הוכחות מתמטיות/שונות/קיום שורש n־י

לכל $a>0$ ולכל $n\in \mathbb {N}$ קיים $x\in \mathbb {R}$ עבורו $x^{n}=a$.

הוכחה

נגדיר קבוצה $A={\Big \{}r\in \mathbb {R} :r\geq 0,r^{n}<a{\Big \}}$.

זו קבוצה לא־ריקה (כי $0\in A$) וחסומה מלמעלה על־ידי $a+1$ (כי לכל $r>a+1$ מתקיים $r^{n}>r>a$).

לכן על־פי אקסיומת השלמות של המספרים הממשים יש לה חסם עליון $x$. כעת נוכיח כי $x^{n}=a$.

• נניח בשלילה כי $x^{n}<a$.

די למצוא $0<\varepsilon <1$ עבורו $(x+\varepsilon )^{n}<a$:

${\begin{aligned}(x+\varepsilon )^{n}&=\sum _{k\,=\,0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{n-k}\varepsilon ^{k}\\&=x^{n}+\sum _{k\,=\,1}^{n}{\binom {n}{k}}x^{n-k}\varepsilon ^{k}\\&\leq x^{n}+\sum _{k\,=\,1}^{n}{\binom {n}{k}}x^{n-k}\varepsilon \qquad :\varepsilon ^{k}\leq \varepsilon \\&=x^{n}+\varepsilon \sum _{k\,=\,1}^{n}{\binom {n}{k}}x^{n-k}\\&=x^{n}+\varepsilon \left(\,\sum _{k\,=\,0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{n-k}-x^{n}\right)\\&=x^{n}+\varepsilon {\bigl [}(x+1)^{n}-x^{n}{\bigr ]}<a\\\varepsilon &<\min \left\{1,{\frac {a-x^{n}}{(x+1)^{n}-x^{n}}}\right\}\end{aligned}}$

כלומר $x+\varepsilon \in A$, אבל $x<x+\varepsilon$ ולכן $x+\varepsilon \notin A$. סתירה.

• נניח בשלילה כי $x^{n}>a$.

כ.נ.ל די למצוא $0<\varepsilon <1$ עבורו $(x-\varepsilon )^{n}>a$:

${\begin{aligned}(x-\varepsilon )^{n}&=\sum _{k\,=\,0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{n-k}(-\varepsilon )^{k}\\&=x^{n}+\sum _{k\,=\,1}^{n}{\binom {n}{k}}x^{n-k}(-\varepsilon )^{k}\\&\geq x^{n}+\sum _{k\,=\,1}^{n}{\binom {n}{k}}x^{n-k}(-\varepsilon )\qquad :(-\varepsilon )^{k}\geq -\varepsilon \\&=x^{n}-\varepsilon \sum _{k\,=\,1}^{n}{\binom {n}{k}}x^{n-k}\\&=x^{n}-\varepsilon \left(\,\sum _{k\,=\,0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{n-k}-x^{n}\right)\\&=x^{n}-\varepsilon {\bigl [}(x+1)^{n}-x^{n}{\bigr ]}>a\\\varepsilon &<\min \left\{1,{\frac {x^{n}-a}{(x+1)^{n}-x^{n}}}\right\}\end{aligned}}$

כלומר $x-\varepsilon \notin A$, אבל $x-\varepsilon <x$ ולכן $x-\varepsilon \in A$. סתירה.

לכן $x^{n}=a$.

$\blacksquare$