הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/גבולות, סדרות ורציפות/רציפות/משפט קנטור לרציפות במידה שווה

משפט

אם $f$ פונקציה רציפה בקטע הסגור $[a,b]$ , אזי היא רציפה במידה שווה בקטע זה.

הוכחה

נציג כאן הוכחה המתבססת על ההגדרה הסדרתית של רציפות: פונקציה $f$ היא רציפה בנקודה $x_{0}$ אם ורק אם לכל סדרה $a_{n}\to x_{0}$ מתקיים $f(a_{n})\to f(x_{0})$ . כלומר, תמונות אברי הסדרה שואפים לתמונת גבול הסדרה.

תהי $f(x)$ פונקציה רציפה בקטע הסגור $[a,b]$ . נניח בשלילה כי היא אינה רציפה במידה שווה בקטע זה, אז קיים $\varepsilon _{0}$ כך שלכל $n\in \mathbb {N}$ קיימות שתי נקודות $x_{n},y_{n}\in [a,b]$ עבורן $|x_{n}-y_{n}|<{\frac {1}{n}}$ , אבל ${\bigl |}f(x_{n})-f(y_{n}){\bigr |}\geq \varepsilon _{0}$ .

נביט כעת בסדרה $\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ . כל אברי הסדרה שייכים לקטע $[a,b]$ , כלומר זוהי סדרה חסומה. על־פי משפט בולצאנו־ויירשטראס, כל סדרה חסומה מכילה תת־סדרה המתכנסת לגבול סופי. מסגירות הקטע נובע שגבול הסדרה נמצא בתוכו, כלומר $x_{n_{k}}\to x_{0}\in [a,b]$ .

כעת נוכיח כי $y_{n_{k}}\to x_{0}$ , כלומר אם אנו לוקחים מהסדרה השניה תת־סדרה שלאבריה אותם האינדקסים כמו לתת הסדרה הראשונה, גם היא תתכנס לאותו גבול.

יהי $\varepsilon >0$ . עלינו למצוא $K>0$ כך שלכל $k>K$ יתקיים ${\bigl |}y_{n_{k}}-x_{0}{\bigr |}<\varepsilon$ .

ראשית נשים לב כי מהתכנסות $x_{n_{k}}$ נובע שקיים $K_{1}$ כך שלכל $k>K_{1}$ מתקיים $|x_{n_{k}}-x_{0}|<{\frac {\varepsilon }{2}}$ . קיים גם $N$ טבעי גדול דיו כך שיתקיים ${\frac {1}{n}}<{\frac {\varepsilon }{2}}$ לכל $n>N$ , וקיים $K_{2}$ כך שלכל $k>K_{2}$ מתקיים $n_{k}>N$ (כלומר, החל ממקום מסוים בתת־הסדרה, האינדקסים של מיקום אברי תת־הסדרה בתוך הסדרה המקורית עוברים את המספר $N$).

נבחר $K=\max\{K_{1},K_{2}\}$ ואז לכל $k>K$ יתקיים

$${\bigl |}y_{n_{k}}-x_{0}{\bigr |}\leq {\bigl |}y_{n_{k}}-x_{n_{k}}{\bigr |}+{\bigl |}x_{n_{k}}-x_{0}{\bigr |}<{\frac {1}{n_{k}}}+{\frac {\varepsilon }{2}}<{\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{2}}=\varepsilon$$

המעבר הראשון הוא אי־שוויון המשולש. המעבר השני נובע מהתכנסות $x_{n_{k}}$ ומהתכונה שעל פיה בנינו את הסדרות $x_{n},y_{n}$ . המעבר השלישי נובע מבחירת $K$ גדול דיו.

הראנו כי $y_{n_{k}}\to x_{0}$ . כעת מרציפות $f$ נובע $f(x_{n_{k}})\to f(x_{0}),f(y_{n_{k}})\to f(x_{0})$ . מאריתמטיקה של גבולות נקבל $f(x_{n_{k}})-f(y_{n_{k}})\to 0$ , וזו סתירה לכך שמתקיים ${\bigl |}f(x_{n})-f(y_{n}){\bigr |}\geq \varepsilon _{0}$ לכל אברי הסדרות. לכן ההנחה שהפונקציה אינה רציפה במידה שווה איננה נכונה.