מתוך ויקיספר, אוסף ספרי הלימוד והמדריכים החופשי.

עד כה עסקנו בחיבור וחיסור של וקטורים ובכפל שלהם במספרים ממשיים. כעת, נלמד על ההגדרה של המכפלה הסקלרית ועל שימושיה הרבים בחישובים כמותיים עם וקטורים. נלמד שבעזרת המכפלה הסקלרית ניתן להגדיר את הזווית ואת האורך של הוקטורים וכן, נראה את תכונותיה המעניינות.

תוכן עניינים

1 רענון
- 1.1 מרחק בין שתי נקודות
2 הקדמה
- 2.1 האורך של וקטור מבחינה גיאומטרית
- 2.2 הזווית בין שני וקטורים
3 הגדרת המכפלה הסקלרית
- 3.1 תכונות המכפלה הסקלרית
4 חישוב של המכפלה הסקלרית
5 שימושים של המכפלה הסקלרית

[עריכה] רענון

ראשית נערוך תזכורת קצרה של הנושאים מרחק בין שתי נקודות במישור. אם הנושא הזה כבר מוכר לכם היטב אתם יכולים לעבור ישירות להקדמה.

[עריכה] מרחק בין שתי נקודות

משולש ישר זווית, חישוב מרחק בין שתי נקודות במישור

בהינתן שתי נקודות במישור A וB, אנו מעוניינים למצוא את המרחק ביניהן (הכוונה כמובן למרחק הקצר ביותר , שזהו כמובן האורך של הקו הישר המחבר בין שתי הנקודות). כדי לעשות זאת, נעביר אנכים מהנקודות A וB לציר הx ולציר הy (סך הכל ארבעה אנכים, שתיים לציר הx ושתיים לציר הy). עקב כך, נוצר לנו משולש ישר זווית (כמו שמצוייר בתמונה משמאל). כעת נוכל להשתמש במשפט פיתגורס כדי לחשב את אורך היתר של המשולש, שהוא בעצם המרחק בין A לB.

הגדרה 1: המרחק בין שתי נקודות במישור

יהיו
$A\left(x_1,y_1\right) ; B \left(x_2,y_2\right)$
אז המרחק בין A לB הוא
$d_{AB}=\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 }$

[עריכה] הקדמה

כמה דברים שצריך לעבור עליהם לפני שמגיעים להגדרה של המכפלה הסקלרית.

[עריכה] האורך של וקטור מבחינה גיאומטרית

עד כה דיברנו רק על הסימון של האורך של הוקטור ולא התעמקנו לחלוטין במשמעות של המושג "אורך" של וקטור. להלן ההגדרה של אורך של וקטור:

הגדרה 2: אורך של וקטור

האורך של הוקטור $\vec{AB}$ מוגדר להיות אורך הקטע AB

את המרחק ניתן לחשב באמצעות המרחק של שתי נקודות במישור או במרחב.

[עריכה] הזווית בין שני וקטורים

אילוסטרציה של הזווית בין שני וקטורים במישור

הזווית בין שני וקטורים $\vec{OA}$ ו $\vec{OB}$ מוגדרת להיות הזווית בין הקרן OA לקרן OB (כאן O היא לא בהכרח ראשית הצירים).

הזווית יכולה להיות מוגדרת בין שני וקטורים שאין להם בהכרח את אותו המוצא, במקרה זה פשוט מזיזים את אחד מהוקטורים למוצא של השני כדי ליצור להם מוצא משותף.

הסימון המקובל לזווית שבין שני הוקטורים $\underline a$ ו $\underline b$ הוא:

$\angle\left(\underline a , \underline b \right)$

[עריכה] הגדרת המכפלה הסקלרית

המכפלה הסקלרית היא פעולה שניתן לבצע בין שני וקטורים שהתוצאה שלה היא סקלר. והיא מוגדרת בצורה הבאה:

הגדרה 3: מכפלה סקלרית

עבור שני וקטורים $\underline a$ ו $\underline b$ המכפלה הסקלרית מוגדרת להיות
$\underline a \cdot \underline b = |\underline a ||\underline b |\cos \angle\left(\underline a , \underline b \right)$

שימו לב:

בגלל שהאורך של וקטור האפס מוגדר להיות 0, המכפלה הסקלרית של וקטור האפס בוקטור אחר מוגדרת גם היא להיות 0.

כדאי לדעת:

מכפלה סקלרית מוגדרת גם בין וקטור לעצמו, במקרה זה נהוג לסמן $\underline w \cdot \underline w = {\underline w}^2$ . על המשמעות של המכפלה הסקלרית של וקטור בעצמו נדון בחלק על שימושים של המכפלה הסקלרית למציאת אורך של וקטור.

[עריכה] תכונות המכפלה הסקלרית

המכפלה הסקלרית מקיימת מספר תכונות שבעזרתן ניתן למצוא קשרים שונים שמקלים על העבודה בחישובים שונים.

לכל $\underline a$ , $\underline b$ ו $\underline c$ ולכל סקלר t מתקיים:

חילופיות (קומוטוטיביות): $\underline a \cdot \underline b = \underline b \cdot \underline a$
פילוג על חיבור (דיסטורביטיביות): $\underline a \cdot \left( \underline b + \underline c \right) = \underline a \cdot\underline b + \underline a \cdot \underline c$
הומוגניות: $\underline a \cdot \left(t\underline b \right) =t\left(\underline a \cdot \underline b \right)$

שימו לב:

כפל בסקלר הוא לא כפל רגיל! הוא לא מקיים תכונות שהיינו מצפים מכפל בדרך כלל. לדוגמה, לא ניתן לצמצמם וקטורים במכפלה סקלרית, זה חסר משמעות ומוביל לתוצאה שגויה.

[עריכה] חישוב של המכפלה הסקלרית

את המכפלה הסקלרית של שני וקטורים ניתן לחשב באמצעות מספר דרכים שונות. ייתכן מצב שבו נאלץ להשתמש בשיטה אחת בגלל נוחות לחישוב מסויים ולעיתים נשתמש בשתי שיטות כדי ליצור משוואות שיעזרו לנו למצוא נעלמים.

[עריכה] בהינתן אורכים וזוויות

דרך החישוב הזו היא פשוט שימוש ישיר בהגדרה של המכפלה הסקלרית. בגלל שאת ההגדרה כבר הרחבנו מעל ומעבר נסיים בדוגמה קצרה של דרך החישוב הזו.

[עריכה] דוגמה

יהיו $\underline a$ ו $\underline b$ וקטורים במרחב כך ש $|\underline a |=6 ; |\underline b |=2$ ושהזווית ביניהם היא 60 מעלות.

המכפלה הסקלרית תהיה:

$\underline a \cdot \underline b = 6 \cdot 2 \cdot \cos 60^{\circ} = 6$

[עריכה] דרך ייצוג אלגברי

המכפלה הסקלרית ניתנת לחישוב בעזרת הייצוג אלגברי של שני וקטורים בדרך הבאה:

בהינתן הוקטורים:
$\underline a =\left(a_x ,a_y ,a_z \right)$
$\underline b =\left(b_x ,b_y ,b_z \right)$
המכפלה הסקלרית היא:
$\underline a \cdot \underline b = a_x b_x +a_y b_y + a_z b_z$

הייצוג האלגברי שימושי מאוד במציאת הזווית בין שני וקטורים כאשר רק הייצוג האלגברי שלהם נתון בעזרת השוואה עם ההגדרה ה"גיאומטרית" של המכפלה הסקלרית.

שימו לב:

כאן אמנם שמנו הגדרה לוקטורים במרחב, אך ההגדרה זהה במהותה לוקטורים במישור וכן לוקטורים בעלי מימדים גבוהים יותר. באופן כללי, המכפלה הסקלרית היא תמיד הסכום של מכפלות הקוארדינטות המתאימות של הוקטורים.

[עריכה] באמצעות היטלים

דוגמה להיטל של הוקטור A על וקטור B.

דבר ראשון נסביר מהו היטל. כיוון שההגדרה עצמה מעט בעייתית נגדיר את ההיטל בצורה האינטואטיבית ביותר.

הגדרה 4: היטל

ההיטל של וקטור $\underline a$ על הוקטור $\underline b$ הוא הוקטור באורך של a בכיוון של b. למען הפשטות נסמן את ההיטל של a על b כך: ${\underline p}_a$ .

המכפלה הסקלרית היא לכן:
$\underline a \cdot \underline b = \pm | \underline b | |{\underline p}_a |$

השיטה הנ"ל מאוד נוחה לשימוש בהוכחות שונות במרחב ובמישור, למרות שבדרך כלל נהוג להשתמש בשתי השיטות שהוזכרו לעיל.

[עריכה] שימושים של המכפלה הסקלרית

כפי שהוזכר כבר בעבר, למכפלה הסקלרית שימושים רבים הן מבחינה גיאומטרית וכן גם לפישוט של חישובים פנימיים. כעת נראה את השימושים העיקריים של המכפלה הסקלרית.

[עריכה] אורך של וקטור

נסתכל על ההגדרה של המכפלה הסקלרית. אם נציב בהגדרה זו פעמיים וקטור מסויים, נקרא לו $\underline a$ אנחנו נקבל:

$\underline a \cdot \underline a ={\underline a}^2 = {|\underline a |}^2 \cos o^{\circ} = {|\underline a |}^2$

כלומר, המכפלה הסקלרית של הוקטור בעצמו היא ריבוע האורך שלו. לכן נוכל לרשום:

$|\underline a | = \sqrt{\underline a \cdot \underline a }$

שימו לב:

אמנם בתוך השורש כופלים פעמיים בוקטור, אבל אין לצמצם את הריבוע ואת הווקטור! החזקה בתוך השורש היא של מכפלה סקלרית בעוד השורש הוא שורש של מכפלה רגילה בין מספרים ממשיים!

נוסחה זו שימושית מאוד כאשר נתון לנו ייצוג של וקטור מסויים בעזרת וקטורים אחרים ואנחנו מעוניינים לחשב את האורך שלו.

[עריכה] זווית בין וקטורים

נסתכל על ההגדרה של המכפלה הסקלרית ונבודד משם את קוסינוס הזווית, נקבל:

$\cos \angle\left(\underline a ,\underline b \right) =\frac{\underline a \cdot \underline b }{|\underline a ||\underline b |}$

בצורה הזו קל למצוא זווית בין שני וקטורים כאשר הם נתונים בייצוג אלגברי.

[עריכה] הוכחת ניצבות

דוגמה לניצבות בין וקטורים במלבן. הוקטוררים a וb ניצבים זה לזה.

שני וקטורים נקראים ניצבים זה לזה אם הזווית ביניהם היא 90 מעלות, ומסמנים זאת כך $\underline a \perp \underline b$ . נוכיח את הטענה הבאה:

טענה 1 ניצבות של וקטורים

הוקטורים $\underline a$ ו $\underline b$ (השונים מוקטור ה0) ניצבים זה לזה אם ורק אם $\underline a \cdot \underline b = 0$ .

הוכחה: ראשית נציב בהגדרה 90 מעלות. כיוון ש $\cos {90}^{\circ} =0$ המכפלה הסקלרית מתאפסת.

כעת נוכיח שאם עבור שני וקטורים $\underline a$ ו $\underline b$ מתקיים $\underline a \cdot \underline b =0$ אז הם בהכרח ניצבים. אם המכפלה הסקלרית שווה ל0, על פי ההגדרה של המכפלה הסקלרית, זה אומר או שהאורך של a הוא אפס או שהאורך של b הוא אפס או שקוסינוס הזווית מתאפס. כיוון ששני הוקטורים שונים מוקטור האפס, הגודל שלהם לא יכול להתאפס ולכן בהכרח קוסינוס הזווית מתאפס, כלומר הזווית שווה ל90 מעלות.

בעזרת בדיקת המכפלה הסקלרית, או השוואת המכפלה הסקלרית ל0, ניתן לבדוק ניצבות ולהשתמש בניצבות כדי להוכיח הוכחות גיאומטריות. בהמשך נשתמש במכפלה הסקלרית כדי למצוא וקטור שניצב לוקטור אחד או יותר וכן נבדוק ניצבות בין ישרים ומישורים.

[עריכה] נוסחאות נוספות למכפלה הסקלרית

אחרי שראינו את החשיבות והשימושים הרבים של המכפלה הסקלרית אנו זקוקים לדרכים פשוטות ונוחות יותר לחישוב שלה. נשתמש בתכונות של המכפלה הסקלרית כדי לפתח נוסחאות פשוטות ונוחות יותר לחישוב של המכפלה הסקלרית בין שני וקטורים.

יהיו הוקטורים $\underline a$ ו $\underline b$ וקטורים כלשהם במישור או במרחב. נרשום:

${\left(\underline a +\underline b\right)}^2 ={\underline a}^2 +2\underline a \cdot \underline b +{\underline b }^2$

נשים לב, שיש רק מכפלה סקלרית אחת בביטוי מימין, ואת ריבועי הוקטורים ניתן להשיג באמצעות האורך שלהם, לכן נוכל לרשום:

$\underline a \cdot \underline b =\frac{1}{2}{|\underline a +\underline b |}^2 -\frac{1}{2}{|\underline a |}^2 -\frac{1}{2}{|\underline b |}^2$

למרות שנראית מסובכת, הנוסחה הנ"ל יכולה להיות מאוד שימושית במקרים מסויימים ורצוי לזכור אותה בעל פה.

מתמטיקה תיכונית/וקטורים/המכפלה הסקלרית

מתוך ויקיספר, אוסף ספרי הלימוד והמדריכים החופשי.

תוכן עניינים

[עריכה] רענון

[עריכה] מרחק בין שתי נקודות

[עריכה] הקדמה

[עריכה] האורך של וקטור מבחינה גיאומטרית

[עריכה] הזווית בין שני וקטורים

[עריכה] הגדרת המכפלה הסקלרית

[עריכה] תכונות המכפלה הסקלרית

[עריכה] חישוב של המכפלה הסקלרית

[עריכה] בהינתן אורכים וזוויות

[עריכה] דוגמה

[עריכה] דרך ייצוג אלגברי

[עריכה] באמצעות היטלים

[עריכה] שימושים של המכפלה הסקלרית

[עריכה] אורך של וקטור

[עריכה] זווית בין וקטורים

[עריכה] הוכחת ניצבות

[עריכה] נוסחאות נוספות למכפלה הסקלרית

צפיות

כלים אישיים

ניווט

קהילה

חיפוש

תיבת כלים

הדפסה/ייצוא