מתמטיקה תיכונית/הנדסה אנליטית/משוואת הקו הישר

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
Icono copyedit2.png יש לשכתב ערך זה
ייתכנו לכך מספר סיבות: ייתכן שהמידע המצוי בדף זה מכיל טעויות, או שהניסוח וצורת הכתיבה שלו אינם מתאימים לוויקיספר. אתם מוזמנים לסייע ולתקן את הבעיות בדף זה, אך אנא אל תורידו את ההודעה כל עוד לא תוקן הדף. אם אתם סבורים כי אין בדף בעיה, ניתן לציין זאת בדף השיחה שלו.

פונקציה של קו ישר היא כל פונקציה מהצורה:  \ y = mx + n (לעיתים מסמנים \ a במקום  \ m ו- \ b במקום  \ n). כאשר  \ m ו-  \ n הם מספרים (מקדמים) ידועים.

בפונקציה מסוג זה כל נקודות גרף הפונקציה, נמצאות על ישר אחד, ועל כן נקראת הפונקציה "פונקציה של קו ישר", או לעיתים "משוואת הישר" (שם נוסף הוא "פונקציה ממעלה ראשונה", שכן הx הוא בחזקת 1, וכן "פונקציה לינארית").

כל אחד מהמקדמים הידועים משפיע באופן אחר על גרף הפונקציה:  \ m הוא שיפוע הפונקציה ו- \ n הוא נקודת החיתוך עם ציר ה-y.

נקודת החיתוך עם ציר ה-y - האיבר החופשי[עריכה]

ניתן לראות בפשטות כי האיבר n אינו תלוי בערכו של x, והוא ישאר קבוע, על כן הוא נקרא "האיבר החופשי". לאיבר זה תכונה מיוחדת אחת - כאשר נציב 0 במקום x בתבנית הפונקציה (דבר המסמל בעצם את נקודת החיתוך עם ציר הy), נקבל  \ y = n. כלומר, נקודת החיתוך עם ציר הy שווה לn.

n בעצם, לא משפיע על הצורה של הגרף (הזווית שלה), כי כפי שראינו, השיפוע הוא מה שמשפיע. אז מה n כן עושה ? פשוט מאוד - "מרים" (ומוריד במקרה והוא שלילי) את הישר למעלה ולמטה על ציר הy.

מציאת n בהנתן נקודה ושיפוע[עריכה]

במידה וידוע לנו שיפוע כלשהו,  \ m_1, של פונקציה כלשהי, שבה אנחנו יודעים נקודה אחת של אותה הפונקציה,  \ A(x_1, y_1), קל מאוד למצוא את n.

אז איך עושים זאת? פשוט נציב את כל הידוע לנו בתבנית הפונקציה:

  •  \ y = ax + b ונקבל:
  •  \ y_1 = ax_1 \cdot ax_1 + b מכאן פשוט לפתור את המשוואה:
  •  \ b = y_1 - ax_1 \cdot ax_1. זהו, מצאנו.

דוגמה[עריכה]

נתונה הפונקציה  \ y = 5x + n וידוע כי עליה נקודה כלשהי,  \ A(5, 30). מהי תמונת הפונקציה עבור המקוור  \ x = 7?

פשוט וקל, נציב את ערכי הנקודה בתבנית הפוקנציה:

  •  \ 30 = 5 \cdot 5 + n. נפתור ונקבל:
  •  \ n = 5. עכשיו נקבל את תבנית הפונקציה במלואה:
  •  \ y = 5x + 5. נציב את ערך ה-x שביקשו מאיתנו ונקבל את הפתרון:
  •  \ y = 5 \cdot 7 + 5 = 40. פתרנו!

מציאת n בהנתן 2 נקודות[עריכה]

השיטה הפשוטה ביותר, היא כמובן, להציב את ערכי 2 הנקודות בנוסחה למציאת השיפוע (או, אם נתונה זווית, להציבה בטגנס ולמצוא שיפוע) ואז למצוא את n בעזרת נקודה אחת מהשתיים והשיפוע שמצאנו.

שיטה נוספת, ארוכה במקצת, אך חוסכת את ידיעת הנוסחות בעל-פה היא הצבת 2 הנקודות בתבנית פונקצית ישר, ולקבל 2 משוואות ב2 נעלמים ממעלה ראשונה, אותן אנחנו יודעים לפתור. נניח ויש לנו 2 נקודות:  \ A(x_1, y_1) ו-  \ B(x_2, y_2). המשוואות שנקבל יהיו: 
\left\{
\begin{matrix} y_1 & = & m \cdot x_1 + n \\  
               y_2 & = & m \cdot x_2 + n  \end{matrix}
\right.

כמובן שאם ברצוננו למצוא את n בלבד, אין צורך בפתירה מלאה של 2 המשוואות, אלא פתרון עד מציאת n בלבד, אך בדרך כלל מבקשים למצוא את כל הפונקציה.

נוסחה למציאת הישר[עריכה]

כדי למצוא משוואת ישר, משתמשים בדרך כלל בנוסחה: \ y-y_1=m(x-x_1)

כדי להשתמש בנוסחה זאת, דרושים שיפוע ונקודה.

אם לא נתון השיפוע, ניתן לגלות אותו באמצעות דרכים אחרות:

  • אם נתונות שתי נקודות, אפשר על ידי הנוסחה {y_1 - y_2 \over x_1 - x_2}
  • אם נתון ישר מקביל, יש להם אותו שיפוע, ואם נתון ישר מאונך, אז השיפועים מקיימים: \ m_1 \cdot m_2 = -1
  • אם נתונה הזווית \ \alpha עם ציר ה-x, מתקיים: \ \tan \alpha = m