הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/גבולות, סדרות ורציפות/סדרות/הלמה של קנטור

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
משפט

תהיינה שתי סדרות עבורן . אם מתקיים אזי שתי הסדרות מתכנסות ומתקיים .

ניסוח שקול:

תהי סדרת קטעים סגורים, כך שמתקיים . אם מתקיים אז קיימת נקודה יחידה המשותפת לכל הקטעים.

הוכחה

נוכיח בניסוח הסדרתי.

סדרה מונוטונית עולה ולכן חסומה מלרע ע"י . בכל אופן יש להוכיח כי הסדרה חסומה מלעיל על־ידי כל שאר אברי (לפי הקשר בין הסדרות).

סדרה מונוטונית יורדת ולכן חסומה מלעיל ע"י . בכל אופן יש להוכיח כי הסדרה חסומה מלרע על־ידי כל שאר אברי (לפי הקשר בין הסדרות).

אזי שתי הסדרות הן מונוטוניות וחסומות ולכן מתכנסות. ניתן להשתמש באריתמטיקה של גבולות באופן הבא:

לכן .