הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/גבולות, סדרות ורציפות/סדרות/הקשר בין התכנסות סדרה ותת-הסדרות שלה

משפט

תהי $\{a_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ סדרה. $\lim _{n\to \infty }a_{n}=L$ אם ורק אם כל תת־סדרה של $\{a_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ מתכנסת ל־$L$ .

הוכחה

נניח כי $\lim _{n\to \infty }a_{n}=L$ . אזי לכל $\varepsilon >0$ קיים $N\in \mathbb {N}$ כך שלכל $n>N$ מתקיים $|a_{n}-L|<\varepsilon$ .

ניקח תת־סדרה שרירותית $\{a_{n_{k}}\}_{k=1}^{\infty }$ ונראה כי היא מתכנסת ל־$L$ . מתקיים $n_{k}\geq k$ (הוכחה לכך מובאת בסוף העמוד), אזי עבור $k>N$ מתקיים כי $n_{k}>N$ ולכן נקבל כי $|a_{n_{k}}-L|<\varepsilon$ .

לכן $\lim _{k\to \infty }a_{n_{k}}=L$ .

$\blacksquare$

כדי להוכיח את הכיוון ההפוך, נשים לב כי $\{a_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ היא תת־סדרה של עצמה המתכנסת ל־$L$ ולכן זה טריוויאלי שמתקיים $\lim _{n\to \infty }a_{n}=L$ .

$\blacksquare$

למת עזר

תהי $\{a_{n_{k}}\}_{k=1}^{\infty }$ תת־סדרה של $\{a_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ . אזי $n_{k}\geq k$ לכל $k\in \mathbb {N}$ .

הוכחה

נוכיח באינדוקציה. בבירור $n_{1}\geq 1$ .

נניח כי $n_{k-1}\geq k-1$ ונוכיח כי $n_{k}\geq k$ .

נשים לב כי $\{n_{k}\}$ סדרה מונוטונית עולה ממש (בבניית תת־סדרה, איננו לוקחים אברים מהסדרה המקורית בסדר הפוך לסדר בו הופיעו ואיננו לוקחים אבר כלשהו פעמיים), לכן $n_{k}>n_{k-1}\geq k-1$ .

כלומר $n_{k}>k-1$ ולכן $n_{k}\geq k$ .

$\blacksquare$