מתוך ויקיספר, אוסף ספרי הלימוד והמדריכים החופשי.

< מתמטיקה תיכונית | אלגברה תיכונית | גרסא להדפסה

[עריכה] מעריכים ולוגריתמים

[עריכה] לוגריתמים

[עריכה] הקדמה

בפעולת החזקה יש 3 מרכיבים: הבסיס (המספר אותו מעלים בחזקה), המעריך (כמות הפעמים לפיה כופלים את הבסיס בעצמו) וכמובן, התוצאה.

בהינתן בסיס ומעריך, כדי לחשב את התוצאה אנו מפעילים את פעולת החזקה. לדוגמה:

הבסיס: 5. המעריך: 3.

התוצאה: $\ 5^3=5 \cdot 5 \cdot 5=125$ .

אם ידועה התוצאה, וידוע רק הבסיס או רק המעריך, ניתן גם כן לגלות את המספר השלישי. יש לנו שמות שונים לשתי הפעולות שיש לבצע:

בהינתן המעריך והתוצאה, אנו משתמשים בפעולת השורש, לאו דווקא ריבועי. לדוגמה:

המעריך: 3. התוצאה: 8.

התוצאה: $\ \sqrt[3]{8}=2$

הערה: בפעולת השורש אין הכוונה דווקא לפעולת הוצאת שורש ריבועי, אלא להוצאת שורש מסדר כללי.

בהינתן הבסיס והתוצאה, אנו משתמשים בפעולת הלוגריתם. לדוגמה:

הבסיס: 3. התוצאה: 9.

המעריך: $\ \log _3 9=2$ .

פעולת הלוגריתם היא זו שתעניין אותנו בפרק הזה.

[עריכה] הגדרה וסימון

אם $\ a$ בחזקת $\ b$ שווה ל- $\ x$

$\ a^b=x$

אז הלוגריתם של $\ x$ לפי בסיס $\ a$ הוא $\ b$

$\ \log _a x=b$

[עריכה] תחום הגדרה

בפעולת הלוגריתם קיים תחום הגדרה לבסיס הלוגריתם ( $\ a$ ) ולמספר עבורו מבוצע הלוגריתם ( $\ x$ ):

בסיס הלוגריתם:
- בסיס הלוגריתם חייב להיות חיובי ושונה מ-1. זאת משום שאם נעלה את המספר 1 בכל חזקה שהיא, נקבל שהתוצאה היא 1. מכיוון שכך, אין משמעות ללוגריתם בבסיס 1 (זהו ביטוי חסר משמעות, אלא אם כן המספר ( $\ x$ ) הוא 1, ואז ללוגריתם זה יש אינסוף פתרונות).
- כמו כן לא תמיד יהיה פתרון ללוגריתם בו הבסיס הוא שלילי. לדוגמה: $\;\log_{\left(-2\right)} 5$ . לכן לא נהוג להגדיר לוגריתם עם בסיס שלילי.
המספר שבתוך הלוגריתם: מכיוון שבסיס הלוגריתם חיובי, חייב המספר שאותו מעבירים ללוגריתם להיות חיובי גם כן (העלאה בכל חזקה שהיא של מספר חיובי נותנת תוצאה חיובית).

לסיכום, אם $\ \log _a x=b$ אז:

$0 < a \ne 1$
$\ x > 0$
$b \in \mathbb{R}$

[עריכה] הערות

במידה ובסיס הלוגריתם לא מצוין, הכוונה היא לבסיס 10 (ברירת מחדל).
במחשבון מדעי רגיל אין אפשרות לחשב לוגריתם לפי בסיס שונה מ-10 או מ- $\;e$ , ולכן משתמשים בטכניקה של המרת בסיסים (ראה בהמשך).
לא נהוג לכתוב $\ (\log _a x)^2$ , אלא $\ \log _a ^2 x$ (בדומה, אגב, לפונקציות הטריגונומטריות- סינוס, קוסינוס וכו').

[עריכה] חוקי הלוגריתמים

ללוגים יש מספר חוקים. חוקים אלו דומים לחוקי החזקה, מה שיכול לעזור בזכרונם.
את הוכחות החוקים ניתן למצוא בהמשך.

[עריכה] כלל יסודי

כלל זה אינו נחשב לאחד מחוקי הלוגריתמים, אך נביאו כאן שכן הוא חשוב ושימושי להמשך הלימוד.

נניח ש-

$\ (1)\quad a^b=x$

מכאן, עפ"י הגדרת הלוגריתם:

$\ (2)\quad \log _a x=b$

נציב את $\ (2)$ ב- $\ (1)$ , ונקבל:

$\ a^{\log_a x}=x$

וזהו כלל שימושי מאוד בפתרונם של תרגילים עם לוגריתמים.

[עריכה] לוגריתם של מכפלת שני מספרים

במידה וקיים לוגריתם בבסיס מסוים של מכפלה של שני מספרים, אזי הוא שווה לסכום הלוגריתמים של שני המספרים לפי אותו הבסיס.

$\ \log_a (x \cdot y)=\log _a x+\log _a y$

[עריכה] לוגריתם של מנת שני מספרים

במידה וקיים לוגריתם בבסיס מסוים של מנה של שני מספרים, אזי הוא שווה להפרש הלוגריתמים של שני המספרים לפי אותו הבסיס.

$\log_a{\left( \frac{x}{y} \right)}=\log _a x-\log _a y$

[עריכה] לוגריתם של חזקה

במידה וקיים לוגריתם בבסיס מסוים של חזקה, אזי הוא שווה למכפלה של מעריך החזקה בלוגריתם של בסיס החזקה לפי הבסיס המקורי.

$\ \log _a x^n=n \cdot \log _a x$

[עריכה] הוכחות החוקים

על מנת להבין מדוע חוקים אלו פועלים, נדגים כעת את הוכחותיהם.

[עריכה] לוגריתם של מכפלת שני מספרים

הוכחה: נניח ו-

$\ (1)\quad a^b=x \quad \quad,\quad \quad a^c=y$

מכאן ש-

$\ (2)\quad \log _a x=b \quad \quad,\quad \quad \log _a y=c$

בנוסף, נכפיל את המשוואות הרשומות ב-(1) אחת בשנייה, ונפתח את הביטוי בעזרת חוקי החזקות והלוגריתמים:

$\ (3)\quad a^b \cdot a^c=x \cdot y$

$\ (3)\quad a^{b+c}=x \cdot y$

$\ (3)\quad \log _a (x\cdot y)=b+c$

נציב את שני החלקים מ-(2) בצורה הסופית של (3) ונקבל:

$\ \log _a (x\cdot y)=\log _a x+\log _a y$

[עריכה] לוגריתם של מנת שני מספרים

הוכחה: נניח ו-

$\ (1)\quad a^b=x \quad \quad,\quad \quad a^c=y$

מכאן ש-

$\ (2)\quad \log _a x=b \quad \quad,\quad \quad \log _a y=c$

בנוסף, נחלק את המשוואות הרשומות ב-(1) אחת בשנייה, ונפתח את הביטוי בעזרת חוקי החזקות והלוגריתמים:

$\ (3)\quad \frac{a^b}{a^c}=\frac{x}{y}$

$\ (3)\quad a^{b-c}=\frac{x}{y}$

$\ (3)\quad \log _a (\frac{x}{y})=b-c$

נציב את שני החלקים מ-(2) בצורה הסופית של (3) ונקבל:

$\ \log_{a} \left({\frac{x}{y}}\right)=\log_{a} x-\log_{a} y$

[עריכה] לוגריתם של חזקה

הוכחה: נניח ו-

$\ (1)\quad a^b=x$

מכאן ש-

$\ (2)\quad \log _a x=b$

בנוסף, נעלה את שני אגפי משוואה (1) בחזקת $\ n$ . נקבל:

$\ (3)\quad (a^b)^n=x^n$

ועל-פי חוקי חזקות:

$\ (3)\quad a^{bn}=x^n$

מכאן, ע"פ הגדרת הלוגריתם:

$\ (4)\quad bn=\log _a x^n$

נציב במקום $\ b$ את מה שקיבלנו במשוואה (2):

$\ n \cdot \log _a x=\log _a x^n$

וקיבלנו את החוק.

[עריכה] מעבר בין בסיסים

לעתים מתעורר צורך לעבור מלוגריתם של מספר בבסיס מסוים, ללוגריתם של המספר בבסיס אחר. לשם כל קיימת נוסחת מעבר מבסיס לבסיס:

$\ \log _m x=\frac{\log _a x}{\log _a m}$

[עריכה] הוכחת הנוסחה

הוכחה: נניח ו-

$\ (1)\quad \log _m x=b$

מכאן ש-

$\ (2)\quad m^b=x$

עכשיו נוציא משני האגפים של (2) לוגריתם בבסיס $\ a$ :

$\ (3)\quad \log _a m^b=\log _a x$

לפי חוק 'לוגריתם של חזקה':

$\ (4)\quad b \cdot \log _a m=\log _a x$

נציב את (1) בביטוי האחרון, ואחרי חלוקה אחת נקבל את הנוסחה:

$\ \log _m x \cdot \log _a m=\log _a x$
$\ \log _m x=\frac{\log _a x}{\log _a m}$

[עריכה] הערות

בנוסחה קיים תחום הגדרה, בדיוק כפי שמוסבר לעיל.
שימוש במחשבון:
- הנוסחה מאפשרת להשתמש במחשבון לצורך חישוב לוגריתמים שבסיסם אינו 10. לדוגמה:

$\ \log _4 7=\frac{\log _{10} 7}{\log _{10} 4}=\frac{\log\; 7}{\log\; 4}\approx \frac{0.845}{0.602}\approx 1.40$

- במחשבון קיים בסיס מובנה נוסף ללוגריתמים: $\ e$ . הסימון המתמטי ללוגריתם בבסיס זה הוא $\ \log _e x=\ln x$ (יש לבטא "לָאן"). לכן את אותו החישוב יכולנו לעשות באמצעות הפונקציה $\;\ln$ :

$\ \log _4 7=\frac{\log _e 7}{\log _e 4}=\frac{\ln\; 7}{\ln\; 4}\approx \frac{1.94}{1.38}\approx 1.40$

על הבסיס המיוחד e לומדים יותר בפירוט בזמן לימודי החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי.

הפרק הקודם:
אינדוקציה מתמטית

לוגריתמים
תרגילים

הפרק הבא:
בעיות גידול ודעיכה

אלגברה תיכונית/מעריכים ולוגריתמים/לוגריתמים/תרגילים

אלגברה תיכונית/מעריכים ולוגריתמים/בעיות גידול ודעיכה

אלגברה תיכונית/מעריכים ולוגריתמים/בעיות גידול ודעיכה/תרגילים

[עריכה] משוואות מעריכיות

משוואות מעריכיות הן משוואות בהן המשתנה מופיע במעריך של חזקה (ייתכן שהמשתנה יופיע גם בבסיסה). ככלל, דרך הפתרון של משוואות אלו היא להביא את המשוואה למצב בו הבסיסים שווים, ובמצב זה להשוות את המעריכים. ברוב המשוואות יש לעשות שימוש בחוקי החזקות, ולכן חשוב לדעת את חוקי החזקות לפני פתרון משוואות אלו.

בפתרון משוואות אלו יש הגבלה אחת מיוחדת: אם המשתנה מופיע במעריך החזקה, אז בסיס החזקה חייב להיות חיובי. הסיבה להגבלה זו תוסבר בפרק של פונקציות מעריכיות (בפרק של חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי). דוגמאות לשימוש בהגבלה זו יבואו בהמשך.

הערות:

מכיוון ש- $\ a^0=1$ לכל $\ a$ ממשי שונה מ-0, לעתים יהיה צורך לבדוק מה קורה אם שני המעריכים שווים ל-0 (במקרה כזה לא משנה מה יהיה הבסיס, המשוואה תמיד תתקיים). דוגמה לכך תינתן בהמשך.
מכיוון ש- $\ 1^a=1$ לכל $\ a$ ממשי, לעתים יהיה צורך לבדוק מה קורה אם שני הבסיסים שווים ל-1 (במקרה כזה לא משנה מה יהיה המעריך, המשוואה תמיד תתקיים). דוגמה לכך תינתן בהמשך.

[עריכה] משוואה אחת עם נעלם אחד

[עריכה] דוגמה 1

$\ 4^{3x-1}=8^x$

בשלב זה, ניתן לראות כי לשני הבסיסים הם חזקה של אותו מספר: 2. לכן:

$\ (2^2)^{3x-1}=(2^3)^x$

לפי החוק של חזקה של חזקה ניתן להגיע ל:

$\ 2^{2(3x-1)}=2^{3x}$

הבסיסים שווים, לכן ניתן להשוות מעריכים:

$\ 2(3x-1)=3x$

$\ 6x-2=3x$

$\ 3x=2$

$\ x=\frac{2}{3}$

וזהו הפתרון.

[עריכה] דוגמה 2

$\ 3^{2x-2}\cdot (\sqrt{3})^{x-2}=\left( \frac{1}{9} \right)^{1-x}$

הבסיס המשותף בדוגמה זו הוא 3. מכאן:

$\ 3^{2x-2}\cdot (3^{\frac{1}{2}})^{x-2}=(3^{-2})^{1-x}$

לפי חוק חזקה של חזקה:

$\ 3^{2x-2}\cdot 3^{\frac{1}{2}(x-2)}=3^{-2(1-x)}$

$\ 3^{2x-2+\frac{x-2}{2}}=3^{-2(1-x)}$

הבסיסים שווים, מכאן שגם המעריכים:

$\ 2x-2+\frac{x-2}{2}=-2(1-x)$

נכפיל את שני אגפי המשוואה ב-2 ונקבל:

$\ 4x-4+x-2=-4(1-x)$

$\ 5x-6=-4+4x$

$\ x=2$

וזהו הפתרון.

[עריכה] דוגמה 3

$\ 3^{x+1}-3^{x-1}+2\cdot3^x=14$

ניתן לראות כי באגף שמאל כל הגורמים קשורים בצורה עקיפה ל- $\ 3^x$ , ולכן נשתמש בחוקי חזקות כדי להביא אותם לקשר ישיר:

$\ 3^x\cdot3^1-3^x\cdot3^{-1}+2\cdot3^x=14$

$\ 3\cdot3^x-\frac{3^x}{3}+2\cdot3^x=14$

נכפיל את שני אגפי המשוואה ב-3 בכדי להיפטר מהמכנה:

$\ 9\cdot3^x-3^x+6\cdot3^x=42$

כעת נוציא מאגף שמאל גורם משותף- $\ 3^x$ :

$\ 3^x\cdot(9-1+6)=42$

$\ 14\cdot3^x=42$

$\ 3^x=3$

$\ 3^x=3^1$

הבסיסים שווים, ומכאן שהמעריכים שווים:

$\ x=1$

וזהו הפתרון.

[עריכה] דוגמה 4

$\ 2^{2x+1}+12=20\cdot2^{x-1}$

נעביר את כל האיברים לאגף שמאל, ונתחיל לפתוח את החזקות לפי חוקי חזקות:

$\ 2^{2x+1}-20\cdot2^{x-1}+12=0$

$\ 2^{2x}\cdot2^1-20\cdot2^x\cdot2^{-1}+12=0$

$\ 2\cdot2^{2x}-20\cdot\frac{2^x}{2}+12=0$

נכפיל את שני אגפי המשוואה ב-2 ונקבל:

$\ 4\cdot2^{2x}-20\cdot2^x+24=0$

כעת, במקום $\ 2^{2x}$ נוכל לרשום $\ (2^x)^2$ :

$\ 4\cdot(2^x)^2-20\cdot2^x+24=0$

נחלק את המשוואה ב-4:

$\ (2^x)^2-5\cdot2^x+6=0$

עכשיו, בכדי להקל על פתרון המשוואה, במקום $\ 2^x$ נציב $\ t$ :

$\ t^2-5t+6=0$

$\ t_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-(-5) \pm \sqrt{5^2-4\cdot1\cdot6}}{2\cdot1}=\frac{5 \pm 1}{2}$

$\ t_1=\frac{5+1}{2}=3 \quad \quad \quad \quad t_2=\frac{5-1}{2}=2$

ומכאן ש:

$\ t_1=2^{x_1} \quad \quad \quad \quad t_2=2^{x_2}$

$\ 3=2^{x_1} \quad \quad \quad \quad 2=2^{x_2}$

$\ x_1=log _2 3 \quad \quad \quad \quad x_2=1$

ואלו הם הפתרונות.

[עריכה] דוגמה 5

הערה: תרגיל זה הוא דוגמה לשתי ההערות המופיעות למעלה.

$\ (x^2-x-11)^{(x+5)}=1$

ראשית, נבדוק את תחום ההגדרה. כאמור, כאשר קיים משתנה במעריך החזקה, אזי בסיס החזקה חייב להיות חיובי:

$\ x^2-x-11>0$

$\ x_{1,2}=\frac{1 \pm \sqrt{45}}{2}$

$\ x<\frac{1-\sqrt{45}}{2}\approx-2.85 \quad \quad or \quad \quad x>\frac{1+\sqrt{45}}{2}\approx3.85$

וזהו תחום ההגדרה. מעתה, נצטרך לבדוק אם כל פתרון שיתקבל נכלל בתחום ההגדרה.
כעת, ניגש לפתרון המשוואה. כאמור בשתי ההערות, כדי שחזקה תשווה ל-1, יכולים להיות שני מקרים:

מעריך החזקה שווה ל-0 (והבסיס שונה מ-0).
בסיס החזקה שווה ל-1.

נפתור את שני המקרים:
מקרה א': מעריך החזקה שווה ל-0, והבסיס שונה ממנו.

$\ x+5=0$
$\ x=-5$

כלומר, כאשר $\ x=-5$ אז מעריך החזקה הוא 0. נבדוק למה שווה הבסיס כאשר $\ x=-5$ :

$\ (-5)^2-(-5)-11=19$

ואכן, הבסיס שונה מ-0. בדיקה זו נעשית משום שהביטוי $\ 0^0$ אינו מוגדר. בנוסף, אנו שמים לב כי פתרון זה (5-) נמצא בתחום ההגדרה!
מקרה ב': בסיס החזקה שווה ל-1.

$\ x^2-x-11=1$

$\ x^2-x-12=0$

$\ x_{1,2}=\frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2-4\cdot1\cdot(-12)}}{2\cdot1}=\frac{1 \pm 7}{2}$

$\ x_1=\frac{1+7}{2}=4 \quad \quad x_2=\frac{1-7}{2}=-3$

2 פתרונות אלו נמצאים בתחום הגדרה, ולכן הם תקפים.

לסיכום, פתרונות התרגיל הם: $\ -5, 4, -3$

[עריכה] דוגמה 6

$\ (x-6)^3=(x-6)^{(x^2-5x-11)}$

ראשית, נבדוק את תחום ההגדרה. מכיוון שהמשתנה מופיע במעריך החזקה, אזי בסיס החזקה חייב להיות חיובי:

$\ x-6>0$

$\ x>6$

כעת, נעבור לפתרון המשוואה. ייתכנו 2 מקרים בהם המשוואה תתקיים:

מקרה א'
אם שני בסיסי החזקות יהיו שווים ל-1, אזי שני האגפים יהיו שווים ל-1 ( $\ 1^a=1$ ). נפתור את מקרה זה:

$\ x-6=1$
$\ x=7$

ולכן כשאיקס ישווה ל-7, המשוואה תתקיים.

מקרה ב'
מכיוון שהבסיסים שווים תמיד, אזי אם מעריכי החזקות יהיו שווים, המשוואה תתקיים. לכן:

$\ 3=x^2-5x-11$

$\ x^2-5x-14=0$

$\ x_{1,2}=\frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2-4\cdot1\cdot(-14)}}{2\cdot1}=\frac{5 \pm \sqrt{25+56}}{2}=\frac{5 \pm 9}{2}$

$\ x_1=\frac{5+9}{2}=\frac{14}{2}=7$

$\ x_2=\frac{5-9}{2}=\frac{-4}{2}=-2$

הפתרון 7 יצא לנו פעמיים (גם במקרה א' וגם במקרה ב'), אך בסיכום הפתרונות נכליל אותו, כמובן, רק פעם אחת. כמו-כן, הפתרון (2-) אינו בתחום ההגדרה (הוא אינו גדול מ-6).
מכיוון שכך, הפתרון היחידי של המשוואה הוא $\ x=7$ . תם ונשלם.

[עריכה] מערכת של שתי משוואות עם שני נעלמים

דרך הפתרון של מערכת משוואות לוגריתמיות זהה לדרך הפתרון של משוואה לוגריתמית בנעלם אחד. ההבדל היחיד הוא, שבמערכת משוואות קיים צורך לבודד את אחד המשתנים. נראה כאן דוגמה:

$\left\{ \begin{matrix}\left(I\right) & 4^x+2y& = & 16 \\ \left(II\right) & 16^x-3y & = & -2 \end{matrix} \right.$

ניתן לשים לב, כי $\ 16^x=(4^2)^x=(4^x)^2$ . לכן, נסמן: $\ t=4^x$ .

$\left\{ \begin{matrix}\left(I\right) & t+2y& = & 16 \\ \left(II\right) & t^2-3y & = & -2 \end{matrix} \right.$

כעת נפתור את המערכת, כמו מערכת רגילה- נחלץ ממשוואה (1) את $\ t$ :

$\ t=16-2y$

נציב את מה שקיבלנו ממשוואה (1), בתוך משוואה (2):

$\ (16-2y)^2-3y=-2$

$\ 256-64y+4y^2-3y=-2$

$\ 4y^2-67y+256=-2$

$\ 4y^2-67y+258=0$

$\ y_{1,2}=\frac{67 \pm 19}{8}$

$\ y_1=\frac{67+19}{8}=10.75$

$\ y_2=\frac{67-19}{8}=6$

כעת, אנו צריכים לבדוק עבור כל אחד מערכי Y שקיבלנו, למה שווה $\ t$ , ואז למצוא את ערך ה- $\ x$ המתאים.

עבור $\ y_1=10.75$ :

$\ t_1=16-2y_1=16-2\cdot10.75=-5.5$

$\ t_1=4^{x_1}=-5.5$

למשוואה זו אין פתרון (תוצאה של חזקה של מספר חיובי תמיד תהיה חיובית). לכן $\ y_1=10.75$ הוא אינו פתרון למערכת. נמשיך לבדוק עבור $\ y_2$ :

עבור $\ y_2=6$ :

$\ t_2=16-2y_2=16-2\cdot6=4$

$\ t_2=4^{x_2}=4$

$\ 4^{x_2}=4^1$

$\ x_2=1$

וזהו הפתרון היחיד למערכת המשוואות: $\ (1,6)$ .

הפרק הקודם:
בעיות גידול ודעיכה

משוואות מעריכיות
תרגילים

הפרק הבא:
משוואות לוגריתמיות

אלגברה תיכונית/מעריכים ולוגריתמים/משוואות מעריכיות/תרגילים

[עריכה] הגדרה

משוואות לוגריתמיות הן משוואות בהן מופיע לוגריתם. דוגמה:

$\ \log _2 x=x-5$

[עריכה] אופן הפתרון

קיימים מספר אופנים לפתרון משוואות לוגריתמיות:

הגדרת הלוגריתם- הגדרה זו אומרת כי אם $\ \log _a x=b$ אז $\ a^b=x$ . לעתים נשתמש בהגדרה זו, על-מנת להיפטר מהלוגריתם.
חוקי הלוגריתמים- במקרים מסויימים משוואות לוגריתמיות תיפתרנה באמצעות חוקי הלוגריתמים.
הוצאת לוגריתמים משני האגפים- פעולה אפשרית במשוואות מסוג זה היא הוצאת לוגריתמים משני האגפים. על-ידי פעולה זו, יווצר משתנה אחד במשוואה.
מעבר מבסיס לבסיס- אם נזהה מספרים שהם חזקות של אותו המספר, נוכל להשתמש בנוסחת המעבר מבסיס לבסיס בכדי לעבור לבסיס המשותף, וכך המשוואה תפושט.

[עריכה] דוגמאות

[עריכה] דוגמה א'

$\ \log _3 (9\cdot3^x-2)=2+2x$

נשתמש בהגדרת הלוגריתם כדי להיפטר מהלוגירתם:

$\ 3^{2+2x}=9\cdot3^x-2$

כעת נשתמש בחוקי חזקות, עד לפתרון הסופי של התרגיל:

$\ 3^2\cdot3^{2x}=9\cdot3^x-2$

$\ 9\cdot(3^x)^2=9\cdot3^x-2$

$\ 9\cdot(3^x)^2-9\cdot3^x+2=0$

נסמן $\ t=3^x$ :

$\ 9t^2-9t+2=0$

$\ t_{1,2}=\frac{-(-9) \pm \sqrt{(-9)^2-4\cdot9\cdot2}}{2\cdot9}=\frac{9 \pm 3}{18}$

$\ t_1=\frac{9 + 3}{18}=\frac{12}{18}=\frac{2}{3}$

$\ t_2=\frac{9-3}{18}=\frac{6}{18}=\frac{1}{3}$

נמצא עבור כל אחד מהפתרונות את ה- $\ x$ המתאים:

$\ 3^{x_1}=\frac{2}{3}$

$\ x_1=\log _3 \left( \frac{2}{3} \right)=\log _3 2 -\log _3 3=\log _3 2-1=\frac{\log\ 2}{\log\ 3} -1=\frac{0.301}{0.477}-1=-0.369$

$\ 3^{x_2}=\frac{1}{3}=3^{-1}$

$\ x_2=-1$

ואלו הם הפתרונות.

[עריכה] דוגמה ב'

הפרק הקודם:
משוואות מעריכיות

משוואות לוגריתמיות
תרגילים

הפרק הבא:
אי שוויונות מעריכיים

אלגברה תיכונית/מעריכים ולוגריתמים/משוואות לוגריתמיות/תרגילים

[עריכה] אי שוויונות מעריכיים

הגדרה: אי שוויונות מעריכיים הם אי שוויונות בהם מופיע משתנה במעריך של חזקה. דוגמה לכך היא:

$\ 2^x>8$

[עריכה] אופן הפתרון

[עריכה] בסיס החזקה

במידה ומופיע משתנה/משתנים בבסיס של חזקה (בה מופיע גם כן משתנה), אז בסיסי החזקה/החזקות חייבים להיות כולם חיוביים. תנאי זה קיים, כזכור, גם בפתרון משוואות מעריכיות, והוא נותן לפתרון התרגיל תחום-הגדרה ראשוני.

[עריכה] הרעיון הכללי

כדי לפתור אי שוויונות מעריכיים, מה שאנו עושים הוא מגיעים למצב בו בשני האגפים מופיע אותו בסיס חזקה. כך נוכל לקחת את מעריכי החזקות בשני האגפים, וליצור אי שוויון חדש ביניהם בהתאם לבסיס החזקה, כמפורט להלן:

אם בסיס החזקה גדול מ-1, אז ככל שמעריך החזקה גדול יותר, כך החזקה עצמה (התוצאה של העלאת החזקה) גדולה יותר. דבר זה קורה משום שאנו מכפילים מספר שגדול מ-1 כפול עצמו מספר פעמים, מה שמגדיל את התוצאה. מכיוון שהחזקה גדלה במקביל למעריך החזקה, אז הכיוון של אי השוויון בין המעריכים יהיה זהה לכיוון של אי השוויון בין החזקות. דוגמה לכך היא החזקה $\ 2^x$ . ככל ש- $\ x$ יותר גדול, כך החזקה תהיה גדולה יותר. למשל אם נציב 3 תהיה התוצאה 8, בעוד אם נציב 4 תהיה התוצאה 16 (וכן הלאה).
אם בסיס החזקה קטן מ-1, אז ככל שמעריך החזקה גדול יותר, כך החזקה קטנה יותר. דבר זה קורה משום שלמעשה, אנו מכפילים שבר בעצמו, מה שמקטין את התוצאה הסופית. מכיוון שהחזקה קטנה ככל שהמעריך גדל, הכיוון של אי השוויון בין המעריכים יהיה הפוך לכיוון של אי השוויון בין החזקות. דוגמה לכך היא $\ \left( \frac{1}{2} \right)^x$ . ככל ש- $\ x$ יהיה יותר גדול, כך נכפול את החצי בעצמו יותר פעמים, מה שיקטין את התוצאה. למשל, אם נציב 2, נקבל 0.25, בעוד אם נציב 3 נקבל 0.125 (וכך הלאה).

נראה זאת בצורה מעט יותר סכמתית:

הרעיון הכללי בפתרון אי שוויונות מעריכיים
הבסיס ( $\ x$ )		$\ x > 1$	$\ 0 < x < 1$
בכלליות	תנאי	$\ a_1>a_2$	$\ a_1>a_2$
בכלליות	תוצאה	$\ x^{a_1}>x^{a_2}$	$\ x^{a_1}<x^{a_2}$
דוגמה	תנאי	$\ x=3$	$\ x=0.5$
דוגמה	תוצאה	$\ 3^5 > 3^3$ $\ 243 > 27$	$\ 0.5^5 < 0.5^3$ $\ 0.03125 < 0.125$

[עריכה] דוגמאות

[עריכה] דוגמה א'

התרגיל:

$\ \left( \frac{1}{16}\right)^{x^2-3x}<\left( \frac{1}{4} \right) ^{-4.5}$

נראה כאן שתי דרכי פתרון לתרגיל.

[עריכה] דרך פתרון ראשונה

אנו שמים לב כי $\ \left( \frac{1}{16} \right)$ שווה ל- $\ \left( \frac{1}{4} \right) ^2$ . מכאן:

$\ \left( \frac{1}{4} \right) ^{2(x^2-3x)}<\left( \frac{1}{4} \right) ^{-4.5}$

הגענו לשלב בו הבסיסים זהים. הבסיס (המשותף) קטן מ-1: $\ 0 < \left( \frac{1}{4} \right) < 1$ .
לכן, הכיוון של אי-השוויון של המעריכים הפוך לכיוון של אי-השוויון היסודי. לפי כך, נמשיך את פתרון התרגיל:

$\ 2(x^2-3x)>-4.5$

$\ 2x^2-6x>-4.5$
$\ 2x^2-6x+4.5>0$

$\ x^2-3x+2.25>0$

לפנינו נוסחה לביטוי ריבועי (הנוסחה השנייה). מכאן:

$\ (x-1.5)^2>0$
$\ x \ne 1.5$

וזהו הפתרון.

[עריכה] דרך פתרון שנייה

בדרך פתרון זו, אנו נהפוך את שתי החזקות, לחזקות עם בסיסים שלמים:

$\ \left( \frac{1}{4^2} \right)^{x^2-3x} < \left( \frac{1}{4} \right)^{-4.5}$

לפי חוקי חזקות (חוק של חזקה במכנה), נקבל:

$\ (4^{-2})^{x^2-3x}<(4^{-1})^{-4.5}$

נמשיך לפתור ע"פ חוקי חזקות:

$\ 4^{-2(x^2-3x)} < 4^{4.5}$

הבסיסים שווים. מכיוון שהבסיס (המשותף) גדול מ-1, $\ 4>1$ , אז כיוונו של אי-השוויון של המעריכים יהיה זהה לכיוונו של אי-השוויון היסודי:

$\ -2(x^2-3x)<4.5$

$\ -2x^2+6x<4.5$

$\ 2x^2-6x+4.5>0$

לפנינו נוסחה לביטוי ריבועי (הנוסחה השנייה). מכאן:

$\ (x-1.5)^2>0$
$\ x \ne 1.5$

וזהו הפתרון.

[עריכה] דוגמה ב'

$\ (3-x)^{3x}>(3-x)^{x^2}$

כאן, המשתנה מופיע הן במעריכי החזקות והן בבסיסיהן. לכן, יש לבדוק את תחום ההגדרה. בתחום ההגדרה נכללים רק בסיסים חיוביים. מכיוון שהבסיס זהה בשתי החזקות, נבדוק מתי הוא חיובי:

$\ 3-x>0$
$\ x<3$

זהו תחום ההגדרה. כעת ניגש לפתרון התרגיל. מכיוון שאין אנו יודעים אם הבסיס גדול מ-1, או קטן מ-1 (וגדול מ-0 על-פי תחום ההגדרה). לכן, יש להפריד בין שני המקרים:

[עריכה] מקרה ראשון- הבסיס גדול מ-1

ראשית נבדוק מתי הבסיס בכלל גדול מ-1.

$\ 3-x>1$
$\ x<2$

אם הבסיס גדול מ-1, אז כיוונו של אי-השוויון בין המעריכים זהה לכיוונו של אי-השוויון היסודי. מכאן:

$\ 3x>x^2$

$\ x^2-3x<0$

$\ x(x-3)<0$

שורשי הביטוי מצד שמאל הם, כפי שניתן לראות, $\ 0$ ו- $\ 3$ . לכן פתרון אי-שוויון זה הוא:

$\ 0<x<3$

כעת נמצא את תחום החיתוך בין התחום עבורו מוגדר מקרה זה $\ (x<2)$ , ובין התוצאה שיצאה עבורו:

$\ (x<2) \quad \wedge \quad (0<x<3)$
$\ 0<x<2$

זהו הפתרון של המקרה הראשון. נעבור למקרה הבא.

[עריכה] מקרה שני- הבסיס קטן מ-1 (וגדול מ-0)

ראשית נבדוק מתי הבסיס בכלל קטן מ-1, וגדול מ-0 (ניתן, כמו-כן, למצוא מתי הבסיס קטן מ-1, ולערוך לתחום זה חיתוך עם תחום ההגדרה (משמעות פעולה זו היא זהה).

$\ 3-x<1 \quad and \quad 3-x>0$

$\ x>2 \quad and \quad x<3$

$\ 2<x<3$

אם הבסיס קטן מ-1 (וזהו המקרה הנדון) אז כיוונו של אי-השוויון בין המעריכים הפוך לכיוונו של אי-השוויון היסודי. מכאן:

$\ 3x<x^2$

$\ x^2-3x>0$

$\ x(x-3)>0$

שורשי הביטוי מצד שמאל הם, כפי שניתן לראות, $\ 0$ ו- $\ 3$ . לכן פתרון אי-שוויון זה הוא:

$\ x<0 \quad or \quad x>3$

כעת נמצא את תחום החיתוך בין התחום עבורו מוגדר מקרה זה $\ (2<x<3)$ , ובין התוצאה שיצאה עבורו:

$\ (2<x<3) \quad \wedge \quad (x<0 \quad or \quad x>3)$
$\ \phi$

כלומר, אין פתרון למקרה זה.

[עריכה] סיכום

הפתרון במקרה א'- $\ 0<x<2$
במקרה ב' אין פתרון.
לכן, הפתרון הכולל הוא $\ 0<x<2$ .

הפרק הקודם:
משוואות לוגריתמיות

אי שוויונות מעריכיים
תרגילים

הפרק הבא:
אי שוויונות לוגריתמיים

אלגברה תיכונית/מעריכים ולוגריתמים/אי שוויונות מעריכיים/תרגילים

בחלק זה של הספר יוסבר כיצד לפתור אי שוויונות לוגריתמיים, למשל:

$\log x > \log \left( {x + 2} \right)$

[עריכה] אופן הפתרון

בפתרון אי שוויונות לוגריתמיים יש לשים לב למספר דברים. ראשית כל, יש לבדוק מהו תחום ההגדרה של הלוגריתמים אשר בשאלה, שכן אחד מהפתרונות שנקבל בסוף דבר לאי השוויון עלול שלא להיות בתחום ההגדרה. שנית, יש לזכור היטב את חוקי הלוגריתמים והגדרתו. אלו עלולים להיות חיוניים בפתרון אי השוויון. נושאים אלו נדונו כבר בפרק הלוגריתמים.

[עריכה] דוגמאות

בדוגמאות הבאות ניתן לראות את דרכי הפתרון הנהוגות באי שוויונות לוגריתמיים.

[עריכה] דוגמה א'

יש לפתור את אי השוויון הבא:

$\log _3 \left( {81x} \right) \cdot \log _3 x > -4$

מכיוון שהמספר שבתוך הלוגריתם חייב להיות חיובי, תחום ההגדרה הוא:

$\ x > 0$

נשתמש בחוקי הלוגריתמים כדי לפשט את אי השוויון.

$\ \left( {\log _3 81 + \log _3 x} \right) \cdot \log _3 x > -4$
$\ \left( {\log _3 3^4 + \log _3 x} \right) \cdot \log _3 x > -4$
$\ \left( {4\log _3 3 + \log _3 x} \right) \cdot \log _3 x > -4$
$\ \left( {4 + \log _3 x} \right) \cdot \log _3 x > -4$

נסמן $\ z = \log _3 x$ ונציב זאת לאי השוויון.

$\ \left( {4 + z} \right) \cdot z > -4$

נפתח סוגריים ונעביר את כל האיברים לאגף השמאלי של אי השוויון.

$\ z^2 + 4z + 4 > 0$

$\ \left( {z + 2} \right)^2 > 0$

מכיוון שהביטוי באגף השמאלי הוא תחת חזקה זוגית, הוא תמיד יהיה חיובי או אפס. הוא מתאפס עבור $\ z = - 2$ ולכן נכתוב:

$\ z \ne - 2$

$\ \log _3 x \ne - 2$

$\ x \ne 3^{ - 2}$

$\ x \ne \frac{1}{9}$

בשילוב עם תחום ההגדרה שמצאנו, ניתן לכתוב את הפתרון בשני דרכים:

$\ x > 0$ וגם $x \ne \frac{1}{9}$

$\ 0 < x < \frac{1}{9}$ או $\ x > \frac{1}{9}$

[עריכה] דוגמה ב'

אלגברה תיכונית/מעריכים ולוגריתמים/אי שוויונות לוגריתמיים/תרגילים

[עריכה] מספרים מרוכבים

[עריכה] הקדמה

המספרים המרוכבים הם הרחבה של קבוצת המספרים הממשיים, כך שלכל משוואה פולינומיאלית יהיה פתרון. למספרים המרוכבים שימושים רבים במתמטיקה, והם משמשים גם במדעי הטבע בשימושים רבים ושונים.

ספר זה מיועד לתלמידי התיכון, הלומדים מתמטיקה ברמה של חמש יחידות לימוד. עיקר ההתמקדות בספר היא באספקטים הטכניים של העבודה עם מספרים מרוכבים - פעולות החשבון, פתרון משוואות וההצגות השונות. בנוסף, צורפו מספר קטעי העשרה, שמטרתם להציג בפני הקורא חלק רחב יותר מהתיאוריה העומדת מאחורי המספרים המרוכבים, ובפרט את צורת בנייתם הפורמלית.

בסוף כל פרק ישנם תרגילים, אשר פתרונם הוא חלק אינטגרלי מתהליך הלמידה.

[עריכה] ידע קודם

מספרים מרוכבים נלמדים לרוב לקראת סוף הלימודים התיכוניים, ודורשים ידע מוקדם בשני תחומים עיקריים:

פתרון משוואות ממעלה שנייה: יש להכיר היטב את הנוסחה הכללית ואת שיטות הפתרון השונות.
טריגונומטריה: עבור החלק העוסק בהצגה הקוטבית ואילך, דרוש ידע בטריגונומטריה בסיסית (ההגדרה הכללית של הפונקציות הטריגונומטריות והזהויות הבסיסיות שקשורות להן).

תוכן עניינים

[עריכה] המטרה

קבוצת המספרים הממשיים משמשת אותנו רבות במתמטיקה, אך היא מוגבלת במובן מסויים, שכן לא לכל משוואה פולינומיאלית במספרים ממשיים יש פתרון. הדוגמה הבולטת היא המשוואה הבאה:

$\ x^2+1=0$

זוהי משוואה בלתי פתירה. אחרי העברת אגפים והוצאת שורש נקבל:

$\ x=\sqrt{-1}$

בקבוצת המספרים הממשיים אין שורש למספר $\ -1$ , כי העלאה בריבוע של כל מספר ממשי יוצרת תמיד מספר לא שלילי.

המספרים המרוכבים היא קבוצה רחבה יותר של מספרים, שמכילה את המספרים הממשיים, ובה יש לכל המשוואות הפולינומיאליות פתרון.

לצורך כך, אנו מגדירים מספר, שיסומן באות $\ i$ , שמקיים $\ i^2=-1$ . מספר זה הוא פתרון למשוואה $\ x^2+1=0$ . מספר כזה לא יכול להיות ממשי, ולכן אנו מכנים אותו מספר מדומה.

משהגדרנו את $\ i$ , ניתן לכפול אותו במספרים ממשיים ולחבר אותו עם מספרים ממשיים. באופן כללי, אם יש לנו שני מספרים ממשיים $\ a,b$ , נוכל על ידי כפל וחיבור עם $\ i$ לקבל את המספר $\ a+bi$ . לקבוצה של כל המספרים מהצורה הזו אנו קוראים "המספרים המרוכבים". מתברר כי לכל משוואה פולינומיאלית קיים פתרון במספרים מרוכבים (אף כי לעתים מציאת הפתרון היא בעיה קשה).

שתי שאלות מתבקשות עולות מההגדרה הזו:

האם מה שעשינו הוא חוקי בכלל? למה מותר לנו "להמציא" את המספר $\ i$ בצורה הזו?
בשביל מה זה טוב?

התשובה לשאלה הראשונה היא כן. המספר הזה הוא תוספת חוקית. למעשה, אתם כבר מכירים הרחבה מסוג זה, שנועדה לאפשר פתרון של משוואות. את המספרים הרציונליים המציאו על ידי הרחבת המספרים השלמים, כדי שיוכלו לפתור משוואות של כפל. למשל, כדי שיהיה פתרון למשוואה $\ 3x=2$ הומצא המספר $\ \frac{2}{3}$ .

בהמשך נראה כיצד ניתן לקבל את המספרים המרוכבים על ידי בניה שיטתית, שמתבססת על המספרים הממשיים הקיימים, ולא על ידי "המצאה" של המספר $\ i$ . לעת עתה לא ניכנס לבניה זו, אלא ננסה להבין את תכונותיהם של המספרים המרוכבים, מה שיקל עלינו בהמשך להבין את הבניה.

התשובה לשאלה השנייה היא כפולה: ראשית, אנחנו מתעניינים במספרים המרוכבים מטעמים מתמטיים טהורים - אנחנו רוצים אוסף של מספרים, שהוא שלם במובן זה שניתן לפתור בו כל משוואה פולינומיאלית. שנית, למספרים המרוכבים נמצאו שימושים רבים במתמטיקה, בפיסיקה ובמדעי הטבע. למרות שלכאורה מספרים אלו נראים "לא טבעיים", הם שימושיים גם ליישומים מעשיים, ויש בעיות רבות, שהניסוח שלהן והפתרון שלהן אינו מכיל מספרים מרוכבים, אך כדי לפתור אותן יש להיעזר במספרים מרוכבים.

דוגמה בולטת לכך היא פתרון של משוואות ממעלה שלישית. מבחינה היסטורית, העיסוק במספרים המרוכבים התפתח לאחר שבמהלך נסיונות לפתרון משוואות ממעלה שלישית, הבחינו המתמטיקאים כי קיימות משוואות שלא ניתן לקבל את כל פתרונותיהן בצורה שיטתית מבלי להוציא שורש למספר שלילי במהלך הפתרון, וזאת למרות שהפתרונות עצמם הם מספרים ממשיים.

[עריכה] תכונות בסיסיות

[עריכה] חזקות של i

הגדרנו את $\ i$ על ידי כך ש- $\ i^2=-1$ . מהגדרה זו ניתן לקבל חזקות נוספות של $\ i$ :

$\ i^3=i^2\cdot i=-1\cdot i=-i$

$\ i^4=i^3\cdot i=-i\cdot i=-i^2=-(-1)=1$

$\ i^5=i^4\cdot i=1\cdot i=i$

$\ i^6=i^5\cdot i=i\cdot i=i^2=-1$

קיבלנו שקיימת מחזוריות בחזקות של $\ i$ : לאחר כל 4 העלאות חזקה אנחנו חוזרים על עצמנו. ניתן להוכיח זאת כך: אם $\ i^n=x$ אז $\ i^{4+n} = i^4 \cdot i^n = 1 \cdot x = x$ .

בהתבסס על התכונות המוכרות לנו של חזקות, נגדיר $\ i^0=1$ . כמו כן נגדיר $\ i^{-n}=\frac{1}{i^n}$ . על המשמעות של חלוקה ב- $\ i$ נלמד בפרק הבא.

[עריכה] החלק הממשי והחלק המדומה

כזכור, מספר מרוכב כללי $\ z$ הוא מהצורה $\ z=a+bi$ . אנו קוראים למספר הממשי $\ a$ החלק הממשי של המספר המרוכב ומסמנים אותו $\ a=Re(z)$ . ה- $\ Re$ הוא קיצור של המילה האנגלית Real - "ממשי".

כמו כן, למספר הממשי $\ b$ אנו קוראים החלק המדומה של המספר המרוכב ומסמנים אותו $\ b=Im(z)$ כאשר ה- $\ Im$ הוא קיצור של המילה האנגלית Imaginary (מדומה).

שימו לב: החלק המדומה הוא $\ b$ , לא $\ bi$ . כלומר, אנחנו לוקחים רק את המספר הממשי.

אם החלק המדומה של מספר מרוכב הוא 0, המספר הוא מהצורה $\ a+0\cdot i$ כאשר $\ a$ הוא מספר ממשי. כלומר, המספר הוא מספר ממשי. לכן כל מספר ממשי הוא גם מספר מרוכב.

[עריכה] ערך מוחלט

כזכור, עבור מספר ממשי $\ x$ אנחנו מסמנים את הערך המוחלט שלו על ידי $\ |x|$ . אם $\ x$ חיובי, הערך המוחלט הוא $\ x$ עצמו, ואם הוא שלילי, הערך המוחלט הוא $\ x$ ללא הסימן שלו. ניתן לחשוב על הערך המוחלט כאילו הוא מייצג את מרחק המספר מהאפס.

עבור מספרים מרוכבים אנו מגדירים גם כן ערך מוחלט, בצורה מעט יותר מסובכת ששומרת על הרעיון לפיו הערך המוחלט הוא המרחק מהאפס. עבור המספר המרוכב $\ z=a+bi$ אנו מגדירים את הערך המוחלט כך: $\ |z|=\sqrt{a^2+b^2}$ .

הסבר מדויק לגבי הגדרה זו יינתן בהמשך, בחלק שבו נדבר על המישור המרוכב. לעת עתה נעיר כי ההגדרה מתבססת על משפט פיתגורס.

כדאי לדעת:

נשים לב שההגדרה ה"חדשה" אינה סותרת את מה שאנו מכירים לגבי ערך מוחלט של מספר ממשי. נניח ש $x$ הוא מספר ממשי. אז $x = R e (x) + 0 i$ . לפי ההגדרה ה"ישנה" לערך מוחלט, הערך המוחלט שלו $R e (x)$ אם הוא אינו שלילי, ו $- R e (x)$ אם הוא שלילי. לפי ההגדרה ה"חדשה", הערך המוחלט שלו הוא $\ |x|=\sqrt{Re(x)^2+0^2}$ , כלומר בדיוק אותו הדבר.

[עריכה] פתרון משוואות באמצעות מספרים מרוכבים

בתחילת הפרק ציינו, כי המוטיבציה להגדרת המספרים המרוכבים נובעת מהשאיפה למצוא פתרון לכל משוואה. נדגים כאן כיצד משתמשים במספרים המרוכבים לפתרון משוואה, שאין לה פתרון ממשי.

נביט במשוואה הבאה:

$\ x^2-6x+13=0$ .

כדי לפתור משוואה כזו, אנו משתמשים בנוסחה הרגילה לפתרון משוואה ריבועית. נקבל:

$\ x_{1,2}=\frac{6\pm\sqrt{36-52}}{2}=\frac{6\pm\sqrt{-16}}{2}=\frac{6\pm\sqrt{-1}\sqrt{16}}{2}=\frac{6\pm 4i}{2}=3\pm 2i$

קיבלו שני פתרונות שהם מספרים מרוכבים.

מסתבר שלכל משוואה מהצורה $\ x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots +a_1x+a_0=0$ יש בדיוק $\ n$ פתרונות במספרים מרוכבים. לתכונה זו קוראים המשפט היסודי של האלגברה, אך לא נוכיח אותה כאן. ההוכחה אינה מיידית, ודורשת ידע רחב יותר במתמטיקה - בפרט, ידע בתחום החשבון האינפיניטסימלי.

עם זאת, למרות שקיום פתרון מובטח על ידי המשפט, אין זה בטוח שנוכל למצוא בקלות את הפתרונות. קיימות נוסחאות כלליות לפתרון משוואות ממעלה שנייה, שלישית ורביעית, אך עבור מעלה גבוהה יותר הוכח כי לא קיימת נוסחה כללית, שמערבת רק את פעולת החשבון הבסיסיות והוצאת שורש. גם הוכחה זו חורגת מהחומר ושייכת לתחום באלגברה הנקרא תורת גלואה.

הפרק הקודם:
מספרים מרוכבים

הגדרת המספרים המרוכבים
תרגילים

הפרק הבא:
חשבון במספרים מרוכבים

[עריכה] שאלות

[עריכה] פתרון משוואות בעזרת מספרים מרוכבים

פתרו את המשוואות הבאות:

$\ x^2+16=0$
$\ x^2-4x+20=0$
$\ 10x^2+2x+1=0$
$\ x^2+x+1=0$
$\ x^3-3x^2+4x=0$
$\ x^4-1=0$
$\ x^4+5x^2+6=0$
$\ x^3-1=0$

[עריכה] חזקות של $i$

חשבו את המספרים הבאים (החזירו את התשובה הפשוטה ביותר שאתם מסוגלים):

$\ i^{109}$
$\ -i^{15}$
$\ (-i)^{77}$
$\ (i\sqrt{2})^8$
$\ (i^{12}+i^{32}-i^{52})^{537}$
$\ (i^{27}-i^{13})^5$
$\ (i+i^2+i^3+\dots+i^{40})^{120}$

[עריכה] פתרונות

[עריכה] פתרון משוואות בעזרת מספרים מרוכבים

[עריכה] תשובות סופיות

$\ x_{1,2}=\pm 4i$
$\ x_{1,2}=2\pm 4i$
$\ x_{1,2}=-\frac{1}{10}\pm\frac{3}{10}i$
$\ x_{1,2}=\frac{-1\pm i\sqrt{3}}{2}$
$\ x_1=0, x_{2,3}=\frac{3\pm i\sqrt{7}}{2}$
$\ x_{1,2}=\pm 1, x_{3,4}=\pm i$
$\ x_{1,2}=\pm i\sqrt{3},x_{3,4}=\pm i\sqrt{2}$
$\ x_1=1, x_{2,3}=\frac{-1\pm i\sqrt{3}}{2}$

[עריכה] הסבר

שאלות 1-4 מתבססות על שימוש סטנדרטי בנוסחה לפתרון משוואה ריבועית, כאשר הפעם הדיסקרמיננטה שתתקבל תהיה שלילית ויש להוציא את השורש שלה באמצעות שימוש במספרים מרוכבים.
בשאלה 5 אחד הפתרונות הוא 0 (כי אין מקדם חופשי), וניתן לחלק ב-x כדי לקבל משוואה ריבועית עבור הפתרונות הנותרים.
בשאלה 6 כדאי לשים לב שמתקיים $\ x^4-1=(x^2-1)(x^2+1)$ ואז ניתן לפתור שתי משוואות ריבועיות שונות כדי לקבל את כל התוצאות.
בשאלה 7 נסמן $\ t=x^2$ , נפתור את המשוואה הריבועית שתתקבל $\ t^2+5t+6$ ונוציא שורש מהתוצאות.
בשאלה 8 נשים לב ש- $\ x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$ ולכן פתרון אחד נתון מיידית על ידי $\ x=1$ והשאר על ידי שאלה 4.

[עריכה] חזקות של $i$

[עריכה] תשובות סופיות

$\ i$
$\ i$
$\ -i$
$\ 16$
$\ 1$
$\ -32i$
$\ 0$

[עריכה] הסבר

בשאלות 1-4 הפתרון נובע משימוש מיידי בחוקי החזקות ובכך ש- $\ i^4=1$ . למשל: $\ i^{109}=i^{108}\cdot i=(i^4)^{27}\cdot i=1^{27}\cdot i=i$ .
בשאלות 5-7 מספיק להביא כל אחד מהאיברים בסכום לצורה פשוטה יותר כדי לקבל שהסכום בסוגריים יהפוך לאיבר בודד, ועליו קל להפעיל את פעולת החזקה.

לאחר שהגדרנו את המספרים המרוכבים, אנחנו רוצים להיות מסוגלים לבצע את פעולות החשבון הבסיסיות על המספרים המרוכבים, בדומה לעבודה על מספרים ממשיים. לשם כך עלינו להיות מסוגלים לחבר, לחסר, לכפול ולחלק.

[עריכה] חיבור וחיסור

החיבור והחיסור הן פעולות פשוטות: די לחבר/לחסר את החלק הממשי והחלק המדומה של המספרים בנפרד. דוגמא לפעולת חיבור:

$\ (5+3i)+(7+2i)=(5+7)+(3+2)i=12+5i$ .

כל מה שעשינו כאן היה לשנות את סדר הסכימה ולהוציא גורם משותף $\ i$ מהחלקים המדומים של המספרים.

פעולת החיסור זהה לחלוטין, משום שהיא שקולה לחיבור עם המספר הנגדי. דוגמא לפעולת חיסור:

$\ (5+3i)-(7+2i)=(5-7)+(3-2)i=-2+i$ .

באופן כללי, חיבור של שני מספרים מרוכבים מתבצע כך:

$\ (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i$ .

[עריכה] כפל

כפל מסובך מעט יותר מחיבור וחיסור. לביצוע פעולת הכפל נשתמש בכללי הכפל הרגילים עבור מספרים ממשיים, ובשוויון $\ i^2=-1$ .

ראשית נזכור כי עבור מספרים ממשיים מתקיים $\ (a+b)\cdot(c+d)=ac+ad+bc+bd$ .

תכונה זו נובעת מחוק הפילוג.

כעת נעשה את אותו הדבר בדיוק, עבור שני מספרים מרוכבים:

$\ (a+bi)(c+di)=ac+bi\cdot c+adi+bi\cdot di=ac+bci+adi+bdi^2=(ac-bd)+(bc+ad)i$ .

וזוהי הצורה הכללית של כפל שני מספרים מרוכבים.

להלן כמה דוגמאות:

$\ (1+3i)\cdot 5=5+15i$
$\ (2+3i)(4i)=8i+12i^2=-12+8i$
$\ (4+2i)(-3+3i)=-12+12i-6i+6i^2=-12-6+12i-6i=-18+6i$

[עריכה] חילוק

חילוק היא הפעולה ההפוכה לכפל. לכן ניתן להציג כל פעולת חילוק כפעולת כפל, ואנחנו כבר יודעים לבצע פעולות כפל. הבעיה היא שלא פשוט למצוא את האיבר בו אנו אמורים לכפול.

למשל, כדי לחשב את המנה $\ \frac{3+2i}{4+i}$ אנחנו בעצם מחשבים את המכפלה $\ (3+2i)\cdot\frac{1}{4+i}$ , אך לא מיידי למצוא הצגה למספר $\ \frac{1}{4+i}$ שתתאים להצגה של המספרים המרוכבים שאיתה אנו עובדים: $\ a+bi$ . במילים אחרות, אנחנו רוצים להיפטר מהסכום שבמכנה.

כדי לעשות זאת אנחנו משתמשים ב"תעלול" שמשמש אותנו גם כאשר אנחנו רוצים לסלק שורשים מהמכנה: אנחנו כופלים ומחלקים את המספר במספר אחר. בצורה זו ערכו של המספר לא משתנה (כי כפלנו אותו ב-1) אך צורתו משתנה. נראה זאת בדוגמה שלנו:

$\ \frac{1}{4+i}=\frac{1}{4+i}\cdot\frac{4-i}{4-i}=\frac{4-i}{(4+i)(4-i)}=\frac{4-i}{16-4i+4i-i^2}=\frac{4-i}{16+1}=\frac{4}{17}-\frac{1}{17}i$

קיבלנו מספר מרוכב מהצורה שאנו מחפשים. אמנם, עדיין מופיעים בו שברים, אך המספר עצמו הוא מהצורה $\ a+bi$ ואין בו סכום במכנה.

כעת ניתן לסיים את פעולת החילוק שהתחלנו בה:

$\ (3+2i)\cdot\frac{1}{4+i}=(3+2i)\cdot(\frac{4}{17}-\frac{1}{17}i)=\frac{12}{17}+\frac{2}{17}+\frac{8i}{17}-\frac{3i}{17}=\frac{14}{17}+\frac{5}{17}i$

כעת ננסה להבין למה בחרנו דווקא את המספר $\ \frac{4-i}{4-i}$ כדי לכפול בו את השבר שלנו.

המטרה שלנו הייתה להיפטר מהסכום במכנה. לשם כך היה עלינו להיפטר מהמספר המדומה $\ i$ שהופיע בו. התבססנו על כך ש- $\ i^2=-1$ , כלומר העלאה בריבוע של המספר המדומה תעלים אותו.

כלומר, באופן כללי, אם יש לנו מספר $\ a+bi$ ואנחנו רוצים לדעת באיזה מספר ניתן לכפול אותו ולקבל מספר ממשי, נבחר מספר כזה שיעלים את כל המופעים של i.

ניזכר בנוסחה מוכרת במספרים ממשיים: $\ (a+b)(a-b)=a^2-b^2$ . נוסחה זו עובדת בצורה דומה גם במספרים מרוכבים:

$\ (a+bi)(a-bi)=a^2-b^2\cdot i^2=a^2+b^2$ .

אם כך, הכפלה של המספר $\ a+bi$ במספר $\ a-bi$ תחזיר לנו תמיד מספר ממשי, ולכן זהו המספר שבו נשתמש כדי להיפטר מהסכום שבמכנה.

למספר $\ a-bi$ חשיבות רבה; הוא מכונה הצמוד של $\ a+bi$ ועל תכונותיו נעמוד בפרק הבא.

הפרק הקודם:
הגדרת המספרים המרוכבים

חשבון במספרים מרוכבים
תרגילים

הפרק הבא:
הצמוד המרוכב והערך המוחלט

[עריכה] שאלות

בכל התרגילים עליכם למצוא פתרון סופי שהוא מספר מרוכב מהצורה $\ a+bi$ .

[עריכה] חיבור וחיסור

$\ (1+2i)+(3+i)$
$\ (4i+2)-(1+3i)$
$\ (i-3)+(3-2i)$
$\ (i-(3+2i))+7$
$\ (5-(-2i-(7-i)))+1$

[עריכה] כפל

$\ (1+2i)(3+i)$
$\ (-i-1)(-3+2i)$
$\ (1+i)(1-i)$
$\ (i+3)^2$
$\ (\sqrt{3}+i\sqrt{3})^6$

[עריכה] חילוק

$\ \frac{1}{1+i}$
$\ \frac{1}{-i+3}$
$\ \frac{1+i}{1-i}$
$\ \frac{-i+3}{2+5i}$

[עריכה] פתרונות

[עריכה] חיבור וחיסור

$\ 4+3i$
$\ 1+i$
$\ -i$
$\ 4-i$
$\ 13+i$

[עריכה] כפל

$\ (1+2i)(3+i)=1+7i$
$\ 5+i$
$\ 2$
$\ 8+6i$
$\ -216i$

[עריכה] חילוק

$\ \frac{1}{2}-\frac{1}{2}i$
$\ \frac{3}{10}+\frac{1}{10}i$
$\ i$
$\ \frac{1}{29}-\frac{17}{29}i$

בפרק הקודם ראינו כי לכל מספר מרוכב $\ z=a+bi$ ניתן להתאים מספר שנקרא הצמוד שלו. נסמנו $\ \bar{z}$ (קו מעל הסימן שמסמל את המספר), והוא יוגדר כך: $\ \bar{z}=a-bi$ . כלומר, הצמוד של מספר כלשהו הוא מספר שזהה לו פרט לסימן החלק המדומה שלו.

מייד מההגדרה נובעות כמה תכונות:

$\ \overline{\overline{z}}=z$ . כלומר, הצמוד של הצמוד של $\ z$ הוא $\ z$ עצמו.
$\ \overline{z_1+z_2}=\bar{z_1}+\bar{z_2}$ . כלומר, הצמוד של סכום של מספרים מרוכבים הוא הסכום של הצמודים של אותם מספרים.
$\ \overline{z_1z_2}=\bar{z_1}\bar{z_2}$ . כלומר, הצמוד של מכפלה של מספרים מרוכבים הוא המכפלה של הצמודים של אותם מספרים.
$\ z+\bar{z}=2\cdot Re(z)$ . כלומר, הסכום של מספר מרוכב והצמוד שלו שווה לפעמיים החלק הממשי של אותו מספר.
$\ z-\bar{z}=2i\cdot Im(z)$ . כלומר, ההפרש בין מספר מרוכב והצמוד שלו שווה לפעמיים המספר המדומה $\ i$ כפול החלק המדומה של $\ z$ .
מתקיים $\ z=\bar{z}$ אם ורק אם $\ z$ הוא מספר ממשי. כלומר, אם מספר מרוכב שווה לצמוד שלו הוא ממשי, וכל מספר ממשי שווה לצמוד שלו.

לא קשה להוכיח תכונות אלו - נסו לעשות זאת בעצמכם על ידי כתיבת המספר $\ z$ בצורה המפורשת $\ z=a+bi$ .

[עריכה] הקשר בין הצמוד המרוכב והערך המוחלט

כזכור, בהקדמה, הגדרנו את הערך המוחלט עבור מספר מרוכב בצורה הבאה: אם $\ z=a+bi$ אז $\ |z|=\sqrt{a^2+b^2}$ .

נעמוד כעת על שני קשרים בסיסיים בין הערך המוחלט והצמוד המרוכב:

$\ |z|=|\bar{z}|$ . כלומר, הערך המוחלט של מספר זהה לערך המוחלט של הצמוד שלו.
$\ z\cdot\bar{z}=|z|^2$ . כלומר, מספר כפול הצמוד שלו שווה לערך המוחלט שלו בריבוע. בפרט זהו מספר ממשי שכן הערך המוחלט של מספר הוא תמיד ממשי.

כדי לראות שהתכונה השנייה מתקיימת, נשים לב כי $\ z\cdot\bar{z}=(a+bi)(a-bi)=a^2-b^2i^2=a^2+b^2=(\sqrt{a^2+b^2})^2$ .

נשים לב כי זוהי התכונה שעל קיומה עמדנו בפרק הקודם, ובה השתמשנו כדי לחשב את המנה $\ \frac{1}{z}$ . כעת נשתמש בתכונות שראינו ונכתוב בצורה כללית:

אם $\ z\ne 0$ אז $\ \frac{1}{z}=\frac{\bar{z}}{|z|^2}$ .

למעשה לא חידשנו כאן דבר - ההוכחה של תכונה זו היא מיידית וזהה ל"תעלול" שנקטנו בפרק הקודם. פשוט נכפול את המונה והמכנה של השבר $\ \frac{1}{z}$ בצמוד של $\ z$ , ובכך לא נשנה את ערך המספר כי אנו כופלים אותו ב-1.

נשים לב כי הדרישה $\ z\ne 0$ היא הכרחית מהטעם הפשוט שאין מובן לביטוי $\ \frac{1}{0}$ והוא נותר לרוב בלתי מוגדר.

[עריכה] תכונות של הערך המוחלט

כעת נשים לב למספר תכונות יסודיות של הערך המוחלט:

$\ |z|\ge 0$ ומתקיים $\ |z|=0$ אם ורק אם $\ z=0$ .
$\ |z_1z_2|=|z_1|\cdot |z_2|$ .
$\ |z_1+z_2|\le |z_1|+|z_2|$ .
$\ |-z|=|z|$ .

נשים לב במיוחד לתכונה מספר 3. תכונה זו מכונה אי שוויון המשולש, וקיימים לה שימושים רבים. בפרק העוסק במישור המרוכב יוסבר מדוע תכונה זו נקראת כך.

הפרק הקודם:
חשבון במספרים מרוכבים

הצמוד המרוכב והערך המוחלט
תרגילים

הפרק הבא:
הוצאת שורשים ומשוואות ריבועיות

[עריכה] שאלות

[עריכה] מציאת הצמוד

מצא את הצמוד של המספרים הבאים:

$\ 2+i$
$\ -i+3$
$\ 5$
$\ \frac{3+i}{5}$
$\ -i$
$\ 0$
$\ \overline{1+\overline{i}}$
$\ \overline{\overline{2}+3i}$

[עריכה] משוואות ממעלה ראשונה

מצא את המספר $\ z$ :

$\ 2z+3=5+2i$
$\ 5z-1+2i=3z+3-4i$
$\ 3z+2i=iz-5+2i$
$\ \frac{z+3}{z-3}=3i$
$\ \frac{iz+1}{3-i}=\frac{z+1}{3+i}$

[עריכה] פתרונות

[עריכה] מציאת הצמוד

$\ 2-i$
$\ 3+i$
$\ 5$
$\ \frac{3-i}{5}$
$\ i$
$\ 0$
$\ 1-i$
$\ 2+3i$

[עריכה] משוואות ממעלה ראשונה

$\ z=1+i$
$\ z=2-3i$
$\ z=-\frac{3}{2}-\frac{1}{2}i$
$\ \frac{12}{5}-\frac{9}{5}i$
$\ -\frac{1}{4}+\frac{1}{4}i$

עד עתה למדנו כיצד לבצע פעולות חשבון בסיסיות במספרים מרוכבים ואנו מסוגלים לפתור משוואות ממעלה ראשונה בהם. שיטת הפתרון של משוואות ריבועיות דומה לפתרון של משוואות ריבועיות במספרים ממשיים, בהבדל אחד: הדיסקרמיננטה שנקבל עשוייה להיות מספר מרוכב, ולכן כדי לקבל את הפתרון נצטרך להיות מסוגלים להוציא שורש למספר מרוכב, ולכן נלמד כעת כיצד ניתן לבצע זאת.

[עריכה] הוצאת שורשים

בהמשך נלמד כיצד ניתן להוציא שורש מכל סדר שהוא, אולם כעת נלמד טכניקה להוצאת שורשים ריבועיים שלעתים קרובות יכולה להיות נוחה יותר לשימוש מאשר הטכניקה הכללית.

נניח כי אנו רוצים למצוא את שני השורשים של המספר המרוכב $\ z=a+bi$ . אנחנו מנחשים שהשורשים גם הם מספרים מרוכבים. בעקרון יש להוכיח כי ניחוש כזה הוא לגיטימי, אולם נדחה את ההוכחה למקרה הכללי. נניח אם כן כי $\ x+iy$ הוא מספר מרוכב שמהווה את אחד מהשורשים וננסה לראות מהם ערכי $\ x,y$ .

מכיוון ש- $\ x+iy=\sqrt{a+bi}$ צריך להתקיים השוויון הבא:

$\ (x+yi)^2=a+bi$

נפתח את הסוגריים באגף שמאל ונקבל:

$\ x^2-y^2+2xyi=a+bi$

יש לנו שני משתנים $\ x,y$ ולכאורה רק משוואה אחת, אולם בפועל בתוך המשוואה חבויות שתי משוואות. מכיוון ש- $\ x,y,a,b$ כולם מספרים ממשיים ניתן להשוות בנפרד את החלק הממשי והחלק המדומה של המספרים שמשני צדי השוויון. נקבל את שתי המשוואות הבאות:

$\ x^2-y^2=a$
$\ 2xy=b$

לאחר פתרון מערכת המשוואות הזו נקבל את השורשים המבוקשים.

[עריכה] דוגמה

נניח שאנו מחפשים את $\ \sqrt{5+12i}$ . על פי השיטה שהראינו, נקבל את מערכת המשוואות הבאה:

$\ x^2-y^2=5$
$\ 2xy=12$

מהמשוואה השנייה נחלץ את $\ x$ :

$\ x=\frac{6}{y}$

נציב במשוואה הראשונה ונקבל:

$\ \frac{36}{y^2}-y^2=5$

נקבל את המשוואה הבאה:

$\ y^4+5y^2-36=0$

נגדיר $\ t=y^2$ וקיבלנו משוואה ריבועיות רגילה:

$\ t^2+5t-36=0$

פתרונות המשוואה הם $\ t_{1,2}=4,-9$ . מכיוון ש- $\ y$ הוא מספר ממשי הפתרון $\ y^2=-9$ אינו קביל, ולכן $\ y_{1,2}=\pm 2$ הם הפתרונות היחידים, ולהם מתאימים הפתרונות $\ x_{1,2}=\pm 3$ .

קיבלנו כי $\ \sqrt{5+12i}=\pm(3+2i)$ .

[עריכה] פתרון משוואות ריבועיות

כעת נראה דוגמה לפתרון משוואה ריבועית. באופן כללי הרעיון זהה לרעיון של פתרון משוואות ריבועיות במספרים ממשיים: אם $\ az^2+bz+c=0$ היא המשוואה, אז שני הפתרונות נתונים על ידי:

$\ z_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

כל המקדמים ( $\ a,b,c$ ) יכולים להיות מספרים מרוכבים, ולכן לצורך הפתרון נזדקק לכל מה שלמדנו עד עתה: חיבור, חיסור, כפל, חילוק והוצאת שורש.

נפתור את המשוואה הריבועיות $\ z^2+(1+2i)z-2-2i$

במקרה זה:

$\ a=1,b=1+2i,c=-(2+2i)$

הדיסקרימיננטה היא:

$\ b^2-4ac=(1+2i)^2+4(2+2i)=1+4i-4+8+8i=5+12i$

וכבר ראינו כי $\ \sqrt{5+12i}=\pm(3+2i)$ . לכן נקבל:

$\ z_{1,2}=\frac{-1-2i\pm(3+2i)}{2}$ ונקבל את שני הפתרונות:

$\ z_1=1,z_2=-2-2i$

[עריכה] נוסחאות וייטה

ייתכן כי כבר נתקלתם בנוסחאות וייטה בחקירת משוואות ריבועיות במספרים ממשיים. הן תקפות גם עבור מספרים מרוכבים, ונראה זאת כאן.

נוסחאות וייטה עוסקות בצורה של סכום ומכפלה של שני הפתרונות של משוואה ריבועית. מסתבר שכדי לדעת את הסכום והמכפלה די לדעת את מקדמי המשוואה. נראה זאת.

תהא $\ az^2+bz+c$ משוואה ריבועית. על פי הנוסחה הכללית לפתרון המשוואה, שני הפתרונות הם:

$\ z_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a},z_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

ולכן:

$\ z_1+z_2=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-2b}{2a}=-\frac{b}{a}$

$\ z_1z_2=\frac{(-b+\sqrt{b^2-4ac})(-b-\sqrt{b^2-4ac})}{4a^2}=\frac{b^2-b^2+4ac}{4a^2}=\frac{4ac}{4a^2}=\frac{c}{a}$

קיבלנו את שתי נוסחאות וייטה:

$\ z_1+z_2=-\frac{b}{a}$
$\ z_1z_2=\frac{c}{a}$

הפרק הקודם:
הצמוד המרוכב והערך המוחלט

הוצאת שורשים ומשוואות ריבועיות
תרגילים

הפרק הבא:
המישור המרוכב וההצגה הקוטבית

[עריכה] שאלות

[עריכה] משוואות ריבועיות

$\ z^2-8z+17=0$
$\ z^2-2z+26=0$
$\ 2z^2-8z+10=0$
$\ z^2+(1-i)z-i=0$
$\ z^2-(3+2i)z+1+3i=0$
$\ z^2-iz-9+3i=0$
$\ z^2+iz+6=0$
$\ z^2+(1-2i)z-7-i=0$

[עריכה] נוסחאות וייטה

בנה משוואה ריבועית מתוקנת (כלומר,שמתקיים בה $\ a=1$ ) ששורשיה הם $\ z_1=2i,z_2=i-1$ .
בנה משוואה ריבועית מתוקנת ששורשיה הם $\ z_1=3+2i,z_2=i-4$ .
$\ z_1,z_2$ הם פתרונות המשוואה $\ 13z^2-8z+2=0$ . חשב את $\ \sqrt{\frac{z_1+z_2}{z_1z_2}}$ .
$\ z_1,z_2$ הם פתרונות המשוואה $\ z^2-(3+2i)z+2i=0$ . מצא משוואה ששורשיה הם $\ z_1+z_2,z_1z_2$ (אין צורך לחשב ישירות את השורשים).
$\ z_1,z_2$ הם פתרונות המשוואה $\ z^2-(4+2i)z+2=0$ . מצא משוואה ששורשיה הם $\ \frac{1}{z_1},\frac{1}{z_2}$ (אין צורך לחשב ישירות את השורשים).
הוכח כי אם $\ z_1,z_2$ הם שני מספרים מרוכבים שאחד מהם לא ממשי שעבורם $\ z_1+z_2,z_1\cdot z_2$ הם מספרים ממשיים, אז $\ z_1=\overline{z_2}$ כלומר שני המספרים צמודים זה לזה. מכאן הסק כי אם למשוואה ריבועית שכל מקדמיה ממשיים יש שורש לא ממשי, גם השורש השני אינו ממשי ושני השורשים צמודים זה לזה.

[עריכה] תשובות

[עריכה] משוואות ריבועיות

$\ z_{1,2}=4\pm i$
$\ z_{1,2}=1\pm 5i$
$\ z_{1,2}=2\pm i$
$\ z_1=-1, z_2=i$
$\ z_1=1+i,z_2=2+i$
$\ z_1=3,z_2=-3+i$
$\ z_1=2i,z_2=-3i$
$\ z_1=2+i,z_2=-3+i$

[עריכה] נוסחאות וייטה

$\ z^2+(1-3i)z-2(1+i)=0$
$\ z^2+(1-3i)z-(15+5i)=0$
$\ 2$
$\ z^2-(3+4i)z+(6i-4)=0$
$\ 2z^2-(4+2i)z+1=0$
נסמן $\ z_1=a+bi,z_2=c+di$ ונניח כי $\ z_2$ הוא המספר שידוע שאינו ממשי, כלומר $\ d\ne 0$ . מכיוון ש- $\ z_1+z_2=(a+c)+(b+d)i$ הוא מספר ממשי החלק המדומה שלו שווה לאפס, כלומר $\ b+d=0$ ולכן $\ b=-d$ .

כעת, $\ z_1\cdot z_2=(ac-bd)+(ad+bc)i$ גם הוא מספר ממשי ולכן $\ ad+bc=0$ , ואם נציב את $\ b$ מהמשוואה הקודמת נקבל $\ ad-cd=0$ .

קיבלנו כי $\ ad=cd$ . מכיוון שנתון לנו שהמספר $\ z_2$ אינם ממשיים אז $\ d\ne0$ ולכן ניתן לחלק בו ולקבל $\ a=c$ .

כלומר, קיבלנו כי $\ z_1=a+bi$ ואילו $\ z_2=c+di=a-bi=\overline{z_1}$ .

אם יש לנו משוואה ריבועיות שכל מקדמיה ממשיים ויש לה שורש לא ממשי $\ z_1$ , נשים לב כי $\ z_1+z_2,z_1\cdot z_2$ חייבים להיות מספרים ממשיים בגלל נוסחאות וייטה.

על פי מה שהראינו קודם, אם $\ z_1+z_2,z_1\cdot z_2$ ממשיים אז $\ z_1=\overline{z_2}$ , ובכך סיימנו את ההוכחה.

[עריכה] המישור המרוכב

בפרקים הקודמים כבר ראינו כי כל מספר מרוכב מאופיין על ידי החלק הממשי והחלק המדומה שלו. נערוך כאן חזרה קצרה על אפיון זה:

אם $\ z=a+bi$ אז $\ Re(z)=a$ הוא החלק הממשי של $\ z$ , ו- $\ Im(z)=b$ הוא החלק המדומה שלו.

גם החלק הממשי וגם החלק המדומה שניהם מספרים ממשיים. יתר על כן - החלק הממשי והחלק המדומה מאפיינים לחלוטין את המספר. כלומר, די לדעת מהם החלק הממשי והמדומה של מספר מרוכב כדי לדעת מהו המספר.

אם כן, ניתן לחשוב על כל מספר מרוכב כעל זוג של מספרים ממשיים. נביא כעת כמה דוגמאות להקבלה זו:

$\begin{matrix} 5+4i&(5, 4) \\ 3i&(0, 3) \\ \frac{4+5i}{3}&(\frac{4}{3}, \frac{5}{3}) \\ 42&(42, 0) \\ \sqrt{2}+\sqrt{2}i&(\sqrt{2}, \sqrt{2}) \\ \end{matrix}$

זוגות של מספרים ממשיים אינם זרים למי שלמד גאומטריה אנליטית - ניתן לחשוב על כל נקודה במישור כעל זוג של מספרים ממשיים שמייצגים את הקוארדינטות שלה על ציר $\ x$ וציר $\ y$ .

בדיוק באותה הצורה ניתן יהיה לחשוב על כל מספר מרוכב כעל מספר במישור. כדי לזכור שמדובר על מספרים מרוכבים ולא על המישור האוקלידי הרגיל נהוג לכנות את המישור הזה בתור המישור המרוכב, ולסמן את הצירים שלו לא בתור $\ x,y$ אלא בתור $\ Re,Im$ . כלומר, הציר האופקי הוא זה שעליו מודדים את גודל החלק הממשי של המספר, ועל הציר האנכי מודדים את החלק המדומה שלו.

צורת חשיבה זו על המספרים המרוכבים היא מתקבלת על הדעת. עבור המספרים הממשיים יש לנו אינטואיציה גאומטרית - הם כל המספרים שנמצאים על קו ישר, שאותו אנו מכנים "הישר הממשי". לכן הגיוני לחפש אינטואיציה גאומטרית דומה גם עבור המספרים המרוכבים.

יתר על כן, הדמיון בין המישור המרוכב למישור האוקלידי הרגיל מעניק לנו דרך לבנות את המספרים המרוכבים מבלי "להמציא" את $\ i$ . נראה זאת ביתר פירוט בפרק הבא.

ניתן לדבר גם על קבוצות של מספרים מרוכבים ולא רק על מספרים בודדים. בתמונה הבאה של המישור המרוכב, החלק הכהה מסמן את הקבוצה שמכילה את כל המספרים המרוכבים שהן החלק הממשי והן החלק המדומה שלהם הם בין $\ -1$ ו- $\ 1$ :

[עריכה] הערך המוחלט - חזרה קצרה

כעת נשלים חובות שיש לנו בנוגע לערך המוחלט. ראשית נסביר את משמעות הגדרתו, ואחר נדבר על אי שוויון המשולש. חלק זה מיועד להרחבה, וניתן לדלג עליו אל החלק העוסק בהצגה הקוטבית.

כזכור, הערך המוחלט הוגדר כך:

$\ |a+bi|=\sqrt{a^2+b^2}$ .

מדוע אנו בוחרים בהגדרה שכזו?

[עריכה] מהו מרחק?

כאשר עוסקים במספרים ממשיים, הערך המוחלט של מספר כלשהו הוא אותו המספר ללא סימן. מטרת ההגדרה הזו היא לייצג את מרחק המספר מנקודת האפס על גבי הישר, אך מהו בעצם מרחק?

בצורה אינטואיטיבית, מרחק הוא פשוט אורכו של הקו שבין שתי נקודות. אם מקבלים את דרך החשיבה הזו, ננסה לראות מהן התכונות הבסיסיות שאנו מצפים שמרחק יקיים.

ראשית, נצפה שהמרחק יהיה תמיד מספר ממשי חיובי. זאת מכיוון שאורך של קו הוא תמיד מספר ממשי וחיובי.

שנית, נצפה שהמרחק בין שתי נקודות יהיה אפס אם ורק כאשר הוא נמדד מנקודה לעצמה - במקרה כזה אין קו בין שתי הנקודות, כי הן נמצאות באותו מקום. ניתן לומר כי קיים קו "מנוון" בין שתי הנקודות, שאורכו 0.

שלישית, נצפה שהמרחק מנקודה $\ a$ לנקודה $\ b$ יהיה זהה למרחק מנקודה $\ b$ לנקודה $\ a$ . זאת מכיוון שאורך של קו לא תלוי בשאלה האם אנחנו מותחים אותו מהנקודה הראשונה לשנייה, או מהנקודה השנייה לראשונה.

התכונה הרביעית, שמכונה אי שוויון המשולש היא הפחות אינטואיטיבית מבין כל התכונות. היא אומרת דבר כזה: המרחק שבין שתי נקודות יהיה קטן או שווה לסכום המרחקים של שתי הנקודות מנקודת ביניים שלישית.

ננסה להבין זאת באמצעות דוגמה. נניח שאנחנו בתל אביב ורוצים למדוד את המרחק לירושלים. כמובן שנרצה למדוד את המרחק הקצר ביותר, ולשם כך נמדוד את אורך הדרך שנוסעת הישר מתל אביב ועד ירושלים, ולא את הדרך שעוברת מתל אביב לחיפה ומחיפה לירושלים, שהיא בוודאי ארוכה יותר.

במציאות, דבר זה לא תמיד מתקיים. לפעמים יש "קיצורי דרך" שנובעים מכך שהדרך הישירה בין שתי ערים היא מפותלת. אבל כאשר אנו עוסקים בנקודות במישור, ניתן לחשוב כאילו אנו נעים תמיד במעוף הציפור - בקו ישר.

כעת ניתן לראות כיצד נכנס המשולש לתמונה. נניח שיש לנו שתי נקודות - $\ a,b$ , ואנו מותחים בינן קו. כעת נוסיף נקודה שלישית: $\ c$ , ונבחר אותה בקווים לנקודות $\ a,b$ . נקבל משולש.

תכונה ידועה מהגאומטריה האוקלידית היא שבמשולש, סכום של שתי צלעות גדול מהצלע השלישית. מתכונה זו עולה כי הקו הישר שמחבר את $\ a,b$ קצר מסכום אורכי הקווים שמחברים את $\ c$ עם שתי הנקודות. כלומר, מעבר דרך $\ c$ אינו יכול לשמש כ"דרך קיצור". שוויון יתקיים רק כאשר הנקודה $\ c$ תהיה על הקו שמחבר את $\ a,b$ ובמקרה זה המשולש שנקבל יהיה "מנוון" - שטחו יהיה אפס.

[עריכה] הערך המוחלט כמרחק

כעת משהסברנו מהו מרחק, נותר לראות שהערך המוחלט שהוגדר עבור מספרים מרוכבים הוא אכן מרחק. בשביל זה די לשים לב להגדרתו:

הערך המוחלט של מספר מרוכב $\ z$ הוא אורך הישר שמחבר את הנקודה שמייצגת אותו במישור המרוכב עם ראשית הצירים.

מכיוון שכבר ראינו שהמישור המרוכב הוא למעשה דרך אחרת להתבונן על המישור האוקלידי, התכונות מהמישור האוקלידי מתקיימות עבור ההגדרה שלנו. לכן הערך המוחלט של מספר מרוכב הוא מרחקו מאפס והוא מקיים את כל התכונות שניתן לצפות להן ממרחק.

נותר לראות מדוע המרחק של $\ z$ מראשית הצירים יוצא דווקא $\ \sqrt{a^2+b^2}$ . תוצאה זו מתקבלת ממשפט פיתגורס: במשולש ישר זווית שהצלעות המאונכות בו הן $\ a,b$ והיתר בו הוא $\ c$ מתקיים $\ a^2+b^2=c^2$ .

אם נסתכל על נקודה במישור המרוכב נוריד עבורה אנך לציר $\ Re$ ונחבר אותה עם ראשית הצירים, נראה כי קיבלנו משולש ישר זווית שהיתר שלו היא הישר שמחבר את הנקודה עם הראשית, ואורך הצלעות המאונכות בו הוא בדיוק החלק הממשי והחלק המדומה של המספר. משפט פיתגורס נותן מיידית את התוצאה המבוקשת.

[עריכה] ההצגה הקוטבית

בחלק זה נשתמש בעובדות בסיסיות מטריגונומטריה.

כבר ראינו כי ניתן לראות כל מספר מרוכב כנקודה במישור. אנו נוהגים לתאר נקודות במישור באמצעות קוארדינטות שנקראות קרטזיות (על שם הפילוסוף והמתמטיקאי רנה דקארט שהמציא אותן) שמורכבת משני מספרים: קוארדינטת $\ x$ וקוארדינטת $\ y$ , שמתארות את המרחק מראשית הצירים שאנו הולכים במקביל לציר $\ y$ ובמקביל לציר $\ x$ כדי להגיע עד לנקודה.

ישנה דרך נוספת לתאר נקודה, ולכן דרך נוספת לתאר מספר מרוכב. בחלק זה נראה את הדרך הזו.

נביט בנקודה כלשהי במישור ונחבר אותה עם קו ישר אל ראשית הצירים. נסתכל על הקו שקיבלנו. יש לו שתי תכונות ברורות: ראשית, יש לו אורך מסויים. שנית, הוא יוצר זווית עם ציר $\ x$ .למעשה הוא יוצר שתי זוויות עם ציר $\ x$ , שמשלימות זו את זו ל-360 מעלות. לכן די בידיעה של אחת מהזוויות כדי לדעת מהי הזווית השניה. נבחר תמיד את הזווית שהישר יוצר עם הכיוון החיובי של ציר $\ x$ - כלומר, את הזווית שמתקבלת אם "מסובבים" את הישר עם כיוון השעון עד שהוא נח על ציר $\ x$ ופונה ימינה.

מכאן שאם נדע אורך של ישר ואת הזווית שהוא יוצר עם הכיוון החיובי של ציר $\ x$ , נוכל לתאר במדויק את אותו ישר, ולכן גם את הנקודה שבקצהו. לכן במקום לתאר נקודה עם קוארדינטות קרטזיות ניתן לתאר אותה באמצעות אורך וזווית, וזוהי בדיוק מהות ההצגה הקוטבית.

[עריכה] מעבר בין ההצגות הקרטזית והקוטבית

נניח שנתון לנו מספר מרוכב $\ a+bi$ , כלומר הקוארדינטות הקרטזיות שלו במישור המרוכב הן $\ (a,b)$ . אנחנו רוצים לדעת מהי ההצגה הקוטבית שלו. כיצד נמצא אותה?

ראשית, את אורכו של הישר קל לנו למצוא. כזכור, אורך זה הוא בדיוק הערך המוחלט של המספר המרוכב, כלומר $\ \sqrt{a^2+b^2}$ . לתוצאה זו הגענו על פי משפט פיתגורס. נהוג לסמן את האורך על ידי האות $\ r$ .

כדי למצוא את הזווית נצייר את המשולש ששימש אותנו גם בשימוש במשפט פיתגורס. במשולש זה נראה כי טנגנס הזווית שאנו מחפשים הוא בדיוק היחס $\ \frac{b}{a}$ . לכן הזווית שלנו נתונה על ידי $\ \tan\theta=\frac{b}{a}$ (בשביל הזווית אנו משתמשים באות היוונית תטה). למשוואה זו יש שני פתרונות שונים בקטע $\ [0^\circ,360^\circ]$ , וכדי לבחור את הזווית הנכונה אנחנו צריכים לבחור את זו שמתאימה לרביע שבו נמצא המספר שלנו. כזכור מטריגונומטריה, ניתן למצוא את הרביע על פי הסימנים של $\ a,b$ :

$\ a,b>0$ - רביע ראשון ( $\ [0^\circ,90^\circ]$ ).
$\ a<0,b>0$ - רביע שני ( $\ [90^\circ,180^\circ]$ ).
$\ a,b<0$ - רביע שלישי ( $\ [180^\circ,270^\circ]$ ).
$\ a>0,b<0$ - רביע רביעי ( $\ [270^\circ,360^\circ]$ ).

בעיה יכולה להתעורר כאשר $\ a=0$ , כי הרי אז הביטוי $\ \frac{b}{a}$ אינו מוגדר. נשים לב כי אם $\ a=0$ , הישר שלנו הוא אנכי, ולכן הזוויות שהוא יוצר היא של $\ 90^\circ$ במקרה שבו כיוונו הוא כלפי מעלה, כלומר $\ b>0$ , ושל $\ 270^\circ$ כאשר $\ b<0$ . במקרה שבו גם $\ a=0$ וגם $\ b=0$ (כלומר המספר המרוכב שלנו הוא 0) נהוג להותיר את הזווית בלתי מוגדרת.

כיצד ניתן לבצע את המעבר ההפוך? כלומר, בהינתן $\ (r,\theta)$ כיצד נעבור ל- $\ (x,y)$ ? גם כאן די בטריגונומטריה בסיסית. נצייר שוב את המשולש שלנו ונראה כי מתקיים:

$\ x=r\cos\theta$

$\ y=r\sin\theta$

כלומר, המעבר בכיוון השני הוא פשוט עוד יותר.

בהתבסס על נוסחאות אלו, אם נתון לנו המספר המרוכב $\ z=a+bi$ וחישבנו את הזווית והאורך שלו, ניתן לכתוב אותו כך:

$\ z=r\cos\theta+i\cdot r\sin\theta=r\cdot\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)$ .

נהוג לסמן בקיצור:

$\ \cos\theta+i\sin\theta=\mathrm{cis}\theta$ .

ולכן מספר מרוכב יכול להיכתב בקיצור בצורה קוטבית על ידי:

$\ z=r\cdot \mathrm{cis}\theta$ .

להצגה הקוטבית יש שימושים רבים. בפרט, היא מאפשרת לבצע בצורה נוחה מאוד פעולות של כפל, חילוק, העלאה בחזקה והוצאת שורשים במספרים מרוכבים. נראה זאת בפרק הבא. עם זאת, יש לה גם חסרונות: חיבור וחיסור הרבה פחות קלים לביצוע בצורה זו.

את הזווית נהוג לכנות לפעמים בתור הארגומנט של המספר המרוכב, אולם כאן חבויה בעיה בשימוש בה' הידיעה, שכן למספר מרוכב יש למעשה אינסוף זוויות שמתאימות לו. זאת מכיוון שפונקציות הסינוס והקוסינוס הן מחזוריות, וכל 360 מעלות הן חוזרות על עצמן. מכאן שאם למספר מרוכב מתאימה זווית כלשהי, גם כל זווית אחרת שהתקבלה על ידי חיבור או חיסור כפולות של 360 מעלות תיתן את אותן התוצאות בדיוק. על כן בוחרים בתור הארגומנט את הזווית שנמצאת בתחום שבין 0 ל-360 מעלות.

[עריכה] נוסחת אוילר

חלק זה מיועד להרחבה ולהעשרה, ואינו נכלל בחומר הלימוד לבגרות.

למספר $\ e=2.7183\dots$ המכונה בסיס הלוגריתם הטבעי יש חשיבות רבה במתמטיקה, והוא מופיע בהקשרים שונים ומשונים. בחלק זה נלמד על אחד מהקשרים אלו.

הפונקציה $\ f(x)=e^x$ מתאימה לכל מספר ממשי את $\ e$ מועלה בחזקה שלו. באופן טבעי עולה השאלה: מה יקרה אם במקום מספר ממשי $\ x$ נשתמש במספר מרוכב? כלומר, לכמה שווה $\ e^{a+bi}$ ?

ממבט ראשון השאלה עלולה להיראות חסרת פשר. לא ברור איזו משמעות ניתן לייחס למעריך שהוא מספר מרוכב. עם זאת, אין זה אומר שלא ניתן למצוא משמעות שכזו. כדאי לזכור כי גם $\ e^{\sqrt{2}}$ אינה חזקה שאנו רגילים לה באלגברה הבסיסית, בה אנחנו עובדים עם חזקות שהן מספרים רציונליים בלבד.

אחת התגליות החשובות שגילה המתמטיקאי לאונרד אוילר (מהמתמטיקאים הפורים ביותר בכל הזמנים) הייתה המשמעות של אותה חזקה. מתברר כי מתקיימת הנוסחה הבאה:

$\ e^{i\theta}=\cos{\theta}+i\sin{\theta}$

נוסחה זו נקראת נוסחת אוילר.

הוכחת נוסחה זו דורשת ידע בחשבון אינפיניטסימלי ובפרט בתחום העוסק בטורי טיילור. בסוף חלק זה נראה את רעיון ההוכחה, אך לא נוכיח את הנוסחה בצורה מדוייקת לחלוטין. לעת עתה ננסה להבין את משמעות הנוסחה.

מהנוסחה עולה כי $\ e$ בחזקת מספר מרוכב הוא בעצמו מספר מרוכב. מהנוסחה עוד עולה כי ניתן לתאר כל מספר הנתון בהצגה קוטבית בתור חזקה של $\ e$ :

$\ r(\cos{\theta}+i\sin{\theta})=r\cdot e^{i\theta}$ .

נוסחה זו קצרה יותר לכתיבה מאשר הנוסחה שמכילה את הפונקציות הטריגונומטריות, ולכן לרוב מעדיפים להשתמש בה. כמו כן, מהנוסחה הזו יותר ברורות תכונות הכפל, החילוק והחזקה שאותן נראה בפרק הבא.

בעזרת שימוש בחוקי החזקות הבסיסיים, קל לחשב את החזקה של $\ e$ עבור מספר מרוכב שנתון בצורה $\ a+bi$ :

$\ e^{a+bi}=e^a\cdot e^{bi}=e^a\cdot \mathrm{cis}(b)$

כלומר, $\ e$ בחזקת המספר $\ a+bi$ הוא מספר מרוכב שאורכו $\ e^{a}$ והזווית שלו עם הכיוון החיובי של ציר $\ x$ היא $\ b$ . הגדרה זו מתלכדת עם ההגדרה המקורית של $\ e$ עבור מספרים ממשיים בלבד: כאשר $\ b=0$ נקבל את המספר הממשי $\ e^{a}$ .

מקרה פרטי של השימוש בנוסחת אוילר הוא כאשר $\ \theta=\pi$ . במקרה זה נקבל:

$\ e^{i\pi}=\cos{\pi}+i\sin{\pi}=-1$ .

על ידי העברת אגפים נקבל את הזהות:

$\ e^{i\pi}+1=0$ .

זהות זו מכונה זהות אוילר ונחשבת בעיניי רבים לאחת מהזהויות היפות במתמטיקה. היא קושרת יחד חמישה מהמספרים הבסיסיים ביותר במתמטיקה: $\ 0$ , שהוא המספר הנייטרלי ביחס לחיבור, $\ 1$ שהוא המספר הנייטרלי ביחס לכפל, $\ \pi$ שהוא היחס בין היקף המעגל לקוטרו, $\ e$ ו- $\ i$ .

[עריכה] הוכחה

בחלק זה נראה את רעיון ההוכחה של נוסחת אוילר. ההוכחה מתבססת על התכונה $\ i^2=-1$ ועל טור הטיילור של הפונקציות $\ e^x,\sin(x),\cos(x)$ .

טור טיילור הוא מושג השייך לתחום החשבון האינפיניטסימלי. טור טיילור של פונקציה כלשהי בנקודה מסויימת הוא סכום אינסופי של מספרים, כך שככל שמסכמים בו יותר מספרים, הסכום הולך ומתקרב למספר שהוא הערך של הפונקציה בנקודה הזו.

למשל, טור הטיילור של $\ e^x$ הוא זה:

$\ e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\dots+\frac{x^n}{n!}+\dots$

האיבר הימני ביותר בטור, זה שבו מופיע $\ n$ , נקרא האיבר הכללי של הטור. כל איבר בטור הוא מהצורה של האיבר הכללי, עבור ערכים שונים של $\ n$ , כאשר $\ n$ הוא מספר טבעי או אפס. נסו להציב את הערכים $\ n=0,1,2,3,4$ ותראו שאתם אכן מקבלים את האיברים הראשונים בטור.

כעת נסו להציב $\ x=1$ והתחילו לחבר את אברי הטור. תראו כי הסכום שאתם מקבלים הולך ומתקרב לערכו של $\ e$ . ככל שתחברו יותר איברים כך תגדל רמת הדיוק שלכם, עד שלבסוף תעברו את הדיוק של מחשבוני כיס. אכן, אחת הדרכים שבה מחשבון יכול לחשב ערכים של פונקציות היא באמצעות טור הטיילור שלהן. מכיוון שהטור הוא אינסופי התוצאה שתתקבל לא תהיה מדוייקת - אבל עבור פונקציות רבות, ניתן להשתמש בטורי טיילור שלהן כדי לקבל תוצאה שקרובה לערך האמיתי בכל רמת דיוק שנרצה.

טור טיילור יכול לשמש ליותר מאשר מציאת קירובים. כעת נראה כיצד משתמשים בו כדי להוכיח את זהות אוילר.

ראשית נציג את טורי טיילור של פונקציות הסינוס והקוסינוס:

$\ \sin(x)=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\dots$

$\ \cos(x)=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\dots$

קרוב לודאי שאתם שמים לב לדמיון בין הטור של $\ e^x$ לטורים של סינוס וקוסינוס. קשר זה אינו מקרי, כמובן.

כעת נראה מה קורה כאשר אנו מציבים בטור של $\ e^x$ מספר מרוכב - כלומר, נציב $\ x=i\theta$ . נקבל:

$\ e^{i\theta}=1+i\theta+\frac{(i\theta)^2}{2!}+\frac{(i\theta)^3}{3!}+\frac{(i\theta)^4}{4!}+\frac{(5i)^5}{5!}+\dots=1+i\theta+\frac{-\theta^2}{2!}+\frac{-i\theta^3}{3!}+\frac{\theta^4}{4!}+\frac{i\theta^5}{5!}=$

$\ = \left(1-\frac{\theta^2}{2!}+\frac{\theta^4}{4!}+\dots\right)+i\left(\theta-\frac{\theta^3}{3!}+\frac{\theta^5}{5!}+\dots\right)=\cos\theta+i\sin\theta$

וכך קיבלנו את הנוסחה.

ההוכחה שלנו אינה מלאה, וחסרות לנו הצדקות לחלק מהמעברים שביצענו. בפרט המעבר שבו פירקנו את הטור שלנו לשני טורים שונים תוך שאנו משנים את סדר הסכימה דורש הצדקה. הצדקה זו שייכת לתחומי החשבון האינפיניטסימלי והאנליזה המרוכבת, שאיננו נכנסים אליהם כאן.

הפרק הקודם:
הוצאת שורשים ומשוואות ריבועיות

המישור המרוכב וההצגה הקוטבית
תרגילים

הפרק הבא:
משפט דה-מואבר

אלגברה תיכונית/מספרים מרוכבים/המישור המרוכב וההצגה הקוטבית/תרגילים

[עריכה] כפל וחילוק מספרים בהצגה קוטבית

בפרק הקודם ראינו כי כל מספר מרוכב ניתן להצגה בצורה הבאה:

$\ z=r\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)$ .

נראה כעת כיצד נראית פעולת כפל על שני מספרים שנתונים בהצגה קוטבית. לשם כך ראשית כל נזכור שתי נוסחאות חשובות מטריגונומטריה:

$\ \sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\sin\beta\cos\alpha$

$\ \cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$

כעת נשתמש בהן בפעולת הכפל של שני מספרים מרוכבים כלליים:

$\ z_1=r_1\left(\cos\theta_1+i\sin\theta_1\right),z_2=r_2\left(\cos\theta_2+i\sin\theta_2\right)$ .

בפעולת הכפל נקבל:

$\ z_1z_2=r_1\left(\cos\theta_1+i\sin\theta_1\right)r_2\left(\cos\theta_2+i\sin\theta_2\right)=$

$\ =r_1r_2\left(\cos\theta_1\cos\theta_2-\sin\theta_1\sin\theta_2+i\left(\sin\theta_1\cos\theta_2+\cos\theta_1\sin\theta_2\right)\right)=$

$\ =r_1r_2\left(\cos(\theta_1+\theta_2)+i\sin(\theta_1+\theta_2)\right)$

קיבלנו תוצאה פשוטה ויפה: המכפלה של שני מספרים מרוכבים בהצגה קוטבית היא מספר מרוכב בהצגה קוטבית שהערך המוחלט שלו הוא מכפלת הערכים המוחלטים של שני המספרים, והארגומנט שלו הוא סכום הארגומנטים של שני המספרים המרוכבים. ייתכן שבגלל פעולת החיבור הארגומנט יחרוג מעבר לגבול 360 המעלות, איך אין לכך חשיבות של ממש, וניתן יהיה להחליפו בזווית המתאימה בתחום הנכון.

כעת נשתמש בתוצאה זו כדי לראות כיצד נראית פעולת חילוק של שני מספרים. נזכור מהחלקים הקודמים כי

$\ \frac{z_1}{z_2}=z_1\cdot\frac{1}{z_2}$

וכמו כן ראינו כבר כי אם $\ z_2\ne 0$ :

$\ \ \frac{1}{z_2}=\frac{\overline{z_2}}{|z_2|^2}$

והרי

$\ \overline{z_2}=r(\cos\theta-i\sin\theta)$

$\ |z_2|=r$

ולכן:

$\ \frac{1}{z_2}=\frac{r(\cos\theta-i\sin\theta)}{r^2}=\frac{1}{r}(\cos\theta-i\sin\theta)=\frac{1}{r}\left(\cos(-\theta)+i\sin(-\theta)\right)$

ועל פי כלל הכפל שכבר הוכחנו, נקבל:

$\ \frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1}{r_2}\left(\cos(\theta_1-\theta_2)+i\sin(\theta_1-\theta_2)\right)$

כלומר, תוצאת פעולת החילוק של שני מספרים מרוכבים היא מספר מרוכב שהערך המוחלט שלו הוא מנת הערכים המרוכבים של שני המספרים, והארגומנט שלו הוא הפרש שני הארגומנטים של המספרים המרוכבים.

[עריכה] משפט דה-מואבר

משפט דה-מואבר עוסק בחזקות שלמות של מספרים מרוכבים ומסייע לנו בחישובן. המשפט אומר את הדבר הבא:

אם $\ z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$ הוא מספר מרוכב ו- $\ n$ הוא מספר שלם, אז:

$\ z^n=r^n(\cos(n\theta)+i\sin(n\theta))$

כדי להוכיח את המשפט משתמשים באינדוקציה מתמטית:

עבור $\ n=0$ המשפט בבירור מתקיים: $\ z^0=1$ , וכמו כן $\ r^0(\cos(0)+i\sin(0))=1$ .

נניח שהמשפט נכון עבור $\ n=k$ ונוכיח עבור $\ n=k+1$ . לשם כך נשתמש בנוסחת הכפל שהוכחנו קודם:

$\ z^{n}=z^{k+1}=z^kz=r^k(\cos(k\theta)+i\sin(k\theta))r(\cos(\theta)+i\sin(\theta))=$ $\ =r^{k+1}(\cos((k+1)\theta)+i\sin((k+1)\theta))=r^{n}(\cos(n\theta)+i\sin(n\theta))$

בכך הוכחנו את המשפט עבור כל $\ n\ge0$ .

נראה כעת את נכונות המשפט עבור $\ n<0$ . נשים לב כי אם $\ n<0$ אז $\ n=-k$ כאשר $\ k>0$ .

לכן ניתן לכתוב: $\ z^n=z^{-k}=(z^{-1})^k=\left(\frac{1}{z}\right)^k$

את הנוסחה עבור $\ \frac{1}{z}$ כבר מצאנו בחלק הקודם. לכן נשתמש בה ובמשפט דה-מואבר עבור מספרים גדולים מאפס, ונקבל:

$\ \left(\frac{1}{z}\right)^k=\left(\frac{1}{r}(\cos(-\theta)+isin(-\theta))\right)^k=\frac{1}{r^k}(\cos(-k\theta)+isin(-k\theta))=r^n(\cos(n\theta)+i\sin(n\theta))$

[עריכה] מציאת שורשים

כעת אנו יודעים להעלות מספרים מרוכבים בחזקה שהיא מספר שלם. מה עם חזקה שהיא מספר רציונלי? לשם כך עלינו לדעת כיצד ניתן להוציא שורשים.

נעסוק בשאלה הכללית של שורש מסדר $\ n$ . כלומר, בהינתן מספר מרוכב $\ z$ נרצה למצוא את $\ \sqrt[n]{z}$ , שהוא מספר $\ w$ כך ש- $\ w^n=z$

המספרים המרוכבים נבדלים בצורה מהותית מהמספרים הממשיים בכל הנוגע להוצאת שורשים. למספר ממשי היו לכל היותר שני שורשים אפשריים, בכל סדר שהוא. לכן בחרנו תמיד לקחת את החיובי מבין שני השורשים. בצורה הזו פעולת הוצאת השורש הייתה חד ערכית - לכל מספר התאמנו מספר יחיד, שהוא השורש שלו. למשל, $\ \sqrt[4]{16}=2$ , כשהאפשרות הנוספת היחידה היא $\ -2$ .

לעומת זאת, במספרים מרוכבים מתברר כי לפעולה של הוצאת שורש מסדר $\ n$ יש בדיוק $\ n$ פתרונות אפשריים כאשר אנו מוציאים שורש למספר השונה מאפס. למשל, ל- $\ \sqrt[4]{16}$ יש 4 תוצאות שונות אפשריות: $\ 2,-2,2i,-2i$ .

מציאת הפתרונות עצמם אינה מסובכת כאשר אנו מכירים את משפט דה-מואבר. נטפל במקרה הכללי:

נניח כי אנו רוצים למצוא את $\ \sqrt[n]{z}$ . ניקח את $\ z$ בהצגה קוטבית: $\ z=r\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)$ .

נניח שהמספר $\ w$ הוא אחד מהשורשים שאנו מחפשים ונציג גם אותו בצורה קוטבית:

$\ w=t\left(\cos\varphi+i\sin\varphi\right)$ . כאן $\ t$ הוא הערך המוחלט של $\ w$ ואילו $\ \varphi$ הוא הארגומנט שלו - אנחנו פשוט בוחרים אותיות שונות מהרגיל כדי לסמן אותם.

אנחנו רוצים שיתקיים $\ w^n=z$ . אנחנו יודעים כי על פי משפט דה-מואבר מתקיים:

$\ w^n=t^n\left(\cos(n\varphi)+i\sin(n\varphi)\right)$

שני מספרים מרוכבים שווים אם הערכים המוחלטים שלהם שווים, והארגומנטים שלהם שווים או נבדלים בזווית שהיא כפולה שלמה של 360 מעלות. לכן, בראש ובראשונה צריך להתקיים:

$\ t^n=r$

או במילים אחרות:

$\ t=\sqrt[n]{r}$

כאשר השורש שאנחנו לוקחים כאן הוא במשמעות המקורית עבור מספרים ממשיים - אנו בוחרים את השורש הממשי החיובי מבין כל השורשים האפשריים. בצורה הזו אנחנו מבטיחים ש- $\ t$ יהיה מספר ממשי חיובי (כזכור, כל ערך מוחלט חייב להיות מספר ממשי חיובי).

כמו כן עבור הארגומנט צריך להתקיים:

$\ n\varphi=\theta+2\pi k$

זה דורש מספר הסברים. ראשית, $\ 2\pi$ הם 360 מעלות כאשר זוויות מסומנות ברדיאנים, וזוהי צורת הכתיבה המקובלת כאשר עוסקים במספרים מרוכבים. שנית, $\ k$ הוא מספר שלם כלשהו. כלומר, ההבדל בין שתי הזוויות הוא כפולה שלמה של 360 מעלות, כנדרש.

נחלק את שני האגפים ב- $\ n$ ונקבל:

$\ \varphi=\frac{\theta+2\pi k}{n}$

לכאורה קיבלנו אינסוף ארגומנטים שונים אפשריים, אחד לכל ערך אפשרי של $\ k$ . בפועל, רבות מהזוויות שקיבלנו נבדלות בעצמן ב- $\ 2\pi$ ולכן בסופו של דבר יהיה לנו מספר סופי של פתרונות.

כדי לראות זאת נניח כי $\ \frac{\theta+2\pi k_1}{n},\frac{\theta+2\pi k_2}{n}$ הם שני פתרונות שונים. נרצה לראות באיזה תנאים ההפרש ביניהם יהיה כפולה שלמה של $\ 2\pi$ , ולכן נחסר אותם ונקבל:

$\ \frac{\theta+2\pi k_1}{n}-\frac{\theta+2\pi k_2}{n}=\frac{2\pi(k_1-k_2)}{n}=2\pi\cdot\frac{k_1-k_2}{n}$

כלומר, שני הפתרונות ייבדלו זה מזה ב- $\ 2\pi$ אם ההפרש בין $\ k_1,k_2$ מתחלק ב- $\ n$ ללא שארית. אומרים במקרה זה כי $\ k_1,k_2$ הם שקולים מודולו $\ n$ .

כל מספר שלם $\ k$ שקול מודולו $\ n$ לאחד מהמספרים שבין $\ 0$ ועד $\ n-1$ : הוא שקול בדיוק למספר שהוא שארית החלוקה של $\ k$ ב- $\ n$ . קל לראות את זה אם נסמן את שארית החלוקה הזו בתור $\ r$ . היא תהיה בתחום הדרוש, ואחרי שנפחית אותה מ- $\ k$ הוא יתחלק ב- $\ n$ ללא שארית.

מכל זה נובע כי כשאנחנו מוצאים שורשים של מספר מרוכב כלשהו, די לנו לבחור בתור הארגומנט רק $\ k$ שבתחום $\ 0\le k\le n-1$ .

כעת אנחנו יכולים לכתוב את הפתרון הכללי של הוצאת שורש מסדר $\ n$ :

למספר $\ z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$ יש בדיוק $\ n$ שורשים שונים מספר $\ n$ שנסמנם $\ z_k$ עבור $\ 0\le k\le n-1$ והם:

$\ z_k=\sqrt[n]{r}\left(\cos\frac{\theta+2\pi k}{n}+i\sin\frac{\theta+2\pi k}{n}\right)$

כעת אנו מסוגלים למצוא כל חזקה שהיא מספר רציונלי. לא ניכנס כאן למציאת חזקות שאינן מספרים רציונליים, אך נעיר כי מושג החזקה מוגדר באופן כללי גם כאשר החזקה היא מספר מרוכב כלשהו.

[עריכה] הרחבה

נשים לב כי הנוסחה הכללית שהגענו אליה לא חוסכת לנו את הצורך למצוא את השורש ה- $\ n$ של הערך המוחלט של המספר. ייתכן שמתעוררת בכם השאלה כיצד עושים זאת. למשל, כיצד ניתן למצוא את $\ \sqrt{2}$ ? בפועל הדבר נעשה באמצעות מחשבון, איך כיצד המחשבון יודע לעשות זאת?

לא ניכנס כאן להסבר מדויק, אך נציין כי לרוב לא מוצאים את השורש בצורה מדוייקת, אלא רק קירוב שלו שהוא מדוייק בכל הספרות שהמחשבון מסוגל להציג (ולכן אין מרגישים בהבדל). ישנן מספר שיטות במתמטיקה שמאפשרות למצוא קירובים לשורשים. הפשוטה שבהם מתבססת על ניחושים שהולכים ומשתפרים. למשל, במקרה של שורש 2 ננחש שהפתרון נמצא בין 1 ו-2, כי $\ 1^2=1<2$ ואילו $\ 2^2=4>2$ . עכשיו נלך לנקודת האמצע שבין 1 ו-2: 1.5. נשים לב כי $\ 1.5^2=2.25>2$ ולכן הפתרון נמצא בין 1 ו-1.5. עכשיו נעבור לבדוק את 1.25 וכן הלאה.

שיטה דומה אך מחוכמת מעט יותר נקראת "שיטת ניוטון-רפסון". גם היא מתבססת על ניחושים שהולכים ומשתפרים, אבל הבחירה של הניחוש היא מושכלת יותר מאשר בחירת אמצע הקטע בין שני הפתרונות הקודמים, ומתבססת על שימוש במושג הנגזרת מחשבון אינפיניטסימלי.

שיטה נוספת היא שימוש בטור טיילור, שגם הוא מושג בחשבון אינפיניטסימלי שמבוסס על מושג הנגזרת. בשיטה זו ניתן לקבל קירובים הולכים ומשתפרים לתוצאה שאנו מחפשים על ידי כך שנחבר איברים רבים יחד, וככל שנחבר יותר איברים כך נקבל תוצאה יותר מדוייקת.

הפרק הקודם:
המישור המרוכב וההצגה הקוטבית

משפט דה-מואבר
תרגילים

הפרק הבא:
בניה פורמלית של המספרים המרוכבים

אלגברה תיכונית/מספרים מרוכבים/משפט דה-מואבר/תרגילים

[עריכה] בניה פורמלית של המספרים המרוכבים

פרק זה מיועד להעשרה ואינו נכלל בחומר הלימוד.

[עריכה] הקדמה

עד עתה למדנו מהם המספרים המרוכבים, כיצד ניתן לבצע עליהם את פעולות החשבון הבסיסיות וכיצד ניתן לתאר אותם במספר דרכים שונות. כלומר, התמקדנו בהיבט הפונקציונלי יותר שלהם. טרם ענינו על השאלה כיצד הם נבנים, ומדוע בניה זו חוקית בכלל.

הדרך שבה נקטנו כשבאנו לתאר את המספרים המרוכבים הייתה להניח שקיים מספר $\ i$ שמקיים $\ i^2=-1$ . למרות שניתן לנקוט בדרך פעולה זו היא שרירותית למדי, ומקנה תחושה שהמספרים המרוכבים הם לא טבעיים ובשל כך גם נקרא $\ i$ "מספר מדומה", שכן שמו ניתן לו כאשר החל השימוש במספרים המרוכבים והם טרם נבנו פורמלית. בדרך פעולה זו אנחנו גם לוקחים סיכון שנגיע לסתירות - כל הנחה שרירותית שלנו עלולה לגרום להתנגשות שאנחנו לא ציפינו לה עם הכללים הקיימים.

על כן, אנו רוצים למצוא דרך לתאר את המספרים הממשיים על ידי אובייקטים מתמטיים שכבר נבנו בצורה פורמלית בעצמם. בפרק זה אובייקטים אלו יהיו המספרים הממשיים. לא ניכנס לשאלה כיצד נבנים המספרים הממשיים - זוהי בנייה מסובכת יותר מזו של המספרים המרוכבים. נעיר רק שהם ניתנים לבניה מהמספרים הרציונליים, שבתורם ניתנים לבניה מהמספרים השלמים, שבתורם ניתנים לבניה מהמספרים הטבעיים שבתורם ניתנים לבניה על ידי מושג הקבוצה, שמשמש בתור המושג הבסיסי שאיתו עובדים.

נציג כאן שתי דרכי בניה שונות, אך כמובן בעלות אותה תוצאה סופית. הדרך הראשונה היא ישירה ומבוססת על התכונות שלמדנו של המספרים המרוכבים. הדרך השנייה היא מורכבת יותר אך גם עמוקה יותר, ומהווה מקרה פרטי של תהליך כללי השייך לתחום הנקרא תורת השדות. גם אם לא תצליחו להבין במלואה את הדרך השנייה - אל חשש! דרך זו מבוססת על חומר תיאורטי רב שלא נביא כאן, ועל כן עלולה להיות בלתי ברורה.

[עריכה] הדרך הראשונה

בפרק העוסק במישור המרוכב ראינו שיש התאמה בין המספרים המרוכבים ובין המישור האוקלידי. ביתר פירוט: לכל מספר מרוכב קיים זוג סדור של מספרים ממשיים שמתאים לו. אם כך, מדוע לא להגדיר את המספרים המרוכבים בתור זוגות של מספרים ממשיים? כלומר, לחשוב על הזוג $\ (a,b)$ בתור המספר $\ a+bi$ .

אין שום דבר שמונע מאיתנו לעבוד עם זוגות של מספרים ממשיים, אבל נותרת שאלה אחת: אם אנחנו רוצים להגדיר פעולות כפל וחיבור על זוגות של מספרים ממשיים, איך נגדיר אותן?

ניתן לחשוב על הגדרה "טבעית" מיידית: נחבר ונכפול כל זוג רכיב רכיב. כלומר, אם $\ (a,b),(c,d)$ הם שני זוגות של מספרים ממשיים, נגדיר חיבור וכפל בצורה הזו:

$\ (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)$ $\ (a,b)\cdot(c,d)=(ac,bd)$

דרך זו נראית הגיונית. הבעיה היא שאוסף הזוגות שנקבל לא יזכיר את המספרים המרוכבים בכל הנוגע לפעולת הכפל. לדוגמה, נביט במספר המרוכב $\ 1+i$ . אם נכפול אותו בעצמו נקבל:

$\ (1+i)(1+i)=1+2i+i^2=2i$

ולעומת זאת, על פי הכפל שהגדרו יתקיים $\ (1,1)(1,1)=(1,1)$ .

ולכן הכפל שהגדרנו אינו טוב.

מצד שני, אין שום מניעה שנגדיר את הכפל בצורה שונה. אנחנו זוכרים כי עבור מספרים מרוכבים מתקיים $\ (a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i$ , ולכן הגיוני להגדיר את הכפל של זוגות המספרים הממשיים כך:

$\ (a,b)(c,d)=(ac-bd,bc+ad)$

הגדרה זו הייתה עלולה להיראות משונה למי שאינו יודע שמטרתנו ליצור את המספרים המרוכבים, ולכן חשוב להבין שהיא נבחרה כך שתישמר התכונה המבוקשת של המספרים המרוכבים: קיום של מספר שריבועו הוא מינוס 1.

לא קשה למצוא מספר זה: על פי כלל הכפל שהגדרנו, מתקיים: $\ (0,1)(0,1)=(-1,0)$

ולכן, אם נחשוב על הזוג $\ (a,b)$ כמציין את המספר $\ a+bi$ , אנחנו רואים כי קיבלנו בדיוק את מה שרצינו.

למעשה, אנחנו רואים כי ההבדל היחיד בין אוסף המספרים מהצורה $\ a+bi$ ואוסף הזוגות $\ (a,b)$ הוא בצורת הסימון בלבד. בכל הנוגע לפעולות החיבור והכפל, שתי קבוצות אלו זהות לגמרי. על שתי קבוצות שהן זהות בתכונות שחשובות לנו (במקרה זה - כפל וחיבור) פרט לסימון האיברים שבהן נהוג לומר שהן איזומורפיות (ביטוי שנגזר מהמילים היווניות "איזו" - זהה ו-"מורפיזם" - צורה).

[עריכה] הדרך השנייה

כעת ננסה לראות מהי הדרך הכללית יותר לבנות את המספרים המרוכבים. דרך זו היא מקרה פרטי של פעולה הנקראת הרחבת שדות. לשם כך נסביר קודם כל מהו שדה.

[עריכה] שדות

באלגברה המילה "שדה" באה לתאר קבוצה שמוגדרות עליה פעולות של חיבור וכפל, ומקיימת מספר תכונות הקשורות לחיבור ולכפל שמבטיחות שהתנהגות הקבוצה תהיה דומה לזו של המספרים הרציונליים. נביא כעת את רשימת התכונות הללו. למרות אורכה היחסי, אין בה כמעט שום דבר חדש: אנחנו פשוט נציין תכונות שאנחנו מכירים כבר זמן רב מהמספרים הרציונליים והממשיים.

פעולות החיבור והכפל הן אסוציאטיביות כל אחת לחוד - כלומר, אינן תלויות בסדר ההפעלה שלהן. כלומר, מתקיים $\ (ab)c=a(bc),(a+b)+c=a+(b+c)$ .
פעולות החיבור והכפל הן קומוטטיביות כל אחת לחוד - כלומר, אינן תלויות בסדר הפנימי של האיברים שעליהן הן פועלות. כלומר, מתקיים $\ ab=ba, a+b=b+a$ . ייתכן שאתם מכירים תכונה זו בתור חוק החילוף.
קיים איבר נייטרלי לפעולת הכפל, ואיבר נייטרלי לפעולת החיבור. כלומר, קיימים איברים שמסמנים אותם בתור $\ 0,1$ ואשר מקיימים לכל איבר $\ a$ את התכונה הבאה: $\ a\cdot 1=a,a+0=a$ . במקרה זה אומרים כי $\ 0$ הוא נייטרלי לחיבור ו- $\ 1$ הוא נייטרלי לכפל.
קיים איבר נגדי לפעולת החיבור עבור כל איבר אחר. איבר נגדי של איבר כלשהו הוא כזה שסכום שניהם הוא האיבר הנייטרלי לחיבור. כלומר, לכל $\ a$ קיים איבר שמסומן $\ -a$ כך שמתקיים $\ a+(-a)=0$ .
קיים איבר הופכי לפעולת הכפל עבור כל איבר אחר פרט ל- $\ 0$ . איבר הופכי דומה לאיבר נגדי, אך עבור פעולת הכפל: עבור $\ a\ne 0$ מסמנים את ההופכי בתור $\ a^{-1}$ (או $\ \frac{1}{a}$ ) ומתקיים $\ a\cdot a^{-1}=1$ .
פעולת הכפל היא דיסטריביוטיבית מעל החיבור, כלומר מתקיים $\ a\cdot(b+c)=ab+ac$ . ייתכן שאתם מכירים תכונה זו בתור חוק הפילוג.

תכונות אלו מכונות אקסיומות השדה. נשים לב כי הן אינן "אקסיומות" במובן שאנו מכירים מגאומטריה - כלומר, משפטי בסיס שאין מערערים על נכונותם. אקסיומות אלו הן פשוט רשימת התכונות שמגדירות מהו שדה. יכולות להיות קבוצות רבות ושונות שעבורן התכונות הללו מתקיימות, ולכולן נקרא שדה. למשל, המספרים הרציונליים, המספרים הממשיים והמספרים המרוכבים מהווים שדות. החשיבות שבהגדרת השדה היא שאם נוכיח משפטים תוך התבססות על תכונות אלו בלבד, המשפטים יהיו נכונים עבור כל אחת מאותן קבוצות רבות ושונות שהן שדה. מתברר כי תכונות אלו מספיקות עבור תורה עשירה מאוד, שכאן ניגע רק בחלק קטן ממנה. למשל, מתכונות השדה ניתן להוכיח מייד כי $\ 0\cdot a=0$ לכל $\ a$ . נראה זאת:

$\ 0\cdot a=(0+0)\cdot a=0\cdot a+0\cdot a$ וכעת נעביר אגפים ונקבל את התוצאה. השתמשנו כאן בכך ש- $\ 0$ הוא האיבר הנייטרלי (ולכן $\ 0+0=0$ ) ובדיסטריביוטיביות. בשל תוצאה זו איננו דורשים שיהיה הופכי גם ל- $\ 0$ : מכיוון ש- $\ 0\cdot a=0$ לכל $\ a$ , לא ייתכן שיהיה $\ a$ עבורו $\ 0\cdot a=1$ ! (זוהי גם הסיבה מדוע חלוקה ב- $\ 0$ לרוב אינה מוגדרת עבור מספרים).

כאמור, הדוגמאות הבסיסיות לשדות הן המספרים הרציונליים והמספרים הממשיים. המספרים השלמים אינם שדה כי אין בהם הופכי לפעולת הכפל. למשל, $\ \frac{1}{2}$ אינו מספר שלם ולכן ל- $\ 2$ אין הופכי (המספרים השלמים נקראים חוג, שזהו מקרה כללי יותר של שדה, אך לא ניכנס לכך כאן). קיימות דוגמאות רבות אחרות שלא נציג כאן, אך נשים לב כי אפילו הקבוצה שמכילה רק את המספרים $\ 0,1$ כאשר פעולות החיבור והכפל מוגדרות כרגיל פרט לכך ש- $\ 1+1=0$ מהווה שדה!

[עריכה] פולינומים

כעת נלמד על פולינומים והקשר שלהם למשוואות.

ודאי כבר נתקלתם בפולינומים בעבר. מספר דוגמאות לפולינומים הן:

$\ x^2+1$
$\ 5x^3+2x$
$\ 12x^6+4x^3+x^2+13$

וכדומה. באופן כללי, פולינום הוא ביטוי מהצורה

$\ a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_1x+a_0$

כאשר $\ a_n,a_{n-1},\dots,a_1,a_0$ הם פרמטרים שנקראים מקדמי הפולינום.

$\ n$ יכול להיות כל מספר טבעי. מקדמי הפולינום יכולים להיות גם $\ 0$ , אך נהוג כי המקדם של החזקה הגבוהה ביותר בפולינום יהיה שונה מ- $\ 0$ , אחרת נקבל כמה הצגות שונות לאותו פולינום. למשל, הפולינום מס' 1 מהדוגמה הקודמת יכול להיכתב גם בצורה הזו:

$\ 0\cdot x^3+x^2+1$

לחזקה הגבוהה ביותר של פולינום שהמקדם שלה שונה מאפס קוראים דרגת הפולינום. בדוגמאות שהבאנו הפולינום הראשון הוא מדרגה 2, השני מדרגה 3 והשלישי מדרגה 6.

ניתן לחשוב על פולינום כעל תבנית או כעל פונקציה שמקבלת ערכים שונים של $\ x$ , ומציבה אותם בפולינום. למשל, הצבה של $\ 3$ בפולינום הראשון שבדוגמה תחזיר:

$\ 3^2+1=9+1=10$

אך ניתן לחשוב על הפולינומים גם כעל אובייקטים העומדים בפני עצמם וניתן לחבר ולכפול אותם על פי כללי החיבור והכפל הרגילים.

הקשר בין משוואות ופולינומים ברור: אם מספר כלשהו הוא פתרון של המשוואה $\ a_nx^n+\dots+a_1x+a_0=0$ , אז ההצבה של אותו מספר בפולינום $\ a_nx^n+\dots+a_1x+a_0$ תחזיר 0. למספר כזה קוראים אפס של הפולינום, או שורש של הפולינום. שימו לב כי המילה "שורש" מופיעה כאן במשמעות שונה מהמשמעות המקובלת שלה.

עד עכשיו המקדמים של הפולינום היו תמיד מספרים, וכך הם יהיו גם בשימוש שאנו נעשה בפולינומים, אך באופן כללי ניתן לבחור מקדמים מכל קבוצת איברים שמוגדרות עליה פעולות של כפל וחיבור. בשל כך התהליך שנראה בהמשך ניתן לביצוע עבור כל שדה, ולא רק עבור המספרים הממשיים.

[עריכה] חלוקת פולינומים

לפני שנראה כיצד הפולינומים משמשים בהרחבת שדות אנחנו צריכים לדעת עוד דבר אחד: כיצד מתבצעת חלוקת פולינומים. חלוקת פולינומים דומה מאוד לחילוק ארוך עם שארית. התהליך עצמו הוא טכני ואינו מסובך במיוחד, אך לא ניכנס אליו כאן מאחר שאין זה הכרחי למה שאנו עומדים לעשות. אנו מתעניינים בעיקר בתוצאת החילוק. אם $\ p(x)$ הוא פולינום ואנו רוצים לחלק אותו בפולינום $\ q(x)$ , התוצאה תהיה פולינום אחר, שהוא המנה של החלוקה, ופולינום שהוא השארית של החלוקה. ניתן לתאר זאת על ידי המשוואה הבאה:

$\ p(x)=q(x)s(x)+r(x)$

כאן $\ s(x)$ הוא פולינום המנה, ואילו $\ r(x)$ הוא פולינום השארית. לפולינום השארית תכונה חשובה: הדרגה שלו קטנה מזו של $\ q(x)$ .

למשל, אם נחלק את הפולינום השלישי מהדוגמאות בפולינום הראשון נקבל:

$\ 12x^6+4x^3+x^2+13=(x^2+1)(12x^4-12x^2+4x+13)+(-4x)$

אתם יכולים לנסות ולבצע את פעולות הכפל והחיבור באגף ימין ולראות שאכן מתקבל אגף שמאל.

[עריכה] בניית שדה המרוכבים

כעת נראה כיצד מקבלים משדה המספרים הממשיים שדה חדש, שתכונותיו יהיו התכונות שאנו רוצים משדה המספרים המרוכבים.

הרעיון הבסיסי הוא ליצור שדה שאבריו יהיו פולינומים מסויימים. נבחר את אברי השדה להיות כל הפולינומים שיכולים להתקבל כשאריות של חילוק בפולינום $\ x^2+1$ עם מקדמים שהם מספרים ממשיים. כלומר, כל הפולינומים מדרגה 1 לכל היותר. לפולינומים אלו הצורה הכללית $\ a+bx$ כאשר $\ a,b$ הם מספרים ממשיים.

את פעולת החיבור נגדיר כרגיל, אבל פעולת הכפל תוגדר כך: ראשית יש לבצע כפל פולינומים רגיל, אבל את התוצאה יש לחלק ב- $\ x^2+1$ ולקחת את השארית של החלוקה בתור הפתרון.

למשל, נכפול את האיברים $\ x+3,2x+1$ :

$\ (x+3)(2x+1)=2x^2+7x+3$ על פי הגדרת הכפל הרגילה של פולינומים.

נחלק את $\ 2x^2+7x+3$ בפולינום $\ x^2+1$ :

$\ 2x^2+7x+3=2(x^2+1)+(7x+1)$

ולכן נגדיר את הכפל בצורה המיוחדת כך:

$\ (x+3)(2x+1)=7x+1$

כעת נראה כיצד מתבצע כפל פולינומים בצורה כללית:

$\ (a+bx)(c+dx)=ac+(ad+bc)x+bdx^2$

ולאחר חילוק נקבל:

$\ ac+(ad+bc)x+bdx^2=bd(x^2+1)+(ac-bd)+(ad+bc)x$

ודאי כבר שמתם לב לדמיון לפעולת הכפל במספרים מרוכבים.

כעת נזהה כל אחד מהפולינומים עם מספר מרוכב: את הפולינום $\ a+bx$ נזהה עם המספר המרוכב $\ a+bi$ . ניתן להראות כי פרט לצורת הסימון השונה, אוסף המספרים המרוכבים זהה לאוסף הפולינומים עם הפעולות המיוחדות שהוגדרו.

[עריכה] הרחבת שדות

ראינו כיצד השיטה מתבצעת, אבל טרם הראנו את הרעיון הכללי שעומד מאחוריה.

ראשית, כאשר הסתכלנו רק על אוסף השאריות האפשריות של חלוקה בפולינום מסויים והגדרנו את הכפל באמצעות חלוקה זו ביצענו תהליך כללי יותר, שנקרא בניית חוג מנה. לא ניכנס כאן בפירוט לתהליך הזה, אך נציין כי הרעיון הכללי שעומד מאחוריו הוא לקחת את אבריה של קבוצה עם פעולות כפל וחיבור, למצוא מכנה משותף כלשהו בין חלק מאיבריה ולהתייחס לכל אותם איברים זהים כאל איבר יחיד. במקרה שלנו, התכונה המשותפת שמצאנו היא שארית זהה בחלוקה ב- $\ x^2+1$ : התייחסנו לכל הפולינומים שמשאירים אותה שארית כפולינום אחד, אשר מיוצג על ידי הפולינום של אותה שארית.

שנית, אף שהתהליך התבצע עם הפולינום $\ x^2+1$ אין מניעה לבצע אותו עם פולינומים אחרים. ניתן להוכיח כי בכל מקרה שבו אנו מבצעים את התהליך עם פולינום שהוא אי פריק (כלומר, לא ניתן לכתיבה כמכפלה של פולינומים ממעלות נמוכות יותר) מקבלים שדה, ובשדה זה קיים לפולינום שאיתו ביצענו את התהליך שורש.

הפרק הקודם:
משפט דה-מואבר

בניה פורמלית של המספרים המרוכבים
תרגילים

הפרק הבא:
סוף הספר

אלגברה תיכונית/מספרים מרוכבים/בניה פורמלית של המספרים המרוכבים/תרגילים

[עריכה] קומבינטוריקה

[עריכה] הקדמה

קומבינטוריקה היא ענף במתמטיקה שעוסק בספירה. לעתים קרובות משתמשים בקומבינטוריקה כדי לגלות את מספר האפשרויות לביצוע דבר מה, כגון סידור עצמים בשורה או בחירת כמה מהם. לקומבינטוריקה שימושים בכל ענפי המתמטיקה ובפרט בתורת ההסתברות.

ספר זה מיועד לתלמידי תיכון. הספר מציג את הכלים הבסיסיים שנלמדים בתיכון: תמורות, צירופים, חליפות והבינום של ניוטון.

בניגוד לענפים אחרים במתמטיקה, לרוב האנשים אין "תחושה" לגבי קומבינטוריקה, והתוצאות המתקבלות בתרגילים השונים הן לרוב מפתיעות ולעיתים אף נראות תלושות מהמציאות. מסיבה זו, תרגול מהווה חלק חשוב מאוד מלימודי הקומבינטוריקה, שכן לרוב לא ניתן לבדוק את התשובות הסופיות המתקבלות ועל כן התלמידים נזקקים לבטחון רב בנכונות דרכם, בטחון שנקנה רק בעזרת נסיון.

[עריכה] ידע קודם

לא נדרש ידע קודם פרט לידע בסיסי בחוקי החשבון. עם זאת, נסיון כללי במתמטיקה יכול לשפר את בטחונם של התלמידים בפתרון בעיות קומבינטוריות.

תוכן עניינים

[עריכה] תמורות

[עריכה] עצרת

לפני שנתחיל בלימודי הקומבינטוריקה נכיר ביטוי שימושי שמופיע רבות בפתרון בעיות קומבינטוריות: העצרת.

עצרת מוגדרת רק עבור מספרים טבעיים ( $\ 1,2,3,\dots$ ) ואפס. עבור המספר $\ n$ מסמנים את העצרת שלו בתור $\ n!$ והיא מוגדרת כך: $\ n!=1\cdot 2\cdot 3\cdots n$ . כלומר, כופלים את כל המספרים הטבעיים עד $\ n$ כולל.

כדוגמה, נציג את העצרת של המספרים הטבעיים הראשונים:

$\ 1!=1$
$\ 2!=1\cdot 2=2$
$\ 3!=1\cdot 2\cdot 3=6$
$\ 4!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4=24$

מייד אפשר לראות שמתקיימת התכונה הבאה: $\ n!=(n-1)!\cdot n$ לכל $\ n>1$ .

עבור $\ 0$ נוהגים להגדיר $\ 0!=1$ . הגדרה זו קיימת לצרכי נוחות - בהמשך נראה כי הדבר מפשט ביטויים מסויימים.

ההגדרה $\ 0!=1$ אינה שרירותית לחלוטין. על פי ההגדרה הבסיסית של עצרת, $\ 0!$ הוא "מכפלה ריקה", שכן ביטוי זה מסמל את מכפלת כל המספרים הטבעיים הגדולים או שווים ל-1 וקטנים או שווים ל-0, ולא קיים אף מספר כזה. ניתן לצפות כי למכפלה ריקה יהיה ערך נייטרלי לכפל (להבדיל מכפל במספר 0) שכן אם נפרק ביטוי כלשהו לעצמו ולמכפלה ריקה, לא נרצה שערכו ישתנה. הערך הנייטרלי לכפל הוא 1.

[עריכה] תמורות

תמורה (פרמוטציה) על קבוצה של איברים היא סידור של אותם האיברים בשורה. בקומבינטוריקה אנחנו מתעניינים במספר התמורות שקיימות לקבוצת איברים - כלומר, כמה דרכים שונות יש לסדר אותם בשורה. לעת עתה נתעניין רק במספר התמורות על קבוצת איברים שכולם שונים זה מזה.

לדוגמא: נניח שהאיברים שאנחנו רוצים לסדר הם האותיות א', ב' וג'. להלן כל הסידורים האפשריים:

אבג
אגב
באג
בגא
גאב
גבא

יש בסך הכל שש אפשרויות שונות.

אם היינו רוצים לסדר רק את א', ב', היינו מקבלים רק שתי אפשרויות:

אב
בא

ייתכן כי שמתם לב לדמיון בין מספר האפשרויות ובין פונקצית העצרת. דמיון זה אינו מקרי:

מספר התמורות של $\ n$ איברים שונים הוא $\ n!$ .

נוכיח טענה זו.

נניח כי יש לנו $\ n$ איברים שונים שאנחנו רוצים לסדר בשורה. נסתכל על המקום הראשון בשורה - ניתן לבחור אליו כל אחד מ- $\ n$ האיברים. עכשיו נביט במקום השני בשורה: ניתן לבחור אליו רק אחד מ- $\ n-1$ האיברים שטרם בחרנו, כי איבר אחד כבר נמצא במקום הראשון, ולא יכול להיות בשני מקומות בו זמנית. בצורה דומה למקום השלישי יש רק $\ n-2$ אפשרויות וכן הלאה. באופן כללי למקום ה- $\ k$ יש $\ n-k+1$ אפשרויות, ולמקום האחרון יש רק אפשרות אחת - האיבר הבודד שנשאר.

לכן מספר האפשרויות הכולל לסידור הוא $\ n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdots 1=n!$ .

[עריכה] עקרון הכפל ועקרון החיבור

[עריכה] עקרון הכפל

נשים לב לשלב האחרון בהוכחה שכתבנו. הכפלנו בה את כל מספרי האפשרויות זה בזה וקיבלנו את מספר האפשרויות הכולל. הסיבה לנכונות שלב זה היא בשל עקרון בסיסי בקומבינטוריקה הנקרא עקרון הכפל. ננסח אותו כעת במדויק:

בניסוי שיש בו שני שלבים כך שתוצאת השלב הראשון לא משפיעה על מספר התוצאות האפשריות בשלב השני, מספר התוצאות האפשריות הכולל של הניסוי שווה למכפלת התוצאות האפשריות בשלב הראשון במספר התוצאות האפשריות בשלב השני.

ננסה להבהיר את העקרון על ידי מספר דוגמאות.

נניח שאנחנו צריכים לבחור בגדים. יש לנו 5 זוגות מכנסיים ו-8 חולצות. ניתן להסתכל על בחירת הלבוש בתור "ניסוי" שבו השלב הראשון הוא בחירת המכנסיים והשלב השני הוא בחירת החולצה. זוג המכנסיים שנבחר לא ישפיע על החולצה שנוכל לבחור, ולכן לכל אחד מ-5 זוגות המכנסיים נוכל לבחור אחת מ-8 החולצות. לכן מספר האפשרויות הכולל של צירופי בגדים שאנו יכולים לבחור הוא 40 - מכפלת 5 ב-8.
נניח שיש לנו קופסה אחת שמכילה 3 סוגי שוקולד, וקופסה אחרת שמכילה 3 סוגי מסטיקים, ואנו צריכים לבחור ממתק מאחת הקופסאות. כמה אפשרויות יש לנו? גם כאן ניתן לחשוב על הניסוי כעל דו שלבי - בשלב הראשון בוחרים קופסה אחת מתוך השתיים, ובשלב השני בוחרים אחד מ-3 הממתקים שבתוכה. בסה"כ יש לנו 6 אפשרויות - מספר הקופסאות כפול מספר הממתקים בכל קופסה. נשים לב שבניגוד לדוגמה הקודמת, בדוגמה זו מה שהתרחש בשלב השני היה תלוי בשלב הראשון. השאלה האם אנו בוחרים מתוך שוקולדים או מתוך מסטיקים הייתה תלויה בקופסה שבה בחרנו בשלב הראשון. מה שלא השתנה הוא מספר השוקולדים או המסטיקים שמתוכם היה עלינו לבחור.
נניח שיש לנו משלחת שכוללת שלושה תלמידים ואנחנו רוצים להקצות להם תפקידים של יושב ראש, סגן וגזבר. נוכל לבצע את חלוקת התפקידים כך: בשלב הראשון נבחר את יושב הראש מבין שלושת התלמידים, ובשלב הבא נבחר את הסגן מבין שני התלמידים הנותרים, ואז תפקיד הגזבר יוותר לתלמיד השלישי. גם כאן אנחנו מבצעים ניסוי דו שלבי: בשלב הראשון יש לנו 3 אפשרויות ובשלב השני 2 בלבד. גם כאן התוצאות של השלב השני תלויות בתוצאות של השלב הראשון (אם בחרנו את יעל כיושבת ראש היא לא יכולה להיבחר בשלב השני כסגן, אך אם דני נבחר כיושב ראש היא כן יכולה להיבחר כסגן), אך מספרן הוא תמיד 2.

נשים לב לדמיון שבין הדוגמה השלישית ובין הבעיה של מציאת תמורות. במקום לבחור יושב ראש, סגן וגזבר היינו יכולים לסדר את התלמידים בשורה ולחלק את התפקידים על פי המקום שלהם בשורה. כך היינו מבצעים צמצום של הבעיה לבעיה שאותה אנחנו כבר יודעים לפתור. שיטת צמצמום זו שימושית מאוד בפתרון בעיות בקומבינטוריקה.

הגדרנו את עקרון הכפל רק עבור ניסוי דו שלבי, אולם אין בעיה להכליל אותו באינדוקציה לניסוי בעל מספר שלבים סופי כלשהו, אם אנחנו דורשים שתוצאה של אף אחד מהשלבים לא תשפיע על מספר התוצאות האפשריות בשלב מתקדם יותר. כך אנחנו גם משתמשים בעקרון הכפל בהוכחה שלנו שמספר התמורות על - $\ n$ אברים הוא - $\ n!$ . הראינו שסידור האיברים בשורה הוא ניסוי בעל - $\ n$ שלבים, כך שמספר התוצאת האפשריות בשלב ה- $\ k$ הוא תמיד - $\ (n-k+1)$ בלי תלות בתוצאות של השלבים שלפניו, ולכן מספר התוצאות האפשריות הכולל הוא מכפלת מספר התוצאות האפשריות בכל שלב בניסוי.

[עריכה] עקרון החיבור

נציג כעת את העקרון המשלים לעקרון הכפל: עקרון החיבור:

אם שלב כלשהו בניסוי מכיל כמה נסיונות שונים שלכל אחד מהם תוצאות שונות, מספר התוצאות האפשריות הכולל בשלב זה הוא סכום של מספר התוצאות האפשריות של כל הנסיונות.

גם כאן נבהיר את העקרון עם מספר דוגמאות.

נניח שיש לנו שמונה מסטיקים וחמישה שוקולדים ואומרים לנו שאנחנו יכולים לבחור ממתק אחד. ניתן להסתכל על הניסוי של בחירת הממתק כשני ניסויים נפרדים, כאשר בניסוי אחד בוחרים מסטיק אחד מבין כל המסטיקים, ובניסוי השני בוחרים שוקולד אחד מבין כל השוקולדים. מספר האפשרויות בניסוי הראשון הוא 8, מספר האפשרויות בניסוי השני הוא 5, ואין תוצאה שהיא משותפת לשני הניסויים (כי באחד בוחרים מסטיקים ובשני שוקולדים) ולכן מספר האפשרויות הכולל הוא 13, סכומם של 5 ו-8.
נניח שאנחנו רוצים לבחור מכנסיים וחולצה בעלי צבע תואם. יש לנו 3 זוגות מכנסיים שחורים ו-2 זוגות מכנסיים לבנים, וכמו כן 3 חולצות שחורות ו-5 חולצות לבנות. נסתכל על ניסוי בחירת הבגדים כשני ניסויים שונים: באחד בוחרים רק בגדים לבנים, ובשני רק בגדים שחורים. כל אחד מהניסויים הללו הוא בעצמו דו שלבי - קודם בוחרים מכנסיים ואז בוחרים חולצה. על פי עקרון הכפל, יש לנו 9 אפשרויות לבחור בגדים שחורים ו-10 אפשרויות לבחור בגדים לבנים, ולכן על פי עקרון החיבור יש לנו 19 אפשרויות לבחור בגדים בסך הכל.
ניתן כעת דוגמה למקרה שבו עקרון החיבור אינו מתקיים: נניח שיעל ודני רוצים לראות טלוויזיה. יעל רוצה לראות את ערוץ הספורט, ערוץ הסרטים וערוץ החדשות, ודני רוצה לראות את ערוץ הסרטים, ערוץ הילדים וערוץ מזג האוויר. כמה אפשרויות יש לבחור ערוץ שלפחות אחד משניהם רוצה לראות? אפשר לחלק את הניסוי לשני ניסויים - באחד אנו בוחרים ערוץ שיעל רוצה לראות ובשני בוחרים ערוץ שדני רוצה לראות. מספר התוצאות האפשריות בכל ניסוי הוא 3 ולכן על פי עקרון החיבור יש 6 תוצאות אפשריות. אולם דבר זה אינו נכון, כי בסך הכל יש 5 ערוצים שדני או יעל רוצים לראות: ספורט, סרטים, חדשות, ילדים ומזג אוויר. הסיבה שעקרון החיבור נכשל היא שתוצאות שני הניסויים, זה של יעל וזה של דני, אינן בהכרח שונות: בשני הניסויים תוצאה אפשרית משותפת היא "ערוץ הסרטים".

[עריכה] דוגמאות לפתרון בעיות

[עריכה] דוגמה 1

כמה מילים שונות (לא בהכרח מילים בעלות משמעות) בעלות שש אותיות, ניתן ליצור מהאותיות א', ב', ג', ד', ה', ו' כאשר משתמשים בכל אות פעם אחת, ותחת המגבלות הבאות:

ללא הגבלות.
המילה חייבת להתחיל באות א'.
אסור למילה להתחיל באות א'.
כל אותיות האהו"י מופיעות בחציה הראשון של המילה, או שכולן מופיעות בחציה השני של המילה.
כל אותיות האהו"י חייבות להיות סמוכות זו לזו במילה.
אחרי אות אהו"י לא תבוא אות אהו"י אחרת.

[עריכה] פתרון

מכיוון שאין לנו הגבלות ולא צריך שהמילים תהיינה בעלות משמעות, יש לנו סידור בשורה של 6 אותיות שונות זו מזו, ולכן הפתרון הוא $\ 6!=720$ .
אם המילה חייבת להתחיל באות א' נשים את האות במקום הראשון ונבדוק כמה סידורים אפשריים לשאר המקומות. מכיוון שכל סידור תקין, הבעיה זהה לבעיה של סידור 5 אותיות בשורה - נסדר בשורה את כל האותיות פרט לא' ואז נוסיף את א' בתחילת השורה. לכן הפתרון הוא $\ 5!=120$ .
בצורה ישירה ניתן לפתור את התרגיל כך: למקום הראשון ניתן לבחור רק אחת מתוך 5 אותיות (כי א' פסולה) ולכן יש לנו 5 אפשרויות. כדי לסדר את שאר המקומות אנחנו צריכים לסדר בשורה את 5 האותיות שנותרו ללא מגבלות על הסידור, ולכן יש $\ 5!=120$ אפשרויות לעשות זאת. על פי עקרון הכפל נקבל כי בסה"כ יש לנו $\ 5\cdot 5!=600$ אפשרויות.
נציג כעת פתרון עקיף: נסתמך על כך שידוע הפתרון לסעיפים הקודמים: אם יש 720 אפשרויות סידור באופן כללי, ובדיוק 120 מתוכן הן פסולות כי בהן (ורק בהן) המילה מתחילה בא', מספר האפשרויות שנותר הוא $\ 720-120=600$ . כדאי מאוד לזכור שיטת פתרון זו שכן לעתים קל יותר לחשב את מספר האפשרויות של המקרה המנוגד לזה שאנחנו צריכים למצוא, ולחסר מספר אפשרויות זה ממספר האפשרויות הכולל ללא מגבלות.
יש לנו רק שלוש אותיות אהו"י: האותיות א', ה', ו', ולכן רק בהן עוסק התרגיל. אנחנו מבדילים בין שני ניסויים: זה שבו כל אותיות אהו"י הן בחצי הראשון וזה שבו כולן בחצי השני. על פי עקרון החיבור מספר האפשרויות הכולל הוא סכום האפשרויות בשני המקרים, ומכיוון ששני המקרים סימטריים מספיק למצוא את מספר האפשרויות במקרה אחד ולכפול ב-2.
אם כל אותיות אהו"י הן בחצי הראשון נסדר אותן בסדר כלשהו, ואת שאר האותיות נסדר בחצי השני בסדר כלשהו. מספר הסידורים של החצי הראשון לא משפיע על מספר הסידורים של החצי השני, ולכן על פי עקרון הכפל מספר הסידורים הכולל הוא מספר הסידורים של החצי הראשון כפול מספר הסידורים של החצי השני. סידור של כל אחד מהחצאים הוא סידור של שלוש אותיות בשורה ולכן יש $\ 3!=6$ אפשרויות לסידור כל חצי. לכן בסך הכל יש $\ 6\cdot 6=36$ סידורים, ומכיוון שצריך לכפול תוצאה זו ב-2 נקבל שהתשובה הסופית היא $\ 2\cdot 36=72$ .
אם כל אותיות האהו"י סמוכות זו לזו, נביט עליהן כעל אות בודדת, כאילו "הדבקנו" אותן זו לזו. כעת הבעיה היא סידור של ארבע אותיות: האותיות ב', ג', ד' והאות הנוספת, ה"מודבקת". יש לנו $\ 4!=24$ סידורים אפשריים כאלו.
כעת נבדוק בכמה צורות שונות ניתן לבצע את ה"הדבקה". כל הדבקה תלויה בסידור הפנימי של שלוש אותיות האהו"י שלנו, ולכן יש $\ 3!=6$ אפשרויות שונות. לכן על פי עקרון הכפל הפתרון הוא $\ 6\cdot 24=144$ .
בשל המגבלה שלנו יש לסדר את האותיות לסירוגין: אות אהו"י ואחריה אות שאינה אהו"י, וחוזר חלילה. נפרק את הבעיה שלנו לשני ניסויים שונים: באחד המילה מתחילה באות אהו"י ובשני היא מתחילה באות שאינה אהו"י. כמקודם, בגלל הסימטריה בין המקרים והעובדה שבהכרח אחד משניהם מתקיים מספיק למצוא את מספר האפשרויות לאחד מהם ולכפול ב-2.
נניח שהמילה מתחילה באות אהו"י. נסדר קודם כל את אותיות האהו"י בשורה. לשם כך יש לנו $\ 3!=6$ אפשרויות. אחר כך נסדר את האותיות שאינן אהו"י בשורה, גם כן $\ 3!=6$ אפשרויות. כעת נבנה את המילה שלנו כך: נשים את אות האהו"י שבמקום הראשון ברשימה שלה, ואחריה את האות שאינה אהו"י שבמקום הראשון ברשימה שלה. אחר כך נשים את אות האהו"י שבמקום השני ברשימה שלה, וכן הלאה. נקבל מילה שבה מופיעות לסירוגין אותיות אהו"י וכאלו שאינן אהו"י.
מכיוון שהשלב של בניית המילה משתי הרשימות מניב תוצאה אחת בלבד, מספר הפתרונות הכולל, על פי עקרון הכפל, הוא מכפלת האפשרויות ליצירת כל אחת מהרשימות הקצרות, כלומר $\ 6\cdot 6=36$ .

[עריכה] דוגמה 2

נתונות הספרות 0,1,2,3,4,5. מצא כמה מספרים ניתן ליצור תוך שימוש בכולן:

ללא מגבלות.
מספרים שמתחלקים ב-5.
מספרים זוגיים שגדולים מ-300,000.

[עריכה] פתרון

למרות שאין מגבלות מיוחדות על המספרים, מספר ש-0 הוא הספרה השמאלית ביותר בו איננו חוקי, ולכן למקום השמאלי ביותר יש לנו בחירה של אחת מתוך 5 ספרות, ועבור שאר 5 המקומות אנחנו משתמשים בנוסחה הרגילה לסידור בשורה. נקבל $\ 5\cdot 5!=5\cdot 120=600$ מספרים אפשריים.
המגבלה של הסעיף הקודם נשארת, וכעת אנחנו חייבים לוודא שהמספר שאנו יוצרים יתחלק ב-5. ידוע כי מספר מתחלק ב-5 אך ורק כאשר הספרה הימנית ביותר בו היא 0 או 5. לכן נפריד בין שני המקרים הללו.
אם בחרנו את 0 בתור הספרה הימנית ביותר, עבור שאר המקומות אנחנו יכולים לבחור מספרים בצורה חופשית ולכן זהו סידור רגיל בשורה ויש $\ 5!=120$ אפשרויות. לעומת זאת, אם בחרנו את 5 בתור הספרה הימנית ביותר צריך לוודא ש-0 לא תהיה הספרה השמאלית ביותר ולכן נפעל בצורה דומה לזו של סעיף א': נבחר אחת מארבע הספרות הנותרות (אלו שאינן 0 או 5) ונשים אותה במקום השמאלי ביותר, ואת יתר הספרות נסדר בשורה. נקבל $\ 4\cdot 4!=4\cdot 24=96$ אפשרויות.
כעת נשתמש בעקרון החיבור (כי מספר יכול שספרתו הימנית ביותר תהיה 0 או 5, אך לא שניהם יחד) ונקבל בסך הכל $\ 120+96=216$ אפשרויות.
כדי שהמספר שלנו יהיה גדול מ-300,000 עלינו לבחור בתור הספרה השמאלית ביותר אחת משלוש הספרות 3,4,5. כדי שהמספר יהיה זוגי עלינו לבחור בתור הספרה הימנית ביותר אחת מהספרות 0,2,4. נפריד בין המקרים על פי הספרה השמאלית ביותר.
אם הספרה השמאלית ביותר היא 3, יש לנו 3 אפשרויות לבחירת הספרה הימנית ביותר, ואחר כך נסדר את 4 הספרות הנותרות בשורה. נקבל $\ 3\cdot 4!=3\cdot 24=72$ אפשרויות. כאשר נבחר בתור הספרה השמאלית ביותר את 5 נקבל את אותה תוצאה בדיוק, מאותם שיקולים.
לעומת זאת, אם נבחר את 4 בתור הספרה השמאלית ביותר לא ניתן לבחור אותו גם בתור הספרה הימנית ביותר, ולכן אנחנו חייבים לבחור אותה מתוך 2 ספרות (0,2) ולכן מספר האפשרויות הפעם יהיה $\ 2\cdot 4!=48$ .
כעת נשתמש בעקרון החיבור ונקבל שבסך הכל יש $\ 72+72+48=192$ מספרים שונים.

הפרק הקודם:
קומבינטוריקה

תמורות
תרגילים

הפרק הבא:
תמורות במעגל ותמורות באיברים זהים

אלגברה תיכונית/קומבינטוריקה/תמורות/תרגילים

[עריכה] תמורות במעגל

עד כה כשעסקנו בתמורות, היה זה בסידור איברים שונים זה מזה בשורה. באותה צורה ניתן לחשוב גם על סידור איברים שונים זה מזה במעגל, כאשר החשוב בסידור במעגל הוא מיקומם של האיברים אחד ביחס לשני.

למשל, אם יש לנו שלושה ילדים: אבי, בני וגליה, ואנו רוצים לסדר את שלושתם במעגל, יש לנו בדיוק שתי אפשרויות לעשות זאת: או שבני יהיה משמאל לאבי וגליה מימינו, או שבני יהיה מימין לאבי וגליה משמאלו. אם היינו רוצים לסדר את שלושת הילדים בטור, היו לנו שש אפשרויות, ואילו לסידור במעגל יש לנו שתי אפשרויות בלבד.

נראה כעת את הנוסחה הכללית:

סידור של $\ n$ איברים שונים במעגל ניתן להיעשות ב- $\ (n-1)!$ דרכים שונות.

נוכיח נוסחה זו באמצעות שימוש בנוסחה המוכרת לנו לתמורות. לשם כך ננסה להבין את מהות הקשר שבין סידור בשורה וסידור במעגל. למשל, אם נסתכל על שלושת הסידורים הבאים בשורה כסידור במעגל, הם יהיו זהים זה לזה:

אבג, בגא, גאב.

הסיבה לכך ששלושת הסידורים זהים היא שכאשר אנו מסדרים במעגל, אנו "מדביקים" את סוף השורה לתחילתה, כך שאין חשיבות לשאלה מי ראשון ומי אחרון, אלא רק מי בא אחרי מי.

נשים לב שמבין הסידורים הזהים, קיים אחד בלבד שבו א' במקום הראשון, אחד שבו א' במקום השני וכן הלאה. ניתן לחשוב על א' כעל "נקודת ייחוס" בשורה שממנה אנו מתחילים לסדר את שאר האיברים, ואם הגענו לסוף השורה אנו חוזרים לתחילתה וממשיכים לסדר איברים עד שאנו מגיעים שוב אל א'.

באופן כללי יש לנו $\ n!$ סידורים בשורה. מתוכם אנו סופרים $\ n$ פעמים כל סידור חוקי במעגל, פעם אחת לכל מקום בשורה שבו א' יכול להיות. לכן מספר הסידורים הכולל האפשרי הוא $\ \frac{n!}{n}=(n-1)!$ . נכונות השבר הזה נובעת מהעובדה שציינו כשהצגנו את פונקציית העצרת, כי מתקיים $\ n(n-1)!=n!$ (תכונה זו ניתן להוכיח בקלות באינדוקציה).

ניתן גם לראות את ההוכחה בדרך שונה במקצת. מכיוון שא' משמש בתור נקודת ייחוס אין זה משנה היכן במעגל נשים אותו. לאחר ששמנו אותו והוא משמש לנו כנקודת ייחוס ניתן לחשוב עליו כעל האיבר הראשון בשורה, שיש לסדר בה את יתר האיברים. מכיוון שנותרו $\ n-1$ איברים יש $\ (n-1)!$ אפשרויות לסדרם.

[עריכה] תמורות באיברים זהים

עד כה כל האיברים שסידרנו היו שונים זה מזה. האם מספר האפשרויות משתנה כאשר חלק מהאיברים זהים?

נסתכל למשל על מספר הסידורים השונים של האותיות א', א', ב'. אלו הן שלוש אותיות ואם כולן היו שונות זו מזו היו לנו 6 סידורים. כעת יש לנו 3 סידורים בלבד:

אאב, אבא, באא.

ננסה להבין מדוע קיבלנו 3 סידורים.

אם היינו מתייחסים לאותיות הא' כשונות זו מזו, היינו מקבלים 6 סידורים. מכיוון שהן זהות זו לזו, אנו סופרים כל סידור מספר פעמים, כשמספר הפעמים הוא מספר הסידורים הפנימיים שיש בין אותיות הא'. נמחיש זאת באמצעות דוגמה. אם היינו מסמנים את אותיות הא' גם באמצעות מספרים: א1, א2, היינו מקבלים עבור הסידור "אאב" את שני הסידורים הבאים:

א1א2ב, א2א1ב.

בבירור מספר הסידורים תלוי במספר הסידורים הפנימיים של אותיות הא'. מספר סידורים פנימיים זה הוא $\ 2!=2$ כי יש שתי אותיות א'.

באופן כללי, אם יש לנו סידור בשורה של $\ n$ עצמים ש- $\ k$ מהם זהים זה לזה ואין עוד איברים שזהים זה לזה, נקבל שיש $\ \frac{n!}{k!}$ אפשרויות סידור שונות. מכאן מיידית ההכללה למקרה הכללי ביותר:

אם יש לנו $\ n$ איברים כך ש- $\ n_1,n_2,\dots,n_k$ הם הגדלים של הקבוצות של איברים זהים מתוכם (מתקיים $\ n_1+n_2+\dots+n_k=n$ ) אז יש בסך הכל $\ \frac{n!}{n_1!n_2!\cdots n_k!}$ סידורים אפשריים שלהם בשורה.

נשים לב כי גודל של קבוצת איברים זהים יכול להיות גם $\ 1$ . במקרה שבו כל האיברים שונים זה מזה מתקיים $\ n_1=n_2=\dots=n_k=1$ ואז מספר הסידורים הוא $\ \frac{n!}{1\cdot 1\cdots 1}=n!$ , ולכן קיבלנו הכללה של הנוסחה המקורית לתמורות.

[עריכה] דוגמאות לפתרון בעיות

[עריכה] דוגמה 1

במסיבת יום הולדת משתתפים שישה ילדים - שלוש בנות ושלושה בנים. ורוצים להושיב את כולם סביב שולחן עגול אחד. בכמה אפשרויות ניתן לעשות זאת תחת המגבלות הבאות:

ללא מגבלה.
אם יעל רוצה לשבת ליד דני.
אם יעל לא רוצה לשבת ליד דני.
אם רוצים שלא יהיו שני בנים שיושבים אחד ליד השני, או שתי בנות שיושבות אחת ליד השניה.

[עריכה] פתרון

ללא מגבלות יש לנו סידור של 6 איברים במעגל, ולכן יש לנו $\ (6-1)!=5!=120$ אפשרויות לעשות זאת.
אם יעל יושבת ליד דני היא יכולה לשבת מימינו או משמאלו. אם היא יושבת מימינו "נדביק" את שניהם יחד ונתייחס אליהם כאל איבר אחד, וכעת נותר לסדר במעגל רק 5 איברים, ולכן יש לנו $\ 4!=24$ אפשרויות. זה גם מספר האפשרויות אם יעל יושבת משמאלו של דני, ובגלל שלא ייתכן שהיא תשב גם מימינו וגם משמאלו אפשר להשתמש בעקרון החיבור ולקבל שיש לנו בדיוק $\ 24+24=48$ אפשרויות.
מספר הסידורים האפשריים שבהם יעל לא יושבת ליד דני הוא סך כל הסידורים האפשריים פחות אלו שבהם יעל כן יושבת ליד דני. את שני המספרים הללו כבר חישבנו, ולכן התוצאה היא $\ 120-48=72$ .
דרך אחרת לפתור סעיף זה בצורה ישירה היא זו: יעל תתיישב ראשונה, ואחר כך יתיישב דני באחד משלושת המקומות הפנויים שאינם ליד יעל. כעת נותרו 4 מקומות להושיב בהם את שאר הילדים כשיעל משמשת בתור נקודת ייחוס, ולכן יש לנו סידור בשורה של 4 איברים, כלומר $\ 4!=24$ אפשרויות. מכיוון שיש $\ 24$ לכל אחד משלושת המקומות שבהם יכול להתיישב דני, יש בסך הכל על פי עקרון הכפל $\ 3\cdot 24=72$ אפשרויות.
ראשית נושיב את כל הבנות מסביב לשולחן, כשבין כל שתי בנות יש כיסא ריק. זהו סידור במעגל של 3 איברים. כעת נסדר את הבנים בכסאות שנותרו. זה אינו סידור במעגל אלא בשורה, שכן הבנות שכבר יושבות מהוות נקודות ייחוס. כעת נשתמש בעקרון הכפל כדי לקבל את מספר האפשרויות הכולל: $\ (3-1)!3!=2!3!=2\cdot 6=12$ .

[עריכה] דוגמה 2

ברדיו מועסקים 4 שדרים, ורוצים לשבץ אותם ליום שידורים המורכב מ-12 משמרות שכל אחת בת שעה. בכמה דרכים ניתן לעשות זאת תחת הדרישות הבאות:

כל השדרים משדרים בדיוק אותו מספר של שעות.
שדר הספורט משדר רק שעה אחת, שדרת הכלכלה משדרת שעתיים, שדר התרבות משדר ארבע שעות ושדרת האקטואליה משדרת חמש שעות.
כולם משדרים אותו מספר של שעות, אבל שדר הספורט משדר את כל השעות שלו ברצף.
שדרת האקטואליה משדרת שעתיים רצופות אחרי כל שידור אחד מהשדרים האחרים, וכל השדרים האחרים משדרים מספר זהה של שעות.

[עריכה] פתרון

אם כל השדרים משדרים אותו מספר שעות, כל אחד משדר בדיוק $\ \frac{12}{4}=3$ שעות. ניתן אם כן להסתכל על שיבוץ השדרים כעל סידור בשורה של 4 עצמים (השדרים) שכל אחד מהם מופיע 3 פעמים (בסך הכל 12 שעות שידור). לכן מספר האפשרויות הוא $\ \frac{12!}{3!3!3!3!}=\frac{12!}{6^4}=369600$ .
כאן יש גם כן סידור בשורה של 4 עצמים, אך מספר העותקים מכל עצם שונה (למרות שמספר הכולל הוא עדיין 12). לכן הפעם מספר האפשרויות הוא $\ \frac{12}{1!2!4!5!}=\frac{12!}{1\cdot 2\cdot 24\cdot 120}=\frac{12!}{5760}=83160$ .
מכיוון ששדר הספורט משדר את כל השעות שלו ברצף, ניתן להסתכל עליהן כעל איבר בודד ולא כעל שלושה איברים זהים אך נפרדים. לכן הפעם יש לנו רק 10 עצמים שאנחנו מסדרים - עצם אחד הוא השעות של שדר הספורט, ועוד שלושה עצמים לכל אחד מהשדרים האחרים, שמסמלים את השעות שלו. לכן מספר האפשרויות הוא: $\ \frac{10!}{1!3!3!3!}=\frac{10!}{6^3}=16800$ .
ראשית צריך לגלות כמה שעות משדרים השדרים האחרים. אם כל השדרים האחרים ישדרו שעה אחת, בסך הכל יהיו 9 שעות תפוסות (שעה לכל שדר מהשלושה, ועוד שעתיים לאקטואליה אחריו). הדרך היחידה להגיע ל-12 שעות היא הוספת שעה רצופה אחת לכל אחד מהשדרים. קיבלנו שכל שדר משדר שעתיים רצופות פרט לשדרת האקטואליה, שמשדרת שעתיים אחרי כל אחד מהשדרים האחרים. לכן הדבר היחיד שנותר לעשות הוא לקבוע את הסדר הפנימי אצל השדרים האחרים. מכיוון שיש 3 שדרים, מספר האפשרויות הוא $\ 3!=6$ - סידור רגיל בשורה.

הפרק הקודם:
תמורות

תמרוות במעגל ותמורות באיברים זהים
תרגילים

הפרק הבא:
צירופים

אלגברה תיכונית/קומבינטוריקה/תמורות במעגל ותמורות באיברים זהים/תרגילים

[עריכה] צירופים

בהגרלת לוטו עולים בגורל שבעה מספרים מתוך שלושים. כמה תוצאות אפשריות יש להגרלה?

שאלה זו היא דוגמה בסיסית לבעיה הקומבינטורית של מציאת צירופים. כאשר אנו רוצים למצוא צירופים, אנחנו רוצים לבחור מספר איברים מתוך קבוצה שבה כל האיברים שונים זה מזה, בלי חשיבות לסדר שבו אנו בוחרים את המספרים הללו. כשאנו אומרים "אין חשיבות לסדר" הכוונה היא, לדוגמה, שאין זה משנה אם קודם יעלה בגורל המספר 1 ואחריו המספר 2, או שקודם יעלה בגורל 2 ורק אחריו יעלה 1. כלומר, אנחנו מתעניינים רק בתוצאה הסופית - קבוצת המספרים שנבחרו - ולא בסדר שבו הם נבחרו.

עוד תכונה שמאפיינת את הבחירה שאנחנו מבצעים היא שאיננו יכולים לבחור את אותו איבר פעמיים. כלומר, מרגע שמספר עלה בגורל, הוא אינו יכול לעלות בגורל שנית. אם בחירה מאופיינת על ידי תכונה זו אומרים שהיא "ללא החזרה", שכן אם ניתן לבחור את אותו איבר יותר מפעם אחת הדבר דומה לכך שלאחר שבחרנו אותו בפעם הראשונה אנו "מחזירים" אותו למאגר, ומשם הוא יכול להיבחר פעם נוספת.

אם כן, בניסוח מעט יותר פורמלי, ניתן לתת את ההגדרה הבאה לצירוף:

הגדרה:

צירוף הוא בחירה ללא חשיבות לסדר וללא החזרה.

נוכיח בהמשך כי מספר האפשרויות לבחור $\ k$ איברים מתוך $\ n$ (כאשר $\ k\le n$ ) הוא $\ \frac{n!}{k!(n-k)!}$ . גודל זה הוא בעל חשיבות גדולה במתמטיקה והוא מופיע במקומות רבים ושונים, ועל כן נותנים לו סימון מיוחד: $\ {n\choose k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$ . גודל זה מכונה בשם מקדם בינומי, שם שיוסבר בהמשך כאשר נלמד על הבינום של ניוטון.

נשים לב כי מיידית מהגדרתו נובע כי $\ {n\choose k}={n\choose n-k}$ . נכיר תכונות נוספות של ביטוי בהמשך, וכעת נפנה להוכחה כי הוא אכן מייצג את מספר הצירופים.

הוכחה: יש מספר דרכים שונות להוכיח את נכונות הביטוי, ונשתמש כאן בשיטה שמסתמכת על מה שכבר הוכחנו בפרק הקודם - מספר התמורות עם איברים זהים.

נניח כי $\ n$ האיברים שמתוכם אנו רוצים לבחור $\ k$ מסודרים בשורה. כדי לבחור מתוכם איברים ניתן לנקוט בשיטה הבאה: נכסה כל אחד מהאיברים בכיסוי שיכול להיות שקוף או אטום. יהיו לנו בדיוק $\ k$ כיסויים שקופים, ו- $\ n-k$ כיסויים אטומים. כעת נבחר את כל האיברים שעוד ניתן לראות - כלומר, שכוסו בכיסוי שקוף.

מכאן שמספר האפשרויות לבצע את הבחירה זהה למספר הסידורים השונים בשורה של הכיסויים השקופים והאטומים. יש לנו סידור בשורה של $\ n$ עצמים שמחולקים לקבוצה בגודל $\ k$ שכל אבריה זהים, וקבוצה בגודל $\ n-k$ שכל אבריה זהים. ראינו בפרק הקודם שמספר האפשרויות הוא $\ \frac{n!}{k!(n-k)!}={n\choose k}$ , ובכך הושלמה ההוכחה.

[עריכה] דוגמה לחלוקת קלפים במשחק ברידג'

[עריכה] בעיה

במשחק ברידג' ישנם ארבעה שחקנים המסומנים כצפון, דרום, מזרח ומערב וכל שני כיוונים מנוגדים מהווים זוג. כל אחד מהשחקנים מקבל 13 קלפים מתוך חבילה בת 52 קלפים. כמה אפשרויות לחלוקת הקלפים קיימות:

ללא הגבלה.
במקרה שבו כל ארבעת האסים נמצאים אצל שחקן אחד.
במקרה שבו לאחד הזוגות רק קלפים אדומים ולזוג השני רק קלפים שחורים (מכל סוג ישנם 26 קלפים).

[עריכה] פתרון

אנחנו בוחרים 13 קלפים מתוך 52 עבור צפון, 13 קלפים מבין 39 הנותרים עבור מזרח, וכן הלאה. נקבל שמספר האפשרויות הוא: $\ {52\choose 13}{39\choose 13}{26\choose 13}{13\choose 13}=\frac{52!}{13!39!}\frac{39!}{13!26!}\frac{26!}{13!13!}\frac{13!}{13!1!}=\frac{52!}{(13!)^4}$ .
מכיוון שמספר האפשרויות שקיבלנו הוא אדיר לא נכתוב אותו במפורש.
ראשית עלינו לבחור את השחקן שאצלו יהיו כל ארבעת האסים: $\ {4\choose 1}=4$ . כעת עלינו לבחור עוד 9 קלפים עבורו מבין הקלפים שנותרו: $\ {48\choose 9}$ . כעת עלינו לבחור קלפים כרגיל עבור שאר השחקנים. באמצעות עקרון הכפל נקבל שהתשובה היא: $\ 4\cdot{48\choose 9}{39\choose 13}{26\choose 13}{13\choose 13}=4\cdot\frac{48!}{9!39!}\frac{39!}{(13!)^3}=4\cdot\frac{48!}{9!(13!)^3}$
ראשית עלינו לבחור לאיזה זוג יהיו הקלפים האדומים: $\ {2\choose 1}=2$ . כעת עלינו לחלק לו את הקלפים הללו, כלומר לבחור 13 מתוך 26 קלפים לשחקן הראשון, ולתת את הנותרים לשחקן השני. נקבל: $\ {26\choose 13}{13\choose 13}=\frac{26!}{13!13!}\frac{13!}{13!1!}=\frac{26!}{(13!)^2}$ . יש לחלק גם את הקלפים השחורים לזוג השני, ובגלל שהבעיה סימטרית מספר האפשרויות זהה. לכן התוצאה הסופית היא $\ 2\cdot\left(\frac{26!}{13!^2}\right)^2$ .

הפרק הקודם:
תמורות במעגל ותמורות באיברים זהים

צירופים
תרגילים

הפרק הבא:
חליפות

אלגברה תיכונית/קומבינטוריקה/צירופים/תרגילים

[עריכה] חליפות

בפרק הקודם עסקנו בצירופים - בחירה בלי חשיבות לסדר ובלי החזרה. כעת נעסוק בבחירה שבה יש חשיבות לסדר אך אין החזרה. נפתח בדוגמה.

נניח כי בכיתה ישנם 40 תלמידים, ואנו רוצים להרכיב משלחת שתכלול יושב ראש, סגן וגזבר. עלינו לבחור שלושה תלמידים מבין ה-40, אבל כאן יש חשיבות לסדר שבו נבחר את התלמידים: הראשון ייבחר לתפקיד יושב הראש, השני לתפקיד הסגן והשלישי לתפקיד הגזבר.

כדי לבצע את הבחירה הזו פשוט נבחר קודם כל את יושב הראש מבין 40 התלמידים, אחר כך נבחר את הסגן מבין 39 התלמידים שנותרו, ולבסוף נבחר את הגזבר מבין 38 התלמידים שטרם נבחרו.

נעבור לטפל במקרה הכללי.

נניח כי יש לנו $\ n$ איברים ואנו רוצים לבחור $\ k$ עם חשיבות לסדר הבחירה. נבחר את האיבר הראשון מבין $\ n$ האיברים, את השני מבין $\ n-1$ האיברים הנותרים, ובאופן כללי את האיבר ה- $\ i$ נבחר מתוך $\ n-(i-1)$ האיברים הנותרים. על פי עקרון הכפל נקבל שמספר האפשרויות הכולל הוא:

$\ n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+1)$

יש דרך נוחה יותר להציג ביטוי זה:

$\ n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+1)=\frac{n!}{(n-k)!}$ .

נדגים כעת דרך נוספת לקבלת ביטוי זה.

קודם כל נבחר $\ k$ . איברים ללא חשיבות לסדר. אלו הם צירופים, ולמדנו לטפל בהם בפרק הקודם. מספר האפשרויות הוא $\ \frac{n!}{k!(n-k)!}$ .

כעת נמספר את האיברים שבחרנו, כלומר נסדר אותם בשורה. זוהי תמורה, ולכן יש $\ k!$ אפשרויות. לכן על פי עקרון הכפל יש בסך הכל $\ \frac{n!}{k!(n-k)!}\cdot k!= \frac{n!}{(n-k)!}$ .

הפרק הקודם:
צירופים

חליפות
תרגילים

הפרק הבא:
הבינום של ניוטון ומשולש פסקל

אלגברה תיכונית/קומבינטוריקה/חליפות/תרגילים

[עריכה] הבינום של ניוטון

[עריכה] ניסוח ראשון

ודאי נתקלתם בעת לימודי האלגברה בנוסחה $\ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ . ייתכן כי גם נתקלתם בנושא עבור חזקה שלישית: $\ (a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$ .

מתעוררת השאלה האם קיימת נוסחה כללית לכל חזקה? כלומר, האם קיימת נוסחה המתארת לכמה שווה $\ (a+b)^n$ ?

התשובה לשאלה זו היא חיובית. קיימת נוסחה הנקראת הבינום של ניוטון ("בינום" פירושו "דו איבר", והמילה מכוונת לכך שבתוך הסוגריים מופיעים שני איברים). ראשית נציג את הנוסחה, ואחר כך נעבור להוכחה שלה.

נוסחת הבינום היא כדלהלן:

$\ (a+b)^n={n\choose 0}a^nb^0+{n\choose 1}a^{n-1}b^1+{n\choose 2}a^{n-2}b^2+\dots+{n\choose n-1}a^1b^{n-1}+{n\choose n}a^0b^n$ .

כזכור, $\ {n\choose k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$ . ביטוי זה נלמד בפרק העוסק בצירופים ונקרא שם "מקדם הבינום". כעת ברורה הסיבה לשם: הביטוי מופיע בתור המקדם המספרי לפני הגורמים $\ a,b$ .

[עריכה] סימן הסיגמה

על מנת להקל את כתיבת הבינום, נציג כאן סימן שימושי ומקובל במתמטיקה - סימן הסכימה. מטרת הסימן לאפשר כתיבת סכום בצורה פשוטה, על ידי הצגת האיבר הכללי שלו בלבד.

באופן כללי, אם קיימת סדרה $\ a_1,a_2,\dots,a_n$ נגדיר את סימן הסכימה כך:

$\ \sum_{k=1}^n a_k=a_1+a_2+\dots+a_n$

לדוגמה:

$\ \sum_{k=1}^n k=1+2+3+\dots+n$
$\ \sum_{k=0}^n {n\choose k}={n\choose 0}+{n\choose 1}+\dots+{n\choose n}$

סימן הסכימה הוא האות היוונית הגדולה $\ \Sigma$ (סיגמה). המשתנה $\ k$ משמש בתור אינדקס שמקבל כל ערך טבעי בין הערך שניתן לו מתחת לסימן הסכימה (במקרים שהצגנו - 1 או 0) ועד הערך שמעל סימן הסכימה (במקרים שהצגנו - $\ n$ ), ואנו סוכמים את כל האיברים מהצורה $\ a_k$ לכל הערכים שאותם $\ k$ מקבל.

באמצעות סימן הסכימה ניתן לכתוב את הבינום של ניוטון כך:

$\ (a+b)^n=\sum_{k=0}^n {n\choose k}a^{n-k}b^{k}$

[עריכה] תיאור ההוכחה

ניתן להוכיח את נוסחת הבינום באמצעות שימוש באינדוקציה מתמטית ובזהות $\ {n\choose k}+{n\choose k+1}={n+1\choose k+1}$ , אך זוהי הוכחה טכנית ואינה מסייעת להבין מדוע נוסחת הבינום נכונה. נציג כאן תיאור של הוכחה קומבינטורית שמתבססת על החומר שלמדנו בנושא צירופים.

ראשית ננסה להבין כיצד התקבלה הנוסחה במקרה הפרטי של $\ n=2,3$ ונראה כיצד ניתן להכליל אותה.

עבור $\ (a+b)^2$ אנו רושמים $\ (a+b)^2=(a+b)(a+b)$ ואחר מבצעים ישירות את פעולת הכפל. כיצד אנו עושים זאת? קודם כל אנו בוחרים את האיבר $\ a$ מהסוגריים השמאליים וכופלים אותו בכל אחד מהאיברים מהסוגריים הימניים, ומקבלים את שני האיברים $\ aa+ab$ . אחר אנו בוחרים את האיבר $\ b$ מהסוגריים השמאליים, כופלים אותו בכל אחד מהאיברים מהסוגריים הימניים ומקבלים את שני האיברים $\ ba+bb$ . כלומר, קיבלנו:

$\ (a+b)^2=aa+ab+ba+bb$ .

כעת אנו מתבססים על כך ש- $\ ab=ba$ (זהו חוק החילוף) ולכן $\ ab+ba=2ab$ . כמו כן $\ aa=a^2,bb=b^2$ ולכן נקבל את הנוסחה המוכרת לנו: $\ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ .

נעבור למקרה של $\ n=3$ . גם כאן נכתוב $\ (a+b)^3=(a+b)(a+b)(a+b)$ . כאן כדי לבצע את הכפל נבחר איבר מהסוגריים השמאליים, אחר נבחר איבר מהסוגריים האמצעיים כדי לכפול אותו בו, ולבסוף נבחר איבר מהסוגריים הימניים כדי לכפול בו את התוצאה. נראה אילו איברים נקבל:

$\ (a+b)(a+b)(a+b)=aaa+aab+aba+abb+baa+bab+bba+bbb=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$

שוב השתמשנו בחוק החילוף.

משתי הדוגמאות ראינו כי הביטוי $\ (a+b)^n$ , לאחר פתיחתו, הוא סכום של איברים, כאשר כל איבר הוא מכפלה של $\ a$ ושל $\ b$ , ומספר המופעים של $\ a$ ושל $\ b$ יחד הוא בדיוק $\ n$ . בשל חוק החילוף אין חשיבות לסדר שבו מופיעים $\ a,b$ בכל איבר, אלא רק מספר המופעים שלהם. אם באיבר כלשהו מופיע $\ a$ בדיוק $\ k$ פעמים אז איבר זה הוא $\ a^kb^{n-k}$ .

לכן נוסחת הבינום תיתן סכום של איברים מהצורה $\ a^kb^{n-k}$ ונותר לראות מה יהיו המקדמים של איברים אלו.

המקדם של $\ a^kb^{n-k}$ הוא מספר טבעי שהוא בדיוק מספר האיברים מהצורה $\ a^kb^{n-k}$ שמתקבלים כאשר פותחים את הסוגריים.

כזכור, בזמן פתיחת הסוגריים אנחנו בוחרים איבר אחד מתוך שני האיברים האפשריים בכל אחד מ- $\ n$ זוגות הסוגריים. לכן, עבור האיבר $\ a^kb^{n-k}$ עלינו לבחור בדיוק $\ k$ סוגריים מתוך ה- $\ n$ שמתוכם נבחר את $\ a$ , ומכל יתר הסוגריים נבחר את $\ b$ . כפי שלמדנו בפרק על צירופים, מספר האפשרויות לבחור $\ k$ מתוך $\ n$ איברים כאשר אין חשיבות לסדר שבו מתבצעת הבחירה הוא $\ {n\choose k}$ .

הפרק הקודם:
חליפות

הבינום של ניוטון ומשולש פסקל
תרגילים

הפרק הבא:
נספח: צירופים וחליפות עם החזרה

אלגברה תיכונית/קומבינטוריקה/הבינום של ניוטון ומשולש פסקל/תרגילים

[עריכה] חליפות עם החזרה

עד כה עסקנו בחליפות שהוגדרו כבחירה של $\ k$ מתוך $\ n$ איברים עם חשיבות לסדר וללא החזרה - כלומר ללא האפשרות לבחור באותו איבר פעמיים. מה קורה אם משמיטים מגבלה זו? ברור כי $\ k$ יוכל להיות גדול מ- $\ n$ שכן הפעם לא "אוזלים" לנו האיברים שניתן לבחור מהם. איך ישתנו הנוסחאות עבור חליפות וצירופים?

במקרה של חליפות התשובה פשוטה: מכיוון שיש לנו $\ n$ איברים ומתוכם אנו רוצים לבחור $\ k$ עם חשיבות לסדר, הרי שאפשר לחלק את תהליך הבחירה ל- $\ k$ סיבובים, ובכל סיבוב לבחור אחד מ- $\ n$ האיברים. נקבל שמספר האפשרויות הכולל הוא $\ n\cdot n\cdots n=n^k.$

לדוגמה, נניח שאנחנו רוצים לדעת כמה מספרים בני חמש ספרות קיימים. עבור הספרה השמאלית ביותר לא ניתן לבחור את 0 ולכן יש לנו 9 בחירות אפשריות של ספרות, אך ל-4 הספרות הנותרות ניתן לבחור כל ספרה מתוך ה-10 הקיימות, ומכיוון שמותר להשתמש בכל ספרה יותר מפעם אחת ומיקום הספרות במספר הוא משמעותי יש לנו מקרה של חליפות עם החזרה. תוך שימוש בעקרון הכפל נקבל שהתשובה היא $\ 9\cdot 10^4=90,000$ .

[עריכה] צירופים עם החזרה

לעומת המקרה של חליפות, המקרה של צירופים עם החזרה הוא מסובך בהרבה. יש לנו בחירה של $\ k$ איברים מתוך $\ n$ כאשר ניתן לבחור באותו איבר יותר מפעם אחת, אך אין חשיבות לסדר שבו נבחרו.

ניתן דוגמה לסיטואציה כזו: נניח כי יש בידינו $\ k$ כדורים זהים, ו- $\ n$ תאים. אנחנו רוצים למצוא בכמה דרכים שונות ניתן לחלק את הכדורים בין התאים כאשר כל תא יכול להכיל כמה כדורים שרק נרצה. השמה של כדור בתא כלשהו שקולה לבחירה של אותו התא, ומכיוון שבסוף התהליך אנחנו מתעניינים רק בכמות הכדורים שבכל תא ולא בסדר שבו הושמו שם (שכן כל הכדורים זהים), ומכיוון שניתן לשים יותר מכדור אחד בכל תא יש לנו מקרה של צירופים עם החזרה.

זהו תרגיל טוב לנסות ולגלות את מספר האפשרויות - נסו זאת בעצמכם לפני שתקראו את הפתרון שנציג כאן.

[עריכה] פתרון

ננסה לדמיין את הבעיה כך: נניח כי התאים שאליהם אנחנו רוצים להכניס את הכדורים שייכים כולם למיכל אחד, כאשר מה שמפריד ביניהם הוא מחיצות ניתנות להזזה. מכיוון שיש $\ n$ תאים ישנן $\ n-1$ מחיצות (כי מחיצה עוברת בין שני תאים). בציור ניתן לראות דוגמה למקרה שבו $\ n=4$ .

במקום לחלק את הכדורים לתאים, ניתן לנקוט בגישה אחרת: נניח כי כל הכדורים כבר קיימים במיכל הגדול, וכל שנותר לעשות הוא להכניס מחיצות כדי ליצור את התאים. המקומות שבהם נכניס את המחיצות הם שיקבעו כמה כדורים יהיו בכל תא. לדוגמה, המיכל לפני הכנסת המחיצות ועם 6 כדורים בתוכו נראה כך:

דוגמה אפשרית אחת לחלוקת מחיצות היא זו:

כאן בתא השמאלי ביותר כדור אחד, בתא שאחריו שניים, אחר כך שוב אחד, ואז שוב שניים.

תאים יכולים להיות גם ריקים, כפי שניתן לראות בדוגמה הבאה:

כאן התא השני ריק. הסיבה לכך היא ששתי המחיצות שמגדירות אותו הוכנסו באותו הרווח שבין שני כדורים.

אם כן, מספר האפשרויות לחלק $\ k$ כדורים ל- $\ n$ תאים שווה למספר האפשרויות לחלק $\ n-1$ מחיצות לרווחים שבין הכדורים. כמה רווחים כאלו קיימים? מכיוון שניתן להכניס מחיצה גם לפני הכדור הראשון וגם אחרי הכדור האחרון (ובכך, בהתאמה, ליצור תא ראשון ריק ותא אחרון ריק) יש $\ k+1$ מקומות שבהם אפשר לשים את המחיצות.

מספר האפשרויות לעשות זאת הוא מספר האפשרויות לבחור $\ n-1$ מקומות מתוך ה- $\ k+1$ הקיימים עם החזרה וללא חשיבות לסדר. החזרה קיימת כי ניתן להכניס שתי מחיצות לאותו הרווח שבין שני כדורים ובכך לקבל תא ריק.

לכאורה לא פתרנו את הבעיה שלנו - אנחנו עדיין צריכים למצוא את הנוסחה לצירופים עם החזרה. עם זאת, נראה כעת כי שינוי קל בגישה יביא לנו את הפתרון.

מה היה קורה אם היינו דורשים שלא יהיו תאים ריקים? במקרה זה היה פשוט למדי למצוא את מספר האפשרויות: מותר היה לבחור כמקום שניתן לשים בו מחיצות רק את הרווחים שבין שני כדורים, ובכל אחד ממקומות אלו היה ניתן לשים רק מחיצה אחת (אחרת יווצר תא ריק). הבעיה שלנו הפכה לבעיה של צירופים בלי החזרה. אלא שאי אפשר להתעלם מהמקרים שבהם יש תאים ריקים סתם כך.

מה שנעשה הוא לוודא שלא יהיה אף תא ריק על ידי כך שבנוסף ל- $\ k$ הכדורים שיש לחלק לתאים נשים בכל תא כדור אחד נוסף. בסך הכל הוספנו $\ n$ כדורים, וכעת אף תא אינו ריק. הבעיה נותרת זהה: חלוקה של $\ k$ כדורים ל- $\ n$ תאים ריקים ניתנת לביצוע באותו מספר אפשרויות כמו חלוקתם לתאים שבהם כבר יש כדור אחד.

כעת כל שנותר למצוא הוא בכמה אפשרויות ניתן לחלק $\ k+n$ כדורים ל- $\ n$ תאים כך שאף תא אינו ריק. אם ננקוט בגישה שהצענו קודם של ספירת מספר האפשרויות לשים מחיצות, השאלה הופכת להיות בכמה אפשרויות ניתן לשים $\ n-1$ מחיצות ב- $\ k+n-1$ הרווחים שבין הכדורים, ללא חזרות. זוהי בעיה בסיסית של צירופים ללא החזרה, ולכן הפתרון הוא

$\ {n-1+k\choose n-1}={n-1+k\choose k}$ .

[עריכה] שימושים

כדי להראות את חשיבותם של צירופים עם החזרות, נראה מספר מהמקומות שבהם הם מופיעים:

כפי שכבר ראינו, מספר האפשרויות לחלק $\ k$ כדורים זהים ל- $\ n$ תאים מבלי שיהיו מגבלות על החלוקה הוא $\ {n-1+k \choose k}$ .
מספר הפתרונות במספרים טבעיים של המשוואה . $\ x_1+x_2+\dots+x_n=k$ הוא $\ {n-1+k\choose k}$ .

הפרק הקודם:
הבינום של ניוטון ומשולש פסקל

נספח: צירופים וחליפות עם החזרה
תרגילים

הפרק הבא:
סוף הספר

אלגברה תיכונית/קומבינטוריקה/נספח: צירופים וחליפות עם החזרה/תרגילים

[עריכה] הנדסה אנליטית במישור

אלגברה תיכונית/ישרים

אלגברה תיכונית/מקומות גאומטריים

אלגברה תיכונית/מעגל

אלגברה תיכונית/אליפסה

אלגברה תיכונית/פרבולה

אלגברה תיכונית/היפרבולה

[עריכה] ביבליוגרפיה

[עריכה] מקורות בעברית

אברהם שומרון, מבוא לתורת הקבוצות וטופולוגיה קבוצתית, ירושלים, 2002, אקדמון בע"מ.

[עריכה] מקורות לועזיים או קישורים

Placeholder

[עריכה] הבהרה משפטית

הבהרה משפטית - השימוש בוויקיספר על אחריותך! - ויקיספר מכיל ספוילרים ותוכן שאולי תמצא מעורר התנגדות. - נעשים מאמצים ליצור ולתחזק מאגר ציטוטים מקיף ומדויק, אבל טעויות עלולות לחמוק מגילוי.

ויקיספר איננו מתחייב לאמינות!

ויקיספר הוא מאגר ספרים פתוח ומקוון; מיזם התנדבותי של קבוצות ויחידים, השוקדים לפיתוח מאגר משותף של הידע האנושי. המבנה שלו מאפשר לכל פרט בעל גישה לאינטרנט ולדפדפני ה-World Wide Web לערוך את התוכן הנמצא בה. עם כל הרצון הטוב של הוויקיסופרים, הם עשויים לטעות. אנא קח בחשבון שהמידע המופיע כאן, לא בהכרח נכתב או נבדק על ידי מומחים בתחומם, בעלי הידע הנדרש כדי להעניק לך מידע מושלם, מדויק או אמין לגבי כל נושא אליו מתייחסים המאמרים בוויקיספר.

אין בכך אמירה, שלא תוכל למצוא הרבה מידע בעל ערך ומדויק בוויקיספר, אך למרות זאת עליך לזכור, שוויקיספר, מטבעו, אינו יכול להתחייב לתקפות ונכונות המידע המובא בה. המידע עשוי להיערך, להשתנות, ואף להינזק על ידי מי שהדיעה שלו לא תואמת לידע המקובל בתחום מסויים, שאתה מתעניין ללמוד אודותיו. אנחנו מחפשים ועובדים על דרכים כדי לבחור ולאשר גרסאות יותר אמינות של מאמרים, אבל עדיין ללא כל אחריות.

אף אחד מהמחברים, תורמים, ספונסרים, מנהלים, טכנאים, או כל אחד אחר הקשור בוויקיספר, בכל דרך או מובן אפשרי, איננו יכול להיות אחראי לגבי הופעתו של כל מידע לא-אמין או מוציא דיבה, או לגבי השימוש שלך במידע, המוכל בתוך או מקושר באמצעות דפים אלו.

אנא וודא, שאתה מבין, כי המידע המסופק כאן מובא בצורה חופשית ובחינם, ולא נערך כל הסכם או חוזה בינך לבין הבעלים או המשתמשים של אתר זה, הבעלים של השרתים שעליהם ויקיספר מתאחסן, התורמים הפרטיים לוויקיספר, כל מנהל של המיזמים, טכנאים או כל אדם אחר שקשור בכל דרך למיזם הזה או למיזמים אחרים החשופים לטענותיך נגדם באופן ישיר. מוענק לך רישיון מוגבל (GNU_FDL) להעתיק כל דבר מתוך אתר זה; רישיון זה לא יוצר או מרמז לכל אחריות המעוגנת בחוזה או בתוספת לו בשום חלק של ויקיספר או של סוכניה, חבריה, יזמיה או כל משתמש אחר.

Any of the trademarks, service marks, collective marks, design rights, personality rights or similar rights that are mentioned, used or cited in the articles of the Wikiquote compendium are the property of their respective owners. Their use here does not imply that you may use them for any other purpose other than for the same or a similar informational use as contemplated by the original authors of these Wikiquote articles under the GFDL licensing scheme. Unless otherwise stated Wikiquote and Wikimedia sites are neither endorsed nor affiliated with any of the holders of any such rights and as such Wikiquote can not grant any rights to use any otherwise protected materials. Your use of any such or similar incorporeal property is at your own risk.

אנא שים לב, שהמידע הנמצא כאן עשוי לעבור על חוקיה של המדינה או של תחום השיפוט שבו אתה נמצא בעודך צופה במידע זה. ויקיספר לא מעודד עבירה על שום חוק שהוא, אבל מאחר ומידע זה מאוחסן על שרת במדינת פלורידה שבארצות הברית, הוא מתוחזק בהתאם להגנות המורשות כולן תחת התיקון הראשון של חוקת ארצות הברית ותחת ההכרזה לכל באי עולם בדבר זכויות האדם של האומות המאוחדות. החוקים במדינתך עשויים שלא להכיר בחופש הדיבור בתור חוק של ארצות הברית או של העקרונות שבמגילת האו"ם, וולכן במצב שכזה, "ויקיספר" איננו יכול להיות אחראי לגבי כל עבירה פוטנציאלית על חוקים שכאלו, שאתה יכול לעשות באמצעות קישור לדומיין זה או שימוש של המידע המובא כאן בכל דרך, אמצעי או מובן אחר.

ויקיספר לא נבדק בצורה אחידה. הקוראים, שעשויים לתקן טעויות או להסיר הצעות מטעות, עושים זאת ללא כל חובה משפטית לעשות כך, ולכן כל המידע הנקרא כאן הוא ללא כל התחייבות מרומזת של התאמה עבור כל תכלית או שימוש כלשהם.

שום נזק השלכתי לא יכול להידרש נגד ויקיספר, מכיוון שהיא מיזם התנדבותי של פרטים, המפותח בצורה חופשית כדי ליצור מאגר פתוח ומקוון של מקורות אינפורמטיביים, תרבותיים וחינוכיים.

המידע הזה מובא לך בחינם ואין כל הסכם או הבנה בינך לבין ויקיספר בנוגע לשימוש שלך או כל שינוי שלך במידע זה מעבר לרישיון של GNU FDL; כמו-כן, אף אחד בוויקיספר אינו אחראי לגבי כל שינוי, עריכה, הוספה או הסרה של כל מידע, שאתה עלול לכתוב בוויקיספר או בכל מיזם אחר הנקשר בו.

תודה שהקדשתם זמן לקרוא דף זה, והמשך שהות נעימה בוויקיספר.

הבהרה זו הותאמה מההבהרה המשפטית שבhe.Wikipedia.org

[עריכה] נספח - GNU:FDL

מסמך זה הוא תרגום לא רשמי לעברית של הרשיון לשימוש חופשי במסמכים (GNU Free Documentation License) של הקרן לתוכנה חופשית (Free Software Foundation, Inc), גירסה 1.2, נובמבר 2002.

תרגום זה איננו מסמך רשמי של הקרן לתוכנה חופשית והיא לא אישרה אותו. התרגום אינו בא במקום המקור האנגלי של ה-GNU FDL, אלא הוא מיועד לשמש כלי עזר בלבד להבנתו. לפיכך, בעת הסתמכות משפטית על הרישיון עליך לפנות אל המקור האנגלי. תרגום זה מופץ בתקווה שיהיה מועיל, אבל בלא אחריות כלשהי; לרבות לא אחריות משתמעת כלשהי. לפרטים נוספים יש לעיין ברישיון לשימוש חופשי במסמכים של GNU.

בעוד שהתרגום נוקט לשון זכר, הרישיון מופנה, כמובן, גם לנשים. המקור האנגלי נוקט בלשון נייטראלית, שאינה מתאפשרת בשפה העברית.

מסמך זה מבוסס על התרגום של גרסה 1.1 (מרץ 2000) שבוצע על ידי אראל סגל ופורסם לראשונה בעברית בפינגווין. התרגום עודכן לגרסה 1.2 (נובמבר 2002) ועובד עבור פרוייקט גנו/לינוקס כנרת ע"י דוביקס.

זכות יוצרים (C) הקרן לתוכנה חופשית, 2000-2002.
זכות יוצרים לתרגום (C) שמורה למתרגמים/עורכים שצויינו לעיל.
תרגום זה הוא מסמך חופשי; כל אחד רשאי/ת להעתיק, לשנות ולהפיץ מחדש תרגום זה על-פי תנאי גרסה 2 של הרישיון הציבורי הכללי של GNU כפי שפורסם על ידי קרן התוכנה החופשית, בשינויים המחויבים מן העובדה שמסמך זה איננו תוכנת מחשב. יש להבחין בבירור בין השינויים שהוכנסו לבין התרגום המקורי.

This is an unofficial translation of the GNU Free Documentation License into Hebrew. It was not published by the Free Software Foundation, and does not legally state the distribution terms for documents that use the GNU FDL -- only the original English text of the GNU FDL does so. However, we hope that this translation will help Hebrew speakers understand the GNU FDL better.

Copyright (C) 2000,2001,2002 Free Software Foundation, Inc.
59 Temple Place, Suite 330, Boston, MA 02111-1307 USA

[עריכה] רשיון לשימוש חופשי במסמכים (GNU FDL)

[עריכה] מבוא

מטרת הרשיון הזה היא להגדיר מדריך, ספר או מסמך תפקודי ושימושי כלשהו חופשי, כלומר: להבטיח לכל אחד את החופש לשכפל ולהפיץ את המסמך, עם או בלי שינויים, למטרות רווח או שלא למטרות רווח. מטרה נוספת של הרשיון הזה היא לשמור על זכותם של הכותבים והמוציא לאור לקבל הכרה והערכה בעבודה שעשו, מבלי להטיל עליהם את האחריות לשינויים שנעשו ע"י אחרים.

הרשיון הזה "עובר בירושה", כלומר: כל מסמך שנגזר מהמסמך המקורי חייב גם הוא להיות חופשי באותו מובן. הרשיון הזה משלים את הרשיון הציבורי הכללי של GNU שמהווה רישיון "עובר בירושה" המיועד לתוכנות מחשב.

רישיון זה פותח במקור עבור מסמכי הדרכה והוראות שימוש בתוכנות-מחשב חופשיות, כי תוכנה חופשית צריכה שיהיה לה מסמך-הדרכה חופשי: תוכנה חופשית צריכה לכלול הוראות שימוש עם אותה רמת חופש של התוכנה. עם זאת, הרשיון אינו מוגבל למסמכי הדרכה לתוכנות: ניתן להשתמש בו לכל עבודה שכוללת טקסט, על כל נושא, בין אם היא מודפסת כספר ובין אם לא. אנחנו ממליצים להשתמש ברשיון זה בעיקר לעבודות שמטרתן היא הוראה או הדרכה.

[עריכה] 1. ישימות והגדרות

הרשיון הזה ישים לכל מדריך או תוצר אחר, המופץ בכל אמצעי שהוא, ואשר מכיל הערה שנקבעה ע"י בעל הזכויות המציינת שמותר להפיץ אותו תחת תנאי הרשיון הזה. המושג "מסמך", בהמשך, יתייחס לכל מדריך או תוצר כנ"ל. ההערה הנ"ל תיקרא "הערת הרשיון" של המסמך. הרשיון מוענק לכל אדם מכלל הציבור, ובהמשך נכנה את בעל הרשיון "אתה". אתה מקבל עליך את תנאי הרישיון אם אתה מעתיק, משנה או מפיץ את המסמך בכל דרך המחייבת אישור בהתאם לחוקי זכויות היוצרים.

"גרסה עם שינויים" של המסמך היא - כל עבודה שמכילה את המסמך או חלק ממנו, בין אם הוא הועתק מילה במילה, או עם שינויים, או תורגם לשפה אחרת.

"סעיף משני" הוא נספח למסמך או מבוא למסמך, שעוסק באופן בלעדי בקשר שבין כותבי/מפרסמי המסמך לנושא הכללי של המסמך (או לנושאים קשורים), אך אינו מכיל שום דבר הקשור ישירות בנושא עצמו (למשל: אם המסמך הוא ספר לימוד במתמטיקה, אז הסעיף המשני שלו לא יכלול הסברים על חומר מתמטי ממש). הקשרים שמתוארים בסעיף המשני יכולים להיות קשרים הסטוריים לנושא או לנושאים הקשורים בו או עמדה משפטית, מסחרית, פילוסופית, אתית או פוליטית המתייחסת אליהם.

"סעיפים קבועים" הם סעיפים משניים מסויימים שמזוהים בפירוש כ"סעיפים קבועים", בהערה המציינת שהמסמך מופץ בכפוף לרשיון. אם קטע במסמך לא עונה על ההגדרה הנ"ל לגבי "סעיף משני" אזי אסור להגדירו כ"סעיף קבוע". המסמך רשאי לא-להכיל "סעיפים קבועים". אם המסמך אינו מציין "סעיפים קבועים" אז אין כאלו.

"פסקאות עטיפה" הן קטעי טקסט קצרים אשר מוגדרים כ"פסקאות עטיפה קדמית" או "פסקאות עטיפה אחורית" בהערה המציינת שהמסמך מופץ בכפוף לרשיון. "פסקת עטיפה קדמית" יכולה לכלול לכל היותר חמש מילים, ו"פסקת עטיפה אחורית" יכולה לכלול לכל היותר עשרים וחמש מילים.

עותק "שקוף" של המסמך הוא עותק שניתן לקריאה ע"י מכונה, מיוצג בפורמט שהמפרט שלו זמין לציבור הרחב, המותאם לעריכה אותו באופן פשוט בעזרת עורך-טקסט כללי, או (עבור תמונות שמורכבות מפיקסלים) בעזרת עורך-תמונות כללי, או (עבור ציורים) בעזרת עורך-ציורים הזמין לציבור הרחב, ואשר יכול לשמש כקלט לכלים לעיצוב טקסט, או לתרגום אוטומטי לפורמט שיכול לשמש כקלט לכלי עיצוב טקסט. העתק המבוצע בפורמט היכול להחשב "שקוף" אשר זיהויו, או אי-זיהויו, נועדו למנוע או לשמש הרתעה מפני עריכה בידי הקוראים - לא ייחשב "שקוף". פורמט תמונה אינו "שקוף" אם הוא משמש להכלת כמות גדולה של טקסט. העתק שאינו "שקוף" ייקרא "אטום".

דוגמאות לפורמטים שמתאימים לעותקים שקופים הם טקסט ASCII פשוט שאינו מכיל פקודות, פורמט הקלט של Texinfo או של LaTeX, פורמט XML או SGML המשתמש בתחביר DTD הזמין לכלל הציבור, ופורמטי HTML, Postcript או PDF פשוטים ותואמי-סטנדרטים, ואשר הותאמו לשינוי בידי אדם. דוגמאות לפורמטים "שקופים" עבור תמונות הן PNG, XCF ו-JPG. פורמטים "אטומים" כוללים פורמטים קנייניים אשר ניתנים לקריאה ועריכה רק על-ידי מעבדי-תמלילים קנייניים, SGML או XML אשר ה DTD ו/או כלי העריכה אינם זמינים באופן רגיל, ופורמטי מכונה של HTML, PostScript ו PDF אשר נוצרו בידי מעבדי-תמלילים מסויימים למטרות פלט בלבד.

"עמוד הכותרת" הינו, עבור ספר מודפס, העמוד שבו מופיעה הכותרת לספר, בתוספת העמודים הבאים הדרושים כדי להכיל, על-פי חוק, את החומרים הנדרשים להופיע ב"עמוד הכותרת" עפ"י תנאי רשיון זה. עבור מסמך בפורמט שאין לו עמוד-כותרת ייעודי - "עמוד הכותרת" יוגדר כטקסט הסמוך לכותרת הבולטת ביותר של המסמך, לפני גוף המסמך.

"סעיף שכותרתו XYZ" מתייחס למקטע של המסמך אשר כותרתו היא XYZ בדיוק או מכיל XYZ בסוגריים המופיע אחרי טקסט המהווה תרגום של XYZ לשפה אחרת. (לעניין זה, XYZ מתייחס לשם קטע מסויים המוזכר למטה, כגון "תודות", "הקדשות", "הסכמות" או "היסטוריה"). "לשמר את הכותרת" של קטע מעיז זה בזמן שאתה משנה את המסמך משמעו שהוא נשאר קטע "שכינויו XYZ" בהתאם להגדרה זו.

המסמך רשאי להכיל הגבלות אחריות בהמשך להערה שהמסמך כפוף לתנאי רישיון זה. הגבלות אחריות אלו נחשבות כקשורות לרישיון זה, אך רק בהקשר של אחריות מוגבלת: כל מובן אחר שיכול לנבוע מהגבלת האחריות אינו תקף ואין לו השפעה על משמעות רישיון זה.

[עריכה] 2. העתקה מילולית

ניתנת לך הרשות להעתיק ולהפיץ את המסמך בכל אמצעי, למטרות רווח או שלא למטרות רווח, בתנאי שבכל העתק מופיעים עותק של הרשיון הזה, הערות זכויות-היוצרים, והערת הרשיון המציינת שהמסמך כפוף לרישיון זה, ובתנאי שאתה לא מוסיף כל תנאי שהוא לתנאי הרשיון הזה. אסור לך להשתמש בשום אמצעי טכני כדי להפריע או לשלוט בקריאה או העתקה נוספת של העותקים שאתה יוצר או מפיץ. עם זאת, מותר לך לקבל תשלום תמורת העותקים. אם אתה מפיץ כמות גדולה של עותקים - עליך לעמוד גם בתנאים שבסעיף שכינויו "העתקה בכמות גדולה".

מותר לך גם להשאיל עותקים, תחת אותם תנאים שנזכרו למעלה. ומותר לך גם להציג עותקים בפומבי.

[עריכה] 3. העתקה בכמות גדולה

אם אתה מפרסם עותקים מודפסים (או העתקים במדיה הכוללת עטיפה מודפסת) של המסמך במספר גדול ממאה, והערת-הרשיון של המסמך מציינת שבמסמך יש פסקאות עטיפה, אתה חייב לעטוף כל עותק בעטיפה או כריכה שנושאת באופן ברור וקריא את כל פסקאות העטיפה האלה: פסקאות עטיפה קדמית על העטיפה הקדמית ופסקאות עטיפה אחורית על העטיפה האחורית. שני צידי העטיפה צריכים באופן ברור לזהות אותך כמפרסם של העותקים. העטיפה הקדמית צריכה להציג את הכותרת המלאה של המסמך, כאשר כל המילים בכותרת בולטות וגלויות באותה מידה. מותר לך להוסיף עוד חומר לעטיפות. עותקים שבהם רק התוכן של העטיפה השתנה, כל עוד העטיפה עדיין כוללת את הכותרת וממלאת אחר התנאים בסעיף זה, יכולים להיחשב כעותקי מילה-במילה מכל בחינה אחרת.

אם הפסקאות שצריכות להופיע על עטיפה כלשהי מכילות יותר מדי טקסט מכדי שיוכלו להופיע על העטיפה באופן קריא, עליך לשים את הפסקאות הראשונות ברשימה (כמה שאפשר להכניס) על העטיפה עצמה, ואת שאר הפסקאות לשים בעמודים הסמוכים לעטיפה.

אם אתה מפרסם או מפיץ עותקים אטומים של המסמך במספר הגדול ממאה, עליך לצרף לכל עותק אטום אחד עותק שקוף הניתן לקריאה ע"י מכונה של המסמך או לציין בתוך או עם כל עותק אטום כתובת רשת מחשבים נגישה לציבור הרחב המשתמש ברשת, שממנה ניתן להוריד, תוך שימוש בפרוטוקולי-רשת ציבוריים תקניים, עותק שקוף ושלם של המסמך, החופשי מחומר נוסף. אם בחרת באפשרות זו, עליך לנקוט בצעדים סבירים, בזמן שאתה מתחיל להפיץ את העותקים האטומים בכמות גדולה, כדי להבטיח שהעותק השקוף יישאר נגיש במקום שאותו ציינת לפחות שנה אחת לאחר הפעם האחרונה שאתה מפיץ עותקים אטומים (ישירות או באמצעות הסו כנים או המפיצים שלכם) של מהדורה זו לציבור הרחב.

רצוי, אך לא הכרחי, שתיצור קשר עם מחברי המסמך לפני שאתה מפיץ כמות גדולה של העותקים, כדי לתת להם הזדמנות להעביר לך את הגרסה המעודכנת של המסמך.

[עריכה] 4. שינויים

מותר לך להעתיק ולהפיץ גרסה-עם-שינויים של המסמך, תחת התנאים בסעיפים שכותרתם "העתקה מילה במילה" ו"העתקה בכמות גדולה" לעיל, ובתנאי שאתה מפיץ את הגרסה-עם-השינויים תחת הרשיון הזה בדיוק, כאשר הגרסה-עם-השינויים ממלאת את תפקיד המסמך, ובכך ניתן רשיון להפיץ ולשנות את הגרסה-עם-השינויים לכל מי שיש לו עותק שלה. בנוסף לכך, עליך לעשות את הדברים הבאים בגרסה-עם-השינויים:

הכותרת שמופיעה בעמוד הכותרת (ובעטיפות, אם יש), צריכה להיות שונה מזו של המסמך, ושונה מאלו של הגרסאות הקודמות (שאמורות, אם היו כאלו, להיות רשומות בסעיף ההסטוריה של המסמך). מותר לך להשתמש בכותרת זהה לזו של גרסה קודמת אם המפרסם המקורי של אותה גרסה נתן לכם רשות לכך.
לשים בעמוד הכותרת רשימה של אחד או יותר בני אדם או גופים שאחראים (כמחברים) לשינויים בגרסה-עם-השינויים, יחד עם לפחות 5 מהמחברים העיקריים של המסמך (או כל המחברים העיקריים של המסמך, אם יש פחות מ-5) - אלא אם הם שחררו אותך מחובה זו.
לכתוב בעמוד הכותרת את שם המפרסם של הגרסה-עם-השינויים, כמוציא לאור של המסמך.
להשאיר, ללא שינוי, את כל הערות זכויות-היוצרים שהיו במסמך.
להוסיף הערת זכויות-יוצרים על השינויים שהוספת, בסמוך לשאר הערות זכויות-היוצרים.
להכליל, מייד לאחר הערות זכויות-היוצרים, הערת רשיון, שנותנת לציבור רשות להשתמש בגרסה-עם-השינויים תחת תנאי הרשיון הזה, בצורה שמופיעה בנספח למטה.
להשאיר, ללא שינוי, בהערת הרשיון הנ"ל, את כל רשימת הסעיפים הקבועים ופסקאות העטיפה מהערת הרשיון של המסמך.
להכליל גרסה ללא שינויים של הרשיון הזה.
להשאיר את הסעיף שנקרא "הסטוריה" (כולל הכותרת שלו), ולהוסיף לו פריט שמציין לפחות את הכותרת, השנה, המחברים החדשים והמפרסמים של הגרסה-עם-השינויים, כפי שהם מופיעים בעמוד הכותרת. אם אין סעיף שנקרא "הסטוריה" במסמך, עליך ליצור סעיף כזה ולשים בו את הכותרת, השנה, המחברים והמפרסמים של המסמך כפי שהם מופיעים בעמוד הכותרת שלו, ואז להוסיף פריט שמתאר את הגרסה-עם-השינויים כנ"ל.
להשאיר את ההפנייה שמופיעה במסמך (אם יש כזו) למיקום הרשת שבו יש גישה ציבורית לעותק שקוף של המסמך, וכמו כן - את ההפניות שמופיעות במסמך למיקומי הרשת עם גרסאות קודמות שעליהם מבוסס המסמך. את ההפניות לגרסאות קודמות ניתן לשים בסעיף ה"הסטוריה". מותר להשמיט הפניות למיקומי רשת עם גרסאות שפורסמו לפחות ארבע שנים לפני המסמך, או גרסאות שהמפרסם המקורי שלהן נתן רשות להשמיט את ההפנייה אליהן.
בכל סעיף שכותרתו "תודות" או "הקדשות" - להשאיר את הכותרת של הסעיף, ולהשאיר באותו סעיף את התוכן והנימה של כל התודות וההקדשות שמופיעות שם.
להשאיר את כל הסעיפים הקבועים של המסמך, ללא כל שינוי בתוכנם ובכותרתם. מספרי סעיפים אינם נחשבים לחלק מכותרת הסעיף.
למחוק כל סעיף שכותרתו "הסכמות". אסור לכלול סעיף כזה בגרסה-עם-השינויים.
לא לשנות כותרת של אף סעיף קיים ל"הסכמות", ולא לשנות כותרת של אף סעיף קיים לכותרת של סעיף קבוע.
לשמר את כל הגבלות האחריות.

אם הגרסה-עם-השינויים כוללת הקדמות או נספחים שמתאימים להגדרה של סעיפים משניים, ואינם מכילים שום חומר שהועתק מהמסמך, אתה רשאי להגדיר חלק מהסעיפים האלה או את כולם כסעיפים קבועים. כדי לעשות זאת, עליך להוסיף את כותרות הסעיפים האלו לרשימת הסעיפים הקבועים בהערת-הרשיון של הגרסה-עם-השינויים. כותרות הסעיפים האלה חייבות להיות שונות מהכותרות של סעיפים אחרים.

מותר לך להוסיף סעיף שכותרתו "הסכמות", בתנאי שהוא מכיל אך ורק הסכמות לגרסה-עם-השינויים שניתנו ע"י גופים שונים - למשל: משפטי ביקורת של עמיתים לתחום, או משפטים שאומרים שהטקסט אושר ע"י ארגון כלשהו כתקן מחייב.

מותר לך להוסיף פסקה של עד חמש מילים כפסקת עטיפה קדמית, ופסקה של עד עשרים וחמש מילים כפסקת עטיפה אחורית, לסוף הרשימה של פסקאות העטיפה בגרסה-עם-השינויים. לכל יישות מותר להוסיף (באופן ישיר או עקיף) רק פסקת עטיפה קדמית אחת ופסקת עטיפה אחורית אחת. אם המסמך כבר מכיל פסקת עטיפה עבור אותה עטיפה, שנוספה קודם לכן (באופן ישיר או עקיף) על ידיך או על ידי הישות שבשמה אתה פועל, אסור לך להוסיף עוד פסקה; אבל מותר לך לשנות פסקת עטיפה קיימת אם קיבלת רשות מפורשת לכך מהמפרסם שהוסיף את אותה פסקה.

המחבר(ים) והמפרסם(ים) של המסמך לא מעניק(ים) לך, ברשיון זה, רשות להשתמש בשמם לצורך פרסום הגרסה-עם-השינויים, או לטעון באופן ישיר או עקיף שהם הסכימו לגרסה-עם-השינויים.

[עריכה] 5. איחוד מסמכים

מותר לך לאחד את המסמך עם מסמכים אחרים ששוחררו תחת רשיון זה, תחת אותם תנאים שהוגדרו בסעיף שכינויו "שינויים" עבור הגרסה-עם-שינויים, בתנאי שאתה כולל באיחוד זה את כל הסעיפים הקבועים במסמכים המקוריים, ללא שינויים, ומכליל אותם ברשימת הסעיפים הקבועים של הגרסה המאוחדת, בהערת הרשיון שלה, וכן שאתה משמר את כל הגבלות האחריות שלהם.

בגרסה המאוחדת מותר לשים רק עותק אחד של רשיון זה, ומותר להחליף עותקים זהים של כל סעיף קבוע בעותק יחיד. אם יש כמה סעיפים קבועים בעלי אותה כותרת אך תוכן שונה, יש להוסיף לכותרת של כל אחד מהם, בסוגריים, את שמו של המחבר או המפרסם המקורי של הסעיף אם הוא ידוע, או - מספר מזהה ייחודי. יש לבצע את אותם שינויים בכותרות הסעיפים ברשימת הסעיפים הקבועים שבהערת הרשיון של הגרסה המאוחדת.

בגרסה המאוחדת, יש לאחד את כל סעיפי ה"הסטוריה" מכל המסמכים המקוריים לסעיף "הסטוריה" אחד; את כל סעיפי ה"תודות" לסעיף "תודות" אחד; ואת כל סעיפי ה"הקדשות" לסעיף "הקדשות" אחד. יש למחוק את כל סעיפי ה"הסכמות".

[עריכה] 6. אוספים של מסמכים

מותר לך ליצור אוסף שמכיל את המסמך ומסמכים אחרים ששוחררו תחת רשיון זה, ולהחליף את העותקים של רשיון זה, שנמצאים בכל אחד מהמסמכים, בעותק יחיד שנכלל באוסף, בתנאי שאתה ממלא אחר תנאי רשיון זה עבור העתקה מילה-במילה של כל אחד מהמסמכים מכל בחינה אחרת.

מותר לך לשלוף מסמך יחיד מתוך אוסף כנ"ל, ולהפיץ אותו לבדו תחת רשיון זה, בתנאי שאתה מכניס עותק של הרשיון הזה למסמך ששלפת, וממלא אחר תנאי רשיון זה עבור העתקה מילה-במילה של המסמך מכל בחינה אחרת.

[עריכה] 7. צירוף לעבודות עצמאיות

אוסף הכולל את המסמך או נגזרותיו עם עבודות או מסמכים נפרדים ובלתי תלויים, באמצעי אחסון או הפצה, נקרא "צירוף" אם הרישיון הנובע מהאוסף אינו משמש להגבלת הזכויות החוקיות של משתמשי האוסף מעבר למה שנובע מרישוי העבודות הפרטניות. כאשר מסמך נכלל ב"צירוף", רישיון זה אינו חל על העבודות האחרות ב"צירוף" אשר אינן כפופות בעצמן לרישיון זה.

אם דרישת פסקאות העטיפה של הסעיף שכותרתו "העתקה בכמות גדולה" ישימה לעותקים אלה של המסמך, אז: אם המסמך מהווה פחות מחצי מהצירוף כולו - מותר לשים את פסקאות העטיפה על עטיפות שעוטפות את המסמך בלבד בתוך הצירוף, או על המקבילה האלקטרונית של עטיפה באם המסמך מופץ באופן אלקטרוני. אחרת: יש לשים אותן על עטיפות שעוטפות את הצירוף כולו.

[עריכה] 8. תרגום

תרגום נחשב לסוג של שינוי, כך שמותר לך להפיץ תרגומים של המסמך תחת תנאי הסעיף שכותרתו "שינויים". החלפת סעיפים קבועים בתרגום שלהם מותנית בקבלת רשות מיוחדת מבעלי זכויות היוצרים, אך מותר לך להוסיף תרגום לסעיפים הקבועים בנוסף לנוסח המקורי שלהם. מותר לך לכלול תרגום של הרשיון הזה, את כל הערות הרישיון והגבלות אחריות, בתנאי שאתה כולל גם את הנוסח האנגלי המקורי של הרשיון הזה ואת הנוסח המקורי של הערות והגבלות אלו. במקרה של אי-התאמה בין התרגום לבין הנוסח האנגלי המקורי של רשיון זה או הערה או הגבלה - הנוסח המקורי יקבע.

אם קטע במסמך מופיע תחת הכותרת "תודות", "הקדשות" או "היסטוריה", הדרישה בסעיף שכותרתו "שינויים" לשמר את הכותרת כמפורט בסעיף שכותרתו "ישימות והגדרות" תחייב בדרך כלל שינוי הכותרת בפועל.

[עריכה] 9. ביטול

אסור לך להעתיק, לשנות, לתת תת-רשיונות או להפיץ את המסמך בשום דרך אחרת פרט לזו שמוענקת לך ע"י הרשיון הזה. כל נסיון אחר להעתיק, לשנות, לתת תת-רשיונות או להפיץ את המסמך בטל ומבוטל, ויבטל אוטומטית את כל זכויותיך תחת רשיון זה. עם זאת, לא ייפגעו זכויותיהם של גופים שקיבלו מכם עותקים או זכויות תחת רשיון זה, כל עוד גופים אלה יפעלו בהתאם לתנאי רשיון זה.

[עריכה] 10. גרסאות עתידיות של רשיון זה

הקרן לתוכנה חופשית עשויה לפרסם גרסאות חדשות ומעודכנות של הרשיון לשימוש חופשי במסמכים של GNU מעת לעת. גרסאות חדשות כאלו יהיו דומות ברוחן לגרסה הנוכחית, אך עשויות להיות שונות בפרטים כדי להענות על בעיות או חששות חדשים. לפרטים נוספים: http://www.gnu.org/copyleft.

לכל גרסה של הרשיון הזה ניתן מספר-גרסה ייחודי. אם המסמך מציין שגרסה מסויימת של הרשיון הזה 'או כל גרסה מאוחרת יותר' חלה עליו, אז יש לך בחירה: אתה יכול למלא את תנאי הגרסה המצויינת או של כל גרסה מאוחרת יותר שפורסמה (לא כטיוטה) ע"י הקרן לתוכנה חופשית. אם המסמך לא מציין מספר גרסה, אז אתה יכול לבחור כל גרסה שפורסמה אי-פעם (לא כטיוטה) ע"י הקרן לתוכנה חופשית.

[עריכה] נספח: איך להשתמש ברשיון הזה עבור המסמכים שלך

כדי להשתמש ברשיון הזה עבור מסמך שכתבת, יש להכליל עותק של הרשיון במסמך, ולציין את ההערה הבאה לאחר עמוד הכותרת:

זכות יוצרים (C) [שנה] [שמך]

הרשות נתונה בזאת להעתיק, להפיץ ו/או לשנות את המסמך הזה, תחת תנאי רשיון ה GNU לשימוש חופשי במסמכים, גרסה 1.2 או כל גרסה מאוחרת יותר שתפורסם ע"י קרן התוכנה החופשית; ללא סעיפים קבועים, ללא פסקאות עטיפה קדמית וללא פסקאות עטיפה אחורית. העתק של הרישיון כלול בפרק שכותרתו "הרשיון לשימוש חופשי במסמכים של GNU".

אם יש לך סעיפים קבועים, פסקאות עטיפה קדמית ופסקאות עטיפה אחורית, עלייך להחליף את הטקסט "ללא ... אחורית" בזה:

כאשר הסעיפים הקבועים הם [...], פסקאות העטיפה הקדמית הן [...] ופסקאות העטיפה האחורית הן [...].

אם יש לך סעיפים קבועים בלי פסקאות עטיפה, או צירוף אחר של השלישיה, עליך לאחד את שני הנוסחים על מנת להתאים למצב.

אם המסמך שלך כולל דוגמאות לא-טרי�

מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/גרסא להדפסה/חלק 3

מתוך ויקיספר, אוסף ספרי הלימוד והמדריכים החופשי.

[עריכה] מעריכים ולוגריתמים

[עריכה] לוגריתמים

[עריכה] הקדמה

[עריכה] הגדרה וסימון

[עריכה] תחום הגדרה

[עריכה] הערות

[עריכה] חוקי הלוגריתמים

[עריכה] כלל יסודי

[עריכה] לוגריתם של מכפלת שני מספרים

[עריכה] לוגריתם של מנת שני מספרים

[עריכה] לוגריתם של חזקה

[עריכה] הוכחות החוקים

[עריכה] לוגריתם של מכפלת שני מספרים

[עריכה] לוגריתם של מנת שני מספרים

[עריכה] לוגריתם של חזקה

[עריכה] מעבר בין בסיסים

[עריכה] הוכחת הנוסחה

[עריכה] הערות

[עריכה] משוואות מעריכיות

[עריכה] משוואה אחת עם נעלם אחד

[עריכה] דוגמה 1

[עריכה] דוגמה 2

[עריכה] דוגמה 3

[עריכה] דוגמה 4

[עריכה] דוגמה 5

[עריכה] דוגמה 6

[עריכה] מערכת של שתי משוואות עם שני נעלמים

[עריכה] הגדרה

[עריכה] אופן הפתרון

[עריכה] דוגמאות

[עריכה] דוגמה א'

[עריכה] דוגמה ב'

[עריכה] אי שוויונות מעריכיים

[עריכה] אופן הפתרון

[עריכה] בסיס החזקה

[עריכה] הרעיון הכללי

[עריכה] דוגמאות

[עריכה] דוגמה א'

[עריכה] דרך פתרון ראשונה

[עריכה] דרך פתרון שנייה

[עריכה] דוגמה ב'

[עריכה] מקרה ראשון- הבסיס גדול מ-1

[עריכה] מקרה שני- הבסיס קטן מ-1 (וגדול מ-0)

[עריכה] סיכום

[עריכה] אופן הפתרון

[עריכה] דוגמאות

[עריכה] דוגמה א'

[עריכה] דוגמה ב'

[עריכה] מספרים מרוכבים

[עריכה] הקדמה

[עריכה] ידע קודם

[עריכה] המטרה

[עריכה] תכונות בסיסיות

[עריכה] חזקות של i

[עריכה] החלק הממשי והחלק המדומה

[עריכה] ערך מוחלט

[עריכה] פתרון משוואות באמצעות מספרים מרוכבים

[עריכה] שאלות

[עריכה] פתרון משוואות בעזרת מספרים מרוכבים

[עריכה] חזקות של i

[עריכה] פתרונות

[עריכה] פתרון משוואות בעזרת מספרים מרוכבים

[עריכה] תשובות סופיות

[עריכה] הסבר

[עריכה] חזקות של i

[עריכה] תשובות סופיות

[עריכה] הסבר

[עריכה] חיבור וחיסור

[עריכה] כפל

[עריכה] חילוק

[עריכה] שאלות

[עריכה] חיבור וחיסור

[עריכה] כפל

[עריכה] חילוק

[עריכה] פתרונות

[עריכה] חיבור וחיסור

[עריכה] כפל

[עריכה] חילוק

[עריכה] חזקות של $i$

[עריכה] חזקות של $i$