מתוך ויקיספר, אוסף ספרי הלימוד והמדריכים החופשי.

תוכן עניינים

1 הקדמה - המושג פונקציה עד כה
- 1.1 היכן ה-X?
  - 1.1.1 הפונקציות הטריגונומטריות מוגדרות באמצעות זוויות
2 הגדרת הרדיאן
- 2.1 מספר הרדיאנים במעגל
3 מעגל היחידה ורדיאנים
4 קישורים חיצונים

[עריכה] הקדמה - המושג פונקציה עד כה

רבים מאנשים מגדירים פונקציה, בין היתר באמצעות ערכי X ו-Y. כלומר, לכל נקודה על הפונקציה צריך להיות X ו-Y שערכם הוא מספר, כמו למשל, $(0,1)$ .
ההסקה למסקנה זו ברורה, הרי יש לנו שני צירים (במקרה של פונקציות), ציר X וציר Y. לכן, מן הסתם שנקודה הנמצאת על הגרף תצטרך להיות מבוטאת באמצעות ערך X וערך Y. עם זאת, עבור פונקציה טריגונומטרית אין אנו "רואים" את ה-X, כל שאנו רואים היא פונקציה שנראת כך : $y = s i n α$ .

[עריכה] היכן ה-X?

עתה נשאלת השאלה היכן ה-X? למי שלא הבין עד כה, ה-X מבוטא באצעות זווית ולא באמצעות קנה המידה שעד כה הינו רגילים אליו - מספרים. נוכל לומר כי ניתן לכתוב את תבנית פונקצית הסינוס כך : $y = sin x$ , כאשר $X = α$ .

נושא זה קצת מורכב יותר ממה שמתאור בהסבר, אנו נטפטף את כלל חלקיו בהמשך בנושאים:

[עריכה] הפונקציות הטריגונומטריות מוגדרות באמצעות זוויות

עתה, הגענו לשאלה מדאיגה עוד יותר אם הפונקציות הטריגונומטריות מוגדרות באמצעות זוויות הנמצאות במעגל היחידה הטריגנומטרי ואילו הגרפים אותם אנו מציירים הם באמצעות מספרים - כיצד ממירים זווית למספר? ומספר לזווית? בנוסף לכך, נשאלת השאלה : כיצד נצייר פונקציה במעגל?

התשובות לכך היא : באמצעות הרידאן - יחידת מדידה נוספת עבור זוויות.

[עריכה] הגדרת הרדיאן

קשת

רדיאן - גודל הזווית שווה לרדיוס המעגל

קשת (L)-במעגל היא קטע מהמעגל התחום בין שתי נקודות. גודלה של זווית במעגל נקבע באמצעות הקשת שלה. ככל שהקשת רחבה יותר, כך הזווית תהיה גדולה יותר. שימו לב כי : קשת נמדדת באמצעות מספרים או זוויות, ואילו זווית נמדדת באמצעות זווית.

הרדיאן - מידת יחידה המגודרת כך : זווית היוצאת ממרכז מעגל ונוצרת על ידי קשת שהיקפה שווה לאורך של רדיוס המעגל.

[עריכה] מספר הרדיאנים במעגל

[עריכה] רענון חומר

רדיוס - - מרחק הנקודות על המעגל מנקודת המרכז שלו. ככל שהרדיוס גדול יותר, כך, היקף המעגל גדול יותר. כלומר, היקף המעגל תלוי בגודלו של הרדיוס.

בין הקיף המעגל לרדיוסו הוא יחס קבוע; קוטרו (רדיוס*2) של מעגל מסויים מקיף את מעגלו בערך שלוש פעמים: ...3.141592653 (כאשר הספרות נמשכות עד אין קץ - לא ניתן לכתוב את המספר בשלמותו), ובכדי לתאר אותו במדוייק, הוחלט לסמן מספר זה באות פאי : $\pi=3.141592653\dots$ . כלומר, אם הרדיוס שווה ל-2, אז היקפו של המעגל יהיה : $p_\bigcirc=4*\pi$ וכן הלאה.

ובסיכום - הנוסחא להיקף מעגל היא קוטר*פאי : $P_{\bigcirc}= \pi*2r$ .

[עריכה] מיני סיכום

הרדיאן - זווית היוצאת ממרכז מעגל ונוצרת על ידי קשת שהיקפה שווה לאורך של רדיוס המעגל.
רדיוס מקיף $π$ פעמים את המעגל.
מסקנה : אנו יכולים להשתמש ביחס בין היקף המעגל לרדיוסו עבור רדיאן; אנו יודעים כי בהיקף המעגל יש $π$ פעמים רדיוס. כל "רדיוס אחד" הנמצא ב"היקף המעגל" הוא רדיאן (שווה לרדיוס).

[עריכה] גודל סיבוב במעגל

גודל סיבוב תלוי בהיקף המעגל וברדיוסו, כלומר : $\frac{p_\bigcirc}{r}$ . אם ברצוננו למצוא זווית אחרי רבע סיבוב, אנו למעשה, צריכים רק $\frac{1}{4}p_\bigcirc$ .

למשל, נתון :

רדיוס = 2 ס"מ.
היקף = $4 * π$ .
רבע סיבוב :
- רבע היקף : $\frac{4\pi}{4}=\pi$
- $\frac{p_\bigcirc}{r}=\frac{\pi}{2}$

נקדים את המאוחר ונאמר כי כולנו יודעים שרבע מעגל שווה ל- $90^\circ$ .

אם נפתח את הנוסחא למציאת היקף, נוכל לגלות כי "גודל סיבוב שלם" ( $360^\circ$ ) שווה לשני פאי : $P_{\bigcirc}= \pi*2r\rightarrow 2\pi=\frac{P_\bigcirc}{r}$ . למעשה, הגדרו את זוויות (הגדרה שרירותית) המעגל באמצעות קבוע (מספר טבעי).

[עריכה] סיכום

במעגל יש $360^\circ=2\pi$ . אם נרצה למצוא את גודלה של זוויות ( $α$ ) נוכל לעזר במעלות או רדיאנים.

$\frac{\alpha}{2\pi}=\frac{\alpha^\circ}{360^\circ}$

[עריכה] דוגמא - הפיכה מזווית לרדיאן

מצא את גודל הזווית $30^\circ$ ברדיאנים.

$\begin{align} &\frac{\alpha_{RAD}}{2\pi}=\frac{\alpha^\circ}{360^\circ}\\ &\frac{\alpha_{RAD}}{2\pi}=\frac{30^\circ}{360^\circ}\\ &\frac{\alpha_{RAD}}{2\pi}=\frac{1}{12}\\ &\alpha_{RAD}=\frac{1}{12}*{2\pi}\\ &\alpha_{RAD}=\frac{\pi}{6}\\ \end{align}$

[עריכה] מעגל היחידה ורדיאנים

קשת

כידוע, רדיוסו של מעגל היחידה הוא 1 ס"מ, ולכן, נוכל להגדיר באמצעותו את גודל הקשת עבור רדיאן אחד.

היחס בין קשת להיקף המעגל ( $\frac{l}{2\pi*r}$ ), זהה ליחס שבין רדיאן להיקף המעגל ( $\frac{\alpha_{RAD}}{2\pi}$ ) :

$\begin{align} &\frac{l}{2\pi*r}=\frac{\alpha_{RAD}}{2\pi}\\ &\downarrow\\ &l=\alpha_{RAD}*r\\ &r=1\\ &\downarrow\\ &l=\alpha_{RAD}\\ \end{align}$

כלומר, במעגל היחידה : אורך הקשת (l), גודל הזווית ( $α R A D$ ).

אם זווית שווה ל-1RAD, אז הקשת שלה שווה ל-1 ס"מ.
אם זווית שווה ל-2RAD, אז הקשת שלה שווה ל-2 ס"מ.
אם זווית שווה למינוס 3RAD, אז הקשת שלה שווה למינוס 3 ס"מ.

מעגל היחידה על ציר המספרים

מכאן, שנוכל לצייר את מעגל היחידה על ציר מספרים. ואם נוכל לצייר את מעגל היחידה על ציר - אין לנו כבר את הבעיה שעבור נקודה יש מספר זווית. כמו גם, במקום לרשום זוויות על ציר המספרים, נוכל לעזר במספר פאי.

[עריכה] קישורים חיצונים

לא מדויק

מתמטיקה תיכונית/טריגונומטריה/הרדיאן

מתוך ויקיספר, אוסף ספרי הלימוד והמדריכים החופשי.

תוכן עניינים

[עריכה] הקדמה - המושג פונקציה עד כה

[עריכה] היכן ה-X?

[עריכה] הפונקציות הטריגונומטריות מוגדרות באמצעות זוויות

[עריכה] הגדרת הרדיאן

[עריכה] מספר הרדיאנים במעגל

[עריכה] רענון חומר

[עריכה] מיני סיכום

[עריכה] גודל סיבוב במעגל

[עריכה] סיכום

[עריכה] דוגמא - הפיכה מזווית לרדיאן

[עריכה] מעגל היחידה ורדיאנים

[עריכה] קישורים חיצונים

צפיות

כלים אישיים

ניווט

קהילה

חיפוש

תיבת כלים

הדפסה/ייצוא