הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/גבולות, סדרות ורציפות/גבולות/מכפלה אינסופית

משפט

$\lim _{x\to a}f(x)=L\ ,\ \lim _{x\to a}g(x)=\infty$

• אם $L>0$ אז $\lim _{x\to a}{\Big [}f(x)\cdot g(x){\Big ]}=\infty$
• אם $L<0$ אז $\lim _{x\to a}{\Big [}f(x)\cdot g(x){\Big ]}=-\infty$
• אם $L=\infty$ אז $\lim _{x\to a}{\Big [}f(x)\cdot g(x){\Big ]}=\infty$

הוכחה

• $L>0$

מספיק להראות כי לכל $M>0$ קיים $\delta >0$ כך שלכל $0<|x-a|<\delta$ מתקיים $f(x)\cdot g(x)>M$ .

קיים $\delta _{1}>0$ כך שלכל $0<|x-a|<\delta _{1}$ מתקיים $f(x)>0$ , כלומר $0<\varepsilon <f(x)<L+\varepsilon$ . אזי $f(x)$ חיובית ומוגבלת לסביבה מנוקבת של $a$ .

לכל $M>0$ קיים $\delta _{2}>0$ כך שלכל $0<|x-a|<\delta _{2}$ מתקיים $g(x)>{\frac {M}{\varepsilon }}$ .

נבחר $\delta =\min\{\delta _{1},\delta _{2}\}$ . לפיכך,

$$f(x)\cdot g(x)\ {\color {red}>}\ \varepsilon \cdot {\frac {M}{\varepsilon }}=M$$

$\blacksquare$

• $L<0$

מספיק להראות כי לכל $M<0$ קיים $\delta >0$ כך שלכל $0<|x-a|<\delta$ מתקיים $f(x)\cdot g(x)<M$ .

קיים $\delta _{1}>0$ כך שלכל $0<|x-a|<\delta _{1}$ מתקיים $f(x)<0$ , כלומר $L-\varepsilon <f(x)<-\varepsilon <0$ . אזי $f(x)$ שלילית ומוגבלת לסביבה מנוקבת של $a$ .

לכל $M<0$ קיים $\delta _{2}>0$ כך שלכל $0<|x-a|<\delta _{2}$ מתקיים $g(x)>-{\frac {M}{\varepsilon }}$ .

נבחר $\delta =\min\{\delta _{1},\delta _{2}\}$ . לפיכך,

$$f(x)\cdot g(x)\ {\color {red}<}\ (-\varepsilon )\cdot \left(-{\frac {M}{\varepsilon }}\right)=M$$

$\blacksquare$

• $L=\infty$

יש להראות כי לכל $M$ קיים $\delta >0$ כך שלכל $0<|x-a|<\delta$ מתקיים $f(x)\cdot g(x)>M$ .

לכל $N$ קיים $\delta _{1}>0$ כך שלכל $0<|x-a|<\delta _{1}$ מתקיים $f(x)>N$ .

לכל $M$ קיים $\delta _{2}>0$ כך שלכל $0<|x-a|<\delta _{2}$ מתקיים $g(x)>{\frac {M}{N}}$ כאשר $N\neq 0$ .

נבחר $\delta =\min\{\delta _{1},\delta _{2}\}$ . לפיכך,

$$f(x)\cdot g(x)\ {\color {red}>}\ N\cdot {\frac {M}{N}}=M$$

$\blacksquare$