הוכחות מתמטיות/שונות/משפט לינדמן

אם $w\neq 0$ מספר אלגברי אזי ${\text{e}}^{w}$ מספר טרנסצנדנטי (אי־אלגברי).

הוכחה

יהי $w\neq 0$ מספר אלגברי.
נניח בשלילה כי ${\text{e}}^{w}$ אלגברי. אזי קיים $0\neq a\in {\overline {\mathbb {Q} }}$ עבורו ${\text{e}}^{w}=a$.
נסמן:

${\begin{aligned}&a_{1}\!=-a,\ a_{2}\!=1\\[3pt]&z_{1}\!=0,\ z_{2}\!=w\\[3pt]&{\text{e}}^{w}-a\!=a_{1}{\text{e}}^{z_{1}}\!+a_{2}{\text{e}}^{z_{2}}\!=0\end{aligned}}$

א)

יהי $f(z)$ פולינום ממעלה $d$. נגדיר $F(z)=\sum _{j\,=\,0}^{d}f^{\mathtt {(j)}}\!(z)$. נגזור ונקבל כי:

$F'\!(z)=\sum _{j\,=\,0}^{d}f^{\mathtt {(j+1)}}\!(z)=\sum _{j\,=\,1}^{d}f^{\mathtt {(j)}}\!(z)=F(z)-f(z)$

נגדיר $G(z)={\text{e}}^{-z}F(z)$. נגזור ונקבל כי:

$G'\!(z)={\text{e}}^{-z}F'\!(z)-{\text{e}}^{-z}F(z)={\text{e}}^{-z}{\bigl [}F'\!(z)-F(z){\bigr ]}=-{\text{e}}^{-z}f(z)$

על־פי המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי, מתקיים כי:

${\begin{aligned}G(z)-G(0)={\text{e}}^{-z}F(z)-{\text{e}}^{-0}(0)&=-\!\int \limits _{0}^{z}{\text{e}}^{-u}f(u)du\\F(z)-{\text{e}}^{z}F(0)&=-\!\int \limits _{0}^{z}{\text{e}}^{z-u}f(u)du\end{aligned}}$

נסמן:

${\begin{aligned}F(z_{i})-{\text{e}}^{z_{i}}F(0)=A(z_{i})\\[5pt]a_{i}F(z_{i})-a_{i}{\text{e}}^{z_{i}}F(0)=a_{i}A(z_{i})\end{aligned}}$

נסכום ונקבל כי:

${\begin{aligned}\sum _{i\,=\,1}^{2}a_{i}F(z_{i})-\sum _{i\,=\,1}^{2}a_{i}{\text{e}}^{z_{i}}F(0)=\sum _{i\,=\,1}^{2}a_{i}A(z_{i})\\[2pt]\sum _{i\,=\,1}^{2}a_{i}F(z_{i})-F(0)\sum _{i\,=\,1}^{2}a_{i}{\text{e}}^{z_{i}}=\sum _{i\,=\,1}^{2}a_{i}A(z_{i})\\[2pt]\sum _{i\,=\,1}^{2}a_{i}F(z_{i})=\sum _{i\,=\,1}^{2}a_{i}A(z_{i})\end{aligned}}$

ב)

למה: יהי $f(z)$ פולינום בעל שורש $z_{0}$ מריבוי $d\geq 1$. אזי $f^{\mathtt {(j)}}\!(z_{0})=0$ לכל $0\leq j\leq d-1$.

הוכחה: באינדוקציה שלמה.

נרשום $f(z)=(z-z_{0})^{d}Q(z)$, כאשר $Q(z)$ פולינום עבורו $Q(z_{0})\neq 0$.

עבור $d=1$ מתקיים:

$f^{\mathtt {(0)}}\!(z_{0})=f(z_{0})=0$

נניח כי לכל $1\leq d\leq k$ הטענה מתקיימת לכל $0\leq j\leq d-1$.
נוכיח כי עבור $d=k+1$ הטענה מתקיימת לכל $0\leq j\leq k$:

${\begin{aligned}f(z)&=(z-z_{0})^{k+1}Q(z)\\[5pt]f^{\mathtt {(1)}}\!(z)&=(k+1)(z-z_{0})^{k}Q(z)+(z-z_{0})^{k+1}Q^{\mathtt {(1)}}\!(z)\\[5pt]&={\color {blue}(z-z_{0})^{k}}{\color {red}{\bigl [}(k+1)Q(z)+(z-z_{0})Q^{\mathtt {(1)}}\!(z){\bigr ]}}\\[5pt]&={\color {blue}(z-z_{0})^{k}}{\color {red}R(z)}\end{aligned}}$

הביטוי הכחול מריבוי $k\geq 1$, כאשר $R(z)$ פולינום עבורו $R(z_{0})\neq 0$.
לכן מכפלתם מקיימת את הנחת האינדוקציה.

$\square$

ג)

עתה נגדיר פולינומים

${\begin{aligned}f_{_{k}}\!(z)&={\frac {b^{^{2p}}}{(p-1)!}}\,{\frac {{\bigl [}(z-z_{1})(z-z_{2}){\bigr ]}^{p}}{z-z_{k}}},\quad (1\leq k\leq 2)\end{aligned}}$

כאשר $p$ מספר ראשוני, וכן $0\neq b\in \mathbb {Z}$ עבורו $bz_{1},bz_{2}$ שלמים אלגבריים.
כנ"ל, נגדיר

${\begin{aligned}&F_{_{k}}\!(z)=\sum _{j\,=\,0}^{d}f_{_{k}}^{\mathtt {(j)}}\!(z)\\[2pt]&F_{_{k}}\!(z_{i})-{\text{e}}^{z_{i}}F_{_{k}}\!(0)=A_{_{k}}\!(z_{i})\\[2pt]&\sum _{i\,=\,1}^{2}a_{i}F_{_{k}}\!(z_{i})=\sum _{i\,=\,1}^{2}a_{i}A_{_{k}}\!(z_{i})\end{aligned}}$

לפי חלקים א ו־ב, מתקיים כי:

${\begin{aligned}N_{_{k}}\!&=\sum _{i\,=\,1}^{2}a_{i}F_{_{k}}\!(z_{i})=\sum _{i\,=\,1}^{2}\sum _{j\,=\,0}^{2p-1}a_{i}f_{_{k}}^{\mathtt {(j)}}\!(z_{i})\\[2pt]&=\sum _{i\,=\,1}^{2}\sum _{j\,=\,p-1}^{2p-1}\!\!a_{i}f_{_{k}}^{\mathtt {(j)}}\!(z_{i})=\!\!\sum _{j\,=\,p-1}^{2p-1}\sum _{i\,=\,1}^{2}a_{i}f_{_{k}}^{\mathtt {(j)}}\!(z_{i})\\[2pt]&=a_{1}f_{_{k}}^{\mathtt {(p-1)}}\!(z_{1})+a_{2}f_{_{k}}^{\mathtt {(p-1)}}\!(z_{2})+\sum _{j\,=\,p}^{2p-1}\sum _{i\,=\,1}^{2}a_{i}f_{_{k}}^{\mathtt {(j)}}\!(z_{i})\end{aligned}}$