הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/גבולות, סדרות ורציפות/רציפות/המשפט הראשון של ויירשטראס

משפט

תהי $f$ פונקציה רציפה בקטע סגור $[a,b]$ . אזי היא חסומה בקטע זה.

הוכחה באמצעות משפט בולצאנו-ויירשטראס

נניח בשלילה וללא הגבלת הכלליות כי $f$ איננה חסומה מלעיל בקטע $[a,b]$ . לפיכך, לכל $n$ קיימת נקודה $x_{n}\in [a,b]$ עבורה $f(x_{n})>n$ .

הסדרה $x_{n}$ מוכלת בקטע הסגור $[a,b]$ ולכן היא חסומה בו.

על-פי משפט בולצאנו-ויירשטראס, לסדרה שבנינו קיימת תת־סדרה מתכנסת $x_{n_{k}}$ שגבולה $\lim _{k\to \infty }x_{n_{k}}=x_{0}\in [a,b]$ .

$f$ רציפה ומתקבל $\lim _{k\to \infty }f(x_{n_{k}})=f(x_{0})$ .

מאידך גיסא $f(x_{n_{k}})\geq n_{k}$ , כלומר $f$ חסומה מלמטה ע"י סדרה ששואפת לאינסוף ולכן $\lim _{k\to \infty }f(x_{n_{k}})=\infty$ . סתירה.

$\blacksquare$

הוכחה באמצעות משפט קנטור

על־פי משפט קנטור לרציפות במידה שווה, $f$ רציפה במידה שווה בקטע $[a,b]$ .

כלומר לכל $\varepsilon >0$ קיים $\delta >0$ כך שלכל $x,y\in [a,b]$ המקיימים $|x-y|<\delta$ מתקיים ${\bigl |}f(x)-f(y){\bigr |}<\varepsilon$ .

נחלק את הקטע $[a,b]$ ל־$n$ קטעים שווים שאורכם ${\frac {b-a}{n}}$ , נדרוש שאורך כל קטע הנ"ל יהיה קטן מ־$\delta$ . כלומר ${\frac {b-a}{\delta }}<n\iff {\frac {b-a}{n}}<\delta$ .

בכל קטע נבחר נקודה $x_{k}$ אמצע הקטע (כאשר חלוקת הקטעים היא $k=1,\ldots ,n$). יהי $x\in k$ . כיון שאורך הקטע $k<\delta$ , לפי הרציפות במידה שווה נסיק כי:

מתקיים $|x-x_{k}|<\delta$ ולכן גם $f(x_{k})-\varepsilon <f(x)<f(x_{k})+\varepsilon \iff {\Big |}f(x)-f(x_{k}){\Big |}<\varepsilon$ לכל $x\in k$ .

נבחר $m=\min {\Big \{}f(x_{1})-\varepsilon ,\ldots ,f(x_{n})-\varepsilon {\Big \}}\ ,\ M=\max {\Big \{}f(x_{1})+\varepsilon ,\ldots ,f(x_{n})+\varepsilon {\Big \}}$

לכן נקבל $m<f(x)<M$ לכל $x\in [a,b]$ .

$\blacksquare$