מתמטיקה תיכונית/טריגונומטריה/דף נוסחאות

מתוך ויקיספר, אוסף ספרי הלימוד והמדריכים החופשי.

הפונקציות הטריגונומטריות
דף נוסחאות

ברשימה זאת מוצגות נוסחאות מענף הטריגונומטריה.

הערה: בנוסחאות אלה הזוויות הן בהצגה רדיאנית, כנהוג. על מנת שתוכלו להציב ערכים במעלות, בכל מקום בו רשום $\ \pi$ , רשמו $180^o \;$ .

תוכן עניינים

1 זהויות יסודיות
2 זווית שלילית
3 סכום והפרש זוויות
4 זווית כפולה
5 מחצית הזווית
6 מעבר מסכום/הפרש פונקציות למכפלת פונקציות
7 מעבר ממכפלת פונקציות לסכום/הפרש פונקציות
8 זווית משולשת
9 קירובים
10 פונקציות מורכבות

[עריכה] זהויות יסודיות

$\ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$

$\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \left\{ \alpha \ne \frac{\pi}{2}\right\}$

$\cot\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\left\{\alpha \ne 0\right\}$

$\tan\alpha \cdot \cot\alpha = 1\left\{ \alpha \ne \frac{\pi}{2},0\right\}$

$1 + \tan^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha} \left\{ \alpha \ne \frac{\pi}{2}\right\}$

$1 + \cot^2\alpha = \frac{1}{\sin^2\alpha}\left\{ \alpha \ne 0\right\}$

$\ \tan\alpha= \cot\alpha-2\cot2\alpha \left\{ \alpha \ne \frac{\pi}{2},0\right\}$

$\ \sin(\pi-\alpha) = \sin\alpha$

$\ \cos(\pi-\alpha) = -\cos\alpha$

$\ \sin(\frac{\pi}{2}-\alpha) = \cos\alpha$

$\ \cos(\frac{\pi}{2}-\alpha) = \sin\alpha$

$\ \cot(\frac{\pi}{2}-\alpha) = \tan\alpha$

$\ \tan(\frac{\pi}{2}-\alpha) = \cot\alpha$

[עריכה] זווית שלילית

$\ \sin(-\alpha) = - \sin\alpha$

$\ \cos(-\alpha) = \cos\alpha$

$\ \tan(-\alpha) = - \tan\alpha$

$\ \cot(-\alpha) = - \cot\alpha$

[עריכה] סכום והפרש זוויות

$\ \sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta$

$\ \sin(\alpha-\beta) = \sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta$

$\ \cos(\alpha+\beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta$

$\ \cos(\alpha-\beta) = \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta$

$\ \tan(\alpha+\beta) = \frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha \tan\beta}$

$\ \tan(\alpha-\beta) = \frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1 + \tan\alpha \tan\beta}$

נוסחאות אלה אפשר להוכיח בעזרת בנייה גאומטרית מתאימה, או בעזרת נוסחת אוילר: $\ e^{ix}=\cos(x)+i\cdot \sin(x)$ (כאשר $\ i$ היא היחידה המרוכבת) והעובדה ש- $\ e^{z+w}=e^z\cdot e^w$ לכל שני מספרים מרוכבים $\; z,w \;$ (ראה פונקציית האקספוננט).