מתמטיקה תיכונית/מתמטיקה לבגרות/שאלון ה/אלגברה/חוקי חזקות

מתוך ויקיספר, אוסף ספרי הלימוד והמדריכים החופשי.

< מתמטיקה תיכונית | מתמטיקה לבגרות | שאלון ה | אלגברה

[[קטגוריה:ויקיספר: ערכים לאיחוד|ערך זה מועמד לאיחוד לתוך הערך חוקי חשבון חזקות]]
ערך זה דן בנושא של הערך [[חוקי חשבון חזקות]] וככל הנראה מוסיף עליו מידע. מסיבה זו, ייתכן שיש לאחד את שני הערכים. (דיון)

לפניכם תזכורת של הגדרת החזקה וחוקי החזקות. התזכורת מיועדת למי שכבר למד חוקי חזקות. מומלץ למי שלא מרגיש שהוא שולט בחומר, ללמוד יותר לעומק על חזקות.

חזקה היא הכללה של פעולת הכפל, כמו שכפל הוא הכללה של פעולת החיבור.

[עריכה] סימון חזקות

חזקה מסמנים כאינדכס עליון למספר (או משתנה): 3 בחזקת 5 כותבים: $\ 3 ^{5}$ .

ל-3 נקרא בסיס החזקה. ל-5 נקרא מעריך החזקה.

כשהמעריך 2 יש לבטא בריבוע: $\ c^{2}$ יש לבטא c בריבוע.
כשהמעריך הוא גדול מ2 יש לבטא בשלישית עבור 3, ברביעית עבור 4 וכו': $\ 3^{5}$ יש לבטא 3 בחמישית.
דרך נוספת לסמן חזקות היא באמצעות סימן הגג: ^. למשל 5^3 זה 3 בחמישית, a^b זה a בחזקת b וכו'.

[עריכה] משמעות החזקה עם מעריך טבעי

אם המעריך

הוא מספר טבעי

אזי החזקה היא הבסיס כפול עצמו כמספר הפעמים שכתוב במעריך.

לדוגמא, כדי לחשב את החזקה $\ 3^{4}$ , עלינו לכפול את 3 בעצמו 4 פעמים על מנת לקבל את הערך של החזקה. כלומר:

$\ 3^{4}=3 \times 3 \times 3 \times 3$

באופן כללי ניתן להציג חזקה עם בסיס

 ומעריך

שהוא מספר טבעי

 בצורה הבאה:

$\ a^{n}=\underbrace{a\times{a}\times{a}\cdots\times{a}}_{n\;\;times}$

דוגמה: חשב את החזקה $5^3\,$

פתרון: $5^3=5\times{5}\times{5}=125 \,$

דוגמה: חשב את החזקה $2^8\,$

פתרון: $2^8=\underbrace{2\times{2}\times\cdots\times{2}}_{8\;\;times}=256 \,$

דוגמה: חשב את החזקה $(\frac{1}{2})^2\,$

פתרון: $\left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{1\cdot 1}{2\cdot 2}=\frac{1}{4}\,$

דוגמה: חשב את החזקה $(-1)^3\,$

פתרון: $(-1)^{3}=(-1)\times(-1)\times(-1)=(-1)\,$

[עריכה] מעריך 1

כל מספר בחזקת 1 שווה לעצמו.

$a 1 = a$

זאת בגלל הגדרת החזקה.

[עריכה] חזקה של 1

1 בחזקת כל מספר שווה ל-1. זאת בגלל שלא משנה כמה נכפול אותו בעצמו, הוא יישאר 1.

$1 a = 1$

זאת בגלל הגדרת החזקה.

[עריכה] חזקה של 0

0 הוא מספר מיוחד בחזקות, והוא אינו מוגדר עבור כל כל מעריך. עם מעריך שהוא מספר טבעי

ברור לנו שלא משנה כמה פעמים נכפול 0 בעצמו, נקבל 0.

$0 a = 0$

עבור a טבעי.

[עריכה] כפל חזקות עם אותו בסיס

נבדוק כיצד לכפול חזקות עם אותו בסיס:

$a^b \cdot a^c = \overbrace{b \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdots a}_{b\;\;times} \cdot \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdots a}_{c\;\;times} }^{b+c\;\;times} = a^{b+c}$

אם נסתכל על הנוסחה הפוך נבין כיצד לפרש סכום במכנה.

$a^{b+c} = \overbrace{ \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdots a}_{b\;\;times} \cdot \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdots a}_{c\;\;times} }^{b+c\;\;times} = a^b \cdot a^c$

דוגמה: חשב את $a^{2}\cdot{a}^{4}$

פתרון: על פי חוקי חזקות

$a^{2}\cdot{a}^{4} = a^{2+4} = a^6$

[עריכה] חילוק חזקות עם אותו בסיס

נבדוק כיצד לחלק חזקות עם אותו בסיס: $\frac{a^b}{a^c}$ . נבחין בשלושה מקרים.

מקרה א': b גדול מ- c.

$\frac{a^b}{a^c} = \frac{\overbrace {a \cdot a \cdot a \cdots a}^{b\;\;times}} {\underbrace{a \cdot a \cdot a \cdots a}_{c\;\;times}} =$

c + (b-c) = b

$\frac{\overbrace {a \cdot a \cdot a \cdots a}^{c\;\;times} \overbrace {a \cdot a \cdot a \cdots a}^{b-c\;\;times}} {\underbrace{a \cdot a \cdot a \cdots a}_{c\;\;times}} =$

נצמצם מספר שווה של a במונה ובמכנה.

$\frac{\overbrace {\not{a} \cdot \not{a} \cdot \not{a} \cdots \not{a}}^{c\;\;times} \overbrace {a \cdot a \cdot a \cdots a}^{b-c\;\;times}} {\underbrace{\not{a} \cdot \not{a} \cdot \not{a} \cdots \not{a}}_{c\;\;times}} =$

$\overbrace {a \cdot a \cdot a \cdots a}^{b-c\;\;times} = a^{b-c}$

ניתן להשתמש בנוסחה גם בכיוון ההפוך:

$a^{b-c} = \frac{a^b}{a^c}$

דוגמה: חשב את $\frac{a^4}{a^2}$

פתרון: על פי חוקי חזקות

$\frac{a^5}{a^3} = a^{5-3} = a^2$

[עריכה] מעריך 0

נבדוק מה קורה כאשר המעריך שווה ל-0. לצורך כך נשתמש בנוסחה לחילוק חזקות עם אותו בסיס. נשתמש בעובדה ש $b - b = 0$

$a^0 = a^{b-b} = \frac{a^b}{a^b} = 1$

לסיכום: כל מספר בחזקת 0 שווה ל-1. $a 0 = 1$

יוצא מן הכלל: $00$ . הביטוי 0 בחזקת 0 שנוי במחלוקת. מתמטיקיים מסויימים טוענים שהוא אינו מוגדר (לדוגמה כי הוא יוצר חלוקה באפס) בעוד שמתמטיקיים אחרים טוענים שהוא אפס (מטעמים סימטריים של מתמטיקה גבוהה).

[עריכה] מעריך שלילי

נבדוק מה קורה כאשר המעריך שלילי:

$a^{-b} = a^{0-b} = \frac{a^0}{a^b} = \frac{1}{a^b}$

דוגמה: חשב את $2 - 1$

פתרון: $2^{-1} = \frac{1}{2^1} = \frac{1}{2}$

הערה: 0 בחזקת מספר שלילי שוב ייתן חלוקה באפס ולכן אינו מוגדר: $0^{-a} = \frac{1}{0^a} = \frac{1}{0}$

[עריכה] כפל חזקות עם אותו מעריך

כאשר כופלים חזקות עם אותו מעריך, אפשר להוציא את המעריך מחוץ לסוגריים. הבה נראה זאת:

$a^c\cdot b^c =$

$\underbrace{a\cdot a \cdot a \cdots a}_{c\;\;times} \cdot \underbrace{b\cdot b \cdot b \cdots b}_{c\;\;times} =$

על פי חוק החילוף

, נסדר אחרת את המשוואה:

$\underbrace{\underbrace{a\cdot b} \cdot \underbrace{a \cdot b} \cdot \underbrace{a \cdot b} \cdots \underbrace{a \cdot b}}_{c\;\;times} =$

על פי חוק הקיבוץ

נוסיף סוגריים:

$\underbrace{(a\cdot b) \cdot (a \cdot b) \cdot (a \cdot b) \cdots (a \cdot b)}_{c\;\;times} =$

על פי הגדרת החזקה:

$(a\cdot b)^c$

[עריכה] חילוק חזקות עם אותו מעריך

כאשר מחלקים חזקות עם אותו מעריך, באותו אופן ניתן שוב להוציא את המעריך מחוץ לסוגריים. הבה נראה זאת:

$\frac{a^c}{b^c} =$

נפתח את החזקה:

$\frac{\overbrace{a\cdot a \cdot a \cdots a}^{c\;\;times}} {\underbrace{b\cdot b \cdot b \cdots b}_{c\;\;times}} =$

נסדר אחרת את השבר:

$\underbrace{\frac{a}{b}\cdot\frac{a}{b}\cdot\frac{a}{b}\cdots\frac{a}{b}}_{c\;\;times}$

על פי הגדרת החזקה:

$\left(\frac{a}{b}\right)^c$

[עריכה] חזקה של חזקה

המקרה האחרון אותו נבדוק הוא חזקה של חזקה:

${\left(a^{b}\right)}^{c}= \underbrace{{\left(a^{b}\right)} \cdot{\left(a^{b}\right)}\cdots{\left(a^{}\right)}}_{c\;\;times}= a^{\overbrace{b+b+b \cdots b}^{c\;\;times}}= a^{b \cdot c}$