תורת הבקרה/מערכת מסדר שתיים

מתוך ויקיספר, אוסף ספרי הלימוד והמדריכים החופשי.

הדף נמצא בשלבי עבודה
דף זה נמצא כעת בשלבי עריכה. הנכם מתבקשים שלא לערוך אותו בטרם תוסר הודעה זו.
במקרה שדף זה לא נערך במשך שבוע או יותר, רשאי כל משתמש להסיר הודעה זו.

R - כניסה; C - יציאה.

למערכת מסדר שני, כלומר n=2, יש שני קטבים, ונהוג להציג את התמסורת בצורה:

$\ G(s)=\frac{As+B}{s^2+2\zeta\omega_ns+\omega_n^2}$

כאשר ζ היא ריסון המערכת ו-ω_n היא התדירות הטבעית, אך על כך בהמשך^[1].

קטבי המערכת:

$\ s_{1,2}= -\zeta\omega_n\pm \sqrt{\zeta^2\omega_n^2-\omega_n^2}= -\omega_n\left( \zeta\pm \sqrt{\zeta^2-1} \right)$

התקבל איפוא שהפרמטר ζ משפיע על מיקום קטבי המערכת (למעשה זאת הסיבה לכך שנבחרה צורת הסימון הזו). נבחין בין כמה מקרים:

:
- במקרה זה, שני השורשים הם ממשיים שליליים.
- עבור $\ \zeta^2 \gg 1$ נקבל:
$\ s_{1,2}\approx -\omega_n \left(\zeta\pm\sqrt{\zeta^2}\right)= 0,-2\zeta\omega_n$
:
- קוטב ממשי כפול: $\ s_{1,2}=-\omega_n$ .
:
- קטבים מרוכבים (יכולים להיות קטבים צמודים בלבד).
:
- הקטבים על הציר המדומה: $\ s_{1,2}=\pm j\omega_n$ .

לכל מקרה ומקרה השפעה שונה של המערכת לתגובה חיצונית מבחינת התייצבות ודעיכת תופעות המעבר. לכן הפרמטר ζ נקרא ריסון.

כדאי לדעת:

באופן מעשי לא ניתקל בערך ריסון שלילי מכיוון שמשמעותו של ערך שלילי היא הפוכה מריסון: התבדרות (כאשר ζ<0 הקטבים יתקבלו בחצי המישור הימני - מערכת מתבדרת).

[עריכה] קטבים מרוכבים

נעסוק במקרה $\ 0<\zeta<1$ . לשם הצגת השורשים בצורה נוחה על המישור המרוכב, נשנה את הביטוי עבור הקטבים:

$\ s_{1,2}= -\omega_n\left( \zeta\pm\sqrt{\zeta^2-1} \right)= -\omega_n\left( \zeta\pm j\sqrt{1-\zeta^2} \right)$

כך שמתקבל:

$\ \mbox{Re}(s_{1,2})=-\omega_n\zeta\ , \quad\mbox{Im}(s_{1,2})=\pm\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}$

והגודל של כל הקטבים הללו הינו:

$\ |s_{1,2}|= \sqrt{\omega_n^2\zeta^2+\omega_n^2(1-\zeta^2)}= \omega_n$

כלומר כל הקטבים נמצאים על חצי מעגל ברדיוס ω_n. לכן תדירות זו נקראת התדירות הטבעית (natural frequency). מאותה סיבה, אם נגדיל את ω_n בעוד ש-ζ יישאר קבוע, הקטבים יתרחקו מן הראשית על אותה קרן.

נהוג לסמן:

החלק הממשי:

$\ \sigma=\zeta\omega_n$

פאזה:

$\ \tan\phi=-{\zeta\over\sqrt{1-\zeta^2}}$

את התדירות המרוסנת (dumped frequency):

$\ \omega_d=\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}$

[עריכה] תגובה לכניסת מדרגה

$\ r(t)=u(t)\ \Rightarrow\ R(s)={1\over s}\ \Rightarrow\ C(s)=R(s)G(s)={G(s)\over s}= \frac{As+B}{s\left(s^2+2\zeta\omega_ns+\omega_n^2\right)}$

כאשר נבצע התמרת לפלס חזרה למישור הזמן, נקבל:

$\ c(t) = u(t) \cdot \left[\tilde A +\tilde B e^{-\zeta\omega_nt}\cos\left(\omega_nt\sqrt{1-\zeta^2}+\phi \right)\right]$

$\ = u(t) \cdot \left\{ \tilde A +\tilde Be^{-\sigma t}\left[ \cos(\omega_dt)+{\sigma\over\omega_d}\sin(\omega_dt)\right]\right\}$

כאשר: $\ \tan\phi=-{\zeta\over\sqrt{1-\zeta^2}}$

כלומר התגובה היא סינוסואידלית דועכת מעריכית, ה"רוכבת" על גבי קבוע $\ \tilde A = {B\over\omega_n^2}$ ^[2], וככל ש-σ גדול יותר (ערך ממשי שלילי יותר של הקוטב), הדעיכה מהירה יותר.

[עריכה] תגובת יתר (overshoot)

ה-overshoot הוא כינוי ל"קפיצה" הראשונה של התגובה מעל הערך של תגובת המצב המתמיד(הערך הקבוע שסביבות דועכת הסינוסואידה). ה-overshoot מסומן כ-M_p (קיצור של peak magnitude) ונמדד באחוזים מעל תגובת המצב המתמיד. קוארדינת הזמן השייכת ל-M_p מסומנת בתור t_p, ומוצאים אותה על ידי גזירת תגובת המערכת במישור הזמן והשוואה לאפס (מציאת נקודת קיצון). מהביטוי הכללי לתגובת המערכת רואים כי הנגזרת תתאפס עבור:

$\ t_n={\pi n\over\omega_d},\ n=0,1,2,...$

וכי זמן המחזור הינו קבוע ושווה ל:

$\ T_d={2\pi\over\omega_d}$

לכן תגובת היתר מקבלת את הצורה:

$\ M_p= e^{-\zeta\omega_n t_p}=\exp{\left(-{\pi\zeta\over\sqrt{1-\zeta^2}}\right)}\ ,\qquad t_p={\pi\over\omega_d}$

כדאי לדעת:

ζ מכתיבה את תגובת היתר.

[עריכה] זמן העליה (rise time)

זמן העליה מוגדר מתור הזמן שבו לוקח לתגובה להגיע מ-10% ל-90% של תגובת המצב המתמיד.

כדאי לדעת:

ω_n מכתיבה את מהירות התגובה.

[עריכה] זמן ההתייצבות (setting time)

זמן ההתייצבות מוגדר בתור הזמן שלוקח לתגובה לתגובת היתר להגיע לסטייה של 2% מהמצב המתמיד. חישוב זמן ההתייצבות מתבצע על המעטפת המעריכית, כי לא קיים כלי אנליטי לפתרון מדויק:

$\ \tilde B e^{-\zeta\omega_nt_s}=0.02 \quad\Rightarrow\quad t_s=-{1\over\zeta\omega_n} \ln{0.02\over \tilde B}$

כדאי לדעת:

זמן ההתיצבות תלוי ב-ζ וב-ω_n.

[עריכה] דקרמנט לוגריתמי (Log Decrement)

בעזרת שיטת הדקרמנט הלוגריתמי ניתן למצוא את גודל הריסון מתוך תוצאות ניסוי על ידי חישוב ערכן של שתי מקסימות עוקבות (יחסית למצב המתמיד):

$\ \delta=\ln {c_1\over c_2}= \ln {c(t_p)-c_{ss}\over c(t_p+T_d)-c_{ss}}= \ln {e^{-\sigma t_p}\over e^{-\sigma(t_p+T_d)}}= \sigma T_d$

$\ \quad\Rightarrow\quad \delta={2\pi\zeta\over\sqrt{1-\zeta^2}} \qquad\Rightarrow\qquad \zeta= \sqrt{\delta^2\over 4\pi^2+\delta^2}$

כאשר $\ c_{ss}=\tilde A= {B\over\omega_n^2}$ היא תגובת המצב המתמיד.

[עריכה] מקרה פרטי

עקומי בודה למערכות מסדר שני.

ביטויים מקורבים עבור המקרה הנפוץ

$A=0,\ B=\omega_n^2,\ \tilde A=1,\ \tilde B=-{1\over\sqrt{1-\zeta^2}}$

$\ G(s)=\frac{\omega_n^2}{s^2+2\zeta\omega_ns+\omega_n^2}$

הם במקרה זה:

תגובה לכניסת מדרגה:

$\ c(t) = u(t) \cdot \left\{1 -e^{-\zeta\omega_nt}\left[\cos(\omega_dt)+{\sigma\over\omega_d}\sin(\omega_dt) \right]\right\}$

$\ = u(t) \cdot \left\{1 -{1\over\sqrt{1-\zeta^2}} e^{-\zeta\omega_nt}\left[\cos(\omega_dt+\phi)\right]\right\}$

כאשר: $\ \tan\phi=-{\zeta\over\sqrt{1-\zeta^2}}$
תגובת היתר: עבור מקדמי ריסון קטנים נקבל: $\ M_p\approx 1-{\zeta\over 0.6}$
זמן עלייה: $\ t_r\approx {1+1.1\zeta+1.4\zeta^2\over\omega_n} \approx {0.8+2.5\zeta\over\omega_n} \overbrace{\approx}^{\zeta\approx 0.4} {1.8\over\omega_n}$
זמן התייצבות:
- עבור מעטפת של 1%: $\ t_s\approx {4.6\over\zeta\omega_n}$ .
- עבור מעטפת של 5%: $\ t_s\approx {3\over\zeta\omega_n}$ .

[עריכה] הערות

↑ לעת עתה, $\ \zeta,\omega_n$ הם רק סימונים, ומשמעותם תובהר בהמשך.
↑ תנאי משפט הערך הסופי מתקיימים במקרה זה, ומתקבל: $\ \tilde A= \lim_{t\to\infty} c(t)= \lim_{s\to 0} sC(s) = {B\over\omega_n^2}$ .

[עריכה] קישורים חיצוניים

ערך בוויקיפדיה: ריסון (אנגלית)

סקירה מקיפה על מערכות סדר שני באתר אוניברסיטת באקנל.

[0] לעת עתה, $\ \zeta,\omega_n$ הם רק סימונים, ומשמעותם תובהר בהמשך.

[1] תנאי משפט הערך הסופי מתקיימים במקרה זה, ומתקבל: $\ \tilde A= \lim_{t\to\infty} c(t)= \lim_{s\to 0} sC(s) = {B\over\omega_n^2}$ .

[1]

[2]

תורת הבקרה/מערכת מסדר שתיים

מתוך ויקיספר, אוסף ספרי הלימוד והמדריכים החופשי.

תוכן עניינים

[עריכה] קטבים מרוכבים

[עריכה] תגובה לכניסת מדרגה

[עריכה] תגובת יתר (overshoot)

[עריכה] זמן העליה (rise time)

[עריכה] זמן ההתייצבות (setting time)

[עריכה] דקרמנט לוגריתמי (Log Decrement)

[עריכה] מקרה פרטי

[עריכה] הערות

[עריכה] קישורים חיצוניים

צפיות

כלים אישיים

ניווט

קהילה

חיפוש

תיבת כלים

הדפסה/ייצוא