מתמטיקה תיכונית/גיאומטריה אוקלידית/הוכחות/קטע אמצעים

150px

ניעזר בציור שמשמאל, בו DE קטע אמצעים ב- $\triangle ABC$ . כלומר, נתון AD=DB ו-AE=EC

צריך להוכיח $DE=\frac{BC}{2}$ ו- $DE\|BC$

בניית עזר: נסמן נקודה K, כך ש-E אמצע DK.

נמשיך את DE עד K, ונשרטט את CK.

לפי הנתון, AE=EC, ולפי בניית העזר, DE=EK.

גם $\angle AED=\angle KEC$ (כי הן זוויות קדקודיות), ולכן, על-פי צלע-זווית-צלע, $\triangle AED\cong\triangle CEK$

לכן, KC=AD, ומכיוון ש-AD=DB, נקבל BD=CK.

מהחפיפה, נקבל גם $\angle A=\angle ECK$ , ולכן $AB\|KC$

כלומר, הצלעות BD ו-KC מקבילות ושוות, ולכן DBCK מקבילית.

לכן, נקבל $DE\|BC$ וגם DK=BC.

על-פי בניית העזר, $DE=\frac{DK}{2}$ , ולכן, $DE=\frac{BC}{2}$