מתוך ויקיספר, אוסף ספרי הלימוד והמדריכים החופשי.

תוכן עניינים 1 משמעות גרפית 2 המצבים 3 העיקרון עליו אנו מתבססים – נקודת החיתוך מקיימת את משוואות הפונקציות 3.1 דוגמא 3.2 השוואה – מציאת נקודת חיתוך 3.2.1 דוגמא 3.2.1.1 מדוע משווים? 3.2.2 הערה 3.3 גרף מעל ומתחת 3.3.1 גרף 3.3.2 חישוב 3.3.2.1 דוגמא 4 נקודות חיתוך עם הצירים

[עריכה] משמעות גרפית

בנושא הקודם, הגדרת הפונקציה, הסברנו על הנקודה הנמצאת על פונקציה. טענו, שכל נקודה שנמצאת על פונקציה צריכה לקיים את המשוואה של הפונקציה.

בפרק זה, נמצא את נקודת החיתוך של פונקציות. נקודת חיתוך ; נקודת מפגש, היא נקודה דרכה עוברות כל הפונקציות (ולכן, בנקודה זו הפונקציות נפגשות). כלומר, היא נקודה הנמצאת על כל אחת מהפונקציות.

בכדי למצוא את נקודת החיתוך באמצעות גרף, נצייר את הפונקציות ונחפש את הנקודה בה הגרפים נפגשים זה עם זה.

[עריכה] המצבים

מצב הדדי בין פונקציות, הוא מושג הכולל בתוכו את כל המצבים שיכולים להתקיים בין פונקציות. אנו ניתן את שלושת המצבים שיכולים להתקבל מפתירת המשוואה (בהמשך נלמד כיצד מוצאים את המשוואה).

המצבים :

1. פונקציות משיקות או נחתכות – לפונקציות יכולות להיות נקודת חיתוך ונקודת השקה, שתי נקודות חיתוך וכדומה. פתרון המשוואה יהיה : X=n (מספר = n).
2. פונקציות מתלכדות – אותה פונקציה בווריאציה שונה, כלומר, השיפוע והמקדם החופשי יהיו זהים בערכם אם נפתחת את המשוואה. פתרון המשוואה יהיה משוואה תקפה תמיד, כמו למשל : 0=0, 2=2. דוגמא : הפונקציה y = 2x + 3 זהה בערכה לפונקציה . ישנם פעמים בהם נראה בקלות שהפונקציות זהות, וישנם פעמים בהם רק לאחר פתירת המשוואה, נגלה כי מדובר על אותה פונקציה.
3. פונקציות מקבילות -פונקציות שלא נפגשות לעולם. פתרון המשוואה יהיה משוואה שאינה תקפה אף פעם, כמו למשל, 2=0.

פונקציות נחתכות

פונקציות משיקות זו לזו

פונקציות בעלות שתי נקודות חיתוך.

פונקציות מקבילות

מצב הדדי בין פונקציות יכול להיות בין כל סוגי הפונקציות שנלמד, כלומר בתחילה בין פונקציה ישרה לפונקציה ישרה, בין פונקציה ישרה לפונקציה ריבועית, ועם הזמן נעלה את מגוון הפונקציות להן נמצא נקודות חיתוך, כאשר העיקרון של מציאת נקודת החיתוך חוזר על עצמו לאורך כל הדרך.
במילים אחרות, ערך מתאים לכל רמה בה אתם נתקלים בנושא, אולם, יש להתאימו לסוג הפונקציות אותן אתם יודעים.

[עריכה] העיקרון עליו אנו מתבססים – נקודת החיתוך מקיימת את משוואות הפונקציות

מצד שני, אם נקודת החיתוך נמצאת על כל אחת מהפונקציות – היא צריכה לקיים את כל המשוואות של הפונקציות.

[עריכה] דוגמא

הנקודה (2,4) , היא נקודת חיתוך. של אילו פונקציות?

• y=x+2.
• y=3x-x
• y=2x
• y=x^2
• y=4x

נציב ונבדוק – היכן מקיימת הנקודה את המשוואה.

1. 4=2+2 V.
2. 4=3*2-2 V
3. 4=2*2 V
4. 4 = 2^2 V
5. y=4*2 X

הנקודה (2,4) היא נקודת החיתוך של הפונקציות 1-4.

[עריכה] השוואה – מציאת נקודת חיתוך

במילים אחרות, במקום למצוא את הפונקציות עבור נקודת החיתוך, נמצא את נקודת החיתוך עבור המשוואות על פי העיקרון עליו התבססנו.

[עריכה] דוגמא

נתונות הפונקציות :

• Y=2x
• y=x^2
• מהי נקודת החיתוך? [נסמן : נקודת חיתוך (X,Y)]

קיימות לנו מספר משוואות (במקרה שלנו שתים) ואנו רוצים לדעת את נקודת החיתוך שלהן. במקרה כזה, נשווה בין המשוואות הקיימות עד למציאת הפיתרון.

[עריכה] מדוע משווים?

במשוואות של הפונקציות, אנו מקבלים את היחס בין X ל-Y. הביטוי זהה עבור כלל הנקודות הקיימות על הגרף, ולכן, תקף עבור נקודת החיתוך. מצד שני, אנו יכולים גם לומר, שאנו מקבלים שתי משוואות שנכונות עבור אותו נעלם. השוואה בין הביטויים (Y המבוטא באמצעות משוואה 1 עבור נקודת חיתוך, צריך להיות שווה ל-Y המבוטא באמצעות משוואה 2 עבור נקודת החיתוך, כיוון שמדובר על אותו ערך של Y), צריכה לתת לנו את אותה תשובה, כיוון שמדובר באותה נקודה.

• 2x=x^2
• X^2-2x=0
• X(x-2)=0
• X=0 * X=2.

על פי הדוגמא, קיימות שתי נקודות חיתוך. הצבה באחת מהמשוואות, תיתן לנו את Y של הנקודה :

• Y(2)=2*2=4 (2,4)
• Y(0)=2*0=0 (2,0)

[עריכה] הערה

במקרה שלנו קיבלנו פתרון מהסוג של x=n, אולם, קיימים עוד שני סוגים של פתרונות (הפתרונות שמוצגים בראש העמוד).

[עריכה] גרף מעל ומתחת

ישנם שתי דרכים למצוא איזה גרף מעל איזה גרף :

[עריכה] גרף

1. מציאת נקודות קיצון של הפונקציות.
2. שרטוט הפונקציה.
3. בדיקה על ידי התבוננות היכן הפונקציה מעל פונקציה.

[עריכה] חישוב

• בכדי לדעת מתי g(x) גדול מ-f(x) נפתור את אי השיוויון : g(x) > f(x).
• בכדי לדעת מתי g(x) קטן מ-f(x) נפתור את אי השוויון : g(x) < f(x).

[עריכה] דוגמא

יש לנו שתי פונקציות :

• g(x)=2x^2+4.
• f(x)=3x^2+6.
• מתי g(x) גדול מ-f(x)?

• 2x^2+4>3x^2+6 – נסדר אגפים
• x^2+2<0
• x^2+2=0
• X = sqrt2 , x = − sqrt2

נצייר צייר X (פרבולה ישרה) ונבדוק מתי X קטן מאפס.

g(x) גדול מ-f(x) בטווח:

[עריכה] נקודות חיתוך עם הצירים

בכדי למצוא את נקודות החיתוך עם הצירים נעזר באותה שיטה (השוואה בין פונקציות) שנלמדה בפרק. נציין :

1. פונקציה העוברת דרך ציר ה-X היא פונקציה מהצורה : y = 0.
2. הישר העובר דרך ציר ה-Y, הוא ישר מהצורה : X = 0

לכן, בכדי למצוא נקודות חיתוך עם הצירים נציב בפונקציה המתבקשת ונפתור :

1. X = 0 - בכדי לגלות את נקודות החיתוך עם ציר ה-.Y
2. y = 0 - בכדי לגלות את נקודות אפס (נקודת חיתוך ציר X).