מתוך ויקיספר, אוסף ספרי הלימוד והמדריכים החופשי.

דף זה זקוק לעריכה, על מנת שיתאים לסטנדרטים של ויקיספר העברי

הסיבה שניתנה לכך היא יש להעביר את הוכחות לכרך הוכחות + ליצור טבלה מלאה. אם אתם סבורים כי אין בדף בעיה, ניתן לציין זאת בדף השיחה שלו.

תוכן עניינים

1 תבנית- כיצד מוצאים את X
2 הפונקציה הטריגונומטריות עבור פונקציות מיוחדות
3 הפונקציות הטריגונומטריות - הוכחות
4 סיכום
- 4.1 ערכי הפונקציות סינוס וקוסינוס
- 4.2 ערכי הפונקציות טנגס וקוטנגס

[עריכה] תבנית- כיצד מוצאים את X

בנושא זה אנו נתקן (או נחדד) את חלק מהדברים אשר נאמרו בנושאים קודמים. טענו בנושא הרדיאן כי ה-X שווה ל- $α$ , הובחן, עובדה זו נכונה בחלקה. למעשה, $X = sinα$ , כלומר, כאשר $\alpha=30^\circ$ , נלחץ במחשבון $\sin30^\circ$ ונמצא את X ; $X=\frac{1}{2}$

[עריכה] הפונקציה הטריגונומטריות עבור פונקציות מיוחדות

קיימים מספר של זוויות מיוחדות ( $0^\circ, 30^\circ, 60^\circ,90^\circ$ ); משולשים ייחודים (משולש זהב, משולש כסף), אשר נמצאות בשימוש קבוע. ידעת ערך הפונקציה עבור זוויות אלו מקלה על דרך החישוב ומציאת פיתרון "יפה" (ללא שארית).

[עריכה] הפונקציות הטריגונומטריות - הוכחות

[עריכה] מקרא

${\color{Gray}\triangle}$ - משולש כסף
${\color{BurntOrange}\triangle}$ - משולש זהב.

[עריכה] הפונקציות הטריגונומטריות לזווית $\alpha^\circ=45^\circ$

נתון :

$\angle\alpha=45^\circ$
$\angle\beta=90^\circ$
$sinα = | A B |$
$cosα = | O B |$

צ"ל:

$| A B | = ?$
$| O B | = ?$

הוכחה : $\begin{align} &\angle \beta =90^\circ\\ &\angle \alpha=45^\circ\\ &\downarrow\\ &\angle A=90^\circ-45^\circ=45^\circ\\ &\downarrow\\ &{\color{blue}AB=OB=X}\\ &AO=1_{cm}=r (Unit circles)\\ &\downarrow\\ &X^2+X^2=1\\ &2x^2=1\\ &X^2=\frac{1}{2}=\sqrt{\frac{1}{2}}\\ &X=\frac{\sqrt {2}}{2}\\ &\downarrow\\ &{\color{blue}\sin 45^\circ=\cos45^\circ=\frac{\sqrt {2}}{2}}\\ \end{align}$

ע"פ הנחה זו נוכל למצוא את $tan45^\circ$ : $tan45^\circ=\frac{\sin45^\circ}{\cos45^\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

[עריכה] הפונקציה הטריגונומטרית לזווית $30^\circ$

נתון :

$\angle\alpha=30^\circ$
$\angle\beta=90^\circ$
$sinα = | A B |$
$cosα = | O B |$

צ"ל:

$| A B | = ?$
$| O B | = ?$

הוכחה :

$\begin{align} &\angle \beta =90^\circ\\ &\angle \alpha=30^\circ\\ &\downarrow\\ &\angle A=90^\circ-30^\circ=60^\circ\\ &\downarrow\\ &AB=\frac{1}{2}OA ({\color{Gray}\triangle})\\ &AO=1_{cm}=r (Unit circles)\\ &\downarrow\\ &{\color{blue}\sin\alpha^\circ=AB=\frac{1}{2}}\\ &\downarrow\\ &(\frac{1}{2})^2+OB^2=1\\ &OB^2=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}\\ &{\color{blue} OB=\sqrt{\frac{3}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\ \end{align}$

ע"פ הנחה זו נוכל למצוא את $tan30^\circ$ :

$tan30^\circ=\frac{\sin30^\circ}{\cos30^\circ}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt 3}{3}$

[עריכה] פונקציה טריגונומטרית לזווית $60^\circ$

נתון :

$\angle\alpha=60^\circ$
$\angle\beta=90^\circ$
$sinα = | A B |$
$cosα = | O B |$

צ"ל:

$| A B | = ?$
$| O B | = ?$

הוכחה :

$\begin{align} &\angle \beta =90^\circ\\ &\angle \alpha=60^\circ\\ &\downarrow\\ &\angle A=90^\circ-60^\circ=30^\circ\\ &\downarrow\\ &OB=\frac{1}{2}OA ({\color{Gray}\triangle})\\ &AO=1_{cm}=r (Unit circles)\\ &\downarrow\\ &{\color{blue}\cos\alpha^\circ=OB=\frac{1}{2}}\\ &\downarrow\\ &(\frac{1}{2})^2+AB^2=1\\ &AB^2=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}\\ &{\color{blue} AB=\sqrt{\frac{3}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\ \end{align}$

ע"פ הנחה זו נוכל למצוא את $tan60^\circ$ :

$tan60^\circ=\frac{\sin60^\circ}{\cos60^\circ}\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{1}={\sqrt 3}$

[עריכה] סיכום

[עריכה] ערכי הפונקציות סינוס וקוסינוס

דרך לזכור את הערכים הפשוטים של הפונקצייות סינוס וקוסינוס:

$\begin{matrix} & 0^{o} & 30^{o} & 45^{o} & 60^{o} & 90^{o} \\ sin: & \dfrac{\sqrt{0}}{2} & \dfrac{\sqrt{1}}{2} & \dfrac{\sqrt{2}}{2} & \dfrac{\sqrt{3}}{2} & \dfrac{\sqrt{4}}{2} \\ \\ cos: & \dfrac{\sqrt{4}}{2} & \dfrac{\sqrt{3}}{2} & \dfrac{\sqrt{2}}{2} & \dfrac{\sqrt{1}}{2} & \dfrac{\sqrt{0}}{2} \end{matrix}$