הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/גבולות, סדרות ורציפות/גבולות/מונוטוניות גוררת גבול באינסוף במובן הרחב

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
משפט

אם היא פונקציה מונוטונית עולה, אז יש לה גבול (סופי או אינסופי).

הערה: המשפט נכון באופן מקביל עבור פונקציה מונוטונית יורדת, וכן עבור סדרות.

הוכחה

נחלק לשני מקרים:

  • אינה חסומה מלעיל. כלומר, לכל קיים כך ש- . הפונקציה מונוטונית עולה ולכן לכל מתקיים .
כלומר לכל קיים כך שלכל מתקיים . זוהי ההגדרה של .