הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/גבולות, סדרות ורציפות/סדרות/לכל סדרה קיימת תת-סדרה מונוטונית

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי

משפט: לכל סדרה, קיימת תת-סדרה מונוטונית.

הוכחה: נגדיר "זעירון" כאבר בסדרה שאחריו אין אבר קטן ממנו. יתכנו שני מקרים:

ייתכן שקיימים בסדרה אינסוף זעירונים. אם כך קיבלנו תת-סדרה אינסופית מונוטונית עולה. (אחרי הזעירון הראשון יבוא הזעירון השני, שבהכרח, לפי הגדרת הזעירון, גדול ממנו. אחריהם בא השלישי, שגדול מהם, וכן הלאה)

ייתכן שקיים בסדרה מספר סופי של זעירונים. נתבונן באברים שאחרי הזעירון האחרון. כל האברים ממנו והלאה כבר אינם זעירונים. האבר שאחרי הזעירון האחרון יהיה האבר הראשון בסדרה המונוטונית שניצור. בהכרח יש אבר קטן ממנו, שהרי הוא אינו זעירון. האבר הקטן ממנו יהיה האבר השני בסדרה המונוטנית. גם אחרי האבר השני קיים אבר קטן ממנו, וכן הלאה. נקבל תת-סדרה מונוטונית יורדת אינסופית.

בשני המקרים, הראנו את קיומה של תת-סדרה מונוטונית לסדרה, ובכך הושלמה ההוכחה. מ.ש.ל.