נוסחאות בגאומטריה

מתוך ויקיספר, אוסף ספרי הלימוד והמדריכים החופשי.

דף זה מועמד לאיחוד ערך זה דן בנושא של הדף [[:משפטים בגאומטריה]] וככל הנראה מוסיף עליו מידע. על כן יש לאחד את שני הדפים. (דיון)

משולשים
1.	אם צלע אחת גדולה מצלע שנייה אז הזווית שמול הצלע הקטנה קטנה מהזווית שמול הצלע הגדולה ולהיפך.
2.	סכום שתי צלעות גדול מצלע שלישית.
3.	כל צלע במשולש גדולה מהפרש שתי הצלעות האחרות.
4.	סכום הזויות במשולש 180.
5.	זווית חיצונית למשולש שווה לסכום שתי הזויות הפנימיות שאינן צמודות לה.

חפיפה
6.	אם בשני משולשים שוות בהתאמה שתי צלעות והזווית שכלואה ביניהן המשולשים חופפים.
7.	אם בשני משולשים שוות בהתאמה שתי זוויות והצלע הכלואה ביניהן המשולשים חופפים.
8.	אם בשני משולשים שוות בהתאמה שתי צלעות והזווית שמול הצלע הגדולה מביניהן המשולשים חופפים.
9.	במשולשים חופפים מול צלעות שוות זוויות שוות.
10.	במשולשים חופפים מול זוויות שוות צלעות שוות.

משולשים שווי שוקיים
11.	זוויות בסיס במשולש שווה שוקיים תמיד שוות.
12.	אם במשולש חוצה זווית מתלכד עם הגובה ותיכון המשולש הוא שווה שוקיים.
13.	במשולש חוצה זווית הראש הוא גם גובה לבסיס.
14.	מול זוויות שוות במשולש צלעות שוות.
15.	במשולש שווה שוקיים מרכז הבסיס נימצא במרחקים שווים מהשוקיים.

משולשים ישרי זווית
16.	במשולש ישר זווית שזוויותיו החדות הן 30 ו60 הניצב שמול ה30 שווה למחצית היתר.
17.	אם במשולש אחד הניצבים שווה למחצית היתר אז הזווית שמול הניצב שווה 30.
18.	במשולש ישר זווית התיכון ליתר שווה למחצית היתר.
19.	משולש שבו אחד התיכונים שווה למחצית הצלע אותה הוא חוצה, הוא משולש ישר זווית.
20.	הניצב במשולש ישר זווית הוא הממוצע הגיאומטרי של היתר והיטלו של ניצב זה על היתר.
21.	אם הגובה לאחת הצלעות במשולש הוא הממוצע הגיאומטרי של היטלי שתי הצלעות האחרות על צלע זאת אז המשולש ישר זווית.

קטע אמצעים
22.	קטע אמצעים במשולש מקביל לצלע השלישית.
23.	קטע אמצעים במשולש שווה למחצית הצלע השלישית.
24.	קטע במשולש היוצא מאמצע צלע אחת ומקביל לצלע השלישית חוצה את הצלע השנייה.
25.	קטע המחבר שתי צלעות במשולש, מקביל לצלע השלישית ושווה למחציתהּ הוא קטע אמצעים.
26.	קטע אמצעים בטרפז מקביל לבסיסים.
27.	קטע אמצעים בטרפז שווה למחצית סכום הבסיסים.
28.	האלכסון בטרפז שווה שוקיים גדול מקטע האמצעים.
29.	קטע בטרפז היוצא מאמצע שוק אחת ומקביל לבסיסים חוצה את הצלע השנייה.

מרובעים
30.	האלכסון הראשי בדלתון הוא חוצה זוויות הראש.
31.	האלכסון הראשי בדלתון הוא מאונך לאלכסון המשני.
32.	האלכסון הראשי בדלתון הוא תיכון לאלכסון המשני.
33.	סכום הזויות במרובע 360.
34.	במקבילית כל זוג זוויות נגדיות שוות.
35.	במקבילית האלכסונים חוצים זה את זה.
36.	במקבילית כל זוג צלעות נגדיות שוות.
37.	במקבילית כל זוג זוויות סמוכות סכומן 180.
38.	אם במרובע כל זוג זווית נגדיות שוות המרובע הוא מקבילית.
39.	אם במרובע כל זוג צלעות נגדיות שוות המרובע הוא מקבילית.
40.	אם במרובע האלכסונים חוצים זה את זה המרובע הוא מקבילית.
41.	אם במרובע קיים זוג אחד של זוויות נגדיות, מקבילות ושוות המרובע הוא מקבילית.
42.	במלבן האלכסונים שווים.
43.	מקבילית שבה האלכסונים שווים זה לזה היא מלבן.
44.	אלכסוני המעוין חוצים את זוויות המעוין.
45.	אלכסוני המעוין מאונכים זה לזה.
46.	מקבילית שבה האלכסונים חוצים זה את זה היא מעוין.
47.	זוויות הבסיס בטרפז שווה שוקיים תמיד שוות.
48.	בטרפז שווה שוקיים האלכסונים שווים.

מעגלים
49.	למיתרים שווים מתאימות קשתות שוות ולהיפך.
50.	שלוש נקודות הנמצאות על מעגל אחד אינן יכולות להימצא על ישר אחד.
51.	שלוש נקודות שאינן על ישר אחד קובעות מעגל אחד ויחיד.
52.	לקשתות שוות מתאימות זוויות מרכזיות שוות.
53.	לזוויות מרכזיות שוות מתאימות קשתות שוות.
54.	למיתרים שווים מתאימות זוויות מרכזיות שוות.
55.	לזוויות מרכזיות שוות מתאימים מיתרים שווים.
56.	אנך מהמרכז למיתר במעגל חוצה את המיתר, חוצה את הזווית המרכזית המתאימה ואת הקשת המתאימה.
57.	קטע ממרכז המעגל החוצה את המיתר מאונך למיתר.
58.	אנך מאמצע המיתר עובר דרך מרכז המעגל.
59.	מיתרים שווים במעגל נמצאים במרחקים שווים מהמרכז.
60.	מיתרים במעגל הנמצאים במרחקים שווים מהמרכז שווים זה לזה.
61.	אם במעגל, מיתר אחד גדול ממיתר שני, אז מרחקו מהמרכז של המיתר הראשון קטן ממרחקו של השני.
62.	הזווית המרכזית במעגל גדולה פי 2 מכל זווית היקפית הנשענת על אותה קשת.
63.	כל הזוויות ההיקפיות הנשענות על אותה קשת שוות זו לזו.
64.	זווית היקפית הנשענת על קוטר שווה ל90 מעלות.
65.	זוויות היקפיות שוות- נשענות על מיתרים (קשתות) שווים.
66.	על מיתרים (קשתות) שווים נשענות זוויות היקפיות שוות או שסכומן 180 מעלות.
67.	זווית פנימית במעגל שווה לסכום שתי הזוויות ההיקפיות הנשענות על הקשתות הכלואות בין שוקי הזווית והמשכיהן.
68.	זווית פנימית שווה למחצית סכום הקשתות שנשענות על שוקי הזווית ועל המשכיהן.
69.	זווית חיצונית למעגל שווה להיפרש שבין שתי הזוויות ההיקפיות הנשענות על אותה קשת.
70.	הזווית בין משיק לרדיוס הנפגשים בנקודת ההשקה שווה ל90 מעלות.
71.	ישר המאונך לרדיוס בקצהו משיק למעגל.
72.	שני משיקים למעגל היוצאים מאותה נקודה שווים זה לזה.
73.	הזווית בין משיק למיתר הנפגשים בנקודת ההשקה שווה לזווית ההיקפית הנשענת על המיתר מצידו השני.
74.	נקודת המגע של שני מעגלים משיקים נמצאת על קטע המרכזים או על המשכו.
75.	מרכז המעגל החוסם את המשולש הוא מפגש האנכים האמצעיים לצלעות.
76.	מרכז המעגל החסום במשולש הוא מפגש חוצי הזווית.
77.	כל זוג זוויות נגדיות במרובע חסום במעגל סכומן 180 מעלות.
78.	במרובע חוסם מעגל סכום זוג אחד של צלעות נגדיות שווה לסכום הזוג השני.
79.	מרובע שבו סכום זוג צלעות נגדיות שווה לסכום הזוג השני הוא מרובע חוסם מעגל.
80.	אם מחלקים מעגל לn קשתות שוות ומחברים את נקודות החלוקה בזו אחר זו מקבלים מצולע משוכלל בעל n קשתות.
81.	כל מצולע משוכלל אפשר לחסום במעגל.
82.	בכל מצולע משוכלל אפשר לחסום מעגל.
83.	שני מיתרים, הנחתכים במעגל, מחלקים זה את זה כך שמכפלת קטעי מיתר אחד שווה למכפלת קטעי המיתר השני.
84.	אם למעגל יוצאים שני חותכים מאותה נקודה אז מכפלת חותך בחלקו החיצוני שווה למכפלת החותך בחלקו החיצוני.
85.	אם מנקודה מחוץ למעגל יוצאים חותך ומשיק למעגל אז מכפלת החותך בחלקו החיצונה זהו גודל קבוע השווה לריבוע המשיק.

שטחים
86.	שטח המלבן שווה למכפלת צלע אחת בצלע שנייה.
87.	שטח מקבילית שווה למכפלת צלע בגובה שלה.
88.	שטח משולש שווה למחצית המכפלה של צלע בגובה שלה.
89.	שטח טרפז שווה למחצית המכפלה של סכום הבסיסים בגובה.
90.	שטחי מעוין, ריבוע ודלתון שווים למחצית מכפלת אלכסוניהם.

פרופורציה
91.	כל שני תיכונים במשולש מחלקים זה את זה לשני קטעים כך שהקטע הקרוב לקודקוד גדול פי שניים מהקטע הקרוב לצלע.
92.	שני ישרים מקבילים החותכים שוקי זווית מקצים עליהן קטעים פרופורציוניים.
93.	שני ישרים המקצים על שוקי הזווית קטעים פרופורציוניים מקבילים זה לזה.
94.	חוצה זווית במשולש מחלק את הצלע שמול הזווית לשני קטעים המתייחסים זה לזה כמו היחס שבין הצלעות הכולאות את הזווית.
95.	קטע המחבר קודקוד במשולש עם הצלע שמולו ומחלק אותה לשני קטעים המתייחסים זה לזה כמו היחס שבין שתי הצלעות האחרות- חוצה את זווית המשולש.
96.	ישר המקביל לצלע של משולש חותך ממנו משולש הדומה לו.

דמיון
97.	אם בשני משולשים קיים יחס שווה בין שני זוגות צלעות מתאימות והזווית שביניהן שווה בהתאמה אז המשולשים דומים.
98.	אם בשני משולשים שוות בהתאמה שתי זוויות המשולשים דומים.
99.	אם בשני משולשים קיים יחס שווה בין שלושת זוגות הצלעות המתאימות אז המשולשים דומים.
100.	אם בשני משולשים קיים יחס שווה בין שני זוגות של צלעות מתאימות והזוויות שמול הצלע הגדולה מהשתיים שוות בהתאמה אז המשולשים דומים.
101.	גבהים מתאימים במשולשים דומים מתייחסים זה לזה כיחס הצלעות המתאימות.
102.	חוצי זוויות מתאימות במשולשים דומים מתייחסים זה לזה כמו יחס הצלעות המתאימות.
103.	תיכונים מתאימים במשולשים דומים מתייחסים זה לזה כיחס הצלעות המתאימות.
104.	הרדיוסים של מעגלים החוסמים משולשים דומים מתייחסים זה לזה כיחס הצלעות המתאימות.
105.	הרדיוסים של מעגלים החסומים במשולשים דומים מתייחסים זה לזה כמו יחס הצלעות המתאימות.
106.	ההיקפים של משולשים דומים מתייחסים זה לזה כמו יחס הצלעות המתאימות.
107.	שטחים של משולשים דומים מתייחסים זה לזה כריבוע היחס שבין הצלעות המתאימות.
108.	הגובה ליתר במשולש ישר זווית מחלק את המשולש לשני משולשים דומים שכל אחד דומה למשולש המקורי.
109.	הגובה ליתר במשולש ישר זווית הוא הממוצע הגיאומטרי של היטלי הניצבים על היתר.

אחר
110.	זוויות קודקודיות תמיד שוות.
111.	אם מנקודה מחוץ לישר יוצאים שני קטעים משופעים שווים אז גם היטליהם שווים וההיפך.
112.	אם היטלו של משופע אחד גדול מהיטלו של משופע שני אז המשופע הראשון גדול מהמשופע השני.
113.	נתונים שני ישרים, _ ו_ הנחתכים ע"י ישר שלישי ונוצר זוג אחד של זוויות מתאימות שוות או זוג אחד של זוויות מתחלפות או זוג אחד של זוויות חד-צדדיות שסכומן 180 אז הישרים מקבילים.
114.	שני גדלים השווים לגודל שלישי שווים ביניהם.
115.	אם מחברים גדלים שווים לגדלים שווים הסכומים שווים.
116.	אם מחסרים גדלים שווים מגדלים שווים מגדלים שווים אז ההפרשים שווים.
117.	אם מחלקים גדלים שווים בגדלים שווים המנות שוות.
118.	אם כופלים גדלים שווים בגדלים שווים המכפלות שוות.
119.	אם שתי זווית במשולש שוות לשתי זוויות במשולש אחר אז הזווית השלישית שווה.
120.	משלימות אותן זוויות ל180.
121.	בתבניות ניתן להציב גודל מסוים במקום גודל השווה לו.
122.	זוויות צמודות סכומן 180.
123.	דרך נקודה הנמצאת מחוץ לישר נתון ניתן להעביר ישר אחד ויחיד המקביל לישר הנתון.
124.	סכום הזויות החיצוניות במצולע 360.
125.	כל נקודה על האנך האמצעי נמצאת במרחקים שווים מקצות הקטע.
126.	כל נקודה הנמצאת במרחקים שווים מקצות הקטע נמצאת על האנך האמצעי.
127.	כל נקודה הנמצאת על חוצה הזווית נמצאת במרחקים שווים משוקי הזווית.
128.	כל נקודה הנמצאת על במרחקים שווים משוקי הזווית נמצאת על חוצה הזווית.
129.	שלושת התיכונים במשולש נפגשים בנקודה אחת.
130.	שלושת הגבהים במשולש נפגשים בנקודה אחת.
131.	שטח ריבוע שצלעו ניצב אחד של משולש ישר זווית שווה לשטח מלבן שצלעותיו הן היתר וההיטל של ניצב זה על היתר. (משפט אוקלידס)
132.	בכל משולש ישר זווית סכום שטחי הריבועים הבנויים על הניצבים שווה לשטח הריבוע הבנוי על היתר. (משפט פיתגורס)