מתוך ויקיספר, אוסף ספרי הלימוד והמדריכים החופשי.

< מתמטיקה תיכונית | חשבון דיפרנציאלי | אסיפטוטות

קפיצה אל: ניווט, חיפוש

גרף הפונקציה y=1/x, שבו נוצרות שתי אסימפטוטות: לקו y = 0 ולקו x = 0

תוכן עניינים

1 הגדרה
2 בעיה לאחר הצבה
- 2.1 דוגמא - דרך א' - הארוכה
3 שלושת הפתרונות
- 3.1 דוגמא - דרך ב' הקצרה
4 תיאור הגרף
- 4.1 התנהגות פונקציה בסביבה בה יש אסימפטוטה אופקית
- 4.2 נקודת חיתוך של אסימפטוטה אופקית עם הפונקציה
  - 4.2.1 דוגמא

[עריכה] הגדרה

הגדרה:

אסימפטוטה אופקית גבול בו הפונקציה אינה עוברת; ישר אליו, ערך ה-X של הפונקציה, הולך ומתקרב לישר כאשר X שואף לאינסוף או למינוס אינסוף.

כלומר, אסימפטוטה אופקית היא גבול (lim), לו ערך ה-X של הפונקציה שואף להיות הקרוב ביותר כאשר הוא שואף ל-X. לכן, כאשר נרצה לגלות את האסיפטוטות האופקיות של פונקציה, נציב ב-X הפונקציה :

$X=\infty$ כלומר : $\lim_{X \to \infty}$
$X=-\infty$ , כלומר : $\lim_{X \to -\infty}$ .

[עריכה] בעיה לאחר הצבה

בכדי להסביר את הבעיה נעזר בדוגמא.

נתונה הפונקציה : $y=\frac{x^2+5x}{x^2+x-20}$ .

נמצא את האסימפטוטות האופקיות של הפונקציה ע"י הצבה, כפי שאמרנו : $\lim_{X \to \infty}$ בפונקציה $y=\frac{x^2+5x}{x^2+x-20}$ .

נקבל : $y=\frac{\infty^2+5 \infty}{\infty^2+\infty-20}$ .

כפי שניתן לראות קצת קשה להחליט מהי התשובה כיוון שלא ניתן לצמצם אף אחד מהערכים. לכן, בכדי שיצטמצמו לנו ערכים, אנו נעזר ב"טריק" ; נחלק את המונה והמכנה ב-x במעלה הגבוהה ביותר בה הוא קיים בפונקציה (כידוע, מותר לצמצם או להרחיב שבר ע"י חלוקה או הכפלה של המונה והמכנה באותו מספר, כל עוד הוא ישאר אותו שבר). כך, שכאשר נציב ב-X אינסוף, נוכל לעזר בכלל הבא.

הגדרה:

כלל החילוק באינסוף או במינוס אינסוף:

כל מספר שנחלק אותו לאינסוף נקבל ערך השואף לאפס (מספר קטן לחלק למספר גדול שווה לכמו אפס).
כל פלוס/מינוס אינסוף חלקי מספר שווה לכמו "אין פתרון"

[עריכה] דוגמא - דרך א' - הארוכה

נפתור את הדוגמא שניתנה בשלב הקודם. הפונקציה : $\lim_{X \to \infty}$ בפונקציה $y=\frac{x^2+5x}{x^2+x-20}$ .

ערך ה-X הגבוהה ביותר של הפונקציה הוא $X 2$ .

לכן, נקבל : $y=\frac{\frac{x^2}{X^2}+\frac{5x}{x^2}}{\frac{x^2}{X^2}+\frac{x}{x^2}-\frac{20}{x^2}}$ .

נצמצם : $y=\frac{1+\frac{5}{x}}{1+\frac{1}{x}-\frac{20}{x}}$

על פי ההגדרה :

$\lim_{X \to \pm\infty}\frac{5}{x}=0$
$\lim_{X \to \pm\infty}\frac{1}{x}=0$
$\lim_{X \to \pm\infty}\frac{20}{x}=0$

שימו לב:

ישנם פונקציות בהן יש לבדוק לחוד את ה- $\lim_{X \to \infty}$ ואת ה- $\lim_{X \to -\infty}$ . בדוגמא שלנו, התשובה זהה לשני המצבים, ולכן, לא פרתנו את הדרך לחוד עבור כל X" שואף".

כלומר נקבל : $y=\frac{1}{1}=1$

פתרון :
אסיפטומטה אופקית : y=1

[עריכה] שלושת הפתרונות

שלושת הפתרונות הקימים :

y=0 (מתלכדת עם ציר ה-X בגרף)- כאשר מעריך החזקה הגבוה ביותר נמצא במכנה (מספר קטן חלקי מספר גדול שווה לכמו אפס).
אין אסימפטוטה המקבילה לציר X-כאשר מעריך החזקה הגבוה ביותר נמצא במונה. במקרה כזה המכנה הופך להיות לכמו אפס. חלוקה לאפס אינה חוקית, ולכן אין אסימפטוטה אופקית.
אסיפטוטה Y היא ערך מקדמי ה-X הגבוה - אם גם במונה וגם במכנה קיים איבר המכיל את x ברמה הגבוהה שנבחרה, הרי שאחרי הצמצום יישארו רק המקדמים של האיברים, ומנתם תהיה ערך האסימפטוטה האופקית.

[עריכה] דוגמא - דרך ב' הקצרה

פונקציה : $y=\frac{x^2+5x}{x^2+x-20}$ .

ערך ה-X הגדול ביותר נמצא גם במונה וגם במכנה, ולכן, ערך האסימפטוטה, יהיה ערך המקדמים :

מקדם ה-X הגדול במונה : 1.
מקדם ה-X הגדול במכנה : 1.
ערך האסימפטוטה : $y=\frac{1}{1}=1$

שימו לב:

לא לשכוח לרשום מתי התשובה היא עבור $\lim_{X \to \infty}$ ומתי $\lim_{X \to -\infty}$ (ואם לשניהם אותה תשובה לציין פעמים את התשובה, פעם עבור $\lim_{X \to \infty}$ ופעם עבור $\lim_{X \to -\infty}$ )

פתרון :
אסיפטומטה אופקית : y=1

[עריכה] תיאור הגרף

[עריכה] התנהגות פונקציה בסביבה בה יש אסימפטוטה אופקית

הגדרה:

אסימפטוטה אופקית גבול בו הפונקציה אינה עוברת; ישר אליו, ערך ה-X של הפונקציה, הולך ומתקרב לישר כאשר X שואף לאינסוף או למינוס אינסוף.

להרחבה ולהוכחה : לחץ כאן

[עריכה] נקודת חיתוך של אסימפטוטה אופקית עם הפונקציה

בניגוד לאסימפטוטה אנכית, אסימפטוטה אופקית יכולה להיחתך על ידי הפונקציה עצמה ולכן, סעיף נוסף שיש להוסיף בתיאור גרף בו תיהיה בדיקת נקודת חיתוך עם אסיפטוטה.

סעיף זה, הוא למעשה, מציאת נקודת חיתוך של הפונקציה עם הישר y אסימפטוטה. כלומר, הפעולה אותה נבצע תיהיה השוואה, על ידי, הצבת y אסימפטוטה ב-Y הפונקציה.

[עריכה] דוגמא

הפונקציה : $y=\frac{x^2+5x}{x^2+x-20}$ .
ערך האסימפטוטה : $y = 1$
בדיקה עבור נקודות חיתוך בין אסימפטוטה אופקית לפונקציה (הצבה y=1) : \frac{x^2+5x}{x^2+x-20}=1</math>
נפטר מהמכנה : $x 2 + x - 20 = x 2 + 5 x$ .
נסדר אגפים : $4 x = - 20$
נמצא פתרון : $x = - 5$ .

הפונקציה ואסימפטוטה אופקית נחתכים בנקודה $x = - 5$ .

מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/אסיפטוטות/אסימפטוטות אופקיות (המקבילות לציר X)

מתוך ויקיספר, אוסף ספרי הלימוד והמדריכים החופשי.

תוכן עניינים

[עריכה] הגדרה

[עריכה] בעיה לאחר הצבה

[עריכה] דוגמא - דרך א' - הארוכה

[עריכה] שלושת הפתרונות

[עריכה] דוגמא - דרך ב' הקצרה

[עריכה] תיאור הגרף

[עריכה] התנהגות פונקציה בסביבה בה יש אסימפטוטה אופקית

[עריכה] נקודת חיתוך של אסימפטוטה אופקית עם הפונקציה

[עריכה] דוגמא

צפיות

כלים אישיים

ניווט

קהילה

חיפוש

תיבת כלים

הדפסה/ייצוא