מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/משוואות/נוסחאות ויאטה

מתוך ויקיספר, אוסף ספרי הלימוד והמדריכים החופשי.

< מתמטיקה תיכונית | אלגברה תיכונית | משוואות

[עריכה] נוסחאות וייטה

נוסחאות וייטה הן נוסחאות המקשרות בין הפתרונות של משוואה ריבועית $\;ax^2+bx+c=0$ שיסומנו ב- $\;\{x_1,x_2\}$ , לבין מקדמי המשוואה. הנוסחאות מאפשרות לנו לחקור את התכונות של המשוואה הריבועית, וגם לחשב בקלות את הפתרון השני במידה והפתרון הראשון נתון כבר. הנוסחאות הן:

$\;x_1+x_2=-\frac{b}{a}$
$\;x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}$

בנושא חקירת משוואה ריבועית נשתמש ביותר פירוט בנוסחאות וייטה לצורך לחקירת משוואות ריבועיות הנתונות באופן פרמטרי.

[עריכה] נכונות הנוסחאות

על מנת להראות את נכונות הנוסחאות, נניח ש- $\;x_1$ הוא פתרון של המשוואה $\;ax^2+bx+c=0$ . נתבונן בנוסחת הסכום $\;x_1+x_2=-\frac{b}{a}$ . מתוך נוסחא זו, ניתן לבודד את $\;x_2$ . נקבל ש

$\;x_2=-\left(\frac{b}{a}+x_1\right)$

אם $\;x_2$ שבודדנו מהנוסחא גם הוא פתרון, אז הנוסחא נכונה, כי הנחנו ש- $\;x_1$ הוא פתרון ומתוך זה הגענו לזה ש- $\;x_2=-\left(\frac{b}{a}+x_1\right)$ אף הוא פתרון. על מנת לבדוק זאת, עלינו פשוט להציב במשוואה: $\;ax^2+bx+c = 0$

$\begin{matrix} a{x_2}^2+bx_2+c & = & a\left[-\left(\frac{b}{a}+x_1\right)\right]^2 + b\left[-\left(\frac{b}{a} + x_1\right)\right] + c \\ \ & = & a\left(\frac{b^2}{a^2}+2 x_1\frac{b}{a} + {x_1}^2\right)-\frac{b^2}{a}-b x_1+c \\ \ & = & \frac{b^2}{a}+2a x_1\frac{b}{a} + a{x_1}^2-\frac{b^2}{a}-b x_1+c \\ \ & = & \frac{b^2}{a}+2b x_1 + a{x_1}^2-\frac{b^2}{a}-b x_1+c \\ \ & = & b x_1 + a{x_1}^2+c \\ \ & = & 0 \end{matrix}$

שימו לב, המעבר האחרון הוא נכון בגלל ש $\;x_1$ הוא פתרון של המשוואה כפי שהנחנו. הגענו לתוצאה ש- $\;x_2$ הוא פתרון של המשוואה, מתוך זה ש- $\;x_1$ הוא פתרון, וזה אומר שהצלחנו להראות את הקשר הנדרש.

מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/משוואות/נוסחאות ויאטה

מתוך ויקיספר, אוסף ספרי הלימוד והמדריכים החופשי.

[עריכה] נוסחאות וייטה

[עריכה] נכונות הנוסחאות

צפיות

כלים אישיים

ניווט

קהילה

חיפוש

תיבת כלים

הדפסה/ייצוא