הוכחות מתמטיות/שונות/מספר אלגברי

מספר אלגברי

מספר מרוכב נקרא מספר אלגברי אם הוא שורש של פולינום בעל מקדמים רציונליים (ניסוח שקול: בעל מקדמים שלמים).

נסמן את קבוצת המספרים האלגבריים ${\overline {\mathbb {Q} }}$.

מספר מרוכב שאינו אלגברי נקרא מספר טרנסצנדנטי (או מספר אי־אלגברי).

דוגמאות

• המספרים $1,{\sqrt {2}},i$ אלגבריים.
• המספרים ${\rm {e,\pi ,{\rm {e}}^{\pi }}}$ טרנסצנדנטיים (אי־אלגבריים).

תכונות

• סכום/מכפלת מספרים אלגבריים הוא/היא מספר אלגברי.
• נגדי של מספר אלגברי הוא מספר אלגברי.
• הופכי של מספר אלגברי השונה מ־0 הוא מספר אלגברי.

הוכחה

• יהיו $\alpha ,\beta \in {\overline {\mathbb {Q} }}$. אזי קיימים פולינומים $A,B\in \mathbb {Q} [z]$ עבורם $A(\alpha )=B(\beta )=0$.

יהי פולינום

$P(z)=\sum _{k\,=\,0}^{n}p_{k}z^{k}=p_{n}\!\prod _{k\,=\,1}^{n}(z-\pi _{k})\in \mathbb {Q} [z]$

על פי תוצאות המשפט היסודי של הפולינומים הסימטריים:

לכל $1\leq k\leq n$ קיים פולינום מתוקן $P_{k}\in \mathbb {Q} [z]$ אשר שורשיו הם סכומי/מכפלות כל $k$ מבין שורשי $P(z)$.

בפרט, הדבר מתקיים עבור הפולינום $A(z)B(z)\in \mathbb {Q} [z]$ ועבור $k=2$.

לכן $\alpha +\beta \in {\overline {\mathbb {Q} }}$ וגם $\alpha \!\cdot \!\beta \in {\overline {\mathbb {Q} }}$.

• מתקיים כי $-1\in {\overline {\mathbb {Q} }}$. אזי לכל $\alpha \in {\overline {\mathbb {Q} }}$ מתקיים $-\alpha \in {\overline {\mathbb {Q} }}$ כמכפלת מספרים אלגבריים.

• יהי $0\neq \alpha \in {\overline {\mathbb {Q} }}$. נגדיר:

${\begin{aligned}A(z)&=\sum _{k\,=\,0}^{n}a_{k}z^{k}\in \mathbb {Q} [z]\\A^{-1}(z)&=\sum _{k\,=\,0}^{n}a_{n-k}z^{k}\in \mathbb {Q} [z]\end{aligned}}$

מתקיים כי $A(\alpha )=0$ אם ורק אם $A^{-1}(\alpha ^{-1})=0$. לכן $\alpha ^{-1}\in {\overline {\mathbb {Q} }}$.

$\square$

הערה: מזה נובע כי $\alpha -\beta \in {\overline {\mathbb {Q} }}$, וכן ${\frac {\alpha }{\beta }}\in {\overline {\mathbb {Q} }}$ כאשר $\beta \neq 0$.

שלם אלגברי

מספר מרוכב נקרא שלם אלגברי אם הוא שורש של פולינום מתוקן בעל מקדמים שלמים.

נסמן את קבוצת השלמים האלגבריים ${\overline {\mathbb {Z} }}$.

תכונות

• סכום/מכפלת שלמים אלגבריים הוא/היא שלם אלגברי.
• נגדי של שלם אלגברי הוא שלם אלגברי.

הוכחה

• בדומה לסכום ומכפלת מספרים אלגבריים, כמסקנה מתוצאות המשפט היסודי של הפולינומים הסימטריים.
• מתקיים כי $-1\in {\overline {\mathbb {Z} }}$. אזי לכל $\alpha \in {\overline {\mathbb {Z} }}$ מתקיים $-\alpha \in {\overline {\mathbb {Z} }}$ כמכפלת שלמים אלגבריים.

$\square$

תוצאות חשובות

משפט. לכל $\alpha \in {\overline {\mathbb {Q} }}$ קיים $m\in \mathbb {Z}$ עבורו $m\alpha \in {\overline {\mathbb {Z} }}$.
הוכחה. יהי $\alpha \in {\overline {\mathbb {Q} }}$. אזי קיים פולינום

${\begin{aligned}A(z)&=\sum _{k\,=\,0}^{n}a_{k}z^{k}\in \mathbb {Z} [z]:A(\alpha )=0\\(a_{n})^{n-1}A(z)&=\sum _{k\,=\,0}^{n}{\color {blue}a_{k}(a_{n})^{n-1-k}}({\color {red}a_{n}z})^{k}=\sum _{k\,=\,0}^{n}{\color {blue}b_{k}}({\color {red}a_{n}z})^{k}\in \mathbb {Z} [z]\end{aligned}}$

ומתקיים כי $b_{n}=a_{n}(a_{n})^{n-1-n}=1$.

$\square$

משפט. אם $\alpha \in \mathbb {Q}$ שלם אלגברי אזי $\alpha \in \mathbb {Z}$.
הוכחה. יהי $\alpha ={\tfrac {p}{q}}$ שלם אלגברי, כאשר $p\in \mathbb {Z} ,q\in \mathbb {N}$ וכן $\gcd\{p,q\}=1$.
אזי קיים פולינום מתוקן $A\in \mathbb {Z} [z]$ עבורו

${\begin{aligned}A\!\left({\tfrac {p}{q}}\right)=a_{0}+a_{1}\!\left({\tfrac {p}{q}}\right)+\cdots +a_{n-1}\left({\tfrac {p}{q}}\right)^{n-1}\!+\left({\tfrac {p}{q}}\right)^{n}\!&=0\\[6pt](-a_{0}){\color {red}q^{n}}+(-a_{1}p){\color {red}q^{n-1}}+\cdots +(-a_{n-1}p^{n-1}){\color {red}q}&=p^{n}\end{aligned}}$

לכן $q$ מחלק את $p^{n}$. אך מן הנתון $\gcd\{p,q\}=1$ מתקיים כי $q=1$.
לכן $\alpha =p\in \mathbb {Z}$.

$\square$