מתמטיקה תיכונית/מתמטיקה לבגרות/תוכנית הלימודים

מתוך ויקיספר
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

שימו לב:

*מתכונת זו נכונה עד שנת תש"ע, החל משנת תש"ע, חוזרים להוראת הלימוד הישנה ומבטלים את שיטת מבנה הצבירה, כלומר עבור כל יחידת לימוד יהיו שני שאלונים/מבחנים, במקום שלוש.
  • עד שנת תשע"ג אפשר לשפר שאלונים משולבים (006-005, 004-005, 003-002). בתום שנה זו, לא יהיה ניתן לבצע שיפור בציונים ויהיה צורך לגשת מחדש לבחינה משולבת של שני השאלונים החדשים על פי התוכנית.
  • התוכנית אינה משתנה, רק המתכונת ולכן, כל ספרי הלימוד עדין תקיפים ותקינים.
  • פרטים נוספים באגף הבחינות

ספר זה הוא ספר לימוד לבחינת הבגרות במתמטיקה במתכונת החדשה - "מבנה צבירה". הספר מחולק לשלושה חלקים - עבור תלמידי 3,4 ו-5 יחידות לימוד.

שאלון 001[עריכה]

  1. משוואות:
    1. משוואות ממעלה ראשונה ושנייה.
    2. מערכת משוואות: שתי המשוואות ממעלה ראשונה, אחת מהמשוואות היא ממעלה ראשונה והשנייה מהצורה y = ax2 + bx +c , או שתיהן מצורה זו.
    3. הקשר בין פתרון אלגברי והמשמעות הגרפית של הפתרון.
  2. פירוק לגורמים: פירוק על ידי הוצאת גורם משותף.
  3. שינוי נושא בנוסחה: כולל שינוי נושא בנוסחה שיש בה שברים אלגבריים פשוטים.
  4. בעיות מילוליות: בעיות קנייה ומכירה (כולל התייקרויות והוזלות עוקבות באחוזים), בעיות כלליות באחוזים (בעיות אלו מופיעות במאגר משנת תש"ס בעמודים 18-15 תרגילים 17-1).
  5. גרפים "מציאותיים":
    1. קריאת מידע (אינפורמציה) מגרפים המתארים מצבים "מציאותיים".
    2. בניית גרפים "מציאותיים" - מעבר מתיאור מילולי של מצב לתיאור גרפי שלו.
    3. המושגים: עלייה, ירידה, מקסימום ומינימום, שיפוע של ישר.
    4. השוואה איכותית של קצב שינוי.
  6. מושגי יסוד בגיאומטריה אנליטית:
    1. משוואת ישר: מציאת משוואת ישר על פי נקודה עליו ושיפוע נתון, על פי שתי נקודות.
    2. חיתוך והקבלה של ישרים, אמצע קטע, חישוב מרחק בין נקודות בעזרת משפט פיתגורס.
  7. סדרה חשבונית: הגדרה מילולית על פי הפרש קבוע בין איברים עוקבים, הגדרת הסדרה לפי מקום (הנוסחה לאיבר כללי), נוסחת סכום n האיברים הראשונים והשימוש בנוסחאות לחישובים מסוגים שונים, כולל פתרון בעיות מילוליות בסדרות.
  8. טריגונומטריה:
    1. הגדרת הפונקציות הטריגונומטריות: סינוס, קוסינוס, טנגנס .
    2. יישומים במישור: משולשים ישרי זווית ומצולעים המתפרקים למשולשים ישרי זווית-משולש שווה שוקיים, משולש כללי, מלבן, מעוין.
    3. במהלך פתרון הבעיות יידרש שימוש בתכונות הגיאומטריות של המצולעים השונים וכן חישובי שטחים והיקפים, ללא שימוש בפרמטרים.
  9. סטטיסטיקה והסתברות: שכיחות, שכיחות יחסית (כולל באחוזים), תיאור נתונים בטבלת שכיחויות. סידור נתונים בקבוצות ותיאורם הגרפי בצורת היסטוגרם, דיאגרמת עמודות (מקלות) ודיאגרמת עיגול. קריאה וניתוח של דיאגרמות אלה (לדוגמה עמ' 71 תרגיל 5 במאגר). הממוצע וחישובו. חישוב הסתברות של מאורע במרחב סופי כיחס בין מספר התוצאות במאורע למספר התוצאות במרחב. מאורע חד שלבי ודו-שלבי .

שאלון 002[עריכה]

  1. טכניקה אלגברית:
    1. משוואות ומערכות משוואות עם ובלי פרמטר: משוואה ליניארית עם פרמטר יחיד, משוואה עם פרמטר שבה יש פולינום ליניארי ב- x במכנה (כדוגמת השאלות במאגר עמ' 80-79), מערכת משוואות ליניאריות עם פרמטר יחיד. מציאת ערך הפרמטר עבורו יש למשוואה או למערכת משוואות פתרון יחיד, אינסוף פתרונות, אף פתרון.
    2. פתרון מערכת משוואות ממעלה ראשונה ושנייה, כולל מערכת המכילה משוואות מהצורה או ax2 +by2 = c .
    3. מציאת קשר בין פתרון גרפי לפתרון אלגברי של מערכת משוואות (רק פונקציות ממעלה ראשונה ושנייה).
    4. מציאת נקודות חיתוך של ישרים, של ישר ופרבולה ושל שתי פרבולות.
    5. תכונות הפונקציה הריבועית: תחומי חיוביות ושליליות, תחומי עלייה וירידה (כולל קריאת מידע מתוך גרפים). (עמודים 83-81 במאגר).
    6. פירוק לגורמים על ידי הוצאת גורם משותף ועל ידי פירוק של הפרש ריבועים. שימוש בפירוק לגורמים לפישוט/ צמצום שברים אלגבריים פשוטים.
    7. קריאת גרפים של פונקציה ליניארית וריבועית, קריאת גרפים של פונקציות כלשהן (עבור פונקציות שאינן ליניאריות או ריבועיות קריאת הגרף היא מתוך שרטוט בלבד - ללא התבנית, לכשיורחב המאגר).
  2. הרחבת מושג החזקה: חוקי החזקה (במעריכים טבעיים), הרחבת החזקה למעריכים שליליים ולשברים.

משוואות מעריכיות פשוטות שיש בהן בסיס שווה לכל החזקות, או שניתן להגיע לבסיס שווה בצעד אחד. כתיבה מדעית של מספרים, כלומר שימוש בחזקות של 10 לכתיבת מספרים גדולים מאד או קטנים מאד בערכם המוחלט. כפל וחילוק של מספרים הכתובים בכתיב מדעי.

  1. סדרות: הגדרת סדרות על ידי כלל נסיגה (עמודים 104-103 במאגר) .

סדרה גיאומטרית (הנדסית): הגדרה על ידי כלל נסיגה, שימוש בנוסחת האיבר הכללי, שימוש בנוסחת הסכום של n איברים.

  1. בעיות גידול ודעיכה דיסקרטיות: בעיות גידול ודעיכה הניתנות לתיאור כסדרות גיאומטריות (למשל חישובי ריבית דריבית, ירידת ערך, התרבות וכד')

שימו לב! בעת פרסום חוזר זה, בעיות אלה עדיין אינן קיימות במאגר. עם הרחבת המאגר ופרסומו תידרשנה גם בעיות מסוג זה. עד לפרסום המאגר המורחב, הבעיות במאגר הקיים הן בתוקף.

  1. תכנון ליניארי: הגרף של אי-שוויון ליניארי בשני משתנים, מערכת אי-שוויונים ליניארית בשני משתנים ותיאורה הגרפי, פונקצית מטרה וקווי הגובה שלה. תרגום בעיה מילולית למערכת אי-שוויונים ולפונקצית מטרה. בעיות של תכנון ליניארי- קיצון בתחום אפשרי על פי קווי גובה ועל פי בדיקת קדקודים.
  2. טריגונומטריה:
    1. הפונקציות הטריגונומטריות: סינוס, קוסינוס, טנגנס.
    2. יישומים במישור- מצולעים המתפרקים למשולשים ישרי זווית: משולש שווה שוקיים, משולש כללי, מלבן, מעוין, טרפז, מצולע משוכלל, מעגל חוסם ומעגל חסום (עמודים 65 -58

ו- 172-166 במאגר, עם התאמות לרמה של 002).

    1. פתרון בעיות הדורשות שימוש בתכונות הגיאומטריות של המצולעים השונים. חישובים במצולעים של אורכי קטעים, זוויות, היקפים ושטחים. שימוש בנוסחה .
    2. יישומים במרחב: הכרה אינטואיטיבית של מושגים במרחב- ישר ניצב למישור, זווית בין ישר למישור, זווית בין מישורים.
    3. חישוב של אורכי צלעות, זוויות, נפח, שטח פנים ושטח מעטפת בגופים: מנסרה ישרה שבסיסה משולש ישר זווית, משולש שווה שוקיים, משולש שווה צלעות, מלבן (כולל ריבוע), פירמידה ישרה שבסיסה מלבן (כולל ריבוע), משולש שווה שוקיים, משולש שווה צלעות.
  1. סטטיסטיקה, הסתברות והתפלגות נורמלית:

הסתברות של מאורע משלים, של איחוד וחיתוך של מאורעות, של מאורעות זרים, של מאורעות דו או תלת שלביים. חישובים באמצעות דיאגרמת עץ או דיאגרמה אחרת. ממוצע וסטיית תקן, ציוני תקן, התפלגות נורמלית (כולל שימוש בטבלה שלמה של ההתפלגות). (עמודים 152-146 במאגר)

שאלון 003[עריכה]

בעיות מילוליות[עריכה]

  • בעיות תנועה
  • בעיות קנייה ומכירה (כולל התייקרויות והוזלות עוקבות באחוזים)
  • בעיות גיאומטריות:
    • בעיות הנדסיות במישור :
      • שטחים היקפים ריבוע ומלבן + אחוזים
      • שטחים והיקף משולשים (משולש שווה צלעות, ישר זווית) + אחוזים + משפט פיתגורס.
      • שטחים והיקף חלקי מעגל (מעגל, חצי מעגל, או רבע מעגל) + אחוזים
    • בעיות הנדסיות במרחב :
      • נפח ושטח פנים של תיבה + אחוזים.
      • נפח ושטח פנים של גליל + אחוזים .
      • נפח של מנסרה משולשת + אחוזים.

גיאומטריה אנליטית[עריכה]

  • קטע
    • אורך קטע - מרחק בין נקודות.
    • אמצע קטע.
  • ישרים:
    • משוואת ישר על פי שתי נקודות.
    • משוואת ישר על פי שיפוע ונקודה.
    • הקבלה.
    • חיתוך.
    • ניצבות.
  • מעגל:
    • משוואה קנונית
    • משוואת מעגל כללי (xa)2 + (yb)2=R2
    • חיתוך של מעגל וישר
    • חיתוך של שני מעגלים
    • משיק למעגל בנקודה שעל המעגל (כתנאי ניצבות).

התנהגות פונקציות[עריכה]

  • תחום הגדרה
  • חיתוך עם הצירים
  • חיוביות ושליליות
  • התנהגות בסביבת נקודת אי-הגדרה.
  • אסימפטוטה מקבילה לציר y
  • התנהגות פונקציות מהצורה F(x)=\frac{a}{X^n}+b (n זוגי ואי זוגי), כולל קיום אסימפטוטה מקבילה לציר x (לא תידרש אסימפטוטה מקבילה לציר x במקרים אחרים).
  • הקשר בין הגרף של (x)f לבין הגרף של \frac{1}{f(x)}

כאשר f(x) היא פונקציה מהמעלה ראשונה או שנייה.

הערה: שאלה בהתנהגות פונקציות עשויה להופיע כשאלה נפרדת בפרק החשבון הדיפרנציאלי והאינטגראלי או בשילוב עם שאלה בחשבון דיפרנציאלי.

חשבון דיפרנציאלי[עריכה]

מושגי יסוד[עריכה]

  • משיק בנקודה
  • שיפוע של גרף בנקודה
  • הפונקציה הנגזרת
  • מושג אינטואיטיבי של גבול.

חקירת פונקציה[עריכה]

  • גזירות בסיסיות (עבור כלל הפונקציות הקימות.יש לדעת לבצע גזירה על פי גזירות בסיסיות עבור כל הנגזרות המפורטות בפרק) :
    • הנגזרת של פונקציה המוכפלת במספר קבוע : הנגזרת של xk (k שלם או 0). כלומר של (k*f(x))' = k*f'(x).
    • נגזרת של סכום : (f(x)+g(x))' = f(x)'+ g(x)'.
    • נגזרת של הפרש (f(x)-g(x))' = f'(x)-g'(x).
    • נגזרת של מכפלה y' = f'(x)*g(x) + g'(x)*f(x) .
    • נגזרת של פונקציה מורכבת (שלב אחד של כלל השרשרת).
  • פונקציות מיוחדות  :
  • חקירת פונקציה - תחום הגדרה, נקודות קיצון, תחומי עלייה ירידה , חיתוך עם הצירים, התנהגות בסביבת נקודת אי-הגדרה (אסימפטוטות; על פי הפירוט בפונקציות מיוחדות) , שרטוט סקיצה של גרף של פונקציה.
    • חקירה של פונקצית פולינום - נגזרת של פולינום. אין צורך אסי' מקבילה לציר X.
    • חקירה של פונקציה רציונאלית \frac{1}{f(X)}. האסימפטוטה מקבילה לציר X כאשר f(x) היא פונקציה מהמעלה ראשונה או שנייה.
  • חקירה של פונקציה עם שורש \frac{a}{x^k} (K טבעי) -כולל \sqrt(f(x)). אסימפטוטה מקבילה לציר X (b ממשי)
  • משוואת משיק.
  • בעיות ערך קיצון (כולל קיצון בקצות קטע סגור) - ע"פ הפונקציות הנתונות.

הערה: לא יידרש פתרון של אי-שוויון ריבועי לצרכי חישוב תחום ההגדרה.

חשבון אינטגראלי[עריכה]

  • פונקציה קדימה
  • קבוע האינטגרציה
  • מציאת פונקציה לפי נגזרת
  • מציאת פונקציה על פי נקודה על הפונקציה.
  • אינטגרל של פונקציה מורכבת כשהפנימית ליניארית
  • אימות אינטגרלים על ידי גזירה.

אינטגרל מסוים:[עריכה]

  • חישוב אינטגרלים מסוימים
  • חישוב שטח בין גרף הפונקציה לציר x ו/או לציר y
  • שטח בין גרפים של שתי פונקציות
  • שטחים המורכבים משני חלקים (למשל חישוב של שטח בין שתי פונקציות נחתכות ובין ציר ה- x).

האינטגרלים של הפונקציות:[עריכה]

  • פולינום (רב איבר)
  • פונקצית חזקה (ax+b)^n

אינטגרל של פ' רציונלית : \frac{a}{X^n}+b n טבעי, n ≠ 1

  • אינטגרל של פ' שורש \frac{c}{\sqrt(ax+b)}

עבור האינטגרלים הנתונים : סכומים או הפרשים שלהם .

שאלון 004[עריכה]

טכניקה אלגברית[עריכה]

הערות :

  • לא תשאל שאלה נפרדת בנושא של טכניקה אלגברית.
  • שליטה בטכניקה האלגברית הרשומה להלן תידרש לפתרון שאלות בנושאים השייכים לשאלון זה.

ידרשו השימושים הבאים :

  • פירוק לגורמים (כולל נוסחאות הכפל המקוצר במעלה שנייה).
  • פתרון משוואות ומערכת משוואות ממעלה ראשונה ושנייה.
  • פתרון משוואות אי-רציונליות פשוטות העשויות להופיע בחקירת פונקציות ובאינטגרלים (למשל ).
  • אי- שוויונים ליניאריים וריבועיים.
  • אי-שוויון פשוט של מנה של פונקציות ליניאריות. למשל תחום ההגדרה של פונקציות לוגריתמיות עשוי לכלול אי-שוויון מהסוג: .

אלגברה של חזקות[עריכה]

  • חוקי החזקות. חזקה עם מעריך רציונלי.
  • שורשים: הכנסת גורם מתחת לשורש, הוצאת גורם מתוך השורש, ביטול שורש במכנה.
  • פונקציות מעריכיות ותיאורן הגרפי.
  • משוואות מעריכיות (פתרון ללא מחשבון ופתרון עם מחשבון).
  • אי שוויונים מעריכיים פשוטים (אי-שוויונים שמהם ניתן להגיע לצורה a^{f(x)}\ge a^{g(x)}(, a מספר קבוע, ומובילים לכל היותר לאי שוויון ריבועי).

לוגריתמים[עריכה]

  • לוגריתם בבסיס כלשהו.
  • לוגריתם של מכפלה
  • לוגריתמם מנה
  • לוגריתם חזקה
  • לוגריתם שורש.
  • מעבר לוגריתם מבסיס לבסיס.
  • הפונקציות הלוגריתמיות ותיאורן הגרפי.
  • משוואות לוגריתמיות (פתרון ללא מחשבון ופתרון עם מחשבון).
  • אי-שוויונים פשוטים (אי-שוויונים מהם ניתן להגיע לצורה log_af(x) \le log_ag(x) , a מספר קבוע, f ו-g פונקציות פשוטות, למשל: log_4(x^2-3x)>1 , log_0.2(X^2+1)>log_0.2(2x+1),אשר מובילים לכל היותר לאי שוויון ריבועי.

בעיות גידול ודעיכה[עריכה]

  • גידול מעריכי ודעיכה מעריכית, זמן מחצית חיים.

טריגונומטריה[עריכה]

  • הרדיאן כמידת זווית.
  • אורך קשת
  • שטח גזרה.
  • הפונקציות סינוס, קוסינוס וטנגנס, במעגל היחידה, ותיאורן הגרפי.
  • הקשרים בין הפונקציות הטריגונומטריות של זוויות, של זוויות משלימות לזווית ישרה, של זוויות המשלימות לזווית שטוחה.
  • מחזוריות הפונקציות.
  • חישוב ערכי הפונקציות לזוויות מיוחדות.
  • פתרון משוואות מהצורה , \sin ax=b , \cos ax = bפתרון כללי ופתרון בתחום נתון.
  • זהויות (יידרש שימוש בזהויות לפתרון בעיות ומשוואות טריגונומטריות):
    • \tan(x)=  \frac{\sin x}{\cos x}
    • \ sin^2 x + \cos^2 x =1
    • \sin (a\pm b)
    • \cos (a\pm b)
    • \tan (a\pm b)
    • \sin2a
    • \cos2a

פתרון בעיות גיאומטריות[עריכה]

  • פתרון מצולעים המתפרקים למשולשים ישרי זווית.
  • משפט הסינוסים ומשפט הקוסינוסים והשימוש בהם להתרת משולש כללי.
  • נוסחת שטח המשולש S={1\over 2}a*b*\sin y.
  • יישומים במישור ובמרחב הדורשים שימוש במשפטים ובזהויות.
  • חישובים במרחב של: זוויות, אורכים, שטחים (כמו מעטפת או שטח פנים), ונפחים בגופים הישרים: תיבה (כולל קובייה), מנסרה, גליל, פירמידה, חרוט.
  • בפתרון בעיות גיאומטריות במישור ובמרחב (כולל בעיות טריגונומטריות בחשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי) יידרש שימוש בתכונות הגיאומטריות של הצורות והגופים השונים, בזהויות ובפונקציות הטריגונומטריות.
    • בבעיות במרחב יידרש שימוש גם במושגים: ישר ניצב למישור, ישר משופע למישור, זווית בין ישר למישור, זווית בין מישורים.

חשבון דיפרנציאלי[עריכה]

  • נגזרות של: פונקציות פולינום, פונקציות רציונליות, פונקציות חזקה (עם מעריך רציונלי), פונקציות מעריכיות, פונקציות לוגריתמיות, פונקציות טריגונומטריות.
  • נגזרת של סכום, מכפלה, מנה, פונקציה מורכבת (שני שלבים בלבד) של כל הפונקציות השייכות לשאלון זה.
  • שימושי הנגזרת לחישוב משוואת משיק, חקירת פונקציה ושרטוט סקיצה של גרף הפונקציה (החקירה תכלול תחום הגדרה, תחומי עלייה וירידה, נקודות קיצון (מקומי ומוחלט), התנהגות בסביבת נקודת אי-הגדרה, אסימפטוטות מקבילות לצירים (בפונקציות מעריכיות ולוגריתמיות רק עבור : ax, ex, log_e^x, \ln x).
  • בעיות קיצון (מכל הסוגים, כולל קיצון בקצה קטע סגור).

הערות: =[עריכה]

  1. הגיאומטריה הנדרשת לפתרון בעיות בטריגונומטריה ובעיות ערך קיצון בשאלון 004 כוללת את כל הנושאים בגיאומטריה: משולשים, מרובעים, מצולעים, מעגל ודמיון.
  2. בחשבון דיפרנציאלי ניתן לשלב פונקציות מסוגים שונים באותה שאלה. למשל, .

חשבון אינטגרלי[עריכה]

  • אינטגרל לא מסוים
  • פונקציה קדימה
  • קבוע האינטגרציה
  • אינטגרלים מידיים.
  • אינטגרל של סכום וכפל פונקציה בקבוע.
  • אינטגרל של פונקציה מורכבת כאשר הפונקציה הפנימית היא ליניארית.
  • מציאת פונקציה על פי הנגזרת ונקודה על הפונקציה.
  • אימות אינטגרלים על ידי גזירה.
  • האינטגרל המסוים.
  • חישוב שטח בין גרף הפונקציה לציר x (הפונקציה יכולה להיות חיובית, שלילית או לשנות סימן), חישוב שטח בין גרפים של שתי פונקציות, חישוב שטחים מורכבים.

הערה: ידרשו אינטגרלים של הפונקציות הבאות: פולינומים, כאשר r מספר רציונלי (כולל ), פונקציות מעריכיות, פונקציות טריגונומטריות .


שאלון 005[עריכה]

טכניקה אלגברית[עריכה]

פירוק לגורמים: על ידי הוצאת גורם משותף, על פי נוסחאות הכפל המקוצר. פירוק הטרינום (אפשר על ידי פתרון המשוואה הריבועית המתאימה). שימושי הפירוק לגורמים לפעולות חשבון בשברים אלגבריים, לפתרון משוואות ואי-שוויונים. פתרון משוואות ממעלה ראשונה ושנייה עם פרמטרים. מערכת משוואות ליניאריות עם שני משתנים ופרמטר אחד או שניים, הקשר בין ערכי הפרמטר לבין מספר הפתרונות (פתרון יחיד, אינסוף פתרונות, אף פתרון). המשמעות הגרפית של מספר הפתרונות. מערכת משוואות ממעלה שנייה, לכל היותר, עם פרמטרים. לא תידרש חקירת מערכת משוואות ששתיהן ממעלה שנייה (מספר הפתרונות וכד'). משוואות הנפתרות על ידי הצבה (כמו משוואה דו-ריבועית). משוואות אי-רציונליות. אי-שוויונים ממעלה ראשונה. אי שוויונים ממעלה שנייה עם או בלי פרמטר. (לדוגמה יכול להידרש פתרון לשאלה: מהם ערכי הפרמטר עבורם הפונקציה שלילית / חיובית, או מעל/מתחת לישר מסוים). נוסחאות ויאטה (רק בהקשר של סימני השורשים). אי-שוויונים רציונליים ללא פרמטרים – אי שוויונים שמהם ניתן להגיע לאי-שוויונים מהצורה כאשר f(x) ו/אוg(x) הם פולינומים ממעלה שנייה, לכל היותר.

גיאומטריה אוקלידית[עריכה]

חפיפת משולשים (4 משפטים). משפטים והוכחות: תכונות של משולשים, מרובעים, האנך האמצעי וחוצה זווית כמקומות גיאומטריים, תכונות המעגל. משפט פיתגורס. דמיון: פרופורציה בין קטעים. המשפט: שלושה ישרים מקבילים החותכים זווית יוצרים קטעים פרופורציוניים (ללא הוכחה מלאה) חלוקת קטע ביחס נתון, חלוקה פנימית וחלוקה חיצונית. משפט חוצה הזווית. (זווית פנימית וזווית חיצונית). דמיון מצולעים (הגדרה). שלושת משפטי הדמיון של משולשים (לא תידרשנה הוכחות המשפטים). היחס במשולשים דומים בין היקפים, תיכונים, חוצי זווית, גבהים ורדיוסי מעגלים חוסמים ומעגלים חסומים. היחס בין שטחי משולשים דומים. היחס בין היקפים והיחס בין שטחים במצולעים דומים (לא תידרש הוכחה) קטעים פרופורציוניים במשולש ישר זווית. משפטים: הגובה ליתר מחלק את המשולש לשני משולשים הדומים לו. הגובה ליתר הוא ממוצע גיאומטרי של היטלי הניצבים על היתר. הניצב הוא ממוצע גיאומטרי של היתר והיטל הניצב על היתר. קטעים פרופורציוניים במעגל. מיתרים נחתכים במעגל. חותך ומשיק מנקודה חיצונית, שני חותכים היוצאים מנקודה חיצונית למעגל. הערה: שאלות בגיאומטריה אוקלידית יש להוכיח בשיטות של גיאומטריה אוקלידית בלבד.

סדרות[עריכה]

סדרות כלליות לפי מקום ולפי נוסחת נסיגה. סדרה חשבונית (כולל הגדרה לפי נוסחת נסיגה) – איבר כללי, סכום. סדרה הנדסית סופית ואינסופית (כולל הגדרה לפי נוסחת נסיגה) – איבר כללי, סכום. שברים מחזוריים, סדרות מעורבות.

הסתברות[עריכה]

הסתברות קלאסית[עריכה]

אקראיות, מרחב הסתברות סופי, חוקי ההסתברות, מאורעות בלתי תלויים, מאורעות תלויים, הסתברות מותנית, נוסחת בייס ,מרחב דו-שלבי ותלת שלבי (טבלאות ועצים). התפלגות בינומית (נוסחת ברנולי). הערה: יש ללמד קומבינטוריקה רק לצורכי ההתפלגות הבינומית.

חשיבה הסתברותית בחיי היום יום[עריכה]

מיונים ולוחות, חוקי הפרופורציות, פרופורציה מותנית ונוסחת בייס, קשר סטטיסטי וקשר סיבתי, שיפוט על פי יציגות.

שאלון 006[עריכה]

Icono copyedit2.png יש לשכתב ערך זה
ייתכנו לכך מספר סיבות: ייתכן שהמידע המצוי בדף זה מכיל טעויות, או שהניסוח וצורת הכתיבה שלו אינם מתאימים לוויקיספר. אתם מוזמנים לסייע ולתקן את הבעיות בדף זה, אך אנא אל תורידו את ההודעה כל עוד לא תוקן הדף. אם אתם סבורים כי אין בדף בעיה, ניתן לציין זאת בדף השיחה שלו.

1.אלגברה

בעיות מילוליות: תנועה, הספק, תערובות, בעיות קנייה ומכירה (כולל שימוש באחוזים בכל הבעיות).
אי שוויונים עם ערך מוחלט: אי שוויונים ליניאריים המובילים לכל היותר לשני מחוברים בערך מוחלט עם ביטויים ליניאריים ומספר ממשי. מנה של שני ביטויים ליניאריים, לדוגמה: , . אי שוויון ריבועי המוביל למחובר ריבועי אחד בערך מוחלט .
אינדוקציה: עקרון ההוכחה באינדוקציה. הוכחות באינדוקציה של זהויות, אי שוויונים, התחלקויות במספר נתון, התלכדות :סדרות המוגדרות באופנים שונים (למשל ברקורסיה ולפי איבר כללי).
חלוקת פולינומים בפולינום ליניארי (רק כטכניקה נדרשת בשאלון, בחשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי).
הערה: כל טכניקה אלגברית שנלמדה בשאלון 005 עשויה להידרש גם בשאלון זה.

2.טריגונומטריה

הרדיאן כמידת זווית, אורך קשת ושטח גזרה. הפונקציות סינוס, קוסינוס, טנגנס, במעגל היחידה, ותיאורן הגרפי. הקשר של פונקצית הטנגנס לשיפוע של ישר. הקשרים בין הפונקציות הטריגונומטריות של זווית, של זוויות משלימות לזווית ישרה, של זוויות המשלימות לזווית שטוחה. מחזוריות הפונקציות הריבועיות. חישוב ערכי הפונקציות לזוויות מיוחדות.
פתרון משוואות טריגונומטריות (הדורשות שימוש בנוסחאות ובזהויות ו/או פירוק לגורמים או פתרון משוואה ריבועית) – :פתרון כללי ופתרון בתחום נתון.
פתרון בעיות גיאומטריות במישור ובמרחב:
פתרון מצולעים המתפרקים למשולשים ישרי זווית. משפט הסינוסים ומשפט הקוסינוסים והשימוש בהם להתרת משולשים ומצולעים אחרים. נוסחת שטח המשולש .
חישובים במרחב: זוויות, אורכים, שטחים (כמו מעטפת או שטח פנים), נפחים.
בגופים ישרים: תיבה (כולל קובייה), מנסרה, גליל, פירמידה ישרה, חרוט (ללא גופים חסומים).
בפתרון בעיות גיאומטריות במישור ובמרחב (כולל בעיות טריגונומטריות בחשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי) יידרש שימוש בתכונות הגיאומטריות של הצורות והגופים השונים, בזהויות ובפונקציות הטריגונומטריות. בבעיות במרחב יידרש שימוש גם במושגים: ישר ניצב למישור, ישר משופע למישור, זווית בין ישר למישור, זווית בין מישורים.

לפתרון בעיות ומשוואות טריגונומטריות יידרש שימוש בזהויות: , , והזהויות עבור: , , , , ,.

הערות:
א. לא יידרש פתרון המשוואה במקרה: ו- .
ב. פתרון משוואות טריגונומטריות לא יידרש כתרגיל בפני עצמו אלא כחלק מפתרון בעיות בנושאים השייכים לשאלון, כולל בעיות בחשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי.
ג. לא יידרש פתרון תרגילים העוסקים בזיהוי משולשים על פי משוואה טריגונומטרית המתקיימת במשולש.

3.חשבון דיפרנציאלי

תיאור גרפי של פונקציות. פונקצית הערך המוחלט, פונקצית השורש הריבועי, פונקצית החזקה עבור מעריך שלם. נקודות אפס, עלייה וירידה, זוגיות ואי זוגיות. המשמעות האלגברית והגרפית של נקודות חיתוך של פונקציות, של f(x) > g(x), f(x) – g(x) וכד'.
המשיק. שיפוע של גרף בנקודה. הנגזרת בנקודה כתהליך גבולי. המהירות כנגזרת.
הפונקציה הנגזרת.
חשבון דיפרנציאלי של פונקציות רציונליות (כולל פולינומים), פונקציות שבהן יש ביטויים עם שורשים ריבועיים, ופונקציות טריגונומטריות.
נגזרת של: סכום, מכפלה, ומנה של פונקציות (מהמוזכרות לעיל), פונקציה מורכבת (כלל השרשרת), פונקציה סתומה.
נגזרת שנייה. קעירות כלפי מעלה וקעירות כלפי מטה ( קעורה כלפי מעלה קעורה כלפי מטה). נקודות פיתול.

שימושים:

משוואת משיק, נקודות קיצון בקטע פתוח ובקטע סגור, קיצון מקומי וקיצון מוחלט (כולל קצות קטע).
בעיות ערך קיצון (מכל הסוגים, כולל קיצון בקצה קטע סגור).
חקירת פונקציה ושרטוט סקיצה של גרף הפונקציה (החקירה כוללת: תחום הגדרה, נקודות קיצון (מקומי ומוחלט) , תחומי עלייה וירידה, נקודות פיתול, תחומי קעירות כלפי מעלה ומטה, התנהגות בסביבת נקודת אי-הגדרה, אסימפטוטות מקבילות לצירים).

4.חשבון אינטגרלי

אינטגרל לא מסוים (פונקציה קדימה), קבוע האינטגרציה, אינטגרלים מידיים. אינטגרל של סכום פונקציות ושל כפל פונקציה בקבוע. אינטגרל של פונקציה מורכבת כאשר הפונקציה הפנימית היא ליניארית. מציאת אינטגרל של פונקציה רציונלית עם מכנה ליניארי על ידי חילוק פולינומים. מציאת אינטגרל על ידי הצבה פשוטה (לא רק ליניארית), מהצורה: כאשר u היא פונקציה של x. (כלומר, אינטגרל שבו יש צורך לזהות את הנגזרת הפנימית, ואינו מצריך שינוי גבולות בחישוב האינטגרל המסוים), לדוגמה:
אימות אינטגרלים על ידי גזירה. מציאת פונקציה על פי נגזרתה ונקודה.
אינטגרל מסוים, פונקצית השטח בין גרף של פונקציה וציר ה-x (הפונקציה יכולה להיות חיובית, שלילית או לשנות סימן) ::שטח בין גרפים של פונקציות. חישוב שטחים מורכבים, נפח גופי סיבוב. בעיות ערך קיצון (מכל הסוגים).
האינטגרלים בפרק זה כוללים: פונקציות רציונליות (גם פולינום), פונקציות עם ביטויים של שורש ריבועי, פונקציות טריגונומטריות (כולל שימוש בזהויות).
הערה: שימו לב, בנושאים של חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי, ייתכן שימוש בחלוקת פולינומים.

שאלון 007[עריכה]

1.גיאומטריה אנליטית מרחק בין שתי נקודות, שיפוע ישר על פי שתי נקודות, משוואת ישר, נקודת חיתוך של שני ישרים, ישרים מקבילים וישרים מאונכים זה לזה, חלוקת קטע ביחס נתון, מרחק של נקודה מישר, זווית בין ישרים, משוואת חוצה זווית בין ישרים. מעגל (כללי), התנאי שהמשוואה היא משוואה של מעגל. משיק למעגל בנקודה עליו ומנקודה מחוצה לו, תנאי השקה למעגל. פרבולה: הגדרתה כמקום גיאומטרי, המשוואה הקנונית, מוקד , מדריך ומשוואת המשיק. אליפסה, היפרבולה: הגדרותיהן כמקום גיאומטרי, המשוואות הקנוניות שלהן, ציריהן ומוקדיהן, האסימפטוטות של ההיפרבולה (אין צורך בתנאי ההשקה של ישר לאליפסה ולהיפרבולה). מקומות גיאומטריים. 2.וקטורים וקטורים כחיצים במרחב. חיבור וקטורים ותכונותיו, חיסור וקטורים. כפל בסקלר ותכונותיו. קומבינציה ליניארית של וקטורים. וקטורים שראשיתם בנקודה אחת ומסתיימים על ישר, וקטורים שראשיתם בנקודה אחת ומסתיימים על מישור. חלוקת קטע ביחס נתון. שימושים לחישובים ולהוכחות במישור ובמרחב. המכפלה הסקלרית ותכונותיה. ניצבות בין ישרים ובין ישר למישור. חישובי אורך וחישובי זווית. הוכחות של תכונות גיאומטריות במישור ובמרחב. מערכת צירים במרחב. הצגה אלגברית של וקטורים ופעולות אלגבריות בוקטורים (חיבור, חיסור, כפל בסקלר ומכפלה סקלרית). הצגה פרמטרית של ישר במרחב. מצב הדדי של ישרים. הצגה פרמטרית של מישור במרחב, ומשוואה של מישור במרחב. מצב הדדי בין מישורים, ובין ישר ומישור. חישובי מרחקים: בין שתי נקודות, בין נקודה לישר, בין נקודה למישור, בין ישרים מקבילים ובין ישרים מצטלבים, בין ישר למישור, ובין שני מישורים. חישוב זוויות : בין שני ישרים, בין שני מישורים, ובין ישר למישור. להלן המשפטים הנדרשים בנושא הוקטורים. משפטים א-ג נדרשים עם הוכחה. משפטים ד-ה ללא הוכחה (לשימושים בחישובים). א. ישר ניצב למישור אם ורק אם הוא מאונך לשני ישרים לא מקבילים במישור. ב. ישר במישור ניצב למשופע למישור אם ורק אם הוא מאונך להיטל המשופע על המישור. ג. ישר l ניצב למישור ABC אם ורק אם = l = l l כאשר l וקטור על הישר

     ו-O ראשית הצירים.

ד. כל וקטור במישור ניתן להצגה יחידה כקומבינציה ליניארית של שני וקטורים בלתי

      תלויים במישור, וכל קומבינציה כזו נמצאת במישור.
ה.   כל שלושה וקטורים בלתי תלויים במרחב הם בסיס למרחב. 

3.מספרים מרוכבים הגדרה, שוויון, ארבע הפעולות. ערך מוחלט, מספרים צמודים, שורש שני. הצגת המספרים המרוכבים במישור גאוס. משפט דה-מואבר, שורשי יחידה, שורשים. המשמעויות הגיאומטריות של ארבע הפעולות, של הערך המוחלט ושל השורשים. הערה: בפתרון בעיות במספרים מרוכבים עשוי להידרש ידע בסדרות, נוסחאות ויאטה ושימוש בזהויות טריגונומטריות. 4.הפונקציות xr כאשר r רציונלי (כולל f(x)r) והחשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי שלהן. 5.פונקציות מעריכיות ופונקציות לוגריתמיות פונקציות מעריכיות ופונקציות לוגריתמיות, תכונותיהן וייצוגן הגרפי. חוקי החזקות למעריך רציונלי (כולל אפס). לוגריתם בבסיס כלשהו. לוגריתם של מכפלה, מנה, חזקה ושורש. מעבר מבסיס לבסיס. פתרון משוואות ואי שוויונים מעריכיים ולוגריתמיים. בעיות גידול ודעיכה. זמן מחצית חיים. 6. חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של הפונקציות המעריכיות והלוגריתמיות: הנגזרות של: ex, ax a>0, , , a טבעי. חוקי הגזירה: סכום וכפל בקבוע, מכפלה ומנה של פונקציות, פונקציה מורכבת (כלל השרשרת) , גזירה סתומה. נגזרת שנייה. קעירות כלפי מעלה וקעירות כלפי מטה, נקודות פיתול. שימושים: משוואת משיק, נקודות קיצון בקטע פתוח ובקטע סגור, קיצון מקומי וקיצון מוחלט (כולל קצות קטע). בעיות ערך קיצון (כולל קיצון בקצה קטע סגור). חקירת פונקציה ושרטוט סקיצה של גרף הפונקציה (החקירה כוללת: תחום הגדרה, נקודות קיצון (מקומי ומוחלט) , תחומי עלייה וירידה, נקודות פיתול, תחומי קעירות כלפי מעלה ומטה, התנהגות בסביבת נקודת אי-הגדרה, אסימפטוטות מקבילות לצירים). חשבון אינטגרלי של הפונקציות המעריכיות והלוגריתמיות: האינטגרל של ex, ax , . אינטגרל לא מסוים (פונקציה קדומה), קבוע האינטגרציה, אינטגרלים מידיים. אינטגרל של סכום פונקציות ושל כפל פונקציה בקבוע. אינטגרל של פונקציה מורכבת כאשר הפונקציה הפנימית היא פולינום ליניארי. מציאת פונקציה על פי נגזרתה ונקודה. אימות אינטגרלים על ידי גזירה. אינטגרל מסוים, חישובי שטחים ונפח של גופי סיבוב. בעיות ערך קיצון.

הערות:[עריכה]

  1. נזכיר שוב כי הנושא חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של הפונקציות xr והפונקציות המעריכיות והלוגריתמיות כולל את כל הנושאים, המיומנויות (האנליטיות והאלגבריות), והשימושים הנדרשים בשאלון 006, 005 (ראו את הכתוב בנושא חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי בשאלון 006, ובאלגברה שאלון 005).
    לדוגמה: ייתכנו אינטגרלים מהצורה                                      
                                                           
  1. פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות שיש בהן מרכיב טריגונומטרי עשויות להידרש הן בחשבון הדיפרנציאלי והן בחשבון האינטגרלי.