מתמטיקה תיכונית/טריגונומטריה/דף נוסחאות

מתוך ויקיספר
קפיצה אל: ניווט, חיפוש


ברשימה זאת מוצגות נוסחאות מענף הטריגונומטריה.

הערה: בנוסחאות אלה הזוויות הן בהצגה רדיאנית, כנהוג. על מנת שתוכלו להציב ערכים במעלות, בכל מקום בו רשום \ \pi, רשמו 180^o \;.

זהויות יסודיות[עריכה]

\ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1

\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}  \left\{ \alpha \ne \frac{\pi}{2}\right\}

\cot\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\left\{\alpha \ne 0\right\}

\tan\alpha \cdot \cot\alpha = 1\left\{ \alpha \ne \frac{\pi}{2},0\right\}

1 + \tan^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha} \left\{ \alpha \ne \frac{\pi}{2}\right\}

1 + \cot^2\alpha = \frac{1}{\sin^2\alpha}\left\{ \alpha \ne 0\right\}

\ \tan\alpha= \cot\alpha-2\cot2\alpha \left\{ \alpha \ne \frac{\pi}{2},0\right\}

\ \sin(\pi-\alpha) = \sin\alpha

\ \cos(\pi-\alpha) = -\cos\alpha

\ \sin(\frac{\pi}{2}-\alpha) = \cos\alpha

\ \cos(\frac{\pi}{2}-\alpha) = \sin\alpha

\ \cot(\frac{\pi}{2}-\alpha) = \tan\alpha

\ \tan(\frac{\pi}{2}-\alpha) = \cot\alpha

זווית שלילית[עריכה]

\ \sin(-\alpha) = - \sin\alpha

\ \cos(-\alpha) = \cos\alpha

\ \tan(-\alpha) = - \tan\alpha

\ \cot(-\alpha) = - \cot\alpha

סכום והפרש זוויות[עריכה]

\ \sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta

\ \sin(\alpha-\beta) = \sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta

\ \cos(\alpha+\beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta

\ \cos(\alpha-\beta) = \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta

\ \tan(\alpha+\beta) = \frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha \tan\beta}

\ \tan(\alpha-\beta) = \frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1 + \tan\alpha \tan\beta}

נוסחאות אלה אפשר להוכיח בעזרת בנייה גאומטרית מתאימה, או בעזרת נוסחת אוילר: \ e^{ix}=\cos(x)+i\cdot \sin(x) (כאשר \ i היא היחידה המרוכבת) והעובדה ש-\ e^{z+w}=e^z\cdot e^w לכל שני מספרים מרוכבים  \; z,w \; (ראה פונקציית האקספוננט).

זווית כפולה[עריכה]

\ \sin2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha

\ \cos2\alpha = \cos^2\alpha-\sin^2\alpha = 2\cos^2\alpha-1 = 1-2\sin^2\alpha

\tan2\alpha = \frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}

\cot2\alpha = \frac{\cot^2\alpha-1}{2\cot\alpha}

מחצית הזווית[עריכה]

\sin{\alpha \over 2} = \pm\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}} או \sin^2{\alpha} = {\frac{1-\cos 2\alpha}{2}}

\cos{\alpha \over 2} = \pm\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}} או \cos^2{\alpha} = {\frac{1+\cos 2\alpha}{2}}

\tan{\alpha \over 2} = \pm\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}}

כאשר סימן השורש נקבע לפי סימנה של הפונקציה שבאגף שמאל ברביע בו נמצאת הזווית α/2.

\tan{\alpha \over 2} = \frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha} = \frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}

מעבר מסכום/הפרש פונקציות למכפלת פונקציות[עריכה]

\sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}

\sin\alpha - \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\cos\frac{\alpha+\beta}{2}

\cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}

\cos\alpha - \cos\beta = -2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}

\tan\alpha + \tan\beta = \frac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos\alpha\cos\beta}

\tan\alpha - \tan\beta = \frac{\sin(\alpha-\beta)}{\cos\alpha\cos\beta}

מעבר ממכפלת פונקציות לסכום/הפרש פונקציות[עריכה]

\sin\alpha\sin\beta = {1 \over 2}[\cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta)]

\cos\alpha\cos\beta = {1 \over 2}[\cos(\alpha-\beta) + \cos(\alpha+\beta)]

\sin\alpha\cos\beta = {1 \over 2}[\sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta)]

זווית משולשת[עריכה]

\ \sin3\alpha= 3\sin\alpha-4\sin^3\alpha

\ \cos3\alpha= 4\cos^3\alpha-3\cos\alpha

\tan3\alpha=\frac{3\tan\alpha-\tan^3\alpha}{1-3\tan^2\alpha}

קירובים[עריכה]

שימו לב: קירובים אלו טובים אך ורק עבור ייצוג ברדיאנים (כי קשרים בין זווית לבין פונקציה נכונים רק עבור רדיאנים).

  • עבור זוויות קטנות (\alpha<<15^o\approx 0.26rad) מתקיים:
\sin\alpha\approx\tan\alpha\approx\alpha
וכן, \sin^{-1}\alpha\approx\tan^{-1}\alpha\approx\alpha
\cos\alpha\approx 1

פונקציות מורכבות[עריכה]

  • \ \cos\arctan x={1\over\sqrt{1+x^2}}