-\alpha) = \alpha</math>
אנו יודעים שהזוית הצמודה לזוית זו שווה תשעים מעלות גם כן (זוית של הריבוע הקטן).<br />ניתן לחזור על הפעולות לעיל עד שמוכיחים שכל המשלושים חופפים, מכיוון שאנו יודעים בכל משולש את ערך שני זויות וצלע שביניהן (צלע הריבוע הקטן).

נסמן במשולשים את הניצבים באותיות <math>a</math> ו-<math>b</math>, ואת צלע הריבוע הקטן בתור <math>c</math>. ניתן לראות בתמונה למעלה איך זה נראה.<br /><br />
כעת, צלע הריבוע הגדול שווה <math>a+b</math> וצלע הריבוע הקטן היא <math>c</math>.<br />
נחשב מספר שטחים שניתן למצוא:<br />שטח כל משולש <math>S1 = \left( \frac{ab}{2} \right)</math><br />
שטח הריבוע הגדול <math>S{2} = ( a + b )^2 = a^2 + 2 a b + b^2</math><br />
שטח הריבוע הקטן <math>S3 = c^2</math>
<br /><br />
נחבר את שטחי כל המשולשים: <math>4\cdot S1 = 4\left( \frac{ab}{2} \right) = 2ab</math><br />
ערך זה נמצא גם במשוואה של <math>S2</math>. <br />
<br />נחזור לשירטוט. אם נחסיר את שטחי המשולשים מהריבוע הגדול, ע"פ השרטוט, נקבל את שטח הריבוע הקטן. לכן, נחסיר את שטח סה"כ המשולשים משטח הריבוע הגדול:<br /><math>S4 = a^2 +2ab+b^2-2ab = a^2 +b^2</math>.
מקודם הגענו למסקנה שהביטוי שמתקבל פה, שווה לשטח הריבוע הקטן, שהוא <math>S3 = c^2</math>
<br />
לכן נשווה: <math>c^2 = a^2 + b^2</math>. נוציא שורש ונקבל:<br /><math>c = \sqrt{a^2 + b^2}</math>
<br />מש"ל.

== קישורים חיצוניים ==
{{מיזמים|ויקישיתוף=Category:Pythagorean theorem|שם ויקישיתוף=משפט פיתגורס|ויקיפדיה=משפט פיתגורס}}

גרסה מ־12:28, 9 במאי 2014

טקסט מודגשנה נה נה נה נה נה לאהוב אותך ביתר בכל הכח לעודד מהנשמה ולשמוח להביט בך ולהגיד לך שאני שלך כוולם עכשיו ביחד וביתר משחקת בלי פחד עוד גול מגיע וביציע יש חגיגה גדולה וביתר משחקת כמו פעם מחזירה לקהל את הטעם תשחקי בשבילי ותתני לי לאהוב אותך!! נה נה נה נה לאהוב אותך לחן:השיר של קובי פרץ -כל הכח יאללה בית"ר יאללה חיים בכפר