מתמטיקה תיכונית/טריגונומטריה/הרדיאן

הקדמה - המושג פונקציה עד כה

רבים מאנשים מגדירים פונקציה, בין היתר באמצעות ערכי $\ x$ ו-$\ y$. כלומר, לכל נקודה על הפונקציה צריך להיות$\ x$ ו-$\ y$ שערכם הוא מספר, כמו למשל, $(0,1)$.
ההסקה למסקנה זו ברורה, הרי יש לנו שני צירים (במקרה של פונקציות), ציר $\ x$ וציר $\ y$. לכן, מן הסתם שנקודה הנמצאת על הגרף תצטרך להיות מבוטאת באמצעות ערך $\ x$ וערך $\ y$. עם זאת, עבור פונקציה טריגונומטרית אין אנו "רואים" את ה-$\ x$, כל שאנו רואים היא פונקציה שנראת כך : $y=sin\alpha$.

היכן ה-$\ x$?

עתה נשאלת השאלה היכן ה-$\ x$? למי שלא הבין עד כה, ה-$\ x$ מבוטא באמצעות זווית ולא באמצעות קנה המידה שעד כה הינו רגילים אליו - מספרים. בלשון אחרת, ניתן לכתוב את תבנית פונקצית הסינוס כך : $\ y=\sin x$, כאשר $\ x=\alpha$.

נושא זה קצת מורכב יותר ממה שמתואר בהסבר, אנו נטפטף את כלל חלקיו בהמשך בנושאים:

1. הפונקציות הטריגונומריות של זוויות יחודיות.
2. משוואות טריגונומטריות.

הפונקציות הטריגונומטריות מוגדרות באמצעות זוויות

עתה, הגענו לשאלה מדאיגה עוד יותר אם הפונקציות הטריגונומטריות מוגדרות באמצעות זוויות הנמצאות במעגל היחידה הטריגנומטרי ואילו הגרפים אותם אנו מציירים הם באמצעות מספרים - כיצד ממירים זווית למספר? ומספר לזווית? בנוסף לכך, נשאלת השאלה : כיצד נצייר פונקציה במעגל?

התשובות לכך היא : באמצעות הרדיאן - יחידת מדידה נוספת עבור זוויות.

הגדרת הרדיאן

קשת

רדיאן - גודל הזווית שווה לרדיוס המעגל

קשת (L) במעגל היא קטע מהמעגל התחום בין שתי נקודות. גודלה של זווית במעגל נקבע באמצעות הקשת שלה. ככל שהקשת רחבה יותר, כך הזווית תהיה גדולה יותר.
שימו לב כי : קשת נמדדת באמצעות מספרים או מעלות, ואילו זווית נמדדת באמצעות מעלות.

הרדיאן - מידת יחידה המגודרת כך : זווית היוצאת ממרכז מעגל ונוצרת על ידי קשת שהיקפה שווה לאורך של רדיוס המעגל.

מספר הרדיאנים במעגל

רענון חומר

רדיוס - - מרחק הנקודות על המעגל מנקודת המרכז שלו. ככל שהרדיוס גדול יותר, כך, היקף המעגל גדול יותר. כלומר, היקף המעגל תלוי בגודל הרדיוס שלו.

היחס בין הקיף המעגל לרדיוסו, קבוע
קוטרו ($\ 2*r$, רדיוס כפול $\ 2$) של מעגל מסויים מקיף את מעגלו בערך שלוש פעמים: $\ ...3.141592653$ (כאשר הספרות נמשכות עד אין קץ - לא ניתן לכתוב את המספר בשלמותו), ובכדי לתאר אותו במדוייק, הוחלט לסמן מספר זה באות פאי : $\pi=3.141592653\dots$. דהיינו, אם הרדיוס שווה ל-$\ 2$, היקפו של המעגל יהיה : $p_\bigcirc=2*2*\pi$. נסכם :

1. הרדיאן - זווית היוצאת ממרכז מעגל ונוצרת על ידי, קשת ($\ L$) שהיקפה שווה לאורך של רדיוס המעגל $\ L=r$.
2. רדיוס מקיף $2\pi$ פעמים את המעגל. לכן, הנוסחא להיקף מעגל היא קוטר*פאי : $P_{\bigcirc}= \pi*2r$.

מסקנה : אנו יכולים להשתמש ביחס בין היקף המעגל לרדיוסו $\frac{P_{\bigcirc}}{r}$ עבור רדיאן. אנו יודעים כי בהיקף המעגל יש $2\pi$ פעמים רדיוס. כל "רדיוס" הנמצא ב"היקף המעגל" הוא רדיאן (שווה לרדיוס).

גודל סיבוב במעגל

יש לשכתב ערך זה ייתכנו לכך מספר סיבות: ייתכן שהמידע המצוי בדף זה מכיל טעויות, או שהניסוח וצורת הכתיבה שלו אינם מתאימים לוויקיספר. אתם מוזמנים לסייע ולתקן את הבעיות בדף זה, אך אנא אל תורידו את ההודעה כל עוד לא תוקן הדף. אם אתם סבורים כי אין בדף בעיה, ניתן לציין זאת בדף השיחה שלו.

גודל סיבוב תלוי בהיקף המעגל וברדיוסו, כלומר : $\frac{p_\bigcirc}{r}$. אם ברצוננו למצוא זווית אחרי רבע סיבוב, אנו למעשה, צריכים רק $\frac{1}{4}p_\bigcirc$.

למשל, נתון :

1. רדיוס = 2 ס"מ.
2. היקף = $\ 4*\pi$ .
3. רבע סיבוב :
   • רבע היקף : $\frac{4\pi}{4}=\pi$
   • $\frac{p_\bigcirc}{r}=\frac{\pi}{2}$

נקדים את המאוחר ונאמר כי כולנו יודעים שרבע מעגל שווה ל-$90^\circ$.

אם נפתח את הנוסחא למציאת היקף, נוכל לגלות כי "גודל סיבוב שלם" ($360^\circ$) שווה לשני פאי : $P_{\bigcirc}= \pi*2r\rightarrow 2\pi=\frac{P_\bigcirc}{r}$. למעשה, הגדרו את זוויות (הגדרה שרירותית) המעגל באמצעות קבוע (מספר טבעי).

סיכום

במעגל יש $360^\circ=2\pi$. אם נרצה למצוא את גודלה של זוויות ($\alpha$) נוכל לעזר במעלות או רדיאנים.

$\frac{\alpha}{2\pi}=\frac{\alpha^\circ}{360^\circ}$

דוגמא - הפיכה מזווית לרדיאן

מצא את גודל הזווית $30^\circ$ ברדיאנים.

$\begin{align} &\frac{\alpha_{RAD}}{2\pi}=\frac{\alpha^\circ}{360^\circ}\\ &\frac{\alpha_{RAD}}{2\pi}=\frac{30^\circ}{360^\circ}\\ &\frac{\alpha_{RAD}}{2\pi}=\frac{1}{12}\\ &\alpha_{RAD}=\frac{1}{12}*{2\pi}\\ &\alpha_{RAD}=\frac{\pi}{6}\\ \end{align}$

מעגל היחידה ורדיאנים

קשת

כידוע, רדיוסו של מעגל היחידה הוא 1 ס"מ, ולכן, נוכל להגדיר באמצעותו את גודל הקשת עבור רדיאן אחד.

היחס בין קשת להיקף המעגל ($\frac{l}{2\pi*r}$), זהה ליחס שבין רדיאן להיקף המעגל ($\frac{\alpha_{RAD}}{2\pi}$) :

$\begin{align} &\frac{l}{2\pi*r}=\frac{\alpha_{RAD}}{2\pi}\\ &\downarrow\\ &l=\alpha_{RAD}*r\\ &r=1\\ &\downarrow\\ &l=\alpha_{RAD}\\ \end{align}$

כלומר, במעגל היחידה : אורך הקשת (l), גודל הזווית ($\alpha_{RAD}$).

1. אם זווית שווה ל-1RAD, אז הקשת שלה שווה ל-1 ס"מ.
2. אם זווית שווה ל-2RAD, אז הקשת שלה שווה ל-2 ס"מ.
3. אם זווית שווה למינוס 3RAD, אז הקשת שלה שווה למינוס 3 ס"מ.

מעגל היחידה על ציר המספרים

מכאן, שנוכל לצייר את מעגל היחידה על ציר מספרים. ואם נוכל לצייר את מעגל היחידה על ציר - אין לנו כבר את הבעיה שעבור נקודה יש מספר זווית. כמו גם, במקום לרשום זוויות על ציר המספרים, נוכל לעזר במספר פאי.

קישורים חיצונים

1. לא מדויק