מתמטיקה תיכונית/הנדסה אנליטית/מרחק בין שתי נקודות

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
Nuvola apps kcmsystem.png דף זה זקוק לעריכה, על מנת שיתאים לסטנדרטים של ויקיספר העברי
לצורך זה ייתכנו סיבות אחדות: פגמים טכניים כגון מיעוט קישורים פנימיים, סגנון הטעון שיפור או צורך בהגהה. אם אתם סבורים כי אין בדף בעיה, ניתן לציין זאת בדף השיחה שלו.

המרחק בין שתי נקודות[עריכה]

בפרק זה של הנדסה אנליטית נמצא כיצד לגלות את המרחק בין שתי נקודות, כלומר האורך של הקטע שהן יוצרות.

הנוסחה[עריכה]

נוסחה המייצגת מרחק בין 2 הנקודות \  (x_1,y_1) ו\  (x_2,y_2) היא: d = \sqrt{{(x_1 - x_2)}^2 + {(y_1 - y_2)}^2} . זכרו - כאשר מעלים את המשוואה בריבוע, יש להציב את הפתרונות המתקבלים במשוואה המקורית ולבדוק האם מתקבל פסוק אמת!

הוכחת הנוסחה[עריכה]

נשרטט באופן כללי שתי נקודות, ונשלים מהן משולש ישר זוית, כפי שמתואר בשרטוט:


Distance.png


הנקודות שיוצרות את הישר בשרטוט הן \  (x_1,y_1) ו\  (x_2,y_2).

נשלים אותן למשולש ישר זוית, שניצביו מקבילים לצירים. את הניצב המקביל לציר הY ניתן לכנות כ\  y_2 - y_1, משום שאם ניקח את ערך Y2 נקבל את הגובה מציר הX לנקודה, וכשא נוריד ממנה את המרחק מציר הX לY1 נקבל את הניצב המקביל לציר הY. באופן דומה נעשה גם עם ציר הX, ונקבל שהניצב המקביל לציר הX הוא \  x_2 - x_1 .

לפי משפט פיתגורס, סכום שני הניצבים במשולש שווה לסכום היתר בריבוע. לפיכך נבנה לנו משוואה, כשהיתר תסומן בd, כלומר המרחק אותו נרצה למדוד:

\  d^2 = {(y_2 - y_1)}^2 + {(x_2 - x_1)}^2

כאשר נוציא שורש נקבל:

d = \sqrt{{(y_2 - y_1)}^2 + {(x_2 - x_1)}^2}

וזוהי בעצם הנוסחה.

דרך נוספת לפעילותה של נוסחת המרחק היא -חיסור ערכי הנקודות - ברגע שאנו מחסרים את ערכי X ואת ערכי Y בהתאמה, ומתייחסים לערך המוחלט, אנו מקבלים נקודה על הגרף, שמציינת ראדיוס ווקטור - שבעצם מרחקה של הנקודה מרשית הצירים - שווה למרחק 2 הנקודות שאנו בודקים את המרחק בינהן. ולאחר מכן, שורש של חיבור ערכם המוחלט בריבוע - יתן את המרחק (חישוב מרחק וקטורי בעל 2 קוארדינטות).