מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/מעריכים ולוגריתמים/משוואות מעריכיות

מתוך ויקיספר, אוסף ספרי הלימוד והמדריכים החופשי.

< מתמטיקה תיכונית | אלגברה תיכונית | מעריכים ולוגריתמים

תוכן עניינים

1 משוואות מעריכיות
- 1.1 משוואה אחת עם נעלם אחד
- 1.2 מערכת של שתי משוואות עם שני נעלמים

[עריכה] משוואות מעריכיות

משוואות מעריכיות הן משוואות בהן המשתנה מופיע במעריך של חזקה (ייתכן שהמשתנה יופיע גם בבסיסה). ככלל, דרך הפתרון של משוואות אלו היא להביא את המשוואה למצב בו הבסיסים שווים, ובמצב זה להשוות את המעריכים. ברוב המשוואות יש לעשות שימוש בחוקי החזקות, ולכן חשוב לדעת את חוקי החזקות לפני פתרון משוואות אלו.

בפתרון משוואות אלו יש הגבלה אחת מיוחדת: אם המשתנה מופיע במעריך החזקה, אז בסיס החזקה חייב להיות חיובי. הסיבה להגבלה זו תוסבר בפרק של פונקציות מעריכיות (בפרק של חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי). דוגמאות לשימוש בהגבלה זו יבואו בהמשך.

הערות:

מכיוון ש- $\ a^0=1$ לכל $\ a$ ממשי שונה מ-0, לעתים יהיה צורך לבדוק מה קורה אם שני המעריכים שווים ל-0 (במקרה כזה לא משנה מה יהיה הבסיס, המשוואה תמיד תתקיים). דוגמה לכך תינתן בהמשך.
מכיוון ש- $\ 1^a=1$ לכל $\ a$ ממשי, לעתים יהיה צורך לבדוק מה קורה אם שני הבסיסים שווים ל-1 (במקרה כזה לא משנה מה יהיה המעריך, המשוואה תמיד תתקיים). דוגמה לכך תינתן בהמשך.

[עריכה] משוואה אחת עם נעלם אחד

[עריכה] דוגמה 1

$\ 4^{3x-1}=8^x$

בשלב זה, ניתן לראות כי לשני הבסיסים הם חזקה של אותו מספר: 2. לכן:

$\ (2^2)^{3x-1}=(2^3)^x$

לפי החוק של חזקה של חזקה ניתן להגיע ל:

$\ 2^{2(3x-1)}=2^{3x}$

הבסיסים שווים, לכן ניתן להשוות מעריכים:

$\ 2(3x-1)=3x$

$\ 6x-2=3x$

$\ 3x=2$

$\ x=\frac{2}{3}$

וזהו הפתרון.

[עריכה] דוגמה 2

$\ 3^{2x-2}\cdot (\sqrt{3})^{x-2}=\left( \frac{1}{9} \right)^{1-x}$

הבסיס המשותף בדוגמה זו הוא 3. מכאן:

$\ 3^{2x-2}\cdot (3^{\frac{1}{2}})^{x-2}=(3^{-2})^{1-x}$

לפי חוק חזקה של חזקה:

$\ 3^{2x-2}\cdot 3^{\frac{1}{2}(x-2)}=3^{-2(1-x)}$

$\ 3^{2x-2+\frac{x-2}{2}}=3^{-2(1-x)}$

הבסיסים שווים, מכאן שגם המעריכים:

$\ 2x-2+\frac{x-2}{2}=-2(1-x)$

נכפיל את שני אגפי המשוואה ב-2 ונקבל:

$\ 4x-4+x-2=-4(1-x)$

$\ 5x-6=-4+4x$

$\ x=2$

וזהו הפתרון.

[עריכה] דוגמה 3

$\ 3^{x+1}-3^{x-1}+2\cdot3^x=14$

ניתן לראות כי באגף שמאל כל הגורמים קשורים בצורה עקיפה ל- $\ 3^x$ , ולכן נשתמש בחוקי חזקות כדי להביא אותם לקשר ישיר:

$\ 3^x\cdot3^1-3^x\cdot3^{-1}+2\cdot3^x=14$

$\ 3\cdot3^x-\frac{3^x}{3}+2\cdot3^x=14$

נכפיל את שני אגפי המשוואה ב-3 בכדי להיפטר מהמכנה:

$\ 9\cdot3^x-3^x+6\cdot3^x=42$

כעת נוציא מאגף שמאל גורם משותף- $\ 3^x$ :

$\ 3^x\cdot(9-1+6)=42$

$\ 14\cdot3^x=42$

$\ 3^x=3$

$\ 3^x=3^1$

הבסיסים שווים, ומכאן שהמעריכים שווים:

$\ x=1$

וזהו הפתרון.

[עריכה] דוגמה 4

$\ 2^{2x+1}+12=20\cdot2^{x-1}$

נעביר את כל האיברים לאגף שמאל, ונתחיל לפתוח את החזקות לפי חוקי חזקות:

$\ 2^{2x+1}-20\cdot2^{x-1}+12=0$

$\ 2^{2x}\cdot2^1-20\cdot2^x\cdot2^{-1}+12=0$

$\ 2\cdot2^{2x}-20\cdot\frac{2^x}{2}+12=0$

נכפיל את שני אגפי המשוואה ב-2 ונקבל:

$\ 4\cdot2^{2x}-20\cdot2^x+24=0$

כעת, במקום $\ 2^{2x}$ נוכל לרשום $\ (2^x)^2$ :

$\ 4\cdot(2^x)^2-20\cdot2^x+24=0$

נחלק את המשוואה ב-4:

$\ (2^x)^2-5\cdot2^x+6=0$

עכשיו, בכדי להקל על פתרון המשוואה, במקום $\ 2^x$ נציב $\ t$ :

$\ t^2-5t+6=0$

$\ t_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-(-5) \pm \sqrt{5^2-4\cdot1\cdot6}}{2\cdot1}=\frac{5 \pm 1}{2}$

$\ t_1=\frac{5+1}{2}=3 \quad \quad \quad \quad t_2=\frac{5-1}{2}=2$

ומכאן ש:

$\ t_1=2^{x_1} \quad \quad \quad \quad t_2=2^{x_2}$

$\ 3=2^{x_1} \quad \quad \quad \quad 2=2^{x_2}$

$\ x_1=log _2 3 \quad \quad \quad \quad x_2=1$

ואלו הם הפתרונות.

[עריכה] דוגמה 5

הערה: תרגיל זה הוא דוגמה לשתי ההערות המופיעות למעלה.

$\ (x^2-x-11)^{(x+5)}=1$

ראשית, נבדוק את תחום ההגדרה. כאמור, כאשר קיים משתנה במעריך החזקה, אזי בסיס החזקה חייב להיות חיובי:

$\ x^2-x-11>0$

$\ x_{1,2}=\frac{1 \pm \sqrt{45}}{2}$

$\ x<\frac{1-\sqrt{45}}{2}\approx-2.85 \quad \quad or \quad \quad x>\frac{1+\sqrt{45}}{2}\approx3.85$

וזהו תחום ההגדרה. מעתה, נצטרך לבדוק אם כל פתרון שיתקבל נכלל בתחום ההגדרה.
כעת, ניגש לפתרון המשוואה. כאמור בשתי ההערות, כדי שחזקה תשווה ל-1, יכולים להיות שני מקרים:

מעריך החזקה שווה ל-0 (והבסיס שונה מ-0).
בסיס החזקה שווה ל-1.

נפתור את שני המקרים:
מקרה א': מעריך החזקה שווה ל-0, והבסיס שונה ממנו.

$\ x+5=0$
$\ x=-5$

כלומר, כאשר $\ x=-5$ אז מעריך החזקה הוא 0. נבדוק למה שווה הבסיס כאשר $\ x=-5$ :

$\ (-5)^2-(-5)-11=19$

ואכן, הבסיס שונה מ-0. בדיקה זו נעשית משום שהביטוי $\ 0^0$ אינו מוגדר. בנוסף, אנו שמים לב כי פתרון זה (5-) נמצא בתחום ההגדרה!
מקרה ב': בסיס החזקה שווה ל-1.

$\ x^2-x-11=1$

$\ x^2-x-12=0$

$\ x_{1,2}=\frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2-4\cdot1\cdot(-12)}}{2\cdot1}=\frac{1 \pm 7}{2}$

$\ x_1=\frac{1+7}{2}=4 \quad \quad x_2=\frac{1-7}{2}=-3$

2 פתרונות אלו נמצאים בתחום הגדרה, ולכן הם תקפים.

לסיכום, פתרונות התרגיל הם: $\ -5, 4, -3$

[עריכה] דוגמה 6

$\ (x-6)^3=(x-6)^{(x^2-5x-11)}$

ראשית, נבדוק את תחום ההגדרה. מכיוון שהמשתנה מופיע במעריך החזקה, אזי בסיס החזקה חייב להיות חיובי:

$\ x-6>0$

$\ x>6$

כעת, נעבור לפתרון המשוואה. ייתכנו 2 מקרים בהם המשוואה תתקיים:

מקרה א'
אם שני בסיסי החזקות יהיו שווים ל-1, אזי שני האגפים יהיו שווים ל-1 ( $\ 1^a=1$ ). נפתור את מקרה זה:

$\ x-6=1$
$\ x=7$

ולכן כשאיקס ישווה ל-7, המשוואה תתקיים.

מקרה ב'
מכיוון שהבסיסים שווים תמיד, אזי אם מעריכי החזקות יהיו שווים, המשוואה תתקיים. לכן:

$\ 3=x^2-5x-11$

$\ x^2-5x-14=0$

$\ x_{1,2}=\frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2-4\cdot1\cdot(-14)}}{2\cdot1}=\frac{5 \pm \sqrt{25+56}}{2}=\frac{5 \pm 9}{2}$

$\ x_1=\frac{5+9}{2}=\frac{14}{2}=7$

$\ x_2=\frac{5-9}{2}=\frac{-4}{2}=-2$

הפתרון 7 יצא לנו פעמיים (גם במקרה א' וגם במקרה ב'), אך בסיכום הפתרונות נכליל אותו, כמובן, רק פעם אחת. כמו-כן, הפתרון (2-) אינו בתחום ההגדרה (הוא אינו גדול מ-6).
מכיוון שכך, הפתרון היחידי של המשוואה הוא $\ x=7$ . תם ונשלם.

[עריכה] מערכת של שתי משוואות עם שני נעלמים

דרך הפתרון של מערכת משוואות לוגריתמיות זהה לדרך הפתרון של משוואה לוגריתמית בנעלם אחד. ההבדל היחיד הוא, שבמערכת משוואות קיים צורך לבודד את אחד המשתנים. נראה כאן דוגמה:

$\left\{ \begin{matrix}\left(I\right) & 4^x+2y& = & 16 \\ \left(II\right) & 16^x-3y & = & -2 \end{matrix} \right.$

ניתן לשים לב, כי $\ 16^x=(4^2)^x=(4^x)^2$ . לכן, נסמן: $\ t=4^x$ .

$\left\{ \begin{matrix}\left(I\right) & t+2y& = & 16 \\ \left(II\right) & t^2-3y & = & -2 \end{matrix} \right.$

כעת נפתור את המערכת, כמו מערכת רגילה- נחלץ ממשוואה (1) את $\ t$ :

$\ t=16-2y$

נציב את מה שקיבלנו ממשוואה (1), בתוך משוואה (2):

$\ (16-2y)^2-3y=-2$

$\ 256-64y+4y^2-3y=-2$

$\ 4y^2-67y+256=-2$

$\ 4y^2-67y+258=0$

$\ y_{1,2}=\frac{67 \pm 19}{8}$

$\ y_1=\frac{67+19}{8}=10.75$

$\ y_2=\frac{67-19}{8}=6$

כעת, אנו צריכים לבדוק עבור כל אחד מערכי Y שקיבלנו, למה שווה $\ t$ , ואז למצוא את ערך ה- $\ x$ המתאים.

עבור $\ y_1=10.75$ :

$\ t_1=16-2y_1=16-2\cdot10.75=-5.5$

$\ t_1=4^{x_1}=-5.5$

למשוואה זו אין פתרון (תוצאה של חזקה של מספר חיובי תמיד תהיה חיובית). לכן $\ y_1=10.75$ הוא אינו פתרון למערכת. נמשיך לבדוק עבור $\ y_2$ :

עבור $\ y_2=6$ :