מתמטיקה תיכונית/מתמטיקה לבגרות/שאלון ה/אלגברה/פירוק לגורמים על פי נוסחאות הכפל המקוצר

מתוך ויקיספר, אוסף ספרי הלימוד והמדריכים החופשי.

קפיצה אל: ניווט, חיפוש
Merge-arrow.gif [[קטגוריה:ויקיספר: ערכים לאיחוד|ערך זה מועמד לאיחוד לתוך הערך טכניקות פישוט]]
ערך זה דן בנושא של הערך [[טכניקות פישוט]] וככל הנראה מוסיף עליו מידע. מסיבה זו, ייתכן שיש לאחד את שני הערכים. (דיון)

לעתים נזהה ביטוי אלגברי שמתאים לאחת מנוסחאות הכפל המקוצר. אם נזכור את הנוסחאות, נצליח לפרק את הביטוי לגורמים שלו.

דוגמה:

פרק לגורמים את a^2 + 2ab + b^2\,
פתרון:
a^2 + 2ab + b^2 =\,
על פי נוסחאות הכפל מקוצר
(a+b)^2\,
הגורם הוא: (a+b)^2\, זאת אומרת שהגורמים הם (a+b)\, ו- (a+b)\,.

דוגמה:

פרק לגורמים את 4a^2 - 12a + 9\,
פתרון:
4a^2 - 12a + 9 = \,
4 = 2^2\,
2^{2}a^2 - 12a + 9 = \,
על פי חוקי חזקות
(2a)^2 - 12a + (3)^2 = \,
(2a)^2 - 2\cdot 2\cdot 3\cdot a + (3)^2 = \,

על פי חוק החילוף

וחוק הקיבוץ
(2a)^2 - 2\cdot (2a)\cdot 3 + (3)^2 = \,
על פי נוסחאות כפל מקוצר
(2a-3)^2\,
הגורם הוא: (2a-3)^2\, זאת אומרת שהגורם (2a - 3)\, מופיע פעמיים במכפלה 4a^2 - 12a + 9\,.

דוגמה:

פרק לגורמים את a^4 - 1\,
פתרון:
a^4 - 1 = \,
4 = 2 \cdot 2 \,
a^{2\cdot 2} - 1 = \,
על פי חוקי חזקות
ומכיוון ש 1 = 1^2 \,
(a^2)^2 - 1^2 = \,
על פי כפל מקוצר
(a^2 - 1)(a^2 + 1)\,
שימו לב! ניתן לפרק גם את (a^2 - 1)\,! נמשיך במלאכת הפירוק:
(a^2 + 1)(a^2 - 1) = \,
מכיוון ש 1 = 1^2 \,:
(a^2 + 1)(a^2 - 1^2) = \,
על פי כפל מקוצר
(a^2 + 1)(a + 1)(a - 1)\,
הגורמים הם: (a^2 + 1)\,, (a + 1)\, ו- (a - 1)\,.

מקור: http://he.wikibooks.org/wiki/%D7%9E%D7%AA%D7%9E%D7%98%D7%99%D7%A7%D7%94_%D7%AA%D7%99%D7%9B%D7%95%D7%A0%D7%99%D7%AA/%D7%9E%D7%AA%D7%9E%D7%98%D7%99%D7%A7%D7%94_%D7%9C%D7%91%D7%92%D7%A8%D7%95%D7%AA/%D7%A9%D7%90%D7%9C%D7%95%D7%9F_%D7%94/%D7%90%D7%9C%D7%92%D7%91%D7%A8%D7%94/%D7%A4%D7%99%D7%A8%D7%95%D7%A7_%D7%9C%D7%92%D7%95%D7%A8%D7%9E%D7%99%D7%9D_%D7%A2%D7%9C_%D7%A4%D7%99_%D7%A0%D7%95%D7%A1%D7%97%D7%90%D7%95%D7%AA_%D7%94%D7%9B%D7%A4%D7%9C_%D7%94%D7%9E%D7%A7%D7%95%D7%A6%D7%A8