מתוך ויקיספר, אוסף ספרי הלימוד והמדריכים החופשי.

< מתמטיקה תיכונית | טריגונומטריה

קפיצה אל: ניווט, חיפוש

יש לדעת : צירים.

תוכן עניינים

1 הגדרות
- 1.1 מעגל היחידה
- 1.2 סיבוב
  - 1.2.1 סיבובים
2 הגדרה פשוטה של פונקציות הטריגונומטריות על מעגל היחידה

[עריכה] הגדרות

[עריכה] מעגל היחידה

מעגל היחידה הטריגונומטרי

מעגל היחידה הטריגונומטרי -מעגל שרדיוסו שווה לאחד (r=1) ומרכזו בראשית הצירים (בדרך כלל, מסומן באות O).

[עריכה] סיבוב

הזווית שנוצרה היא זווית

α

סיבוב - כל שני רדיוסים על מעגל היחידה יוצרים "זווית" (ראה תמונה). אולם, כיוון שהקרנים (הרדיוסים) יכולים לנוע (כל רדיוס יוצר זווית שונה), אין אנו אומרים זווית, אלא, סיבוב.

לעיתים, נעזר במונח הזווית בכדי להקל על ההבנה.

[עריכה] סיבובים

אנו נגדיר כי :

קרן נייחת - הקרן המתלכדת עם ציר ה-X החיובי (בתמונה מסומנת באות r).
קרן ניידת - משתנה; תלוי ברדיוס.

על פי הגדרה נוכל לקבוע כי :

[עריכה] סיבובים חשובים במעגל

רבע סיבוב (זווית 90°) - הקרן הניידת מתלכדת עם ציר ה-y החיובי.
חצי סיבוב (זווית 180°) - הקרן הניידת מתלכדת עם ציר ה-x השלילי.
שלוש רבעי סיבוב (זווית 270°) - הקרן הניידת מתלכדת עם ציר ה-y השלילי.
סיבוב מלא (זווית 360°) - הקרן הניידת מתלכדת עם ציר ה-x החיובי.

[עריכה] סוג הסיבוב

סיבוב חיובי (זווית חיובית)- הקרן הניידת נעה נגד כיוון השעון.
סיבוב שלישי (זווית שלילית)- הקרן הניידת נעה עם כיוון השעון.

[עריכה] מספר הסיבובים

שני סיבובים (זווית 720°) - הקרן הניידת מתלכדת עם ציר ה-x החיובי.
שלושה סיבובים (זווית 1080°) - הקרן הניידת מתלכדת עם ציר ה-x החיובי.
שני סיבובים עם כיוון השעון (זווית -720°) - הקרן הניידת מתלכדת עם ציר ה-x החיובי (עם כיוון השעון).

[עריכה] מספר סיבובים עבור נקודה אחת

כלומר, לנקודה אחת במעגל היחידה הטריגונומטוריות יכולים להיות מספר סיבובים (זוויות) שונים, בהתאם למסםר העיקופים שנעשו במעגל וכיוונם.

בכדי לדעת עבור סיבוב, איזה סיבוב יכול להתאים לאותה נקודה נבצע פעולת חילוק הזווית בהקפה מלאה (360°). למשל, אם ברצוננו לדעת איזה סיבוב יכול להתאים לזווית 910° (שני סיבובים ורבע), נחלק את הזווית בזווית מלאה (360°) ונגלה את התשובה, כלומר, $\frac{910^\circ}{360^\circ}=2\frac{1}{2}\rightarrow \frac{1}{2}=90^\circ, 1\frac{1}{2}=90+360=450^\circ$

עם זאת, נזכור כי עבור סיבוב, קיית רק נקודה אחת בלבד אשר מתאימה לה; לנקודת שיעור X ו-Y.

[עריכה] הגדרה פשוטה של פונקציות הטריגונומטריות על מעגל היחידה

משולש על מעגל היחידה הטריגונומטרי

על מעגל היחידה הטריגונומטרי ניתן ליצור משולשים ישרי זוויות שונים באמצעות רדיוס, נקודה על המעגל ואנך אל ציר ה-X.

נזכר בהגדרות של הפונקציות הטריגונומטריות הבסיסיות ונגדיר אותן במשולש הנמצא על מעגל היחידה הטריגונומטרי שרדיוסו בנקודה P :

שם הפונקציה	סימונה	מה היא מבטא	מה היא מבטא במשולש על מעגל היחידה
סינוס	$\,\! \sin$	היחס בין הניצב מול הזווית לבין היתר $\,\! \sin \alpha = \frac{a}{c}$	מבטא את ערך ה-y של הנקודה P.
קוסינוס	$\,\! \cos$	היחס בין הניצב ליד הזווית לבין היתר $\,\! \cos \alpha = \frac{b}{c}$	מבטא את ערך ה-X של הנקודה P.
טנגנס	$\,\! \tan$ או $\,\! \operatorname{tg}$	היחס בין הניצב מול הזווית לניצב ליד הזווית $\,\! \tan \alpha = \frac{a}{b}=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$	מבטא את ערך המשיק למעגל בנקודה (1,0).

[עריכה] פונקצית הסינוס

פונקצית הסינוס (בהמשך נלמד כיצד לצייר את מעגל היחידה על ציר)

[עריכה] תחום הגדרה

כיוון שניתן להציב כל זווית (סיבוב) ממעגל היחידה הטריגונומטרי עבור הפונקציה סינוס, פונקצית סינוס מוגדרת עבור : $X\in\mathbb R$ (בהמשך נראה כי ישנם פונקציות שלא ניתן להציב בהן את כל הזוויות).

[עריכה] תחום שלילי וחיובי

פונקצית הסינוס מבטא את ציר ה-Y, כידוע :

מעל ציר ה-X - ערכי Y חיובים.
מתחת ציר ה-X - ערכי Y שלילים.

לכן, פונקצית הסינוס מוגדרת :

תחום חיוביות - כאשר זוויותיה מעל ציר ה-X.
תחום שליליות - כאשר זוויותיה מתחת ציר ה-X.

[עריכה] תחום ערכי הפונקציה

תחום ערכי הפונקציה, פירושו במעגל היחידה הטריגונומטרי; גודל הצלע (מקסימום-מינמום), אותה מבטאה הפונקציה.

אם נביט בתחום הערכים שיכולה לקבל צלע במעגל היחידה הטריגונומטרי, נראה כי הצלע הגדולה ביותר היא באורך 1 ס"מ (ציר Y ו-X חיובי) ואילו הצלע הקטנה ביותר במעגל היחידה הטריגונומטרי, שווה ל-(1-) ס"מ (ציר Y ו-X שלילים). לכן, תחום ערכי הפונקצית הסינוס הוא : $- 1 < sinα < 1$ .

[עריכה] תכונות נוספות

מחזוריות : כפי שניתן לראות או לחשב, פונקצית סינוס חוזרת על עצמה כל סיבוב.
פונקציה אי זוגית : $sin x = - sin x$

[עריכה] פונקצית הקוסינוס

[עריכה] תחום הגדרה

כיוון שניתן להציב כל זווית (סיבוב) ממעגל היחידה הטריגונומטרי עבור הפונקציה קוסינוס, פונקצית הקוסינוס מוגדרת עבור : $X\in\mathbb R$ .

[עריכה] תחום שלילי וחיובי

פונקצית הקוסינוס מבטא את ציר ה-X, כידוע :

מצד ימין של ציר ה-Y - ערכי האיקסים חיובים.
מצד שמאל של ציר ה-Y - ערכי האיקסים שלילים.

לכן, פונקצית הקוסינוס מוגדרת :

תחום חיוביות : כאשר זוויותיה נמצאות ברביע הראשון ואו הרביעי.
תחום שליליות : כאשר זוויותיה נמצאות ברביע השני ואו השלישי.

[עריכה] תחום ערכי הפונקציה

מאותה סיבה שנדונה בתחום ערכי פונקצית הסינוס, תחום ערכי פונקצית הסינוס הוא : $- 1 < cosα < 1$ .

[עריכה] תכונות נוספות

מחזוריות - חוזרת על עצמה כל סיבוב.
פונקציה זוגית : $cos( - x) = cos x$

[עריכה] פונקצית הטנגס

[עריכה] תחום הגדרה

פונקצית הטנגס מבטא את היחס בין הניצב מול הזווית לניצב ליד הזווית ( $\,\! \tan \alpha =\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ ) , כלומר, היא סוג של פונקציה רציונאלית (היא שבר). לכן, אסור שהמכנה שלה יתאפס, אחרת, היא תיהיה לא מוגדרת (אי אפשר לחלק מספר לאף אחד). מכאן, שלפונקציה זו יש ערכים בהם היא אינה מוגדרת, זאת כאשר $c o s α = 0$ , כלומר כאשר רדיוס הפונקציה נמצא בנקודה של הזווית : $\alpha=90^\circ$ .
נזכור כי הפונקציה היא מחזורית, ולכן, בנקודה זו יכולים להיות עוד אלפי נקודות : $90^\circ, 270^\circ, 450^\circ...$ , כלומר, הפונקציה אינה מוגדרת עבור כל חצי סיבוב ובמתמטי : $90^\circ+180k^\circ$

K - מספר סיבובים	מעלות
0	$90^\circ+180^\circ*0=90^\circ$
1	$90^\circ+180^\circ*1=270^\circ$
2	$90^\circ+180^\circ*2=450^\circ$
3	$90^\circ+180^\circ*3=630^\circ$

[עריכה] תחום שלילי וחיובי

כאמור, פונקצית הטנגס מבטא את היחס בין הניצב מול הזווית לניצב ליד הזווית ( $\,\! \tan \alpha =\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ ).

בחילוק מספרים שלילים וחיובים :

כשהסימנים של שני המספרים זהים (דהיינו, שניהם חיוביים או שניהם שליליים), התוצאה חיובית.
כשהסימנים של שני המספרים שונים (דהיינו, אחד חיובי ואחד שלילי), התוצאה שלילית.

אתגר:

מדוע מינוס כפול מינוס נותן פלוס? ומינוס כפול פלוס נותן מינוס?

אנשים טוענים כי כפל היא פעולת קיצור של חיבור (למשל, $3 + 3 + 3 = 3 * 3 = 9$ ). מהו ההסבר לכך שכאשר : יש לי מינוס שלושה קבוצות ובכל קבוצה יש לי מינוס שלושה שקלים, התשובה יוצאת תשע (-3*-3=9)?

לכן, כאשר, תחום שליליות וחיוביות של הפונקציה טנגס נקבעת על פי תחומי השליליות והחיוביות של פונקצית הסינוס והקוסינוס.

כאשר פונקציות (סינוס וקוסינוס) ברביע הראשון של בגרף - שתי הפונקציות חיובית, ולכן, גם פונקצית הטנגס.
כאשר הפונקציות ברביע השני - פונקצית סינוס חיובית ופונקצית הקוסינוס שלילית. לכן, פונקצית הטנגס שלילית.
רביע שלישי - שתי הפונקציות שליליות ולכן, פונקצית טטנגס חיובית.
רביע רביעי - פונקצית סינוס שלילית ופונקצית הקוסינוס חיובית. לכן, פונקצית הטנגס שלילית.

לסיכום :

תחום חיוביות : רביע שני ורביעי.
תחום שליליות : רביע ראשון ושלישי.

[עריכה] תחום ערכי הפונקציה

עקב יחודיות הפונקציה (פונקציה רציונאלית), הפונקציה יכולה לקבל כל ערך אפשרי. לכן, תחום הפונקציה הוא : $-\infty <\tan \alpha< \infty$

[עריכה] תכונות נוספות

מחזורית - חוזרת על עצמה כל חצי סיבוב $tan x = tan(x + 180)$ .
פונקציה אי זוגית : $tan( - x) = - tan x$

[עריכה] פונקציה הקוטנגנס

[עריכה] תחום הגדרה

גם, פונקציה הקוטנגס היא פונקציה רציונאלית. לכן, אסור שהמכנה שלה יתאפס, אחרת, היא תיהיה לא מוגדרת (אי אפשר לחלק מספר לאף אחד). מכאן, שלפונקציה זו יש ערכים בהם היא אינה מוגדרת, זאת כאשר $s i n α = 0$ , כלומר כאשר רדיוס הפונקציה נמצא בנקודה של הזווית : $\alpha=0^\circ$ .

נזכור כי הפונקציה היא מחזורית, ולכן, בנקודה זו יכולים להיות עוד אלפי נקודות : $0^\circ, 360^\circ, 720^\circ...$ , כלומר, הפונקציה אינה מוגדרת עבור כל סיבוב מלא ובמתמטי : $0^\circ+360^\circ$ .

[עריכה] תחום שלילי וחיובי

פונקצית הקוטנגס מבטא את היחס בין הניצב ליד הזווית לניצב מול הזווית ( $\,\! \cot \alpha =\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$ ).

בחילוק מספרים שלילים וחיובים :

כשהסימנים של שני המספרים זהים (דהיינו, שניהם חיוביים או שניהם שליליים), התוצאה חיובית.
כשהסימנים של שני המספרים שונים (דהיינו, אחד חיובי ואחד שלילי), התוצאה שלילית.

לכן, תחום שליליות וחיוביות של הפונקציה קוטנגס נקבעים על פי תחומי השליליות והחיוביות של פונקצית הסינוס והקוסינוס. כיוון שאין זה משנה מיקום הסימן בתרגיל (כלומר, אין זה משנה אם נחלק מינוס בפלוס או פלוס במינוס; התשובה תשאר מינוס), תחומי השליליות והחיוביות של פונקצית הקוטנגס זהים לאלו של פונקצית הטנגס. מכאן :

תחום חיוביות : רביע ראשון ושלישי.
תחום שליליות : רביע שני ורביעי.

[עריכה] תחום ערכי הפונקציה

עקב יחודיות הפונקציה (פונקציה רציונאלית), הפונקציה יכולה לקבל כל ערך אפשרי. לכן, תחום הפונקציה הוא : $-\infty <\cot \alpha< \infty$

מתמטיקה תיכונית/טריגונומטריה/מעגל היחידה הטריגונומטרי

מתוך ויקיספר, אוסף ספרי הלימוד והמדריכים החופשי.

תוכן עניינים

[עריכה] הגדרות

[עריכה] מעגל היחידה

[עריכה] סיבוב

[עריכה] סיבובים

[עריכה] סיבובים חשובים במעגל

[עריכה] סוג הסיבוב

[עריכה] מספר הסיבובים

[עריכה] מספר סיבובים עבור נקודה אחת

[עריכה] הגדרה פשוטה של פונקציות הטריגונומטריות על מעגל היחידה

[עריכה] פונקצית הסינוס

[עריכה] תחום הגדרה

[עריכה] תחום שלילי וחיובי

[עריכה] תחום ערכי הפונקציה

[עריכה] תכונות נוספות

[עריכה] פונקצית הקוסינוס

[עריכה] תחום הגדרה

[עריכה] תחום שלילי וחיובי

[עריכה] תחום ערכי הפונקציה

[עריכה] תכונות נוספות

[עריכה] פונקצית הטנגס

[עריכה] תחום הגדרה

[עריכה] תחום שלילי וחיובי

[עריכה] תחום ערכי הפונקציה

[עריכה] תכונות נוספות

[עריכה] פונקציה הקוטנגנס

[עריכה] תחום הגדרה

[עריכה] תחום שלילי וחיובי

[עריכה] תחום ערכי הפונקציה

צפיות

כלים אישיים

ניווט

קהילה

חיפוש

תיבת כלים

שפות אחרות

הדפסה/ייצוא