מתוך ויקיספר, אוסף ספרי הלימוד והמדריכים החופשי.

< מתמטיקה תיכונית | אלגברה תיכונית | גרסא להדפסה

[עריכה] אלגברה תיכונית

ספר זה טרם הושלם, ונמצא עדיין בכתיבה.

ייתכן שחסרים בו פרקים, או אף נושאים שלמים. לפיכך, כרגע לא ניתן ללמוד ממנו על כל הנושא בצורה מקיפה.

כמו בכל אחד מהספרים, מהדפים ומהנושאים בוויקיספר, גם כאן אתם מוזמנים להוסיף את הפרקים שלדעתכם חסרים. כל פעולה שעשויה לעזור תתקבל בברכה, כולל הערות ובקשות בדף השיחה של הספר.

עדכון מצב הספר

[עריכה] הקדמה

מטרת ספר זה היא להוות עזר לימוד ללומדי האלגברה בתיכון וחטיבת הביניים. הספר מניח ידע בסיסי בחשבון שכולל את כל פעולות הכפל והחיבור על המספרים השלמים (גם שליליים) והשברים. כמו-כן, בשלב זה כותבי הספר מניחים שהקורא כבר בקיא ומתורגל בנושא ההצבה של מספרים בביטויים אלגבריים. ספר זה נועד להיות עשיר בתרגילים (אולי קצת יותר מדי) אשר נועדו לשפר את היכולת הטכנית בנושאי הלימוד, יכולת זו היא לרוב קריטית, שכן מרבית הנושאים באלגברה אינם קשים להבנה אלא לביצוע, קושי אשר נפתר לרוב לאחר תרגול. מומלץ בזאת לקוראים לנצל את תרגילי החזרה בספר. על מנת להפיק את מירב התועלת מן התרגילים מומלץ לתרגל באופן רצוף ולאורך זמן.

[עריכה] איזה ידע קודם נדרש?

פעולות החשבון

תוכן עניינים

טכניקות בסיסיות

אלגברה אלמנטרית

ביבליוגרפיה
להדפסת כל הספר (דורש הרבה זיכרון!) (עריכה)

גרסא בפורמט PDF (קישור חיצוני)

[עריכה] קישורים חיצוניים

ערך בוויקיפדיה: אלגברה

[עריכה] חוקי החשבון

חוקי החשבון הינם החוקים הבסיסיים של האלגברה. חוקים אלו מבוססים על מספר עקרונות פשוטים, אך יש צורך לתרגל אותם כדי לשלוט בהם בצורה מלאה. אלו חוקים אשר בלעדיהם קשה ביותר ואף בלתי אפשרי להמשיך את לימודי המתמטיקה, שכן משתמשים בהם ברוב ענפיה. למרות שכך הדבר, רבים התלמידים אשר מזלזלים בחשיבות חוקים אלו ולא מתרגלים אותם, דבר אשר מקשה עליהם בהמשך לימודיהם. לכל התלמידים הקוראים ספר זה מומלץ בזאת לתרגל את החומר ככל הניתן, למרות שבדרך כלל התרגול מסוג זה עלול להיראות בנאלי.
זכרו: בלימוד מתמטיקה, כמו בבניית בניין, צריך יסודות מוצקים. לכן גם אם נדמה לכם שאתם יודעים "בערך" את החומר, יש לפתור את התרגילים שניתנים לכם כדי לשפר את היכולת שלכם. מי מכם שלומד נגינה או משחק משחקי ספורט ודאי יודע שככל שמשחקים יותר או ככל שמנגנים יותר, כך נעשים טובים יותר בזה. כך גם אלגברה ומתמטיקה. תרגול רב יהפוך את החומר לטבע שני.
בסוף כל פרק תמצאו את התרגילים אשר יעזרו לכם להבין ולהשתפר ביכולתיכם האלגבריות הבסיסיות.

רשימת הפרקים

[עריכה] המספרים הנייטרליים 0 ו-1

0 הוא מושג מתמטי אשר מסמל את ה"אין". מספר עדויות ארכיאולוגיות קיימות שמעידות שהשימושים הראשונים של המושג 0 היו כבר במאה ה-5 לפני הספירה בתרבויות העתיקות של אמריקה. ב"עולם הישן" המושג הוכנס לשימוש לכל המאוחר במאה התשיעית, אם כי ישנן עדויות שהוא הוכנס לשימוש עוד מוקדם יותר.
המספר מייצג את מושג ה-אין. זהו מספר אשר חיבור של כל מספר איתו תמיד ייתן את אותו המספר. כלומר, לכל מספר $\ a$ תמיד מתקבל $\ a+0=a$ ועל כן תפקידו כמספר נייטרלי לחיבור. המספר 1 גם הוא מהווה מספר נייטרלי, הפעם ביחס לפעולת הכפל: לכל מספר $\ a$ נקבל תמיד $\ a\cdot 1=a$ .

[עריכה] המספר ההופכי והמספר הנגדי

המספר הנגדי למספר $\ a$ הינו מספר שחיבור שלו עם $\ a$ נותן 0. מספר זה הוא יחיד. כלומר, קיים רק מספר אחד שהוא נגדי למספר מסויים. מספר כזה מסומן בסימן - (מינוס). בשפה מתמטית נגיד: לכל מספר $\ a$ קיים מספר נגדי שמסומן ב

$\ \left(-a\right)$

כך שמתקיים

$\ a+\left(-a\right)=\left( -a \right)+a =0$

מהגדרה זו נובע שהנגדי של הנגדי למספר כלשהו זה המספר עצמו, באופן הבא:
מהגדרת הנגדי מתקיים:

$\ \left(-a\right)+\left[-\left(-a\right)\right]=0$

כלומר נקבל:

$\ \left( -a \right) + \left[ - \left( -a \right) \right] = \left( -a \right) +a$

משיוויון זה, וכן בהסתמך על העובדה שהנגדי הוא יחיד (לפי הגדרה), נקבל שמתקיים:

$\ \left[-\left(-a\right)\right]=a$ .

גם בפעולת הכפל קיים מספר דומה. במקרה של הכפל, מכפלה במספר זה (הקרוי הופכי) מביאה לקבלת המספר 1. לכל המספרים קיים מספר הופכי, פרט למספר 0 שלו אין הופכי. למספר ההופכי יש קשר ישיר לפעולת החילוק, כמו שלמספר הנגדי ישנו קשר ישיר לפעולת החיסור. את המספר ההופכי אנו נסמן בעזרת קו שבר באופן הבא: יהא $\ a$ מספר השונה מ-0. אזי, ההופכי שלו מסומן באופן הבא:

$\ \frac{1}{a}$

כך שמתקיים:

$\ \frac{1}{a} \cdot{a}=a\cdot\frac{1}{a} =1$

כאשר מחלקים מספר כלשהו במספר אחר, הפעולה שאנו מבצעים הלכה למעשה הינה כפל במספר ההופכי. אם כן, את פעולת החילוק נגדיר ככפל בהופכי. כך גם נגדיר את פעולת החיסור כחיבור עם הנגדי. את החיסור של שני מספרים

$\ a,b$ נסמן באופן הבא:

$\ a-b$

כאשר למעשה הפעולה האמיתית שאנו מבצעים הינה

$\ a+\left(-b\right)$

באותו אופן מוגדר גם החילוק, כך שלמעשה מקבלים:

$\ \frac{a}{b}=\frac{1}{b}a$

הסיבה שבגללה אין הופכי לאפס היא שניתן להוכיח כי $\ a\cdot 0=0$ לכל מספר $\ a$ (לצורך כך יש להכיר את חוק הפילוג שטרם למדנו). בשל כך, לא ייתכן שיהיה קיים מספר $\ a$ כך ש- $\ a\cdot 0=1$ .

מכיוון שלאפס אין הופכי, לא ניתן להגדיר חילוק באפס באותה צורה בה הוגדר החילוק עבור שאר המספרים, ולכן לרוב משאירים את תוצאת החילוק באפס בלתי מוגדרת.

חלוקה באפס עלולה לגרום לטעויות: למשל, נביט במשוואה $\ 0\cdot 1=0\cdot 2$ . ברור כי היא נכונה שכן שני אגפיה שווים לאפס. אם נחלק את שני אגפי המשוואה באפס נקבל $\ 1=2$ וזה בבירור לא נכון.

[עריכה] חוקי החילוף של החיבור והכפל

בחיבור ניתן להחליף את מיקום האיברים בחיבור מבלי לשנות את התוצאה. לדוגמא $\ 5+2=2+5$ ולכן לכל $\ a,b$ מספרים מתקיים ש: $\ a+b=b+a$ . חוק זה תקף גם לגבי כפל, אך אינו תקף לגבי חיסור או חילוק.

הסיבה שהחוק אינו תקף עבור חיסור היא שבפעולת החיסור אנחנו מחברים את אחד המספרים עם הנגדי של השני, והשאלה לאיזה משני המספרים ניקח את הנגדי תלויה במיקום שלו: בחיסור אנחנו תמיד לוקחים את הנגדי של האיבר שמימין לסימן החיסור. מסיבה דומה החוק אינו תקף עבור חילוק.

הערה: ניתן להחליף את מיקום האיברים בחיסור מבלי לשנות את התוצאה אם נרחיב את פעולת החיסור לחיבור בהופכי לדוגמא במקום לרשום $\ 5-2$ נרשום $\ 5+(-2)$ ואז הסדר לא משנה כי בעצם לכל $\ a,b$ מספרים מתקיים ש: $\ a-b=a+(-b)=(-b)+a$ בדיוק כמו בחיבור רגיל.

[עריכה] חוק הקיבוץ

חוק זה קובע שאין חשיבות למיקום הסוגריים כאשר אנו מבצעים פעולות חיבור בלבד או פעולות כפל בלבד. כלומר: לכל $\ a,b,c$ מספרים כלשהם, מתקיים:

$\left(a+b\right)+c=a+\left(b+c\right)$

ובאותה צורה מתקיים:

$\left(ab\right)c=a\left(bc\right)$

בזכות קיומו של חוק זה ניתן לכתוב פשוט $\ a+b+c$ או $\ abc$ ללא סוגריים, וזאת למרות שפעולות החיבור והכפל הוגדרו עבור זוג של מספרים ולא עבור שלשות.

נשים לב שהחוק עוסק בסדר חישוב פעולת הסוגריים רק עבור פעולות זהות, ועבור פעולות שונות החוק אינו נכון. למשל:

$\ 9=(1+2)\cdot 3\ne 1+(2\cdot 3)=7$ .

[עריכה] חוק הפילוג

חוק זה קובע קשר בין פעולות הכפל והחיבור. בעזרת חוק זה ניתן לפתוח סוגריים ולהוציא מספר מסוגריים, פעולות שנדון בהן בהמשך.

$a\left(b+c\right)=ab+ac$

[עריכה] הסכם סדר הפעולות

במתמטיקה קיים הסכם שקובע את סדר הפעולות שעושים כאשר מחשבים את הערך של שרשרת פעולות כלשהי. ההסכם קובע שכפל וחילוק קודמים לחיבור וחיסור. הסכם זה נקבע כך בשל הקיום של חוק הפילוג. למרות הסכם זה ולפי חוק הפילוג, כאשר מחשבים את ערכה של תבנית כלשהי יש לחשב קודם את הערך שבסוגריים, כאשר יש להתחיל בסוגריים הפנימיים ביותר ולעלות בהיררכיה בהדרגה. במילים אחרות, בבואינו לחשב ערך של ביטוי מתמטי מסויים, עלינו לפעול בסדר הבא:

איתור הסוגריים וחישוב תוכנם, באופן הבא:
1. חישוב כל פעולות החזקה (פעולה שטרם למדנו).
2. חישוב כל פעולות הכפל והחילוק.
3. חישוב כל פעולות החיבור והחיסור.
לאחר שחישבנו את ערכו של כל אחד מהביטויים הרשומים בסוגריים, עלינו לבצע את הפעולות לפי הסדר הנ"ל בין המספרים שהתקבלו כתוצאה מהחישוב.

דוגמה: חשבו את ערך הביטוי הבא:

$\ \left( 1+\left( 3-2\right) \cdot 4-3\right) \cdot\left( 4+1\cdot 2\right) +\left( 0+2-1\right)=?$

פתרון:

נפתח בחישוב הסוגריים הראשונים, כלומר השמאליים ביותר: $\ \left( 1+\left( 3-2\right) \cdot 4-3\right)$ . מאחר וסוגריים אלה מכילים בתוכם זוג נוסף של סוגריים, נטפל קודם כל בו. נחשב את הסוגריים הפנימיים: $\ 3-2=1$ . נכניס את תוצאת החישוב לתוך הסוגריים הגדולים יותר, ונקבל: $\ \left( 1+1\cdot 4-3 \right)$ .
נזכור, שפעולת הכפל קודמת לפעולת החיבור. לכן, נחשב כעת את המכפלה שבתוך הסוגריים: $\ 1\cdot 4 =4$ . כלומר, עכשיו כתוב לנו בתוך הסוגריים: $\ \left( 1+4-3\right)$ .

כעת, משנותרנו רק עם פעולות חיבור וחיסור, נחשב אותן לפי הסדר: $\ 1+4-3 =5-3=2$ . לכן, תוצאת הסוגריים השמאליים היא 2.

נחשב כעת את הסוגריים האמצעיים: $\ \left( 4+1\cdot 2\right)$ . סוגריים אלה אינם מכילים בתוכם סוגריים נוספים, אבל מכילים פעולות מסוגים שונים: גם כפל וגם חיבור. נזכור, שכפל קודם לחיבור, ונחשב קודם אותו, לפי הגדרת המספר הנייטרלי לכפל שראינו למעלה: $\ 1\cdot 2=2$ . כלומר, נותרנו עם: $\ \left( 4+2\right)$ .

ונעבור לחישוב הסופי עבור סוגריים אלה: $\ 4+2=6$ .

נעבור כעת לסוגריים האחרונים, כלומר הימניים ביותר: $\ \left( 0+2-1 \right)$ . בתוך סוגריים אלה יש פעולות מהסוגים חיבור וחיסור, לכן נבצע אותן לפי הסדר בו הן מופיעות, תוך שאנו זוכרים את האיבר הנייטרלי לחיבור המופיע למעלה: $\ 0+2-1=2-1=1$ .

כעת, משפתחנו את כל הסוגריים, נעבור לשלב הבא: במקום כל סוגריים נכתוב את תוצאת הביטוי הרשום בתוכם. נקבל: $\ 2\cdot 6 + 1$ . בביטוי החדש שהתקבל יש לנו פעולת כפל ופעולת חיבור. נפתח, כזכור, בפעולת הכפל: $\ 2\cdot 6=12$ . ונותר לחשב את: $\ 12+1=13$ .

כלומר, תוך שמירה על סדר הפעולות מצאנו שסכום הביטוי הנ"ל הוא 13.

נקודה למחשבה: מה היה קורה אם לא היינו שומרים על סדר הפעולות? מה היינו מקבלים אז?

[עריכה] חיבור וחיסור של שברים

חיבור וחיסור של שברים אינם חוקים בפני עצמם, כלומר הם נובעים ישירות מהחוקים שכבר היכרנו. החוקים החשובים ביותר הם כפל ב-1, והוצאת גורם משותף מהסוגריים. פעולות אשר נדון בהן בהמשך כאשר נדון בטכניקות אלגבריות פשוטות. ראשית, הבא נתבונן בדוגמא:

$\frac{3}{2} - \frac{1}{2}$

אנו יכולים לחסר בקלות שני שברים אלו מכיוון שיש להם מכנה משותף. הסיבה לכך שמכנה משותף מאפשר זאת נעוצה בשתי עובדות:

$\frac{3}{2} = 3\cdot\frac{1}{2}$

ובעובדה ש-

$\frac{1}{2} = 1\cdot\frac{1}{2}$

כלומר, אם נכתוב את בעיית החיסור לדוגמא באופן מעט שונה:

$\frac{3}{2} - \frac{1}{2} = 3\cdot\frac{1}{2} - 1\cdot\frac{1}{2}$

וכעת ניתן להוציא גורם משותף ( $\frac{1}{2}$ ) מחוץ לסוגריים, ולקבל:

$3\cdot\frac{1}{2} - 1\cdot\frac{1}{2} = \frac{1}{2}\left(3-1\right)$

ומכיוון שידוע לנו ש- $\;3-1 = 2$ הרי שנקבל בקלות ש-

$3\cdot\frac{1}{2} - 1\cdot\frac{1}{2} = \frac{1}{2}\left(3-1\right) = \frac{1}{2}\cdot 2 = 1$

בבואנו לפתור בעיות שבהן אין לשני שברים מכנה משותף, עלינו לשנות את הדרך שבה מוצגים שני השברים להצגה שבה כל המכנים יהיו שווים. פעולה זו נקראת מציאת מכנה משותף, ולמען פשטות החישוב, מומלץ גם שמכנה משותף זה יהיה הקטן ביותר (אם כי לא חובה). את פעולה זו אנו ודדאי כבר מכירים מלימודינו הקודמים, אך אנו נחזור על ההגיון מאחורי גישה זו. הרעיון מתבסס על כך שכל מספר ניתן לכפול ב-1 ולא לשנות את ערכו, אבל את-1 ניתן להציג בדרכים שונות, למשל: $\frac{2}{2}$ . עובדה זו, מאפשרת לנו "לצמצם ולהרחיב" שברים. פעולות אלו מאפשרות לשנות את המכנה של שבר מבלי לשנות את ערכו. למשל:

$\frac{3}{4} + \frac{1}{6}$

לשברים אלו אין מכנה משותף ועלינו לשנות מצב זה. על מנת לעשות זאת, נכפול את השבר הראשון (שלושת-רבעי) ב- $\frac{3}{3}$ כלומר ב-1 (זה לא משנה את ערכו של השבר), ואת השבר השני נכפול ב- $\frac{2}{2}$ כלומר ב-1 גם כן. הסיבה לבחירת מספרים אלו היא העובדה שהכופל המשותף הקטן ביותר בין 4 ל-6 הוא 12, ולכן יש לכפול את 6 ב-2 ואת 4 ב-3. התוצאה המתקבלת היא:

$\frac{3}{4} + \frac{1}{6} = \frac{3}{4}\cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{6} \cdot \frac{2}{2} = \frac{3\cdot 3}{4\cdot 3} + \frac{1\cdot 2}{6\cdot 2} = \frac{9}{12} + \frac{2}{12}$

ומכאן ההמשך קל וברור שכן ישנו מכנה משותף. שימו לב שבכל אחת מפעולות הכפל ב-1 שעשינו, ערך השבר לא השתנה. פעולות אלו נקראות הרחבה, ואילו פעולות דומות, בהן מחלקים את השבר ב-1 באופן דומה, ניקראות צמצום.

באותו האופן, פעולות צמצום והרחבה ניתן לבצע בפרמטרים. גם כאן, יש לוודא שאיננו מחלקים ב-0, אבל לרוב בעיה זו לא תופיע. במקרה של פרמטרים במכנה, לא ניתן (לרוב) למצוא מכנה משותף קונקרטי (מספרי) ועלינו להסתפק במכנה משותף פרמטרי. למשל:

$\frac{a}{b} + \frac{c}{d}$

הפרמטרים $\;b$ ו $\;d$ אינם 0. במקרה זה, עלינו להרחיב את השבר הראשון ב- $\;d$ ואילו את השבר השני ב- $\;b$ ובכך נקבל מכנה משותף שערכו יהיה $\;b\cdot d$ . נקבל:

$\frac{ad}{bd} + \frac{cb}{db} = \frac{ad+cb}{bd}$

כמובן, אם הינו מציבים במקום הפרמטרים הנתונים את המספרים מהדוגמא הקודמת, היינו מקבלים תוצאה סופית זהה, אך המספרים היו גדולים יותר במהלך החישוב: נציב $\; a=3, b=4, c=1, d=6$ . נקבל:

$\frac{ad+cb}{bd} = \frac{3 \cdot 6+1\cdot 4}{4\cdot 6} = \frac{22}{24}$

לאחר צמצום השבר ב-2 (כלומר חילוק השבר כולו ב- $\frac{2}{2}$ ), נקבל בדיוק את אותה התוצאה שקיבלנו קודם.

הפרק הקודם:
חוקי החשבון

חוקי פעולות החשבון
תרגילים

הפרק הבא:
חוקי חשבון חזקות

[עריכה] תרגילי חזרה על חוקי פעולות החשבון הבסיסיות

[עריכה] שברים

הבא לצורה הפשוטה ביותר. אין להשתמש במחשבון לחישוב פעולת החילוק חיבור או חיסור. מכיוון שיתכן כי תגיעו למספרים גדולים מותר להשתמש במחשבון לחישוב מכפלות מספרים גדולים.

[עריכה] תרגילים

$\left( {2} \right) +\left( {\frac{4}{3}} \right)$
$\left( \left({-1}\right) - {3} \right)$
$\left( {2} \right) \cdot{ \left( {-4} \right) }$
$\left( \left({-2}\right) - {\frac{4}{3}} \right)$
$\left( \left({-\frac{1}{3}}\right) \right) +\left( {\frac{3}{4}} \right)$
$\left( {\frac{3}{2}} \right) \cdot{ \left( \left({-\frac{5}{2}}\right) \right) }+\left( {3} \right)$
$\left( \left({-\frac{2}{3}}\right) + \left({-1}\right) \right) -\left( \left({-\frac{9}{5}}\right) \right)$
$\left( \left({-1}\right) - {\frac{1}{3}} \right) \cdot{ \left( \left({-\frac{7}{3}}\right) \right) }$
$\left( \left({-1}\right) + {\frac{5}{6}} \right) +\left( {7} \right)$
$\left( {\frac{4}{3}} + \left({-\frac{1}{5}}\right) \right) +\left( {\frac{5}{6}} \right)$
$\left( \left({-\frac{15}{2}}\right) - \left({-3}\right) - {\frac{8}{3}} \right) \cdot{ \left( \left({-2}\right) \right) }+\left( \left({-15}\right) \right)$
$\left( {\frac{10}{7}} \left({-\frac{14}{5}}\right) \left({-1}\right) \right) -\left( \left({-\frac{13}{2}}\right) \right) +\left( \left({-\frac{15}{4}}\right) \right)$
$\left( {\frac{11}{2}} \left({-\frac{2}{9}}\right) \left({-7}\right) {\frac{5}{4}} \right) +\left( \left({-\frac{3}{5}}\right) \right)$
$\left( \left({-3}\right) \left({-\frac{8}{3}}\right) \left({-\frac{5}{4}}\right) \left({-\frac{13}{9}}\right) \right) +\left( {\frac{2}{7}} \right)$
$\left( {\frac{2}{5}} \left({-\frac{9}{10}}\right) \left({-\frac{6}{7}}\right) {\frac{7}{4}} \right) \cdot{ \left( \left({-4}\right) \right) }$
$\left( \left({-10}\right) \left({-\frac{8}{5}}\right) \left({-\frac{3}{8}}\right) \right) \cdot{ \left( {\frac{11}{9}} {\frac{14}{3}} \right) }$
$\left( \left({-\frac{8}{7}}\right) - {\frac{5}{6}} - \left({-5}\right) \right) \cdot{ \left( \left({-\frac{5}{4}}\right) - {3} \right) }$
$\left( \left({-2}\right) - \left({-\frac{7}{5}}\right) - {\frac{7}{4}} \right) +\left( \left({-\frac{3}{2}}\right) + {\frac{2}{7}} \right)$
$\left( \left({-\frac{5}{6}}\right) + {\frac{9}{8}} + {\frac{1}{3}} \right) +\left( \left({-2}\right) \right) \cdot{ \left( {\frac{1}{7}} \right) }$
$\left( {3} \left({-1}\right) \right) \cdot{ \left( \left({-\frac{3}{7}}\right) \left({-15}\right) \right) }+\left( {1} \right)$
$\left( \left({-\frac{6}{7}}\right) {\frac{11}{3}} {21} {\frac{19}{2}} \right) \cdot{ \left( {1} {\frac{3}{7}} \right) }+\left( {\frac{5}{13}} \right)$
$\left( \left({-15}\right) {\frac{11}{10}} \left({-\frac{20}{3}}\right) \right) +\left( \left({-\frac{7}{3}}\right) \left({-\frac{13}{11}}\right) {\frac{12}{13}} \right) \cdot{ \left( \left({-\frac{5}{3}}\right) \right) }$
$\left( \left({-\frac{10}{13}}\right) - \left({-\frac{14}{5}}\right) - \left({-\frac{15}{11}}\right) - \left({-\frac{4}{13}}\right) - {\frac{13}{5}} \right) \cdot{ \left( \left({-\frac{7}{6}}\right) - \left({-2}\right) \right) }$
$\left( {21} \left({-1}\right) \right) +\left( {\frac{4}{3}} {\frac{17}{5}} \left({-\frac{4}{3}}\right) \right) -\left( {\frac{7}{8}} - {2} \right)$
$\left( \left({-\frac{17}{5}}\right) \left({-\frac{15}{13}}\right) {\frac{16}{9}} \left({-18}\right) \left({-\frac{19}{5}}\right) {\frac{19}{12}} {\frac{17}{2}} \right)$
$\left( \left({-\frac{3}{2}}\right) {\frac{8}{9}} \left({-\frac{19}{5}}\right) {\frac{3}{7}} {\frac{3}{7}} \right) \cdot{ \left( \left({-\frac{5}{3}}\right) - {\frac{3}{4}} \right) }$
$\left( {\frac{2}{5}} - \left({-20}\right) - \left({-3}\right) - \left({-\frac{21}{13}}\right) \right) \cdot{ \left( {\frac{3}{5}} + \left({-\frac{13}{5}}\right) + {\frac{13}{7}} \right) }$
$\left( {\frac{7}{4}} + \left({-\frac{7}{4}}\right) + \left({-\frac{3}{7}}\right) + {\frac{2}{3}} + {21} \right) +\left( {\frac{11}{8}} {\frac{4}{7}} \right)$
$\left( {\frac{10}{7}} + \left({-2}\right) + \left({-2}\right) \right) +\left( {\frac{12}{11}} + \left({-\frac{4}{3}}\right) + {\frac{6}{13}} \right) +\left( \left({-2}\right) \right)$
$\left( {\frac{12}{5}} {\frac{11}{14}} \right) +\left( {\frac{9}{7}} \left({-\frac{17}{4}}\right) \left({-\frac{16}{11}}\right) \right) +\left( \left({-17}\right) \right) +\left( \left({-\frac{17}{11}}\right) \right)$
$\left( {\frac{1}{3}} \left({-\frac{7}{4}}\right) \right) +\left( {\frac{1}{3}} \right) +\left( \left({-\frac{11}{14}}\right) \left({-\frac{5}{2}}\right) \right) +\left( {\frac{19}{8}} \right) -\left( {\frac{17}{5}} \right)$
$\left( \left({-\frac{7}{11}}\right) \left({-\frac{1}{3}}\right) {\frac{1}{7}} {4} \right) \cdot{ \left( {\frac{21}{13}} \right) }+\left( \left({-\frac{1}{13}}\right) - \left({-2}\right) \right)$
$\left( {\frac{15}{7}} \left({-\frac{20}{3}}\right) \left({-\frac{17}{8}}\right) \left({-3}\right) \right) +\left( \left({-\frac{3}{10}}\right) - {21} \right) -\left( \left({-\frac{19}{8}}\right) \right)$
$\left( \left({-12}\right) \left({-\frac{9}{2}}\right) {\frac{9}{7}} {\frac{17}{11}} \left({-6}\right) \right) -\left( {\frac{12}{5}} \right) \cdot{ \left( \left({-\frac{20}{9}}\right) \right) }$
$\left( \left({-\frac{5}{7}}\right) \left({-1}\right) {\frac{19}{5}} \right) +\left( \left({-3}\right) {\frac{9}{5}} \left({-\frac{8}{11}}\right) \right) +\left( \left({-\frac{2}{9}}\right) \right)$
$\left( \left({-1}\right) \left({-\frac{20}{13}}\right) {\frac{6}{5}} \left({-\frac{1}{2}}\right) \right) -\left( \left({-\frac{17}{11}}\right) \right) +\left( {\frac{11}{14}} \right) -\left( {\frac{8}{3}} \right)$
$\left( {5} - {\frac{2}{5}} - {\frac{4}{11}} - \left({-\frac{11}{2}}\right) \right) +\left( \left({-\frac{11}{14}}\right) - {\frac{17}{5}} - {\frac{7}{9}} \right)$
$\left( {2} {\frac{3}{7}} {\frac{8}{9}} {\frac{17}{11}} {13} \right) +\left( {1} \left({-\frac{3}{13}}\right) \right)$
$\left( {\frac{5}{3}} + \left({-\frac{5}{3}}\right) + \left({-1}\right) + \left({-\frac{13}{5}}\right) + {\frac{19}{12}} \right) -\left( {\frac{14}{13}} \right) -\left( \left({-\frac{10}{11}}\right) \right)$
$\left( \left({-\frac{5}{6}}\right) \left({-\frac{6}{7}}\right) \left({-\frac{7}{10}}\right) {4} {\frac{5}{6}} {\frac{9}{11}} \right) +\left( \left({-\frac{3}{4}}\right) \right)$

[עריכה] פתרונות

${\frac{10}{3}}$
$\ {-4}$
$\ {-8}$
${-\frac{10}{3}}$
${\frac{5}{12}}$
${\frac{3}{4}}$
${\frac{2}{15}}$
${-\frac{28}{9}}$
${\frac{41}{6}}$
${-\frac{59}{30}}$
${-\frac{2}{3}}$
${-\frac{5}{4}}$
${-\frac{2033}{180}}$
${\frac{928}{63}}$
${-\frac{54}{25}}$
${-\frac{308}{9}}$
${-\frac{2159}{168}}$
${-\frac{499}{140}}$
${-\frac{11}{56}}$
${-\frac{128}{7}}$
${-\frac{24418}{91}}$
${\frac{1970}{11}}$
${\frac{394}{429}}$
${\frac{5789}{360}}$
${\frac{417316}{65}}$
${-\frac{551}{245}}$
${\frac{1626}{455}}$
${\frac{925}{42}}$
${-\frac{13070}{3003}}$
${-\frac{4806}{385}}$
${\frac{1559}{840}}$
${\frac{303}{143}}$
${-\frac{30799}{280}}$
${\frac{331712}{231}}$
${\frac{22243}{3465}}$
${-\frac{7559}{6006}}$
${\frac{16538}{3465}}$
${\frac{45275}{3003}}$
${-\frac{18743}{8580}}$
${-\frac{93}{44}}$

דף זה מועמד לאיחוד
ערך זה דן בנושא של הדף [[: מתמטיקה תיכונית/מתמטיקה לבגרות/שאלון ה/אלגברה/חוקי חזקות]] וככל הנראה מוסיף עליו מידע. על כן יש לאחד את שני הדפים. (דיון)

חזקות הן מעין הכללה של פעולת הכפל, ומאפשרות לכתוב ביטויים מסובכים בצורה פשוטה.

[עריכה] סימון חזקות

את החזקה מסמנים כמעין אינדקס עליון למספר (או משתנה). לדוגמא, אם נרצה לכתוב 3 בחזקת 5 יש לכתוב זאת כך:

$\ 3^{5}$

במקרה זה נקרא את זה כ-3 בחזקת 5. ה-5 יקרא מעריך החזקה, ואילו ה-3 יקרא הבסיס שלה. אם המעריך הוא 2 אז אומרים בריבוע ואם הוא 3 או 4 אז אומרים בשלישית או ברביעית וכו'.

[עריכה] משמעות החזקה

[עריכה] חזקה עם מעריך טבעי

אם המעריך של חזקה הוא מספר טבעי (דוגמת 1,2,3... וכו') אז נגדיר את החזקה להיות הבסיס כפול עצמו כמספר הפעמים שכתוב במעריך. לדוגמא, אם כתוב $\ 3^{4}$ אז למעשה עלינו לכפול את 3 בעצמו 4 פעמים על מנת לקבל את הערך של החזקה. כלומר:

$\ 3^{4}=3 \times 3 \times 3 \times 3$

על כן, כאשר מדובר בחזקה עם מעריך טבעי $\ n$ ובסיס $\ a$ נקבל

$\ a^{n}= \underbrace{ a\times{a}\times{a}\cdots\times{a} }_{n\;\;times}$

כדוגמא נחשב כמה חזקות

$\ 5^{3}=5\times{5}\times{5}=125$
$2^{8}=2\times{2}\times\cdots\times{2}=256$
$(-1)^{3}=(-1)\times{(-1)}\times{(-1)}=(-1)$

וכן הלאה.

[עריכה] פעולות על חזקות

[עריכה] חיבור וחיסור מעריכים בחזקות

כאשר החזקות הן בעלות אותו הבסיס, כפל של שתי חזקות מביא לחיבור/חיסור המעריכים כלומר

$a^{2}\cdot{a}^{4}=a^{2+4}=a^{6}$

או באופן כללי

${a}^{b}\cdot{a}^{c}=a^{b+c}$

באופן דומה, חילוק שתי חזקות יביא לחיסור המעריכים.

$\frac{{a}^{b}}{{a}^{c}}={a}^{b-c}$

נשים לב שחיסור חזקות יוכל להביא לכך שהמעריך יהיה אפס או מספר שלילי. לכן נראה בהמשך כיצד ניתן להגדיר חזקות עם מעריך שאינו מספר חיובי בצורה שתהיה אחידה עם החוק שהצגנו כאן.

[עריכה] חזקה של חזקה

נבדוק מה קורה במקרה של חזקה של חזקה. למשל במקרה של

${\left(a^{b}\right)}^{c}$

על מנת לפתור את השאלה, נשתמש בחוקי חזקות

שכבר למדנו, לכפל של שתי חזקות עם אותו בסיס

.

${\left(a^{b}\right)}^{c}= \underbrace{ {\left(a^{b}\right)} \times{\left(a^{b}\right)}\cdots{\left(a^{b}\right)} }_{c\;\;times} = a^{\overbrace{b+b+b \cdots b}^{c\;\;times}} = a^{b\cdot c} = {\left(a^{c}\right)}^{b}$

[עריכה] חזקות שאינן חיוביות

[עריכה] חזקות של המעריך 0

חזקות אלו לפי ההגדרה תמיד שוות 1 לבסיס שונה מ-0. כלומר, לכל $\ a\ne 0$ מתקיים $\ a^0=1$ .

כדי להבין את המניע להגדרה הזו ניזכר בחוק החיסור של המעריכים. לכל $\ a\ne 0$ ועבור $\ n>0$ כלשהו מתקיים $\ \frac{a^n}{a^n}=a^{n-n}=a^{0}$ והרי $\ \frac{a^n}{a^n}=1$ כי המונה והמכנה שווים.

בהצדקה הזו לא ניתן להשתמש כאשר הבסיס הוא 0, ואכן לרוב הביטוי $\ 0^0$ נותר בלתי מוגדר. עם זאת נוח במקרים מסויימים להגדיר אותו בתור 1 גם כן. לא נציג כאן מקרים אלו.

[עריכה] חזקות עם מעריך שלילי

חזקות בעלות מעריך שלילי מוגדרות להיות ההופכי של חזקה דומה עם מעריך חיובי. כלומר

$a^{-b}=\frac{1}{a^{b}}$

למעשה, ההגדרה נכונה לכל מעריך שהוא נגדי למעריך אחר. כלומר, עבור כל מעריך $\ b$ מתקיים הכלל

$a^{-b}=\frac{1}{a^{b}}$

ההצדקה להגדרה זו נובעת גם היא מחוקי החיסור של חזקות. הרי אם $\ a\ne 0$ אז $\ a^{-b}=a^{0-b}=\frac{1}{a^b}$ על פי הכללים שכבר למדנו.

מכיוון שלא ניתן לחלק באפס, הביטוי $\ 0^{-b}$ עבור $\ b>0$ איננו מוגדר.

[עריכה] סיכום

כאמור עבור $\;a^b$ הבסיס הוא $\;a$ ואילו המעריך הוא $\;b$ . יש לבטא $\;a$ בחזקת $\;b$ .

$a^{b+c} = a^b \cdot a^c\,$
$a^{b-c} = \frac{a^b}{a^c}\,$
$(a^b)^c = a^{b\cdot c}\,$
$a^{-b} = \frac{1}{a^b}\,$
$a^1 = a\,$
$\;1^a=1$

ולכל $\;a\neq 0$

$a^0 = 1\,$
$a^{-1} = \frac{1}{a}\,$

הפרק הקודם:
חוקי פעולות החשבון

חוקי חשבון חזקות
תרגילים

הפרק הבא:
חזקות ושורשים

[עריכה] תרגילים

חשבו ללא שימוש במחשבון:

$25$

$42$
${3}^{\left(-2\right)}$
${5}^{\left(-3\right)}$
$5\cdot{2}^3$
$\left(5\cdot{2}\right)^3$
${\left(\frac{2}{3}\right)}^{(-2)}$
$\frac{-1}{2^3}$
$\left({\left(\frac{3}{2}\right)}^{2}\right)^{3}$
$\left({\left(\frac{1}{3}\right)}^{-2}\right)^{-1}$
${3}^3\cdot{9}^{\left(-1\right)}$

4^6

[עריכה] תשובות סופיות

32
16
$\frac{1}{9}$
$\frac{1}{125}$
40
1000
$\frac{9}{4}$
$\left(-\frac{1}{8}\right)$
$\frac{729}{64}$
$\frac{1}{9}$
3

[עריכה] שורשים פשוטים

[עריכה] שורש ריבועי

לפעולת השורש קרבה גדולה לפעולת החזקה. למעשה קיימות שתי פעולות אשר ניתן לומר עליהן שהן פעולות ההפוכות לחזקה. פעולה אחת היא פעולת הלוגריתם, אשר לא נדון בה כעת, והשניה היא הפעולה ההפוכה להעלאת בסיס בחזקה עם מעריך מסויים. זוהי פעולת השורש. השורש הנפוץ והשימושי ביותר הינו כמובן השורש הריבועי. שורש זה הוא הפעולה ההפוכה להעלאה בריבוע (חזקת 2). אילו העלינו מספר כלשהו, למשל 3 בריבוע, הפעולה שהיתה מחזירה את התוצאה חזרה ל-3 הינה פעולת השורש הריבועי. את פעולת השורש הריבועי של $a$ מסמנים כך

$\sqrt{a}$

על מנת לנסות להמחיש את הפעולה לאשורה, ניקח למשל את המספר 25. ננסה למצוא שורש למספר זה. מכיוון שאנו כבר יודעים מראש ש-25 הוא מכפלה של 5 בעצמו, או במילים אחרות 5 בריבוע, הרי ששורש שלו הוא 5. כלומר

$\sqrt{25}=5$

זאת מכיוון ש

${(\sqrt{25})}^2={5}^{2}=25$

[עריכה] שורש מסדר $n$

השורש הריבועי הוא רק מקרה פרטי של שורשים. ניתן להעלות מספר בחזקת כל מספר טבעי. לכן, לכל מספר טבעי גם קיים שורש מהסדר שלו. לשורש זה קוראים שורש n-י. כלומר, לו הייתי מחפש שורש למספר שהועלה בשלישית הייתי מחפש שורש שלישי. שורש זה מסומן כך

$\sqrt[n]{a}$

כלומר פעולת השורש מסדר n צריכה לקיים

${(\sqrt[n]{a})}^{n}={a}^{1}=a$

אנו כבר יכולים לנחש שאילו היינו רוצים לייצג את פעולת שורש כפעולה של חזקה (כשם שהחילוק היא למעשה פעולה של הכפל כלומר כפל בהופכי) היינו רוצים למצוא חזקה נכונה שתתאים לחוקי החזקות הקודמים שמצאנו ועדיין תקיים את כל התכונות של השורש. למזלנו, חזקה כזו כבר נמצאה, ולכן השורש כחזקה מוגדר באופן הבא

$\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}$

לדוגמא, שורש ריבועי ניתן גם לסמן כך

$\sqrt{a}=a^{\frac{1}{2}}$

לדוגמא, בעזרת חוקי החזקה ניתן לחשב את השורש של 256 כך

$\sqrt{256}=256^{\frac{1}{2}}={(2^{8})}^{\frac{1}{2}}={2^{8\cdot{\frac{1}{2}}}}=2^4=16$

הערה: נשים לב, שבמקרה שמדובר בשורש מסדר זוגי, קיימים שני מספרים אשר יכולים להתאים כתשובה לשאלה "איזה מספר בריבוע נותן את המספר שבשורש". אחד חיובי והשני שלילי. במובן של "מי באמת השורש" שתי התשובות נכונות. מכיוון שבמתמטיקה מעוניינים לחקור יותר לעומק את התכונות של השורשים הללו, כאשר מדובר בשורשים של מספרים ממשיים, אנו מקבלים את התשובה החיובית בלבד. זוהי הגדרה. אין להבין מכך שהשורש השלילי איננו שורש מחד, אך אין להציגו בחישוב שורשים מאידך. לסיכום, התוצאה של פעולת השורש מסדר זוגי, היא תמיד חיובית (במספרים הממשיים).

[עריכה] חזקות של מספרים רציונליים

כזכור, מספרים רציונליים הינם מספרים אשר ניתן להציגם כמנה של מספרים שלמים (יתכן שליליים). קבוצה זו של מספרים מסומנת במתמטיקה באות המיוחדת $\mathbb Q$ . למשל חצי או שליש או שני שליש הינם כולם מספרים רציונליים. כעת התקרבנו צעד נוסף לקראת הגדרת החזקה לכל מעריך. למעשה בעזרת הגדרת השורש כחזקה עם מעריך מסויים הגדרנו (בעזרתם של חוקי החזקה הנותרים) גם את החזקה לכל מעריך רציונלי. בזאת ניתן להווכח אם נתבונן במספר רציונלי כלשהו, למשל $r$ . את המספר הזה ניתן להציג כיחס של שני מספרים שלמים, אחד במונה והשני במכנה. נסמנם ב- $n$ וב $m$ בהתאמה. לכן ניתן לכתוב את המספר שלנו כך

$r=\frac{n}{m}$

ומהסימונים שלנו ניתן גם לקבל ש

$a^{r}=a^{\frac{n}{m}}$

מכאן לפי חוקי החזקות לעיל ניתן גם להסיק את השוויון הבא.

$a^r=a^{\frac{n}{m}}=a^{\frac{1}{m}\cdot{n}}={(a^{\frac{1}{m}})}^n={(\sqrt[m]{a})}^n$

כאשר ידוע ש a הוא מספר חיובי אז גם מתקיים

${\left(\sqrt[m]{a}\right)}^n=\sqrt[m]{a^n}$

אנו ממליצים למשתמש בספר זה להתבונן היטב ולוודא שהוא אכן מבין את כל אחד מהמעברים.

[עריכה] שורשים של מספרים שליליים ומעריכים אי-רציונליים

שורשים של מספרים שליליים מוגבלים לשורשים מסדר אי-זוגי, למשל 3,5 וכו'. זאת מכיוון שלא קיים מספר ממשי אשר כאשר מעלים אותו בריבוע מביא לתוצאה שלילית. מסיבה זו, גם חזקות של מעריכים לא שלמים מוגבלות באותו אופן. ההגדרה המדוייקת של חזקה של מספר אי-רציונלי אינה חלק מהחומר אשר אנו מקווים לכסות בספר זה. נדגיש כאן, עם זאת, שהעלאת מספר בחזקה אי רציונלית מוגדרת רק עבור בסיס אי שלילי.

הפרק הקודם:
חוקי חשבון חזקות

חזקות ושורשים
תרגילים

הפרק הבא:
סוף הכרך

[עריכה] תרגילים

חשבו ללא עזרת מחשבון:

$\sqrt{25}$
$\sqrt{256}$
$\sqrt[3]{8}$
$\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}+\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}}}$
$\sqrt[6]{2}\cdot\sqrt[3]{\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{7}{\sqrt{2}}}$
$\frac{\left(8\cdot{a}^{12}\right)^{\frac{1}{6}}}{2^{\frac{1}{2}}}$

[עריכה] תשובות

5
16
2
$\frac{1}{3}$
2
$a 2$

[עריכה] טכניקות אלגבריות פשוטות

פרק זה הינו פרק המשך לחוקי החשבון ומתבסס על ידיעת הטכניקות מהפרק הקודם על בוריין. הפרק עוסק בטכניקות בסיסיות ופשוטות של האלגברה, אשר בעזרתן מקילים במידה ניקרת את הקושי בפתרון בעיות אלגבריות מסובכות. כמו בפרק הקודם, אנו מדגישים כי למרות שהעקרונות שיובאו בפרק זה הינם קלים להבנה, אין די בכך. יש צורך בתרגול רב על מנת לשלוט בטכניקות אלו. גם תלמידים מוכשרים, טוב יעשו לו יתרגלו נושא זה לרוב.

רשימת הפרקים

דף זה מועמד לאיחוד
ערך זה דן בנושא של הדף [[:נוסחאות הכפל המקוצר, הוצאת גורם משותף]] וככל הנראה מוסיף עליו מידע. על כן יש לאחד את שני הדפים. (דיון)

[עריכה] טכניקות של פישוט

ישנו במתמטיקה מושג מעט לא מתמטי שנקרא פישוט או הבאה לצורה הפשוטה ביותר. זהו תהליך שבו מפעילים פעולות חשבון מותרות על תבנית מתמטית כלשהי ומביאים אותה לצורה "פשוטה יותר". איזוהי הצורה הפשוטה יותר, זוהי שאלה שהיא יותר שאלה אנושית מאשר שאלה מתמטית מכיוון שאולי צורה אחת פשוטה יותר מצורה שניה לפלוני ולאלמוני היא למעשה מסובכת מצורה אחרת. למרות זאת, ישנה הסכמה שישנן צורות מסויימות שהן פשוטות יותר מצורות אחרות. למשל, את המספר 1 ניתן להציג בדרכים רבות מאוד. למשל, ברור שניתן להציג את המספר בצורה של $\frac{a}{a}$ .בתנאי שa שונה מאפס ומאינסוף. וגם בצורה זו (מתחום הטריגונומטריה) $sin 2 x + cos 2 x$ . יסכימו הקוראים, כי הצורה הפשוטה יותר היא, כמובן, 1. ישנן דוגמאות נוספות רבות אך צורה זו היא לרוב קלה יותר לקריאה.
מעבר לסיבות של קריאה, עדיף בד"כ להגיע לתוצאות מפושטות שכן אלו בד"כ ימנעו טעויות בחישוב ויקלו עליו מכיוון שלרוב בעזרת פישוט יהיה צורך בפחות פעולות חשבון בסך הכל.
אנו נעבור כעת על מספר צורות אשר מקובלות כצורות הפשוטות יותר (אם כי יצויין כי ישנם יוצאי דופן נדירים) ועל מספר כללים אשר את רוב האנשים יובילו לתחושה שתבנית זו או אחרת היא הפשוטה ביותר שניתן להשיג.

[עריכה] מינימום של פעולות חשבון

במרבית המקרים, כאשר ממעיטים במספר פעולות החשבון בהצגת ערך מסויים (או פסוק מסויים) ברור שהתוצאה תיראה קלה יותר להבנה. אם-כן, למשל, המספר $2\cdot 2^{7}$ קשה יותר לקריאה מ-256. ניתן גם שהתלמידים ישתמשו בזה

[עריכה] צמצום שברים וביטול אברים נגדיים

כמעט בכל המקרים, אנו מעדיפים לצמצם גורמים משותפים בשברים. למשל בשבר $\frac{ab}{bc}$ ישנו גורם משותף למונה ולמכנה. זהו כמובן $b$ . במקרה זה ניתן להציג את השבר כמכפלה של שני שברים כך

$\frac{a}{c}\cdot\frac{b}{b}=\frac{a}{c}\cdot{1}=\frac{a}{c}$

פעולה זו נקראת צמצום והיא מסומנת לרוב על ידי מחיקה בקו אלכסוני יחיד של האיבר במונה ובמכנה שאותם מצמצמים כך

$\frac{a\not{b}}{c\not{b}}$

דוגמא נוספת לסימון כזה היא במקרה של חזקה, למשל

$\frac{a^2}{ab}=\frac{a^\not{2}}{\not{a}{b}}$

אותם כללי הסימון חלים על איברים נגדיים של חיבור (וחיסור כמובן). למשל

$a^2-b-a^2=\not{a^2}-b-\not{a^2}$

[עריכה] קו שבר יחיד

שברים מורכבים הינם שברים אשר בהם מופיע יותר מקו שבר אחד. לדוגמא $\frac{a}{\frac{c}{b}}$ . מכיוון שמוסכם שפעולת החילוק היא מסובכת יותר מפעולת הכפל. לכן, נעדיף להציג את קו השבר השני כמכפלה במונה או במכנה של הראשון. למעשה, גם בשבר מורכב מאוד, ניתן תמיד להגיע לקו שבר יחיד (אם כי לא תמיד זה כדאי כי לעיתים מספר פעולות החשבון אשר יהיה צריך על מנת להציג את המספר הזה תהיה גדולה מדי).
כיצד, אם-כן ניתן להשיג מטרה זו של הפיכת כל שבר מורכב לקו שבר יחיד? זאת נעשה על ידי הכפלה במספר 1 (אשר אינה משנה את הערך של השבר). פעולה זו נקראת הרחבה. על מנת לבצעה, ראשית נציג את המספר 1 בעזרת המכנה של השבר הפנימי יותר של השבר המורכב. נבצע זאת כך:

$\frac{a}{\frac{b}{c}}$
$1=\frac{c}{c}$

מכאן נקבל ש

$\frac{a}{\frac{b}{c}}=\frac{a}{\frac{b}{c}}\cdot 1=\frac{a}{\frac{b}{c}}\cdot\frac{c}{c}= \frac{a\cdot{c}}{\frac{b}{c}\cdot{c}}=\frac{ac}{b}$

או אפשר בצורה אחרת: a:b/c

[עריכה] כינוס אברים

זהו תהליך שבו מבצעים פעולות פשוטות על איברים "דומים". איברים דומים הן מכפלות בעלות אותם משתנים והמקדמים זהים או שונים.
דוגמאות לאיברים דומים: 3y, 5y ; $3 x 2,5 x 2$

לאחר שאנו פותחים סוגריים (או במקרים דומים), אנו מקבלים איברים רבים. כל איבר בנוי ממספר, שאותו נקרא מקדם, ומהפרמטר שלנו (לרוב a,b,c או x,y,z אך אין הכרח בכך) בחזקה כלשהי. הפעולה של חיבור כל המקדמים של חזקה מסויימת נקראת "כינוס איברים". לרוב, לא ניתן לכנס איברים שאינם מאותה חזקה, אלא במקרים מיוחדים בלבד עליהם נעבור בהמשך.

$a+\not{b}+4a+c-\not{b}=5a+c$

מה שעשינו זה ספרנו כל סוג של אברים ו"כינסנו" אותם יחד. ניתן עוד דוגמא

$\frac{1}{2}a^2+3b^2+2a+b^2+\frac{3}{2}a^2=2a^2+4b^2+2a$

את הדוגמא לעיל לא ניתן לפשט יותר. נראה בהמשך דוגמאות שבהן ניתן לפשט יותר.

דוגמא נוספת לכינוס אברים

$\sqrt{3}+3\sqrt{5}+\sqrt{12}=\sqrt{3}+3\sqrt{5}+\sqrt{3\cdot 4}=$
$=\sqrt{3}+3\sqrt{5}+\sqrt{4}\sqrt{3}$

מכיוון ש-3 הינו מספר ראשוני לא ניתן לפרקו לגורמים שאינם 3 או 1. מכאן שאיננו יכולים למצוא לו שורש שהוא מספר שלם (למעשה לא ניתן בכלל לכתוב את השורש הזה בצורה של שבר פשוט הבנוי ממספרים שלמים כלשהם, עובדה שנבין בהמשך) לכן $\sqrt{3}$ אינו ניתן לכתיבה בדרך פשוטה יותר ואנו חייבים להתייחס אליו כשם שהיינו מתייחסים לכל פרמטר או משתנה $\ a$ או $\ b$ וכיוצא באלו. אנו מתייחסים לכן לכל שורש של מספר ראשוני כשם שהיינו מתייחסים למשתנה. כפי שעשינו, על מנת לכנס אברים של שורשים, נפרקם לשורשים של מספרים ראשוניים ככל הניתן. מכאן, נמשיך את כינוס האברים.

$=\sqrt{3}+3\sqrt{5}+\sqrt{4}\sqrt{3}=\sqrt{3}+3\sqrt{5}+2\sqrt{3}=$
$=3\sqrt{3}+3\sqrt{5}$

ניתן לפשט רק עוד במעט, ואת זאת נראה כאשר נדון בהוצאת גורם משותף מחוץ לסוגריים.

[עריכה] פתיחת סוגריים

פתיחת סוגריים וקיבוץ איברים הינן פעולות שגרתיות אשר כל תלמיד מתמטיקה ומקצועות מדעיים אחרים יתקל בהן. פתיחת סוגריים הינו תהליך שבו אנו כופלים שני ביטויים (או יותר) הנמצאים בתוך סוגריים, ומקבלים ביטוי אשר בו מספר הסוגריים קטן. בתהליך אנו משתמשים בחוק הפילוג וחוק הקיבוץ מחוקי החשבון. את הפעולה אנו מבצעים לפי הסדר, כאשר כל איבר הנמצא בסוגר אחד כופל איבר הנמצא בסוגר שני פעם אחת בדיוק. על מנת להמנע מטעויות לפחות בתחילת דרכיכם, ניתן לפרק את הפעולה בצורה הבאה: למשל אם נרצה לכפול את $\left(a+b\right)$ ב- $\left(c+d\right)$ נקבל

$\left(a+b\right)\cdot\left(c+d\right)= a\left(c+d\right)+b\left(c+d\right)= ac+ad+bc+bd$

דוגמאות נוספות:

$\left(x+1\right)\left(x-6\right)=x\cdot\left(x-6\right)+1\cdot\left(x-6\right)= x^2-6x+x-6=x^2-5x-6$
$\left(a+b\right)^{2}=\left(a+b\right)\cdot\left(a+b\right)=a\cdot\left(a+b\right)+b\cdot\left(a+b\right)= a^2+ab+ba+b^2=a^2+2ab+b^2$

כאשר יש יותר משני כופלים (למשל 3) יש לקבץ את האברים בסוגרים לפני הכפל כך:

$\left(a+b\right)\left(c+d\right)\left(h+g\right)=\left[\left(a+b\right)\left(c+d\right)\right]\left(h+g\right)=$
$=\left[a\left(c+d\right)+b\left(c+d\right)\right]\left(h+g\right)=$
$=\left(ac+ad+bc+bd\right)\left(h+g\right)=ac\left(h+g\right)+ad\left(h+g\right)+bc\left(h+g\right)+bd\left(h+g\right)$
$=\ ach+acg+adh+adg+bch+bcg+bdh+bdg$

תלמידים רבים טועים כאשר מנסים לבצע תרגיל זה וכותבים (בטעות) את הפסוק הבא

$\left(a+b\right)^2=a^2+b^2$

זוהי טעות שכן החזקה איננה ניתנת לפילוג לפעולות חיבור. פילוג בחזקה ניתן לבצע רק בכפל. מכאן גם נובעת מסקנה נוספת, והיא שגם שורשים לא ניתן לפלג, שכן אף הם חזקות, מה שלא מונע מתלמידים רבים לטעות גם כאן ולכתוב ש

$\sqrt{a+b}=\sqrt{a}+\sqrt{b}$

שאף זוהי טעות. זוהי פתיחת סוגריים בלתי חוקית. ניתן להשתמש אך ורק בחוקי החשבון הידועים לנו מפרק קודם על מנת לפתוח סוגריים. דוגמא נוספת:

$\left(a+b+c+d\right)\cdot\left(e+f\right)=\left(a+b+c+d\right)\cdot{e}+\left(a+b+c+d\right)\cdot{f}= ae+be+ce+de+af+bf+cf+df$

פתיחת הסוגר הראשון קודם תביא לביטוי ארוך יותר וסיכוי רב יותר לטעויות.

[עריכה] הוצאת גורם מחוץ לסוגריים

פעולה זה הינה פעולה ההפוכה לפעולת פתיחת סוגריים שכופלים איבר יחיד. הוצאת גורם מחוץ לסוגריים משתמשת בחוק בפילוג והיא מתבצעת לרוב ישירות ממנו. לדוגמא

$ac+ab=a\left(c+b\right)$

ניתן אך להוציא איבר מחוץ לסוגריים גם אם איננו מופיע בהם בצורה מפורשת על ידי כך שמחלקים בו. ניתן לעשות זאת באופן הבא

$ac+b=c\left(a+\frac{b}{c}\right)$

צורה זו הינה נדירה יותר, אך אף היא שימושית מדי פעם.

[עריכה] דוגמא 1

נתון הביטוי

$\sqrt{12}+\sqrt{3}$

ביטוי זה דומה לביטוי בדוגמא קודמת. על מנת לפשטו נבצע את פעולת הוצאת הגורם המשותף. במקרה זה לא רואים מיד את הגורם המשותף. על מנת לראותו נבצע שוב את אותה פעולה שביצענו בדוגמא בסעיף הקודם והיא פירוק לגורמים. ברור ש-12 הינו מספר פריק. והוא מתפרק ל-3 (שהוא ראשוני) ול $22$ שהוא ריבוע של מספר ראשוני. נקבל:

$\sqrt{12}+\sqrt{3}=\sqrt{{2}^{2}\cdot{3}}+\sqrt{3}=\sqrt{2^2}\cdot\sqrt{3}+\sqrt{3}=2\sqrt{3}+\sqrt{3}=$
$=\sqrt{3}\left(2+1\right)=3\sqrt{3}$

שזהו ביטוי פשוט הרבה יותר.
ניתן לפשט ביטויים מסובכים עוד הרבה יותר בדרך זו.

[עריכה] דוגמא 2

הסיבה הנפוצה ביותר להוצאת גורם משותף הינה צמצום גורמים משותפים בשברים או במשוואות. אם למשל נתון הביטוי

$\frac{a^2+a}{a+1}$

הרי שביטוי זה ניתן לפישוט על ידי הוצאת הגורם המשותף $a$ מחוץ לסוגריים. נעשה זאת כך:

$\frac{a^2+a}{a+1}=\frac{a\left(a+1\right)}{a+1}=a$

[עריכה] דוגמא 3

שילוב של מספר טכניקות ביחד עלול להיות מעט מסובך, אך התוצאה לעיתים קרובות שווה את ההקרבה. נסו להבין כל שלב בפישוט. כאן הצורה הסופית ספק פשוטה יותר מהמקורית אך ללא ספק קלה יותר לשימוש.

$\begin{matrix} \frac{1-\frac{c+\frac{2}{b}}{\frac{c}{a}+\frac{1}{c}}}{1-\frac{1}{b}}-1 & = & \frac{\left(1-\frac{c+\frac{2}{b}}{\frac{c}{a}+\frac{1}{c}}\right)b} {\left(1-\frac{1}{b}\right)b}-1=\frac{b-\frac{b\left(c+\frac{2}{b}\right)}{\frac{c}{a}+\frac{1}{c}}}{b-1}-1\\ & = & \frac{b-\frac{b\left(c+\frac{2}{b}\right)}{\frac{c^{2}+a}{ac}}}{b-1}-1=\frac{b-\frac{b\left(c+\frac{2}{b}\right)ac}{\left(\frac{c^{2}+a}{ac}\right)ac}}{b-1}-1=\frac{b-\frac{abc\left(c+\frac{2}{b}\right)}{c^{2}+a}}{b-1}-1\\ & = & \frac{\frac{b\left(c^{2}+a\right)}{c^{2}+a}-\frac{abc\left(c+\frac{2}{b}\right)}{c^{2}+a}}{b-1}-1=\frac{\frac{b\left(c^{2}+a\right)-abc\left(c+\frac{2}{b}\right)}{c^{2}+a}}{b-1}-1\\ & = & \frac{\frac{b\left(c^{2}+a\right)-abc\left(c+\frac{2}{b}\right)}{c^{2}+a}\left(c^{2}+a\right)}{\left(b-1\right)\left(c^{2}+a\right)}-1\\ & = & \frac{b\left(c^{2}+a\right)-abc\left(c+\frac{2}{b}\right)}{\left(b-1\right)\left(c^{2}+a\right)}-1\\ & = & \frac{bc^{2}+ab-abc^{2}-\frac{2abc}{b}}{\left(b-1\right)\left(c^{2}+a\right)}-1\\ & = & \frac{bc^{2}+ab-abc^{2}-2ac}{\left(b-1\right)\left(c^{2}+a\right)}-1\\ & = & \frac{bc^{2}+ab-ab^{2}-2ac-\left(b-1\right)\left(c^{2}+a\right)}{\left(b-1\right)\left(c^{2}+a\right)}\\ & = & \frac{bc^{2}+ab-abc^{2}-2ac-\left(bc^{2}-c^{2}+ab-a\right)}{\left(b-1\right)\left(c^{2}+a\right)}\\ & = & \frac{bc^{2}+ab-abc^{2}-2ac-bc^{2}+c^{2}-ab+a}{\left(b-1\right)\left(c^{2}+a\right)}\\ & = & \frac{-abc^{2}-2ac+c^{2}+a}{\left(b-1\right)\left(c^{2}+a\right)}\\ \end{matrix}$

דוגמא זו מציגה מגוון של טכניקות פישוט פשוטות אשר מביאות לתוצאה הרצויה רק לאחר מאבק של מספר דקות. רבים המקרים בהם נהיה חייבים להשתמש בטכניקות שלמדנו ואל לנו לפחד מהשימוש בהן גם אם מדובר במקרה מעט סבוך כפי שנראה לעיל.

[עריכה] נוסחאות הכפל המקוצר

נוסחאות אלו הינן נוסחאות אשר מאפשרות לפתוח סוגריים (או לקבץ איברים) של ביטויים נפוצים במהירות וללא טעויות. נוסחאות אלו הן (עבור תבניות בחזקה 2)

$\left(a+b\right)^{2}=a^2+2\cdot{a}\cdot{b}+b^2$
$\left(a-b\right)^{2}=a^2-2\cdot{a}\cdot{b}+b^2$
$a^2-b^2=\left(a+b\right)\left(a-b\right)$

ועבור תבניות בחזקה 3

$\left(a+b\right)^{3}=a^3 + 3 a^2 b + 3 a b^2 + b^3$
$\left(a-b\right)^{3}=a^3 - 3 a^2 b + 3 a b^2 - b^3$
$a^3-b^3=\left(a^2+ab+b^2\right)\left(a-b\right)$
$a^3+b^3=\left(a^2-ab+b^2\right)\left(a+b\right)$

כפי שנראה לעיל, התוצאה היא פולינום בשני משתנים וניתן להשתמש בנוסחאות אלו בכל מקרה בו נרצה לפתוח סוגריים ולקבץ איברים. נוסחאות אלו הינן בעלות חשיבות רבה ומועיל ללמוד אותן בעל פה. במיוחד חשובות הנוסחאות של חזקה 2.

לנוסחאות הכפל המקוצר ישנה גם משמעות גיאומטרית. כדי להווכח במשמעות זו, מומלץ לקוראים לצייר ריבוע אשר בו אורך הצלע הוא $\left(a+b\right)$ . הקורא יוכל להווכח שבתוך הריבוע נוצרים שני ריבועים ושני מלבנים, אשר סכום שטחם מתאים לנוסחאות הכפל המקוצר. כתרגיל, מומלץ לקורא לבצע משימה זו גם עבור הנוסחאות של חזקה 2 וגם עבור נוסחאות של חזקה 3, שם במקום לקבל ריבוע, יש לצייר קוביה.

הפרק הקודם:
טכניקות אלגבריות פשוטות

טכניקות של פישוט
תרגילים

הפרק הבא:
רבי איבר

[עריכה] תרגילים בנושא טכניקות של פישוט

רשימת התרגילים

דף זה מועמד לאיחוד
ערך זה דן בנושא של הדף [[:היכרות עם תלת האיבר הריבועי (הטרינום)]] וככל הנראה מוסיף עליו מידע. על כן יש לאחד את שני הדפים. (דיון)

[עריכה] רבי איבר

הגדרה: רב איבר (פולינום) הינו סכום של אברים אשר כל אחד מהם מורכב ממקדם המכפיל אותו ומחזקה של אחד או יותר משתנים.
במקרה הפרטי שלרוב יעניין אותנו, רב-אבר של משתנה יחיד הוא ביטוי מהצורה

$a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}\cdots+ a_{0}$

נדגיש, כמו-כן, שהמספר $n$ יכול להיות מספר טבעי בלבד.

כאשר $\;a_{n}$ הוא מספר קבוע (למשל 7) והמשתנה (או הנעלם) הוא $x$ . כאשר מפשטים ביטויים פולינומיאליים (כלומר ביטויים אשר מהווים רב-איבר) לרוב עדיף להביא את הביטויים לצורת רב-איבר. במצב זה לרוב התבנית תהיה הפשוטה ביותר. דוגמא לרב-איבר במשתנה יחיד

$2x^3+\frac{1}{4}x^2-5x+7$

דוגמא לרב-איבר בשני משתנים

$2x^{3}y^2+\frac{1}{3}x^{2}y-5x+7$

קיימים גם רבי איבר בני כל מספר טבעי של משתנים.

[עריכה] ייצוג של פולינומים

כאמור פולינום הוא ביטוי מהצורה

$a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}\cdots+ a_{0}$

זהו פולינום במשתנה אחד. המשתנה במקרה זה הינו $\ x$ . צורה זו נקראת הצורה הסטנדרטית של הפולינום. כאשר אנו מעוניינים להגיע לצורה זו, עלינו לדאוג שכל חזקה של המשתנה תוכפל במקדם אחד בלבד. כלומר עלינו לכנס אברים דומים. כפי שניתן לראות (אם כי קצת קשה להוכיח) לא ניתן להציג חזקה מסויימת של המשתנה באמצעות חזקה אחרת בצורה הסטנדרטית ולכן זוהי הצורה הפשוטה ביותר להציג פולינום.

[עריכה] דרגה של פולינום

הגדרה: הדרגה של הפולינום הינה הערך הגדול ביותר של מעריך החזקה של איבר כלשהו בפולינום עם מקדם שונה מאפס.
למשל בדוגמא לעיל של רב-איבר במשתנה יחיד, דרגת הפולינום הינה 3. גם מספר קבוע הוא פולינום אשר דרגתו 0, מכיוון שהמספר הקבוע הוא מקדם של איבר בפולינום שחזקתו שווה לאפס (ומכאן ערכו שווה ל-1). פולינום אשר בו יש רק איבר אחד יקרא מונום ואילו פולינום אשר בו 2, בינום. פולינום בו 3 אברים יקרא טרינום וכך הלאה.

[עריכה] שורש של פולינום

הגדרה: שורש של פולינום הינו מספר אשר כאשר מציבים אותו במשתנה של הפולינום מקבלים 0.
לדוגמא, לפולינום $\ x-5$ יש שורש שהוא 5.
דוגמא נוספת: למשל בפולינום מדרגה גבוהה יותר

$\ x^2-2x+1$

אם מציבים $\ x=1$ מקבלים $\ 0$ ולכן זהו שורש של הפולינום.
לכל פולינום מדרגה $\ n$ כלשהי ישנם לכל היותר $\ n$ שורשים. את עובדה זו נקבל ללא הוכחה בשלב זה (אך הוכחה קיימת כמובן). הקורא המתעניין יוכל למצוא מידע נוסף בערך המשפט היסודי של האלגברה. הערה חשובה: משמעותו של שורש זה (שורש של פולינום) שונה ממשמעותו של השורש החשבוני הרגיל, ולכן לא מסמנים אותם באותו אופן.

[עריכה] כפל פולינומים

הכפלת פולינומים מתבצעת באופן הרגיל של פתיחת סוגריים. מכאן ניתן להגיע לכמה מסקנות. האחת היא שלכל מכפלת פולינום יש את כל השורשים אל כל אחד מהכופלים וזאת מפני שהפולינום החדש ניתן לכתיבה של שני האיברים המקוריים (שאותם מקיימים השורשים שלהם). מסקנה נוספת היא שדרגת המכפלה היא סכום דרגות הכופלים. את הסיבה לזה ניתן לראות בקלות אם פותחים סוגריים.

הפרק הקודם:
טכניקות של פישוט

רבי איבר
תרגילים

הפרק הבא:
הטרינום

אלגברה תיכונית/טכניקות אלגבריות פשוטות/רבי איבר/תרגילים

דף זה מועמד לאיחוד
ערך זה דן בנושא של הדף [[:פירוק תלת איבר ריבועי (טרינום)]] וככל הנראה מוסיף עליו מידע. על כן יש לאחד את שני הדפים. (דיון)

[עריכה] פירוק טרינום ריבועי לגורמים

סעיף זה מדבר על פעולה הנקראת פירוק טרינום ריבועי לגורמים. טרינום ריבועי הינו רב-איבר מהצורה

$a\cdot{x^2}+b\cdot{x}+c$

כאשר $a\neq{0}$ . נתחיל בפירוק לגורמים כאשר $a = 1$ . אנו מעוניינים למצוא מכפלה של שני בינומים (דו-איברים, או פולינומים שבהם שני איברים בלבד) אשר תוצאתה הסופית היא הטרינום הנתון. ניקח למשל את הטרינום

$x^2-3\cdot{x}-10$

מכיוון שיצרנו אותו לשם הדוגמא, אנו כבר יודעים שהטרינום הזה הוא תוצר של המכפלה להלן.

$\left(x+2\right)\cdot\left(x-5\right)$

כל אחד מהסוגריים הוא גורם אחד במכפלה, ומכיוון שהחזקה הגדולה בכל אחד מהגורמים היא 1 לא ניתן להמשיך ולפרק אותם. כאשר אנו ניצבים בפני הטרינום הפתוח, לנחש מה היו הגורמים אשר הביאו ליצירתו זו פעולה קשה. על-כן, אנו מחפשים שיטה פשוטה אשר בהנתן הטרינום הפתוח, נוכל למצוא את גורמיו ללא צורך בניחוש. על מנת להבין את ההגיון העומד מאחורי שיטה זו נתבונן בפתיחת הסוגריים שהביאה ליצירת הטרינום במקור.

$\left(x+2\right)\cdot\left(x-5\right)=x\cdot\left(x-5\right)+2\cdot\left(x-5\right)=$
$=\underbrace{x^2-5\cdot{x}+2\cdot{x}-2\cdot{5}}=\left(x+2\right)\cdot\left(x-5\right)$
$\left(*\right)$

נתבונן בביטוי המסומן ב-(*). על מנת לחזור חזרה מפעולות פתיחת הסוגריים, אנו נשים לב לעובדה ש $\left(-10\right)=\left(-5\right)\cdot{2}$ וגם ש $\left(-3\right)=\left(-5\right)+2$ . ואנו גם יודעים שעל מנת לחזור חזרה לביטוי המקורי, חסרים לנו המספרים $\left(-5\right)$ וגם $\left(2\right)$ כך שלמעשה, אנו רואים שמספרים אלו מופיעים בשלב האחרון לפני כינוס האיברים אשר מוביל ליצירת הטרינום. כאשר אנו מקבלים את הטרינום בצורתו המוגמרת, עלינו למצוא שילוב אשר יקיים את אותן התכונות אשר אנו רואים לעיל.
כעת נתאר באופן מדוייק את סדר הפעולות הדרוש לפתרון הבעיה ונדגים כל שלב על טרינום הדוגמא שלנו.
ראשית, נרשום את כל המכפלות של שני מספרים אשר נותנות את האיבר החופשי (במקרה שלנו $\left(-10\right)$ ).

$β$	$α$
$\left(10\right)$	$\left(-1\right)$
$\left(-10\right)$	$\left(1\right)$
$\left(5\right)$	$\left(-2\right)$
$\left(-5\right)$	$\left(2\right)$

שנית, נחפש זוג (אשר מופיע בשורה) אשר סכום המספרים בו הוא $\left(-3\right)$ כי זהו המקדם של האיבר בו x מופיע ללא חזקה, והוא זה שעבורו מחפשים את הסכום. ניתן דוגמא נוספת. הפעם ניקח את הטרינום $x^2-20\cdot{x}+99$ . כאן המספרים יותר גדולים ולכן יקשה עלינו לנסות לנחש את הפתרון. נשתמש בסדר הפעולות שקבענו קודם. עלינו ראשית לפרק את 99 לגורמים.

$β$	$α$
$\left(1\right)$	$\left(99\right)$
$\left(-1\right)$	$\left(-99\right)$
$\left(3\right)$	$\left(33\right)$
$\left(-3\right)$	$\left(-33\right)$
$\left(9\right)$	$\left(11\right)$
$\left(-9\right)$	$\left(-11\right)$

כעת נסכם וננסה לקבל $\left(-20\right)$ . הזוג היחיד שמתאים הוא הזוג שבשורה האחרונה. לכן זה הזוג הנכון, והתשובה המתקבלת היא ש

$x^2-20\cdot{x}+99=\left(x-9\right)\cdot\left(x-11\right)$

כפי שנדרש.
נזכר כי עדיין לא פתרנו את הבעיה עבור טרינום אשר בו המקדם של $x 2$ כלומר $a\neq{1}$ . במקרה זה עלינו להוציא אותו מחוץ לסוגריים לכל הטרינום ולהמשיך את הפעולות כרגיל על הטרינום בתוך הסוגריים. מקבלים במקרה זה

$a\cdot\left({x}^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}\right)$

במקרה הכללי הפירוק של $c$ לא יתן תשובה אשר סכומה הוא באמת $b$ והפעולה תיכשל. במקרה זה עדיין לעיתים ניתן לפרק טרינום זה אך נושא זה קשור לנושא אחר, אשר בו נידון שוב בפרק משוואות והוא נקרא נוסחאות וייטה.

הפרק הקודם:
רבי איבר

הטרינום
תרגילים

הפרק הבא:
דוגמאות ושימושים נוספים

פתרי את התרגילים:

$\ x^{2}+5{x}-6$
$\ x^{2}+8{x}+12$
$\ x^{2}-6{x}-40$
$\ x^{2}-16{x}+55$
$\ x^{2}-18{x}+80$
$\ x^{2}-7{x}+12$
$\ x^{2}-3{x}-40$
$\ x^{2}-11{x}+28$
$\ x^{2}+8{x}-9$
$\ x^{2}-20{x}+99$
$\ x^{2}+7{x}-30$
$\ x^{2}-12{x}+35$
$\ x^{2}-1{x}-110$
$\ x^{2}+2{x}-80$
$\ x^{2}+17{x}+70$
$\ x^{2}+2{x}-3$
$\ x^{2}-6{x}+8$
$\ x^{2}-7{x}+12$
$\ x^{2}+1{x}-2$
$\ x^{2}+6{x}-40$
$\ x^{2}-6{x}-40$
$\ x^{2}-1{x}-110$
$\ x^{2}+2{x}-63$
$\ x^{2}-9{x}+20$
$\ x^{2}+3{x}-40$
$\ x^{2}-7{x}-18$
$\ x^{2}+13{x}+42$
$\ x^{2}-25$
$\ x^{2}+1{x}-20$
$\ x^{2}+8{x}+16$

[עריכה] תשובות

$\left(x+6\right)\cdot\left(x-1\right)$
$\left(x+6\right)\cdot\left(x+2\right)$
$\left(x-10\right)\cdot\left(x+4\right)$
$\left(x-11\right)\cdot\left(x-5\right)$
$\left(x-8\right)\cdot\left(x-10\right)$
$\left(x-3\right)\cdot\left(x-4\right)$
$\left(x+5\right)\cdot\left(x-8\right)$
$\left(x-4\right)\cdot\left(x-7\right)$
$\left(x+9\right)\cdot\left(x-1\right)$
$\left(x-9\right)\cdot\left(x-11\right)$
$\left(x+10\right)\cdot\left(x-3\right)$
$\left(x-7\right)\cdot\left(x-5\right)$
$\left(x-11\right)\cdot\left(x+10\right)$
$\left(x-8\right)\cdot\left(x+10\right)$
$\left(x+10\right)\cdot\left(x+7\right)$
$\left(x-1\right)\cdot\left(x+3\right)$
$\left(x-4\right)\cdot\left(x-2\right)$
$\left(x-4\right)\cdot\left(x-3\right)$
$\left(x+2\right)\cdot\left(x-1\right)$
$\left(x-4\right)\cdot\left(x+10\right)$
$\left(x+4\right)\cdot\left(x-10\right)$
$\left(x-11\right)\cdot\left(x+10\right)$
$\left(x-7\right)\cdot\left(x+9\right)$
$\left(x-4\right)\cdot\left(x-5\right)$
$\left(x+8\right)\cdot\left(x-5\right)$
$\left(x+2\right)\cdot\left(x-9\right)$
$\left(x+7\right)\cdot\left(x+6\right)$
$\left(x-5\right)\cdot\left(x+5\right)$
$\left(x+5\right)\cdot\left(x-4\right)$
$\left(x+4\right)\cdot\left(x+4\right)$

שאלות כאשר $a\neq{1}$ :

$\ 2x^{2}+3{x}+1$
$\ 3x^{2}-{x}-2$
$\ 2x^{2}-13{x}+15$
$\ 5x^{2}-19{x}-4$
$\ 3x^{2}+{x}-14$

[עריכה] תשובות

$\left(2x+1\right)\cdot\left(x+1\right)$
$\left(3x+2\right)\cdot\left(x-1\right)$
$\left(2x-3\right)\cdot\left(x-5\right)$
$\left(5x+1\right)\cdot\left(x-4\right)$
$\left(3x+7\right)\cdot\left(x-2\right)$

אלגברה תיכונית/טכניקות אלגבריות פשוטות/חילוק רבי-אבר

אלגברה תיכונית/טכניקות אלגבריות פשוטות/חילוק רבי-אבר/תרגילים

[עריכה] דוגמאות ושימושים נוספים

עד כה עסקנו בהצגת כל אחת מהטכניקות הפשוטות אשר יעזרו לנו בהמשך לימודינו של האלגברה והמתמטיקה בכלל. כעת נציג כמה דוגמאות שימושיות אשר יאגדו את אסופת הטכניקות הללו תחת קורת גג אחת ויראו כיצד ניתן להשתמש בהן ביחד. ברור כי לא ניתן להביא את כל הדוגמאות האפשריות. הקורא יאלץ לתרגל את הנושא בכוחות עצמו על מנת להגיע לתובנה עמוקה יותר של הנושא. לעיתים נדרשת בתחום זה מידת מה של יצירתיות בפתרון התרגילים. יש מספר מצומצם של חוקים ומעט טכניקות רשומות אך ניתן להגיע לאין ספור דרכים שונות על מנת לפשט ביטוי זה או אחר. כל דרך אשר אינה עוברת על חוקי החשבון הינה דרך לגיטימית ואין עדיפות לדרך מסויימת אם היא מגיעה לתוצאה הסופית.
כאמור, הדוגמאות הבאות באות להציג כמה טכניקות פשוטות ושימושיות. על הקורא להמשיך לתרגל בעצמו משם ולמצוא את הדרך הנוחה לו ביותר.

[עריכה] דוגמאות

להלן מספר ביטויים אלגבריים אשר אנו נפשט בעזרת הטכניקות אשר למדנו.

[עריכה] דוגמא לשימוש בנוסחאת כפל מקוצר לצמצום

$\frac{a^2-4a+4}{a-2}$

זהו ביטוי פשוט למדי. אנו נשתמש בנוסחאות הכפל המקוצר על מנת לצמצם את האיבר במונה עם המכנה.

$\frac{a^2-4a+4}{a-2}=\frac{a^2-2\cdot{2a}+4}{a-2}=\frac{\left(a-2\right)^2}{a-2}=a-2$

[עריכה] דוגמא לשימוש בפורוק טרינום בפישוט של שברים

$\frac{x^2-7x+12}{x-4}=\frac{\left(x-3\right)\left(x-4\right)}{x-4}=x-3$

בדוגמא זו השתמשנו בפירוק טרינום כפי שלמדנו בפרק הקודם.

[עריכה] כפל בצמוד

דוגמא זו משתמשת בטכניקה שנקראת כפל בצמוד. לא נתעמק בשלב זה במשמעות המושג צמוד. נושא זה ידון בהמשך בהרחבה. נתבונן בדוגמא:
נתבונן בשבר

$\frac{x+\sqrt{2}}{x-\sqrt{2}}$

בשבר זה קשה לראות דרך "לשחרר" את המכנה מעול השורש. למעשה, לא ברור לחלוטין מדוע עלינו לעשות זאת משום שהתוצאה לא תהיה בהכרח יותר פשוטה. למרות זאת, ישנם מצבים בהם שיטה זו מועילה עד מאוד. הצמוד של המכנה, אם-כן, (הוא המספר שאותו אנו מבקשים), במקרה שלנו, זה המספר $x+\sqrt{2}$ . כעת, נרחיב את השבר בגורם $x+\sqrt{2}$ ונקבל

$\frac{x+\sqrt{2}}{x-\sqrt{2}}=\frac{\left(x+\sqrt{2}\right)\left(x+\sqrt{2}\right)}{\left(x-\sqrt{2}\right)\left(x+\sqrt{2}\right)}$

כאן למעשה מתרחש חלק הארי או ה"טריק" של הטכניקה הזו. אנו משתמשים בנוסחאת הכפל המקוצר $\left(a+b\right)\left(a-b\right)=a^2-b^2$ ומקבלים את התוצאה הבאה

$\frac{x+\sqrt{2}}{x-\sqrt{2}}= \frac{\left(x+\sqrt{2}\right)\left(x+\sqrt{2}\right)}{\left(x-\sqrt{2}\right)\left(x+\sqrt{2}\right)}=\frac{\left( x+\sqrt{2}\right)^2 }{ x^2-\left(\sqrt{2}\right)^2}= \frac{\left( x+\sqrt{2}\right)^2 }{ x^2-2}$

הפרק הקודם:
הטרינום

דוגמאות ושימושים נוספים
תרגילים

הפרק הבא:
טכניקות אלגבריות פשוטות

אלגברה תיכונית/טכניקות אלגבריות פשוטות/דוגמאות ושימושים נוספים/תרגילים

[עריכה] תרגילים נוספים

הבא לצורה הפשוטה ביותר (ללא שימוש במחשבון)

$\left( 1^2+2^2+3^2+4^2+5^2 \right)$
$\left( 1^2-2^2+3^2-4^2+5^2 \right)$
$1-\left(2-\left(3-\left(4-\left(5-6\right)\right)\right)\right)$
$a-\left(b-\left(c-\left(d-\left(e-f\right)\right)\right)\right)$
$\ a+2b-c-5b+2c$
$2\cdot{a_1}-5\cdot{a_2}+a_1+11\cdot{a_2}-2\cdot{a_1}+a_3$
$\frac{1}{2}\cdot{3}\cdot\frac{4}{5}\cdot{6}\cdot\frac{7}{8}\cdot{9}$
$\frac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{4}-\frac{5}{2}}$
$\frac{\frac{\frac{1}{2}}{3}}{4}$

[עריכה] משוואות

פרק זה עוסק באחד הנושאים המרכזיים ביותר באלגברה ותחומים רבים במתמטיקה, והוא נושא המשוואות. תחום זה כבר נחקר בעת העתיקה וישנן עדויות לכך שהוא נחקר עוד בממלכת בבל (אם כי בניסוח שונה ממה שמקובל היום).

הנושא יועבר במספר פרקים:

רשימת הפרקים

[עריכה] מה היא משוואה

משוואה הנה אמירה מתמטית, אשר מסמנת שוויון בין שני צדדים של הסימן =. כלומר זהו פסוק אשר משמעותו היא ששני הצדדים של סימן השוויון מתארים את אותו מספר.
כל משוואה מכילה את סימן השוויון (=) ומשני צדדיו יופיעו ביטויים מתמטיים.
בכל משוואה קיים לפחות נעלם אחד. נעלם הינו סימן מתמטי אשר יבוא במקום מספר כלשהו אשר אותו איננו יודעים. בשלב ראשון נדבר על פתרון המשוואה. פתרון למשוואה הינו ערך מספרי אשר אותו ניתן להציב במקום הנעלם ולקבל ביטוי מתמטי אמיתי (פסוק אמת). לעיתים ניתן להציב יותר ממספר אחד במקום הנעלם, אך בשלב זה, אנו לא נתייחס לעובדה זו. נהוג לסמן נעלמים באות הלטינית $\ x$ אך אין זה הכרחי. למעשה כל אות אשר אינה מסמנת מספר קבוע אחר יכולה לשמש כנעלם, ולעיתים מסמנים נעלמים שונים בעזרת אינדקסים שונים כפי שנראה בעתיד.

[עריכה] דוגמאות

הדוגמא החשובה ביותר של משוואה היא משוואה ממעלה ראשונה בנעלם אחד אשר ידועה גם בשמה השני משוואה לינארית בנעלם אחד: משוואה שבה הנעלם לא מופיע בחזקה גבוהה מאחד, כלומר לא מופיעים, למשל, $\ x^2$ . לדוגמה: $\ x+1=4$ . נשים לב, שהערך $\ x=3$ מקיים את השוויון, שכן $\ 3+1=4$ ועל כן הוא יקרא פתרון של המשוואה הנ"ל.
משוואה בנעלם אחד בחזקה גבוהה: לדוגמה: $\ x^3+34-4=x^5$ . כאן החזקה הגבוהה ביותר של הנעלם היא 5. במקרה זה לא קל לראות מהו פתרון של המשוואה, או אם בכלל ישנו פתרון כזה.

חלק ניכר מהאלגברה עוסק בפתרון משוואות. בנוסף, מנסים מתמטיקאים למצוא כללים שיחלקו את המשוואות לסוגים (כפי שעשינו למעלה), וכן למצוא שיטות לפתרון משוואות.

על נקלה נוכל לראות שקיימות משוואות אשר לא ניתן למצוא להן פתרון בקבוצת המספרים הממשיים כלל כלומר לא קיים מספר שנוכל להציב במקום הנעלם ולקבל פסוק אמיתי. לדוגמא, למשוואה $\ x^2=-1$ אין פתרון במספרים ממשיים כי אין מספר שאם נכפול אותו בעצמו נקבל מספר שלילי (מספר שלילי כפול מספר שלילי הוא מספר חיובי).

[עריכה] סוגי משוואות

בבואינו לפתור משוואה מסויימת כדאי לנו ראשית לאפיין אותה, על מנת לדעת איך לגשת לפתרונה. לשם כך, נחלק את המשוואות למספר תחומים, כאשר משוואה יכולה להיות בכמה קטגוריות בו זמנית, או באף אחת מהן. נחלק, אם-כן, את המשוואות לקטגוריות הבאות:

משוואות בנעלם אחד - משוואות בהן ישנו רק נעלם אחד (לרוב יסומן ב- $\ x$ ).
משוואות בשני נעלמים או יותר - משוואות בהן נדרש למצוא את הערכים המתאימים ליותר מנעלם אחד.
משוואות לינאריות - משוואות בהן מופיעים הנעלמים בגפם, כשלכל היותר הם מוכפלים במספר קבוע.
משוואה ריבועית בנעלם אחד (משוואה ממעלה שניה) - זהו סוג משוואות בעל חשיבות רבה ועל כן מוקדש לו שם נפרד. זוהי משוואה בה הנעלם מופיע בחזקה שניה (ופחות) $\ x^2$ . אנו נלמד כיצד ניתן לפתור משוואות מסוג זה.
משוואה ממעלה גבוהה - הנעלם מופיע בחזקה גבוהה מ 2. ניתן לפתור משוואות כאלו עד החזקה הרביעית בצורה שיטתית, אם כי נושא זה אינו בחומר לבגרות לעת עתה. נציין כי ברוב המקרים בהם המשוואה היא ממעלה גבוהה יותר מ-4 לא רק שאין שיטה לפתרון, אלא לעיתים לא ניתן לפתור אותה כלל. אך בספר זה לא ניכנס לדקויות של נושא סבוך זה.

הפרק הקודם:
משוואות (מבוא)

בסיס
תרגילים

הפרק הבא:
משוואות פשוטות בנעלם אחד

[עריכה] תרגילים פשוטים

נסו לנחש איזה מספר (או מספרים) ניתן להציב במקום $\;x$ על מנת שהמשוואות הבאות יתקיימו. לדוגמא עבור $\;x-3=2$ התשובה הנכונה היא $\;5$ כי $\;5-3=2$ .

$\;2x=6$
$\;-x=1$
$\;x+3=0$
$\;2=2x$
$\;x^4=1$
$\;2x=x$
$\;x=1+x$
$\;x^2=1$
$\;x^3=\left(-1\right)$
$\;x-2x=1$
$\;2x+9=21$ (קשה)
$\;x^2+x=0$ (קשה)
$\;\sqrt{x}=5$ (קשה)
$\;\sqrt[3]{x+1}=1$ (קשה)
$\;x-\sqrt{x}=0$ (קשה)

[עריכה] תשובות

$\;3$
$\;\left(-1\right)$
$\;\left(-3\right)$
$\;1$
$\;\left(-1\right)$
$\;0$
$\;1,\left(-1\right)$
$\;1,\left(-1\right)$
$\;\left(-1\right)$
אין פתרון
$\;6$ (קשה)
$\;\left(-1\right),0$ (קשה)
$\;25$ (קשה)
$\;0$ (קשה)
$\;0,1$ (קשה)

אלגברה תיכונית/משוואות/משוואות פשוטות בנעלם אחד/

[עריכה] הפעולות המותרות

ראשית נגדיר את מושג הפעולה על משוואה. הגדרה זו היא כמעט ברורה מאליה. לפי האנלוגיה שלנו שהצגנו בפרק בסיס של מאזניים, אמרנו שמותר לנו לבצע את אותה הפעולה על שני האגפים של המשוואה מכיוון שבכל כף של המאזניים רשום אותו המספר אז ברור שהשוויון ישמר. לכן, נאמר שפעולה על משוואה היא כל פעולה מתמטית אשר מתבצעת על שני האגפים באופן זהה. כלומר, למשל, פעולת החיבור שהוזכרה בפרק הקודם היא פעולה על המשוואה כי היא נעשית על שני האגפים באותו אופן. בפרק הקודם הקפנו את כל האגפים בסוגרים לפני שביצענו את החיבור. ברור שבמקרה של חיבור אין שום צורך בכך אך עשינו זאת על מנת להדגיש שהפעולה מתבצעת על האגף כולו ולא רק על מספר אחד בכל פעם. את חשיבות קביעה זו ניתן לראות גם בפרק הקודם בו כפלנו את שני אגפי המשוואה במספר קבוע שאינו 0. גם פה הקפנו את האגפים בסוגרים, רק שפה ברור שהתוצאה היתה שונה אלמלא הינו עושים כן.
כעת נסביר למה אנו מתכוונים כאשר אנו אומרים את המושג פעולה מותרת. בכל עת שבה אנו מבצעים את אותה הפעולה בשני האגפים אין לנו סיבה לחשוש שאנו מפרים את סימן השוויון. למרות זאת, אין זה אומר שכל פעולה על משוואה לא תשנה את הפתרון של המשוואה. למעשה, ישנן פעולות שיכולות ליצור פתרונות נוספים ואפילו ישנן פעולות שיכולות להפוך את המשוואה שלנו לחסרת תוכן.
פעולה כגון זו היא למשל הכפלת שני האגפים ב-0. ניקח לדוגמא את המשוואה שראינו בפרק הקודם.

$\ \frac{3}{4} x +\frac{5}{3}=2-1$

וכעת נכפיל את שני אגפי המשוואה ב-0. נקבל:

$0\cdot\left(\frac{3}{4} x +\frac{5}{3}\right)=0\cdot\left(2-1\right)$
$\ 0=0$

קיבלנו ש $\ 0=0$ . זו אינה עובדה חדשה. ולמעשה ידענו זאת עוד לפני שבכלל התחלנו לעסוק במשוואות. הפעולה של הכפלה ב-0 לא הפכה את השוויון ללא נכון, היא למעשה הפכה את המשוואה לחסרת תוכן. אם נחזור שוב לאנלוגיה של המאזניים, זה כמו לנקות את כפות המאזניים. זה ברור שאם הכפות ריקות המאזניים ישארו מאוזנים, אבל לא ישאר לנו שום מידע לגבי מה היה שם קודם. במקרה הזה, אנו רואים שניתן להציב במשוואה החדשה כל ערך של $\ x$ ועדיין לקבל פסוק אמיתי, פשוט בגלל ש- $\ x$ לא מופיע כלל במשוואה. קיבלנו שכל המספרים הם פתרון למשוואה אבל זה לא נכון למשוואה המקורית. כלומר, פעולת ההכפלה ב-0 היא פעולה שמוסיפה פתרונות. מכאן אנו קובעים שהיא פעולה אסורה. אנו נדון בפעולות אסורות מיוחדות, אם כי ברור שרוב הפעולות הן אסורות ולא נוכל לכסות את כולן, ואף לא חלק קטן מהן. במקום זאת, נעבור על הפעולות המותרות הפשוטות ביותר.
פעולה שמתבצעת על משוואה תסומן על ידי קו אלכסוני ואחריו שם הפעולה. למשל, פעולת חיבור שני האגפים ב-5 תסומן כך:

$\frac{3}{4} x=2\ \ \ \ \ /\ +5$

הפעולות המותרות החשובות ביותר הן:

[עריכה] חיבור או חיסור במספר

ניתן לבצע פעולת חיבור או חיסור של כל מספר על משוואה. זה כולל גם חיבור או חיסור של הנעלם עצמו. פעולה זו לא יכולה להוסיף פתרונות כפי שפעולת ההכפלה ב-0 יכולה. דוגמא לחיבור של מספר קבוע (קבוע בניגוד למספר המכיל את נעלם) ניתן למצוא בפרק הקודם. כעת נציג דוגמא לשימוש בפעולה זו על מנת ל"העביר" נעלם מאגף לאגף.

$\frac{3}{4} x +\frac{5}{3}=2\cdot x + 3$

נחסר משני האגפים $2 \cdot x$ ונקבל:

$\left(\frac{3}{4} x +\frac{5}{3}\right)-2\cdot x=\left(2\cdot x + 3\right)-2\cdot x$
$\frac{3}{4} x - 2\cdot x+\frac{5}{3}=2\cdot x-2\cdot x + 3$
$-\frac{5}{4} x+\frac{5}{3}=0 + 3$

או במילים אחרות

$-\frac{5}{4} x+\frac{5}{3}=3$

שוב קיבלנו משוואה פשוטה ביותר שאותה ניתן לפתור באופן שפתרנו בפרק הקודם.

[עריכה] כפל במספר שאינו 0

כפל במספר שאינו 0 אף הוא פעולה מותרת. כאן יש לשים לב שבמרבית המקרים ניתן להציב במקום הנעלם את המספר 0 לכן במרבית המקרים לא ניתן להכפיל בנעלם או בביטוי המכיל את הנעלם. כלומר, אסור להכפיל את המשוואה במספר שעלול להיות 0. אם, לעומת זאת הצלחנו לקבוע באופן כלשהו של בדיקה שהביטוי שבו אנו כופלים אינו 0 אנו יכולים להמשיך בדרך זו ואף לכפול בנעלם עצמו. לדוגמא:

$\frac{2}{x}=1$

במשוואה זו אנו רואים שהנעלם נמצא במכנה ואם הוא היה 0 הרי שלמשוואה לא היתה כל משמעות (חילוק ב-0 אינו מוגדר!). על-כן במקרה זה נוכל לאמר בוודאות ש- $\ x\neq0$ ולכן ניתן במקרה זה לכפול ב- $\ x$

$\frac{2}{x}=1\ \ \ \ \ \ /\ \cdot x \left(\neq 0\right)$
$\ x=2$

וזו התשובה. דוגמא נוספת לכפל במספר שאינו מכיל את הנעלם ניתן לראות בפרק הקודם.

[עריכה] חילוק במספר שאינו 0

ניתן לחלק את שני אגפי המשוואה בכל מספר שאינו 0. למעשה זאת פעולה שהיא במהותה זהה לחלוטין לפעולה של כפל משום שכפל במספר שאינו 0 שקול לכפל בהפכי של אותו המספר ולכן זו בדיוק אותה הפעולה. הבעיה מתחילה כאשר יתכן שהמספר שבו אנו מחלקים הוא 0. למשל במקרה של המשוואה הבאה:

$\ \left(x-2\right)\cdot\left(x+3\right)=0$

במקרה זה, אם נחלק את שני אגפי המשוואה למשל ב- $\ \left(x+3\right)$ נקבל

$\ \left(x-2\right)\cdot\left(x+3\right)=0\;\;\;\;\;\;\;\;/\;\;\cdot\frac{1}{x+3}$
$\ x-2=0$

והפתרון של המשוואה הזו הוא $\;x=2$ אך בקלות ניתן לבדוק שאלו לא כל הפתרונות של המשוואה. אם נציב במשוואה המקורית $\;x=-3$ נקבל מיד פסוק שהוא ברור מאליו: $\;0=0$ כלומר, גם $\;x=-3$ הוא פתרון של המשוואה. במילים אחרות, בחלוקה במספר שיכול להיות 0 איבדנו את אחד הפתרונות. על מנת להמנע ממקרה זה יש לחלק את המשוואה למקרים.
חלוקה למקרים נעשית כאשר יש צורך לחלק את אגפי המשוואה במספר שניתן בעזרת הצבה להפכו ל-0. לפני שניתן לעשות זאת, מניחים שאותו ביטוי שבו אנו מחלקים הוא אכן שווה ל-0 ופותרים משוואה חדשה שבה הוא שווה ל-0. לאחר מכן, מניחים שהוא אינו 0 וממשיכים לפתור את המשוואה באופן הרגיל. דוגמא:

$\left(1-x\right)\cdot\left(3-x\right)\cdot\left(x+2\right)=0$

במקרה זה אנו עלולים להתפתות לחלק באחד הגורמים אך אסור לנו לחלק במספר שניתן להציב בו 0. נציג כעת את הדרך הנכונה ואת הסימון המקובל בפתרון משוואות מסוג זה.
פתרון: מהמשוואה מתקבלים 3 מקרים:

$\;1-x=0\Rightarrow x_1=1$
$\;3-x=0\Rightarrow x_2=3$
$x+2=0\Rightarrow x_3=-2$

תשובה: $x 1 = 1, x 2 = 3, x 3 = - 2$
נשים לב שכאן הפתרון הגיע בצורה של 3 ערכים שונים של $\;x$ אשר סומנו באינדקסים $\;1\dots 3$ . כל אחד מהערכים מהווה פתרון של המשוואה המקורית אך רק שלושתם ביחד הן התשובה לשאלה: "אילו ערכים ניתן להציב ב- $\;x$ ולקבל פסוק אמת?" שזו השאלה הנשאלת כאשר אנו מתבקשים לפתור משוואה.

הפרק הקודם:
משוואות פשוטות בנעלם אחד

הפעולות המותרות
תרגילים

הפרק הבא:
משוואות ריבועיות

[עריכה] הפעולות המותרות - תרגילים

[עריכה] תרגילים

רשימת הפרקים

אלגברה תיכונית/משוואות/הפעולות המותרות/תרגילים/רמה א

אלגברה תיכונית/משוואות/הפעולות המותרות/תרגילים/רמה ב

אלגברה תיכונית/משוואות/הפעולות המותרות/תרגילים/רמה ג

אלגברה תיכונית/משוואות/הפעולות המותרות/תרגילים/רמה ד

[עריכה] מהי משוואה ריבועית

משוואה ריבועית היא משוואה מהצורה $\;ax^2+bx+c=0$ כאשר נתון ש- $\;a\ne0$ ו $\;a,b$ וגם $\;c$ הם מספרים קבועים (יתכן והם יופיעו בצורה מפורשת - כלומר מספרים כמו 1 או 3 וגם יתכן שהם יופיעו בצורה פרמטרית, כלומר כאותיות, במקרה זה יש לשים לב שאנו מתייחסים אל האותיות הללו כמספרים קבועים ולא כנעלמים. אנו מחפשים את הערך של $\;x$ ולא של $\;a$ למשל). זו משוואה לא לינארית (הנעלם מופיע בה בחזקה שניה).
למשוואה ריבועית יכולים להיות:

שני פתרונות (כלומר שני מספרים שאם נציב אותם במקום $\;x$ נקבל פסוק שהוא אמיתי).
פתרון אחד.
אין אף פתרון (במספרים ממשיים) כלומר, אין אף מספר שניתן להציב במקום $\;x$ שעבורו נקבל פסוק אמת.

ניתן לפתור כל משוואה ריבועית או לפחות להגיע לקביעה שאין פתרון ממשי. הפתרון מתבסס על הנוסחא לפתרון משוואה ריבועית שעליה נדבר בהמשך. הנוסחא היא הדרך הבטוחה לפתור כל סוג של משוואה ריבועית אך היא אינה הדרך הקצרה ביותר או הפשוטה ביותר. במקרים רבים קל יותר לנצל את הטרינום הריבועי על מנת לפתור את המשוואה בדרך מהירה יותר. נדגים את שתי השיטות בהמשך על המשוואה הריבועית

$\;x^2+5x-14=0$

אך ראשית נסביר את הבעייתיות שמופיעה מרגע שנוספת חזקה שניה של הנעלם למשוואה.

[עריכה] פתרון על ידי הוצאת שורש

כעת נדון בפעולה בעלת חשיבות רבה, אם כי, היא איננה פעולה מותרת במובן שהגדרנו. פעולה זו היא הוצאת שורש. בפעולה זו אנו מפעילים את הפעולה המתמטית של מציאת שורש ריבועי על שני אגפי המשוואה על מנת למצוא את השורש של המספר. שיטה זו טובה רק במקרים מאוד מסויימים, אך הם מופיעים רבות.
ראשית, נזכיר מהו שורש ריבועי. שורש ריבועי הינו הפעולה ההפוכה להעלאה בריבוע כלומר, השורש של מספר הוא המספר שאותו, אם נעלה בריבוע נקבל את המספר המקורי. לפרטים נוספים חזור לפרק חזקות ושורשים.
עלינו לשים לב שכאן ישנו מלכוד משום שלמעשה ישנם שני מספרים שונים אשר יכולים להוות שורש של מספר אחר. למשל במקרה של המספר 81, המספרים $\;9$ וגם $\;-9$ שניהם יכולים להיות השורש. במתמטיקה נהוג לבחור באופן שרירותי את הפתרון החיובי אך במשוואות עלינו להיות מדוייקים יותר, שכן גם $\;-9$ וגם $\;9$ הם שורשים של 81.
מכיוון שכך, עלינו לשים לב שבפעולת הוצאת השורש אנו לא מאבדים פתרונות. על כן, אם נתונה המשוואה:

$\;x^2=81$

הפתרון הוא:

$\;x_{1,2}=\pm 9$

ולא, כפי שתלמידים רבים טועים: $\;x=9$ .

[עריכה] פתרון על ידי הטרינום הריבועי

נחזור למשוואה שהצגנו בראש העמוד. נתחיל את פתרון המשוואה בפירוק הטרינום לבינומים כפי שהוצג בפרק הטרינום הריבועי. לאחר חישוב מתקבל:

$\;x^2+5x-14=\left(x+7\right)\cdot\left(x-2\right)$

ביטוי זה אינו המשוואה שאנו מעוניינים לפתור. זהו רק אגף שמאל שלה, אשר פירקנו לגורמים בעזרת פירוק טרינום. במשוואה המקורית כתוב שאגף ימין שווה ל-0 כלומר

$\;x^2+5x-14=0$

או במילים אחרות

$\;\left(x+7\right)\cdot\left(x-2\right)=0$

נמשיך בפתרון כפי שעשינו בפרק הקודם. נחלק את המשוואה למקרים.

$\;x+7=0\Rightarrow x_1=-7$
$\;x-2=0\Rightarrow x_2=2$

ואז הפתרון של המשוואה המקורית שלנו הוא:
$\;x_1=-7,x_2=2$

[עריכה] הנוסחא לפתרון משוואה ריבועית

נציג את הפתרון בדרך השניה, כלומר בעזרת הנוסחא. אם נתונה לנו משוואה מהצורה $\ ax^2+bx+c=0$ הפתרונות יתקבלו על ידי: $\ x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac}}{2a}$

זוהי נוסחה פשוטה יחסית שנותנת את הפתרון. נוסחה זו כוללת רק פעולות בסיסיות: חיבור, חיסור, כפל, חילוק והוצאת שורש. יש נוסחאות דומות אך מסובכות הרבה יותר עבור משוואות ממעלה שלישית ורביעית, וקיימת הוכחה שאין נוסחה כללית שמבוססת רק על פעולות בסיסיות עבור משוואה ממעלה חמישית ומעלה.
נשתמש כעת בנוסחא זו על מנת לפתור את המשוואה שפתרנו בעזרת הטרינום. במקרה זה $\;a=1,b=5$ ו $\;c=-14$ . נציב את הערכים הללו בנוסחא ונקבל:

$\ x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac}}{2a}=\frac{-5 \pm \sqrt {5^2-4\cdot 1 \cdot\left(-14\right)}}{2\cdot 1}$

כאן מפרידים לפלוס ולמינוס ומקבלים:

$x_1=\frac{-5 + \sqrt {5^2-4\cdot 1 \cdot\left(-14\right)}}{2\cdot 1} = \frac{-5 + \sqrt {25+4\cdot 14}}{2} = \frac{-5 + \sqrt {81}}{2} = 2$
$x_2= \frac{-5 - \sqrt {5^2-4\cdot 1 \cdot\left(-14\right)}}{2\cdot 1} = \frac{-5 - \sqrt {25+4\cdot 14}}{2} = \frac{-5 - \sqrt {81}}{2} = -7$

והגענו בדיוק לאותם פתרונות שהגענו בדרך של הטרינום. קל לראות שהדרך של הטרינום היא קצרה בהרבה מהדרך של הנוסחא אך זו נחמה פורתא משום שהדרך של הטרינום אינה עובדת בחלק נכבד מהמקרים ובמקרים אלו נאלץ להשתמש בשיטה של הנוסחא.
מומלץ מאוד ללמוד נוסחא זו בעל-פה שכן היא נוסחא בעלת חשיבות טכנית עליונה.

[עריכה] הוכחת פתרון המשוואה הריבועית

כדי להוכיח את נכונות פתרון המשוואה הריבועית נשתמש בטכניקת ה"השלמה לריבוע"

$\!\, ax^2+bx+c=0$

נכפיל את המשוואה ב- $\;4a$ ונקבל:

$\!\, 4a^2 x^2 + 4abx + 4ac=0$

עכשיו נשתמש בהשלמה לריבוע ונוסיף לכל אגף את הביטוי $\ b^2 -4ac$ :

$\ 4a^2 x^2 + 4abx + b^2 = b^2 - 4ac$

על האגף השמאלי נפעיל את נוסחאות הכפל המקוצר:

$\left(2ax+b\right)^2 = b^2-4ac$

נוציא שורש ריבועי משני האגפים:

$2ax_{1,2}+b=\pm\sqrt{b^2-4ac}$

מכיוון שביצענו פעולה של "הוצאת שורש" עלינו לשים לב שישנם שני פתרונות אפשריים. פתרונות אלו מסומנים בסימון $\ x_{1,2}$ ומתקבלים בעזרת הסימן $\pm$ כפי שהודגם בראש העמוד.
נחסיר $\;b$ משני אגפי המשוואה כדי לבודד את $\;x_{1,2}$ :

$2ax_{1,2}=-b\pm\sqrt{b^2-4ac\ }$

נחלק ב $\ 2a$ , ומכאן נקבל ש

$x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac\ }}{2a}$

כנדרש.

[עריכה] בחינת הפתרונות האפשריים

נשים לב לביטוי : $\ b^2-4ac$ שמופיע מתחת לשורש בנוסחה הכללית. לביטוי זה חשיבות כה גדולה עד כי ניתן לו שם מיוחד: הדיסקרימיננטה של המשוואה ונהוג לסמן אותו באות היוונית $\ \Delta$ (ד'לתה). על פי ערכה של הדיסקרימיננטה ניתן לדעת כמה פתרונות יש למשוואה:

אם $\ \Delta>0$ יש למשוואה שני פתרונות.
אם $\ \Delta=0$ יש למשוואה פתרון יחיד.
אם $\ \Delta<0$ אין למשוואה פתרונות במספרים ממשיים.

בעזרת שיטת הטרינום, לא ניתן לדעת בוודואות שאין פתרון למשוואה כלל. על מנת לדעת זאת, עלינו לנצל את הדיסקרימיננטה. נדון בנושא זה יותר לעומק בפרק חקירת משוואה ריבועית בהמשך.

הפרק הקודם:
הפעולות המותרות

משוואות ריבועיות
תרגילים

הפרק הבא:
משוואות עם שברים

[עריכה] משוואות ריבועיות - תרגילים

רשימת הפרקים

[עריכה] פתרון משוואות בעזרת טרינום - תרגילים

פתרו את המשוואות הבאות בעזרת פירוק טרינום וחלוקה למקרים, כפי שנלמד בפרק הקודם:

$\ {{3}{x}^{2}+{5}{x}+1} = {{2}{x}^{2}+{x}{-2}}$
$\ {{2}{x}^{2}-{x}} = {{x}^{2}}$
$\ {{x}^{2}{-2}{x}} = {-{x}}$
$\ {{x}^{2}+{5}{x}+{5}} = {{x}+{2}}$
$\ {-{x}+{2}} = {-{x}^{2}+{x}+{2}}$
$\ {{x}^{2}-{x}+1} = {-{x}+{2}}$
$\ {{2}{x}^{2}+{3}{x}+{3}} = {{x}^{2}-{x}-1}$
$\ {-{x}^{2}{-2}{x}+{4}} = {{-2}{x}^{2}+{x}+{2}}$
$\ {{x}^{2}+{4}{x}+{3}} = {-1}$
$\ {{3}{x}^{2}{-5}} = {{2}{x}^{2}-{x}+1}$
$\ {{2}{x}+1} = {-{x}^{2}{-2}{x}{-2}}$
$\ {{x}^{2}{-5}} = {-1}$
$\ {{3}{x}^{2}+{2}{x}+{2}} = {{2}{x}^{2}-{x}}$
$\ {{x}^{2}{-3}{x}+{2}} = {{x}{-2}}$
$\ {{x}^{2}{-2}{x}+{5}} = {{2}{x}+{2}}$
$\ {{x}^{2}{-2}{x}{-2}} = {-{x}{-2}}$
$\ {{x}^{2}+{2}{x}+1} = {{2}{x}+1}$
$\ {{x}^{2}{-4}{x}+{5}} = {{2}}$
$\ {{2}{x}^{2}+{4}{x}+{3}} = {{x}^{2}-1}$
$\ {{x}^{2}-1} = {-{x}+1}$
$\ {{x}^{2}-{x}-1} = {{x}+{2}}$
$\ {{x}^{2}-{x}{-3}} = {-1}$
$\ {{3}{x}^{2}+{3}{x}+{5}} = {{2}{x}^{2}{-2}{x}-1}$
$\ {{x}^{2}-{x}{-4}} = {{-2}}$
$\ {{x}^{2}{-4}{x}+{4}} = {1}$
$\ {{x}^{2}-{x}+1} = {-{x}+{2}}$
$\ {{2}{x}^{2}+{x}{-8}} = {{x}^{2}{-2}}$
$\ {{x}^{2}{-4}} = {{2}{x}-1}$
$\ {{x}^{2}+{7}{x}+{5}} = {{2}{x}-1}$
$\ {{x}^{2}{-2}{x}{-5}} = {{-2}{x}-1}$
$\ {{x}^{2}{-7}{x}+{5}} = {{-2}{x}-1}$
$\ {{x}^{2}+{x}{-8}} = {{x}+1}$
$\ {{8}{x}+{10}} = {-{x}^{2}+{2}{x}+1}$
$\ {{x}^{2}{-5}{x}+{8}} = {{2}}$
$\ {-{x}^{2}{-2}} = {{-2}{x}^{2}+{2}{x}{-2}}$
$\ {{x}^{2}{-3}{x}{-2}} = {{-2}}$
$\ {{x}^{2}+{5}{x}+1} = {{x}{-2}}$
$\ {{x}^{2}-{x}{-2}} = {{-2}}$
$\ {{x}^{2}+{4}{x}+{2}} = {-1}$
$\ {{x}^{2}+{x}} = {{2}}$
$\ {{x}^{2}+{5}{x}+{8}} = {{2}}$
$\ {{x}^{2}{-3}{x}{-3}} = {-{x}}$
$\ {-{x}^{2}+{4}{x}-1} = {{-2}{x}^{2}+{2}{x}{-2}}$
$\ {{x}^{2}+{7}{x}+{9}} = {{x}}$
$\ {{x}^{2}+{4}{x}+{6}} = {{2}}$
$\ {{x}^{2}-{x}{-3}} = {-1}$
$\ {{x}^{2}+{5}{x}+{4}} = {{-2}}$
$\ {{2}{x}^{2}{-2}{x}+{2}} = {{x}^{2}-{x}+{2}}$
$\ {{x}^{2}{-6}{x}+{2}} = {{-2}{x}{-2}}$
$\ {{x}^{2}{-3}{x}+{4}} = {{2}}$

[עריכה] תשובות סופיות

$\ \left\{{{-3}},{-1}\right\}$
$\ \left\{{1},{0}\right\}$
$\ \left\{{0},{1}\right\}$
$\ \left\{{{-3}},{-1}\right\}$
$\ \left\{{0},{{2}}\right\}$
$\ \left\{{1},{-1}\right\}$
$\ \left\{{{-2}},{{-2}}\right\}$
$\ \left\{{{2}},{1}\right\}$
$\ \left\{{{-2}},{{-2}}\right\}$
$\ \left\{{{-3}},{{2}}\right\}$
$\ \left\{{{-3}},{-1}\right\}$
$\ \left\{{{2}},{{-2}}\right\}$
$\ \left\{{{-2}},{-1}\right\}$
$\ \left\{{{2}},{{2}}\right\}$
$\ \left\{{{3}},{1}\right\}$
$\ \left\{{0},{1}\right\}$
$\ \left\{{0},{0}\right\}$
$\ \left\{{1},{{3}}\right\}$
$\ \left\{{{-2}},{{-2}}\right\}$
$\ \left\{{{-2}},{1}\right\}$
$\ \left\{{{3}},{-1}\right\}$
$\ \left\{{{2}},{-1}\right\}$
$\ \left\{{{-3}},{{-2}}\right\}$
$\ \left\{{{2}},{-1}\right\}$
$\ \left\{{1},{{3}}\right\}$
$\ \left\{{-1},{1}\right\}$
$\ \left\{{{2}},{{-3}}\right\}$
$\ \left\{{-1},{{3}}\right\}$
$\ \left\{{{-3}},{{-2}}\right\}$
$\ \left\{{{-2}},{{2}}\right\}$
$\ \left\{{{2}},{{3}}\right\}$
$\ \left\{{{-3}},{{3}}\right\}$
$\ \left\{{{-3}},{{-3}}\right\}$
$\ \left\{{{2}},{{3}}\right\}$
$\ \left\{{0},{{2}}\right\}$
$\ \left\{{{3}},{0}\right\}$
$\ \left\{{-1},{{-3}}\right\}$
$\ \left\{{0},{1}\right\}$
$\ \left\{{-1},{{-3}}\right\}$
$\ \left\{{1},{{-2}}\right\}$
$\ \left\{{{-3}},{{-2}}\right\}$
$\ \left\{{{3}},{-1}\right\}$
$\ \left\{{-1},{-1}\right\}$
$\ \left\{{{-3}},{{-3}}\right\}$
$\ \left\{{{-2}},{{-2}}\right\}$
$\ \left\{{{2}},{-1}\right\}$
$\ \left\{{{-3}},{{-2}}\right\}$
$\ \left\{{1},{0}\right\}$
$\ \left\{{{2}},{{2}}\right\}$
$\ \left\{{1},{{2}}\right\}$

[עריכה] משוואות ריבועיות - תרגילים

פתרו את המשוואות הבאות בעזרת פירוק לטרינום וחלוקה למקרים:

$\ {{x}^{2}+{2}{x}{-6}} = {{-6}}$
$\ {{2}{x}^{2}+{x}{-64}} = {{x}^{2}+{x}}$
$\ {{2}{x}^{2}{-4}} = {{-4}}$
$\ {{5}{x}^{2}{-11}{x}+{9}} = {{2}{x}^{2}+{x}}$
$\ {{2}{x}^{2}{-12}{x}{-3}} = {{-3}}$
$\ {{6}{x}-1} = {-{x}^{2}+{4}{x}{-2}}$
$\ {{x}^{2}{-3}{x}+{2}} = {{2}}$
$\ {{2}{x}^{2}+{6}{x}{-33}} = {{3}}$
$\ {{2}{x}^{2}{-7}{x}{-6}} = {{x}+{4}}$
$\ {{x}^{2}{-4}{x}{-10}} = {{-2}{x}+{5}}$
$\ {{3}{x}^{2}+{42}{x}+{141}} = {{6}}$
$\ {{x}^{2}{-17}{x}+{69}} = {{-3}}$
$\ {{4}{x}{-15}} = {{-2}{x}^{2}+{2}{x}{-3}}$
$\ {{-5}{x}^{2}+{2}{x}{-9}} = {{-6}{x}^{2}+{4}{x}+{6}}$
$\ {-{x}^{2}+{x}{-22}} = {{-2}{x}^{2}{-2}}$
$\ {{3}{x}^{2}+{15}{x}{-110}} = {{-2}}$
$\ {{3}{x}^{2}{-3}{x}{-165}} = {{6}{x}{-3}}$
$\ {{7}{x}^{2}{-12}{x}{-78}} = {{4}{x}^{2}{-6}{x}{-6}}$
$\ {-{x}^{2}{-12}{x}{-65}} = {{-3}{x}^{2}{-4}{x}-1}$
$\ {{-3}{x}^{2}{-6}{x}{-14}} = {{-6}{x}^{2}{-3}{x}+{4}}$
$\ {{7}{x}^{2}+{14}{x}+{16}} = {{6}{x}^{2}+{3}{x}{-2}}$
$\ {{2}{x}^{2}{-168}} = {{-6}}$
$\ {{2}{x}^{2}+{10}{x}{-76}} = {{-4}}$
$\ {{3}{x}^{2}+{x}+{3}} = {{-2}{x}+{3}}$
$\ {{3}{x}^{2}{-7}{x}{-3}} = {-{x}{-6}}$
$\ {{2}{x}^{2}+{24}{x}+{84}} = {{-2}{x}}$
$\ {{8}{x}^{2}{-4}{x}{-2}} = {{6}{x}^{2}{-2}}$
$\ {{-18}{x}+{38}} = {{-2}{x}^{2}+{2}{x}{-4}}$
$\ {{2}{x}^{2}{-20}{x}+{6}} = {{-6}{x}{-6}}$
$\ {{-2}{x}^{2}{-2}{x}{-64}} = {{-3}{x}^{2}{-2}{x}}$
$\ {{3}{x}^{2}+{3}{x}{-123}} = {{3}}$
$\ {{2}{x}^{2}+{28}{x}+{76}} = {{2}{x}{-4}}$
$\ {{3}{x}^{2}+{10}{x}{-71}} = {{-5}{x}+1}$
$\ {{x}^{2}+{7}{x}+{13}} = {{3}}$
$\ {{2}{x}^{2}+{2}{x}{-25}} = {-1}$
$\ {{x}^{2}{-3}{x}{-40}} = {{-5}{x}{-5}}$
$\ {{4}{x}^{2}+{12}{x}{-88}} = {{2}{x}^{2}+{4}{x}+{2}}$
$\ {{8}{x}^{2}{-35}{x}+{93}} = {{5}{x}^{2}+{x}{-3}}$
$\ {{x}^{2}+{10}{x}{-18}} = {{5}{x}+{6}}$
$\ {{3}{x}^{2}{-9}{x}{-83}} = {1}$
$\ {{3}{x}^{2}+{18}{x}{-17}} = {{4}}$
$\ {{x}^{2}{-4}{x}{-50}} = {{-5}}$
$\ {{2}{x}^{2}+{16}{x}{-17}} = {1}$
$\ {{3}{x}^{2}{-15}{x}{-77}} = {{-5}}$
$\ {{2}{x}^{2}+{18}{x}+{25}} = {{2}{x}+1}$
$\ {{7}{x}^{2}{-11}{x}{-44}} = {{5}{x}^{2}-{x}+{4}}$
$\ {{x}^{2}+{5}{x}+{20}} = {{-5}{x}{-5}}$
$\ {{x}^{2}{-10}{x}+{20}} = {{-4}}$
$\ {{3}{x}^{2}{-18}{x}+{19}} = {{-5}}$
$\ {-{x}^{2}{-12}{x}+{25}} = {{-3}{x}^{2}+{2}{x}+{5}}$

[עריכה] תשובות סופיות

$\ \left\{{{-2}},{0}\right\}$
$\ \left\{{{-8}},{{8}}\right\}$
$\ \left\{{0},{0}\right\}$
$\ \left\{{1},{{3}}\right\}$
$\ \left\{{{6}},{0}\right\}$
$\ \left\{{-1},{-1}\right\}$
$\ \left\{{0},{{3}}\right\}$
$\ \left\{{{-6}},{{3}}\right\}$
$\ \left\{{-1},{{5}}\right\}$
$\ \left\{{{5}},{{-3}}\right\}$
$\ \left\{{{-9}},{{-5}}\right\}$
$\ \left\{{{9}},{{8}}\right\}$
$\ \left\{{{-3}},{{2}}\right\}$
$\ \left\{{{-3}},{{5}}\right\}$
$\ \left\{{{-5}},{{4}}\right\}$
$\ \left\{{{-9}},{{4}}\right\}$
$\ \left\{{{9}},{{-6}}\right\}$
$\ \left\{{{-4}},{{6}}\right\}$
$\ \left\{{{-4}},{{8}}\right\}$
$\ \left\{{{-2}},{{3}}\right\}$
$\ \left\{{{-9}},{{-2}}\right\}$
$\ \left\{{{-9}},{{9}}\right\}$
$\ \left\{{{4}},{{-9}}\right\}$
$\ \left\{{-1},{0}\right\}$
$\ \left\{{1},{1}\right\}$
$\ \left\{{{-6}},{{-7}}\right\}$
$\ \left\{{{2}},{0}\right\}$
$\ \left\{{{7}},{{3}}\right\}$
$\ \left\{{1},{{6}}\right\}$
$\ \left\{{{-8}},{{8}}\right\}$
$\ \left\{{{-7}},{{6}}\right\}$
$\ \left\{{{-8}},{{-5}}\right\}$
$\ \left\{{{-8}},{{3}}\right\}$
$\ \left\{{{-2}},{{-5}}\right\}$
$\ \left\{{{-4}},{{3}}\right\}$
$\ \left\{{{-7}},{{5}}\right\}$
$\ \left\{{{-9}},{{5}}\right\}$
$\ \left\{{{4}},{{8}}\right\}$
$\ \left\{{{-8}},{{3}}\right\}$
$\ \left\{{{-4}},{{7}}\right\}$
$\ \left\{{{-7}},{1}\right\}$
$\ \left\{{{9}},{{-5}}\right\}$
$\ \left\{{{-9}},{1}\right\}$
$\ \left\{{{-3}},{{8}}\right\}$
$\ \left\{{{-2}},{{-6}}\right\}$
$\ \left\{{{-3}},{{8}}\right\}$
$\ \left\{{{-5}},{{-5}}\right\}$
$\ \left\{{{6}},{{4}}\right\}$
$\ \left\{{{4}},{{2}}\right\}$
$\ \left\{{{2}},{{5}}\right\}$

[עריכה] נוסחאת השורשים - תרגילים

פתרו את המשוואות הבאות בעזרת נוסחאת השורשים לפתרון משוואה ריבועית

$x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

וללא שימוש בפירוק טרינום. בכל תרגיל גם חשבו את הדיסקרימיננטה $\Delta=\sqrt{b^2-4ac}$ :

$\ {{6}{x}^{2}+{6}{x}+{4}} = {{4}{x}^{2}+{2}{x}+{4}}$
$\ {{3}{x}^{2}+{22}{x}+{57}} = {{x}^{2}{-3}}$
$\ {-{x}^{2}+{6}{x}{-4}} = {{-2}{x}^{2}{-4}}$
$\ {-{x}^{2}+{22}{x}+{56}} = {{-3}{x}^{2}{-4}}$
$\ {{2}{x}^{2}+{4}{x}{-21}} = {{-4}{x}+{3}}$
$\ {{2}{x}^{2}+{14}{x}+{15}} = {{3}}$
$\ {{x}^{2}+{5}{x}+{7}} = {-{x}-1}$
$\ {{x}^{2}+{6}{x}+{9}} = {1}$
$\ {{2}{x}^{2}{-15}{x}+{34}} = {{x}+{4}}$
$\ {{x}^{2}-{x}{-5}} = {1}$
$\ {{-2}{x}^{2}+{14}{x}+{28}} = {{-4}{x}^{2}{-2}{x}{-2}}$
$\ {{x}^{2}+{5}{x}{-3}} = {{x}{-3}}$
$\ {{2}{x}^{2}{-7}{x}{-26}} = {{-3}{x}+{4}}$
$\ {{2}{x}^{2}{-5}} = {{3}}$
$\ {{2}{x}^{2}+{4}{x}+1} = {-1}$
$\ {{2}{x}^{2}{-17}{x}+{35}} = {{x}-1}$
$\ {{-3}{x}^{2}{-9}{x}} = {{-4}{x}^{2}{-3}{x}}$
$\ {{x}^{2}+{2}{x}{-26}} = {{-2}}$
$\ {{2}{x}^{2}+{8}{x}+{9}} = {1}$
$\ {{-2}{x}^{2}+{4}{x}+1} = {{-3}{x}^{2}-{x}{-3}}$
$\ {{x}^{2}+{7}{x}+{8}} = {{-4}}$
$\ {{x}^{2}{-6}{x}{-34}} = {-{x}^{2}{-2}{x}{-4}}$
$\ {{x}^{2}{-6}{x}+{5}} = {{-3}}$
$\ {{2}{x}^{2}{-8}{x}+{2}} = {{-4}}$
$\ {-{x}^{2}{-4}{x}{-6}} = {{-3}{x}^{2}+{2}{x}+{2}}$
$\ {{x}^{2}+{x}{-26}} = {{4}}$
$\ {{2}{x}^{2}{-18}{x}+{21}} = {{-4}{x}+1}$
$\ {{2}{x}^{2}+{7}{x}+{15}} = {{x}^{2}-{x}-1}$
$\ {{x}^{2}+{x}{-15}} = {{4}{x}+{3}}$
$\ {{2}{x}^{2}+{5}{x}{-11}} = {{-3}{x}-1}$
$\ {{x}^{2}-{x}{-14}} = {{-2}{x}{-2}}$
$\ {{2}{x}^{2}{-8}{x}+{8}} = {{2}}$
$\ {{6}{x}^{2}+{x}+1} = {{4}{x}^{2}{-3}{x}+1}$
$\ {{-2}{x}^{2}{-4}{x}{-27}} = {{-3}{x}^{2}{-2}{x}{-3}}$
$\ {{x}^{2}+{8}{x}+{19}} = {{3}}$
$\ {{5}{x}^{2}{-12}{x}+{11}} = {{4}{x}^{2}{-4}{x}{-4}}$
$\ {{3}{x}^{2}{-7}{x}+{9}} = {{2}{x}^{2}{-2}{x}+{3}}$
$\ {{3}{x}^{2}+{6}{x}+{6}} = {{x}^{2}+{2}{x}+{4}}$
$\ {{2}{x}^{2}{-18}{x}+{22}} = {{-4}{x}{-2}}$
$\ {{6}{x}{-21}} = {{-2}{x}^{2}-1}$
$\ {{2}{x}^{2}{-33}} = {-1}$
$\ {{x}^{2}+{7}{x}{-7}} = {{4}{x}{-3}}$
$\ {{2}{x}^{2}+{9}{x}+{12}} = {{x}^{2}+{3}{x}+{4}}$
$\ {{4}{x}^{2}-{x}+{4}} = {{2}{x}^{2}+{3}{x}+{4}}$
$\ {{2}{x}^{2}{-4}{x}+{4}} = {{4}{x}{-4}}$
$\ {{x}^{2}+{8}{x}{-45}} = {-{x}^{2}+{4}{x}+{3}}$
$\ {{x}^{2}} = {1}$
$\ {{x}^{2}{-6}{x}+{27}} = {{4}{x}+{2}}$
$\ {{10}{x}+{20}} = {{-2}{x}^{2}{-4}{x}}$
$\ {{x}^{2}{-7}{x}{-13}} = {{-4}{x}{-3}}$

[עריכה] תשובות סופיות

$\ \left\{{{-2}},{0}\right\}$
$\ \left\{{{-5}},{{-6}}\right\}$
$\ \left\{{{-6}},{0}\right\}$
$\ \left\{{{-6}},{{-5}}\right\}$
$\ \left\{{{-6}},{{2}}\right\}$
$\ \left\{{{-6}},{-1}\right\}$
$\ \left\{{{-2}},{{-4}}\right\}$
$\ \left\{{{-2}},{{-4}}\right\}$
$\ \left\{{{5}},{{3}}\right\}$
$\ \left\{{{-2}},{{3}}\right\}$
$\ \left\{{{-5}},{{-3}}\right\}$
$\ \left\{{{-4}},{0}\right\}$
$\ \left\{{{5}},{{-3}}\right\}$
$\ \left\{{{-2}},{{2}}\right\}$
$\ \left\{{-1},{-1}\right\}$
$\ \left\{{{6}},{{3}}\right\}$
$\ \left\{{0},{{6}}\right\}$
$\ \left\{{{-6}},{{4}}\right\}$
$\ \left\{{{-2}},{{-2}}\right\}$
$\ \left\{{{-4}},{-1}\right\}$
$\ \left\{{{-3}},{{-4}}\right\}$
$\ \left\{{{-3}},{{5}}\right\}$
$\ \left\{{{4}},{{2}}\right\}$
$\ \left\{{{3}},{1}\right\}$
$\ \left\{{{4}},{-1}\right\}$
$\ \left\{{{5}},{{-6}}\right\}$
$\ \left\{{{5}},{{2}}\right\}$
$\ \left\{{{-4}},{{-4}}\right\}$
$\ \left\{{{-3}},{{6}}\right\}$
$\ \left\{{1},{{-5}}\right\}$
$\ \left\{{{-4}},{{3}}\right\}$
$\ \left\{{1},{{3}}\right\}$
$\ \left\{{{-2}},{0}\right\}$
$\ \left\{{{6}},{{-4}}\right\}$
$\ \left\{{{-4}},{{-4}}\right\}$
$\ \left\{{{3}},{{5}}\right\}$
$\ \left\{{{2}},{{3}}\right\}$
$\ \left\{{-1},{-1}\right\}$
$\ \left\{{{3}},{{4}}\right\}$
$\ \left\{{{2}},{{-5}}\right\}$
$\ \left\{{{-4}},{{4}}\right\}$
$\ \left\{{1},{{-4}}\right\}$
$\ \left\{{{-2}},{{-4}}\right\}$
$\ \left\{{{2}},{0}\right\}$
$\ \left\{{{2}},{{2}}\right\}$
$\ \left\{{{-6}},{{4}}\right\}$
$\ \left\{{1},{-1}\right\}$
$\ \left\{{{5}},{{5}}\right\}$
$\ \left\{{{-5}},{{-2}}\right\}$
$\ \left\{{{-2}},{{5}}\right\}$

[עריכה] נוסחת השורשים - תרגילים

פתרו את התרגילים הבאים בעזרת נוסחת השורשים של משוואה ריבועית. מותר ועדיף להשתמש במחשבון. מומלץ לצמצם גורמים משותפים לפני הצבה בנוסחת השורשים על ידי חילוק בהם.

$\ {{7}{x}^{2}{-\frac{115}{12}}{x}{-\frac{389}{14}}} = {{6}{x}^{2}{-\frac{7}{3}}{x}{-\frac{2}{7}}}$
$\ {{\frac{3}{2}}{x}^{2}+{\frac{29}{10}}{x}{-\frac{42}{5}}} = {{\frac{1}{2}}{x}^{2}{-\frac{8}{5}}{x}+{\frac{3}{5}}}$
$\ {{x}^{2}+{\frac{97}{12}}{x}+{\frac{211}{24}}} = {{\frac{4}{3}}{x}{-\frac{4}{3}}}$
$\ {{2}{x}^{2}+{\frac{4}{3}}{x}{-\frac{19}{12}}} = {{\frac{7}{4}}}$
$\ {{4}{x}^{2}{-22}{x}+{\frac{158}{5}}} = {{\frac{8}{5}}}$
$\ {{2}{x}^{2}+{14}{x}+{\frac{85}{4}}} = {{-\frac{5}{4}}}$
$\ {{\frac{2}{3}}{x}^{2}{-\frac{5}{4}}{x}{-\frac{31}{2}}} = {{-\frac{4}{3}}{x}^{2}{-\frac{5}{4}}{x}{-3}}$
$\ {{2}{x}^{2}{-\frac{67}{4}}{x}{-\frac{107}{2}}} = {{\frac{3}{4}}{x}{-4}}$
$\ {{\frac{35}{8}}{x}^{2}+{19}{x}+{28}} = {{\frac{3}{8}}{x}^{2}{-2}{x}+{\frac{1}{2}}}$
$\ {{2}{x}^{2}+{\frac{9}{4}}{x}{-\frac{113}{30}}} = {{x}^{2}+{\frac{1}{6}}{x}+{\frac{2}{5}}}$
$\ {{x}^{2}+{\frac{7}{6}}{x}{-\frac{22}{3}}} = {{\frac{1}{2}}{x}{-\frac{1}{3}}}$
$\ {{4}{x}^{2}+{14}{x}{-\frac{22}{3}}} = {{\frac{2}{3}}}$
$\ {{2}{x}^{2}+{\frac{50}{3}}{x}{-\frac{355}{4}}} = {{-\frac{3}{4}}}$
$\ {{\frac{1}{2}}{x}^{2}+{8}{x}+{\frac{11}{3}}} = {{-\frac{7}{2}}{x}^{2}{-\frac{4}{3}}{x}+1}$
$\ {{3}{x}^{2}+{\frac{149}{10}}{x}{-\frac{239}{14}}} = {{\frac{7}{5}}{x}{-\frac{4}{7}}}$
$\ {{\frac{31}{8}}{x}^{2}{-\frac{162}{7}}{x}{-60}} = {{\frac{7}{8}}{x}^{2}+{\frac{6}{7}}{x}}$
$\ {{4}{x}^{2}+{10}{x}{-104}} = {{-2}{x}+{8}}$
$\ {{\frac{8}{7}}{x}^{2}+{\frac{46}{5}}{x}+{\frac{33}{4}}} = {{-\frac{6}{7}}{x}^{2}+{\frac{6}{5}}{x}+{\frac{1}{4}}}$
$\ {{-\frac{2}{5}}{x}^{2}+{\frac{1}{2}}{x}{-15}} = {{-\frac{7}{5}}{x}^{2}+{\frac{1}{2}}{x}+1}$
$\ {{x}^{2}+{\frac{11}{4}}{x}+{\frac{45}{28}}} = {{-\frac{1}{7}}}$
$\ {{x}^{2}{-\frac{7}{3}}{x}{-\frac{2}{3}}} = {{-2}}$
$\ {{4}{x}^{2}+{12}{x}{-\frac{214}{3}}} = {{\frac{2}{3}}}$
$\ {{4}{x}^{2}+{8}{x}+{2}} = {{-2}}$
$\ {{x}^{2}{-\frac{13}{2}}{x}+{\frac{53}{5}}} = {{\frac{3}{5}}}$
$\ {{x}^{2}+{\frac{91}{15}}{x}+{\frac{57}{8}}} = {{\frac{2}{5}}{x}{-\frac{7}{8}}}$
$\ {{\frac{3}{2}}{x}^{2}+{\frac{8}{3}}{x}{-\frac{161}{8}}} = {{-\frac{5}{2}}{x}^{2}{-\frac{4}{3}}{x}{-\frac{7}{8}}}$
$\ {{\frac{13}{4}}{x}^{2}{-4}{x}{-5}} = {{-\frac{3}{4}}{x}^{2}+{x}+{4}}$
$\ {{x}^{2}+{\frac{21}{4}}{x}{-\frac{69}{4}}} = {{-5}}$
$\ {{x}^{2}{-\frac{73}{14}}{x}{-\frac{153}{8}}} = {{\frac{2}{7}}{x}+{\frac{7}{8}}}$
$\ {{9}{x}^{2}{-\frac{47}{6}}{x}{-28}} = {{5}{x}^{2}+{\frac{7}{6}}{x}}$
$\ {{2}{x}^{2}+{\frac{38}{3}}{x}+{\frac{389}{21}}} = {{-\frac{1}{7}}}$
$\ {{4}{x}^{2}+{\frac{32}{3}}{x}{-\frac{7}{2}}} = {{-\frac{7}{2}}}$
$\ {{3}{x}^{2}{-6}{x}+{\frac{7}{4}}} = {{-\frac{1}{2}}}$
$\ {{\frac{7}{3}}{x}^{2}{-\frac{26}{7}}{x}+{\frac{5}{8}}} = {{-\frac{2}{3}}{x}^{2}{-\frac{5}{7}}{x}+{\frac{5}{8}}}$
$\ {{x}^{2}{-\frac{32}{3}}{x}+{\frac{172}{21}}} = {{-5}{x}+{\frac{6}{7}}}$
$\ {{x}^{2}{-\frac{4}{3}}{x}{-4}} = {1}$
$\ {{2}{x}^{2}{-6}{x}{-\frac{35}{3}}} = {{\frac{4}{3}}{x}+{\frac{5}{3}}}$
$\ {{\frac{30}{7}}{x}^{2}+{\frac{33}{2}}{x}{-\frac{195}{4}}} = {{\frac{2}{7}}{x}^{2}+{\frac{1}{2}}{x}{-\frac{3}{4}}}$
$\ {{2}{x}^{2}+{\frac{86}{3}}{x}+{73}} = {{-\frac{4}{3}}{x}+1}$
$\ {{3}{x}^{2}{-21}{x}+{37}} = {1}$
$\ {{4}{x}^{2}{-46}{x}+{\frac{786}{7}}} = {{\frac{2}{7}}}$
$\ {{x}^{2}+{\frac{67}{5}}{x}+{31}} = {{-\frac{3}{5}}{x}{-2}}$
$\ {{4}{x}^{2}{-\frac{8}{21}}{x}{-\frac{140}{3}}} = {{\frac{2}{7}}{x}}$
$\ {{3}{x}^{2}{-\frac{281}{28}}{x}+{\frac{25}{8}}} = {{-\frac{2}{7}}{x}{-\frac{5}{2}}}$
$\ {{4}{x}^{2}+{42}{x}+{26}} = {{6}}$
$\ {{x}^{2}+{\frac{7}{3}}{x}{-\frac{79}{21}}} = {{-\frac{3}{7}}}$
$\ {{\frac{17}{4}}{x}^{2}{-\frac{10}{3}}{x}{-\frac{1081}{21}}} = {{\frac{1}{4}}{x}^{2}{-4}{x}{-\frac{1}{7}}}$
$\ {{x}^{2}{-\frac{5}{4}}{x}{-\frac{27}{2}}} = {{-\frac{1}{2}}{x}{-8}}$
$\ {{-\frac{40}{3}}{x}+{\frac{25}{3}}} = {-{x}^{2}{-\frac{5}{3}}{x}+1}$
$\ {{4}{x}^{2}+{\frac{43}{3}}{x}+{\frac{13}{3}}} = {{\frac{4}{3}}{x}+{\frac{4}{3}}}$

[עריכה] תשובות סופיות

$\ \left\{{{-\frac{11}{4}}},{{10}}\right\}$
$\ \left\{{{-6}},{{\frac{3}{2}}}\right\}$
$\ \left\{{{-\frac{9}{4}}},{{-\frac{9}{2}}}\right\}$
$\ \left\{{{-\frac{5}{3}}},{1}\right\}$
$\ \left\{{{\frac{5}{2}}},{{3}}\right\}$
$\ \left\{{{-\frac{9}{2}}},{{-\frac{5}{2}}}\right\}$
$\ \left\{{{-\frac{5}{2}}},{{\frac{5}{2}}}\right\}$
$\ \left\{{{-\frac{9}{4}}},{{11}}\right\}$
$\ \left\{{{-\frac{11}{4}}},{{-\frac{5}{2}}}\right\}$
$\ \left\{{{\frac{5}{4}}},{{-\frac{10}{3}}}\right\}$
$\ \left\{{{-3}},{{\frac{7}{3}}}\right\}$
$\ \left\{{{-4}},{{\frac{1}{2}}}\right\}$
$\ \left\{{{-12}},{{\frac{11}{3}}}\right\}$
$\ \left\{{{-2}},{{-\frac{1}{3}}}\right\}$
$\ \left\{{1},{{-\frac{11}{2}}}\right\}$
$\ \left\{{{10}},{{-2}}\right\}$
$\ \left\{{{-7}},{{4}}\right\}$
$\ \left\{{{-2}},{{-2}}\right\}$
$\ \left\{{{4}},{{-4}}\right\}$
$\ \left\{{{-\frac{7}{4}}},{-1}\right\}$
$\ \left\{{1},{{\frac{4}{3}}}\right\}$
$\ \left\{{{-6}},{{3}}\right\}$
$\ \left\{{-1},{-1}\right\}$
$\ \left\{{{\frac{5}{2}}},{{4}}\right\}$
$\ \left\{{{-3}},{{-\frac{8}{3}}}\right\}$
$\ \left\{{{\frac{7}{4}}},{{-\frac{11}{4}}}\right\}$
$\ \left\{{-1},{{\frac{9}{4}}}\right\}$
$\ \left\{{{-7}},{{\frac{7}{4}}}\right\}$
$\ \left\{{{-\frac{5}{2}}},{{8}}\right\}$
$\ \left\{{{-\frac{7}{4}}},{{4}}\right\}$
$\ \left\{{{-\frac{7}{3}}},{{-4}}\right\}$
$\ \left\{{{-\frac{8}{3}}},{0}\right\}$
$\ \left\{{{\frac{3}{2}}},{{\frac{1}{2}}}\right\}$
$\ \left\{{0},{1}\right\}$
$\ \left\{{{2}},{{\frac{11}{3}}}\right\}$
$\ \left\{{{3}},{{-\frac{5}{3}}}\right\}$
$\ \left\{{{-\frac{4}{3}}},{{5}}\right\}$
$\ \left\{{{2}},{{-6}}\right\}$
$\ \left\{{{-12}},{{-3}}\right\}$
$\ \left\{{{3}},{{4}}\right\}$
$\ \left\{{{\frac{7}{2}}},{{8}}\right\}$
$\ \left\{{{-3}},{{-11}}\right\}$
$\ \left\{{{\frac{7}{2}}},{{-\frac{10}{3}}}\right\}$
$\ \left\{{{\frac{5}{2}}},{{\frac{3}{4}}}\right\}$
$\ \left\{{{-\frac{1}{2}}},{{-10}}\right\}$
$\ \left\{{1},{{-\frac{10}{3}}}\right\}$
$\ \left\{{{\frac{7}{2}}},{{-\frac{11}{3}}}\right\}$
$\ \left\{{{-2}},{{\frac{11}{4}}}\right\}$
$\ \left\{{{\frac{2}{3}}},{{11}}\right\}$
$\ \left\{{{-3}},{{-\frac{1}{4}}}\right\}$

[עריכה] נוסחת השורשים - תרגילים

פתרו את המשוואות הבאות בעזרת נוסחת השורשים, או בכל דרך אחרת. מותר להשתמש במחשבון.

$\ {{5}{x}^{2}{-5}{x}{-\frac{2929}{12}}} = {{-\frac{1}{3}}}$
$\ {{\frac{25}{13}}{x}^{2}{-\frac{47}{60}}{x}{-\frac{306}{11}}} = {{\frac{12}{13}}{x}^{2}{-\frac{13}{4}}{x}+{\frac{2}{11}}}$
$\ {{5}{x}^{2}+{\frac{123}{2}}{x}{-\frac{1615}{2}}} = {{9}{x}}$
$\ {{\frac{1}{4}}{x}^{2}+{\frac{149}{22}}{x}{-\frac{161}{3}}} = {{-\frac{3}{4}}{x}^{2}{-\frac{8}{11}}{x}+{\frac{1}{3}}}$
$\ {{5}{x}^{2}{-\frac{275}{21}}{x}{-\frac{2649}{70}}} = {{-\frac{7}{10}}}$
$\ {{7}{x}^{2}+{\frac{105}{4}}{x}+{\frac{763}{52}}} = {{-\frac{14}{13}}}$
$\ {{3}{x}^{2}+{\frac{1}{5}}{x}{-41}} = {{-\frac{7}{5}}}$
$\ {{x}^{2}+{\frac{1}{2}}{x}{-\frac{103}{9}}} = {{-2}}$
$\ {{6}{x}^{2}+{\frac{10134}{91}}{x}+{\frac{9813}{56}}} = {{-\frac{12}{13}}{x}+{\frac{3}{8}}}$
$\ {{6}{x}^{2}{-\frac{101}{7}}{x}+{\frac{148}{7}}} = {{4}{x}+{7}}$
$\ {{\frac{14}{5}}{x}^{2}+{\frac{743}{70}}{x}+{\frac{201}{40}}} = {{-\frac{6}{5}}{x}^{2}+{\frac{3}{14}}{x}{-\frac{11}{8}}}$
$\ {{x}^{2}+{\frac{33}{10}}{x}+{\frac{56}{15}}} = {{\frac{7}{3}}}$
$\ {{4}{x}^{2}{-\frac{226}{5}}{x}+{\frac{486}{5}}} = {{2}}$
$\ {{6}{x}^{2}{-\frac{150}{7}}{x}+{\frac{285}{14}}} = {{\frac{3}{2}}}$
$\ {{3}{x}^{2}+{\frac{303}{10}}{x}+{\frac{386}{5}}} = {{7}}$
$\ {{\frac{68}{11}}{x}^{2}+{\frac{769}{21}}{x}{-\frac{302}{11}}} = {{-\frac{9}{11}}{x}^{2}{-\frac{5}{7}}{x}+{\frac{6}{11}}}$
$\ {{5}{x}^{2}+{\frac{927}{28}}{x}+{\frac{393}{7}}} = {{-\frac{9}{14}}{x}+{\frac{8}{7}}}$
$\ {{\frac{49}{12}}{x}^{2}+{\frac{298}{63}}{x}{-29}} = {{\frac{13}{12}}{x}^{2}+{\frac{13}{9}}{x}{-\frac{5}{7}}}$
$\ {{\frac{22}{7}}{x}^{2}{-\frac{73}{4}}{x}+{\frac{671}{40}}} = {{\frac{1}{7}}{x}^{2}-{x}{-\frac{1}{10}}}$
$\ {{3}{x}^{2}+{\frac{40}{7}}{x}+{\frac{1203}{91}}} = {{-8}{x}{-\frac{12}{13}}}$
$\ {{3}{x}^{2}+{\frac{971}{12}}{x}+{\frac{1817}{4}}} = {{-\frac{1}{12}}{x}{-\frac{7}{4}}}$
$\ {{7}{x}^{2}{-\frac{581}{15}}{x}+{\frac{311}{6}}} = {{\frac{1}{2}}}$
$\ {{x}^{2}+{5}{x}+{\frac{69}{20}}} = {{-\frac{9}{5}}}$
$\ {{7}{x}^{2}{-14}{x}{-\frac{59}{3}}} = {{\frac{4}{3}}}$
$\ {{x}^{2}+{\frac{57}{14}}{x}+{\frac{29}{35}}} = {{\frac{3}{14}}{x}+{\frac{7}{5}}}$
$\ {{x}^{2}{-\frac{1}{7}}{x}+{\frac{11}{14}}} = {-{x}+{\frac{11}{14}}}$
$\ {{2}{x}^{2}{-52}{x}+{\frac{1681}{5}}} = {{-\frac{9}{5}}}$
$\ {{\frac{25}{12}}{x}^{2}{-\frac{257}{35}}{x}{-\frac{22}{49}}} = {{\frac{1}{12}}{x}^{2}{-\frac{1}{5}}{x}{-6}}$
$\ {{\frac{89}{13}}{x}^{2}+{\frac{33}{20}}{x}{-\frac{313}{65}}} = {{-\frac{2}{13}}{x}^{2}+{2}{x}{-\frac{8}{13}}}$
$\ {{3}{x}^{2}{-\frac{3}{4}}{x}{-\frac{311}{4}}} = {1}$
$\ {{x}^{2}{-\frac{19}{5}}{x}+{\frac{37}{5}}} = {{5}}$
$\ {{\frac{28}{11}}{x}^{2}+{26}{x}+{\frac{139}{7}}} = {{-\frac{5}{11}}{x}^{2}{-\frac{1}{4}}{x}+{\frac{13}{7}}}$
$\ {{x}^{2}{-\frac{220}{21}}{x}+{\frac{271}{21}}} = {{-2}{x}{-\frac{2}{3}}}$
$\ {{3}{x}^{2}+{3}{x}{-\frac{88}{13}}} = {{-\frac{10}{13}}}$
$\ {{5}{x}^{2}+{\frac{463}{10}}{x}{-\frac{247}{5}}} = {{\frac{13}{10}}{x}+{\frac{3}{5}}}$
$\ {{2}{x}^{2}{-\frac{1}{7}}{x}+{\frac{8}{11}}} = {{x}+{\frac{8}{11}}}$
$\ {{x}^{2}{-\frac{55}{3}}{x}+{\frac{328}{15}}} = {{-\frac{4}{5}}}$
$\ {{x}^{2}+{\frac{8}{5}}{x}{-\frac{2132}{225}}} = {{\frac{13}{9}}}$
$\ {{\frac{7}{5}}{x}^{2}+{\frac{99}{7}}{x}{-\frac{122}{3}}} = {{-\frac{3}{5}}{x}^{2}{-\frac{13}{7}}{x}{-\frac{2}{3}}}$
$\ {{\frac{25}{9}}{x}^{2}+{\frac{106}{5}}{x}+{\frac{175}{4}}} = {{-\frac{2}{9}}{x}^{2}{-\frac{9}{5}}{x}+1}$
$\ {{4}{x}^{2}+{\frac{295}{14}}{x}{-\frac{146}{11}}} = {{-\frac{13}{14}}{x}{-\frac{14}{11}}}$
$\ {{4}{x}^{2}+{8}{x}+{\frac{181}{49}}} = {1}$
$\ {{6}{x}^{2}{-72}{x}+{\frac{793}{12}}} = {{\frac{1}{12}}}$
$\ {{\frac{79}{11}}{x}^{2}{-8}{x}{-\frac{341}{5}}} = {{\frac{13}{11}}{x}^{2}+{4}{x}{-\frac{7}{10}}}$
$\ {{2}{x}^{2}+{\frac{14}{3}}{x}{-\frac{10}{3}}} = {-{x}}$
$\ {{6}{x}^{2}+{167}{x}+{\frac{5684}{5}}} = {{-13}{x}+{\frac{14}{5}}}$
$\ {{7}{x}^{2}+{\frac{49}{2}}{x}+{\frac{133}{8}}} = {{-\frac{7}{8}}}$
$\ {{5}{x}^{2}+{\frac{25}{14}}{x}{-\frac{233}{182}}} = {{-\frac{12}{13}}}$
$\ {{4}{x}^{2}+{48}{x}+{\frac{5}{2}}} = {{\frac{5}{2}}}$
$\ {{7}{x}^{2}{-\frac{161}{5}}{x}+{\frac{1933}{175}}} = {{-\frac{5}{7}}}$

[עריכה] תשובות סופיות

$\ \left\{{{-\frac{13}{2}}},{{\frac{15}{2}}}\right\}$
$\ \left\{{{\frac{21}{5}}},{{-\frac{20}{3}}}\right\}$
$\ \left\{{{\frac{17}{2}}},{{-19}}\right\}$
$\ \left\{{{-12}},{{\frac{9}{2}}}\right\}$
$\ \left\{{{\frac{13}{3}}},{{-\frac{12}{7}}}\right\}$
$\ \left\{{{-\frac{3}{4}}},{{-3}}\right\}$
$\ \left\{{{\frac{18}{5}}},{{-\frac{11}{3}}}\right\}$
$\ \left\{{{\frac{17}{6}}},{{-\frac{10}{3}}}\right\}$
$\ \left\{{{-\frac{12}{7}}},{{-17}}\right\}$
$\ \left\{{{\frac{3}{2}}},{{\frac{11}{7}}}\right\}$
$\ \left\{{{-\frac{8}{5}}},{-1}\right\}$
$\ \left\{{{-\frac{1}{2}}},{{-\frac{14}{5}}}\right\}$
$\ \left\{{{\frac{14}{5}}},{{\frac{17}{2}}}\right\}$
$\ \left\{{{2}},{{\frac{11}{7}}}\right\}$
$\ \left\{{{-\frac{13}{2}}},{{-\frac{18}{5}}}\right\}$
$\ \left\{{{\frac{2}{3}}},{{-6}}\right\}$
$\ \left\{{{-\frac{11}{4}}},{{-4}}\right\}$
$\ \left\{{{\frac{18}{7}}},{{-\frac{11}{3}}}\right\}$
$\ \left\{{{\frac{9}{2}}},{{\frac{5}{4}}}\right\}$
$\ \left\{{{-\frac{11}{7}}},{{-3}}\right\}$
$\ \left\{{{-19}},{{-8}}\right\}$
$\ \left\{{{\frac{11}{5}}},{{\frac{10}{3}}}\right\}$
$\ \left\{{{-\frac{7}{2}}},{{-\frac{3}{2}}}\right\}$
$\ \left\{{-1},{{3}}\right\}$
$\ \left\{{{\frac{1}{7}}},{{-4}}\right\}$
$\ \left\{{0},{{-\frac{6}{7}}}\right\}$
$\ \left\{{{13}},{{13}}\right\}$
$\ \left\{{{\frac{8}{7}}},{{\frac{17}{7}}}\right\}$
$\ \left\{{{\frac{4}{5}}},{{-\frac{3}{4}}}\right\}$
$\ \left\{{{\frac{21}{4}}},{{-5}}\right\}$
$\ \left\{{{3}},{{\frac{4}{5}}}\right\}$
$\ \left\{{{-\frac{3}{4}}},{{-8}}\right\}$
$\ \left\{{{\frac{15}{7}}},{{\frac{19}{3}}}\right\}$
$\ \left\{{1},{{-2}}\right\}$
$\ \left\{{{-10}},{1}\right\}$
$\ \left\{{0},{{\frac{4}{7}}}\right\}$
$\ \left\{{{\frac{4}{3}}},{{17}}\right\}$
$\ \left\{{{\frac{13}{5}}},{{-\frac{21}{5}}}\right\}$
$\ \left\{{{-10}},{{2}}\right\}$
$\ \left\{{{-\frac{19}{6}}},{{-\frac{9}{2}}}\right\}$
$\ \left\{{{\frac{1}{2}}},{{-6}}\right\}$
$\ \left\{{{-\frac{3}{7}}},{{-\frac{11}{7}}}\right\}$
$\ \left\{{1},{{11}}\right\}$
$\ \left\{{{\frac{9}{2}}},{{-\frac{5}{2}}}\right\}$
$\ \left\{{{-\frac{10}{3}}},{{\frac{1}{2}}}\right\}$
$\ \left\{{{-21}},{{-9}}\right\}$
$\ \left\{{{-\frac{5}{2}}},{-1}\right\}$
$\ \left\{{{-\frac{1}{2}}},{{\frac{1}{7}}}\right\}$
$\ \left\{{0},{{-12}}\right\}$
$\ \left\{{{\frac{21}{5}}},{{\frac{2}{5}}}\right\}$

[עריכה] נוסחאות וייטה

נוסחאות וייטה הן נוסחאות המקשרות בין הפתרונות של משוואה ריבועית $\;ax^2+bx+c=0$ שיסומנו ב- $\;\{x_1,x_2\}$ , לבין מקדמי המשוואה. הנוסחאות מאפשרות לנו לחקור את התכונות של המשוואה הריבועית, וגם לחשב בקלות את הפתרון השני במידה והפתרון הראשון נתון כבר. הנוסחאות הן:

$\;x_1+x_2=-\frac{b}{a}$
$\;x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}$

בנושא חקירת משוואה ריבועית נשתמש ביותר פירוט בנוסחאות וייטה לצורך לחקירת משוואות ריבועיות הנתונות באופן פרמטרי.

[עריכה] נכונות הנוסחאות

על מנת להראות את נכונות הנוסחאות, נניח ש- $\;x_1$ הוא פתרון של המשוואה $\;ax^2+bx+c=0$ . נתבונן בנוסחת הסכום $\;x_1+x_2=-\frac{b}{a}$ . מתוך נוסחא זו, ניתן לבודד את $\;x_2$ . נקבל ש

$\;x_2=-\left(\frac{b}{a}+x_1\right)$

אם $\;x_2$ שבודדנו מהנוסחא גם הוא פתרון, אז הנוסחא נכונה, כי הנחנו ש- $\;x_1$ הוא פתרון ומתוך זה הגענו לזה ש- $\;x_2=-\left(\frac{b}{a}+x_1\right)$ אף הוא פתרון. על מנת לבדוק זאת, עלינו פשוט להציב במשוואה: $\;ax^2+bx+c = 0$

$\begin{matrix} a{x_2}^2+bx_2+c & = & a\left[-\left(\frac{b}{a}+x_1\right)\right]^2 + b\left[-\left(\frac{b}{a} + x_1\right)\right] + c \\ \ & = & a\left(\frac{b^2}{a^2}+2 x_1\frac{b}{a} + {x_1}^2\right)-\frac{b^2}{a}-b x_1+c \\ \ & = & \frac{b^2}{a}+2a x_1\frac{b}{a} + a{x_1}^2-\frac{b^2}{a}-b x_1+c \\ \ & = & \frac{b^2}{a}+2b x_1 + a{x_1}^2-\frac{b^2}{a}-b x_1+c \\ \ & = & b x_1 + a{x_1}^2+c \\ \ & = & 0 \end{matrix}$

שימו לב, המעבר האחרון הוא נכון בגלל ש $\;x_1$ הוא פתרון של המשוואה כפי שהנחנו. הגענו לתוצאה ש- $\;x_2$ הוא פתרון של המשוואה, מתוך זה ש- $\;x_1$ הוא פתרון, וזה אומר שהצלחנו להראות את הקשר הנדרש.

אלגברה תיכונית/משוואות/נוסחאות ויאטה/תרגילים

[עריכה] משוואות עם שברים

אנו מתקדמים כעת לנושא של משוואות עם שברים. אין למעשה הבדל תיאורטי בין נושא זה לבין הנושאים הקודמים ולא נלמד פה נושאים חדשים, אלא נשכלל מעט את הידע שכבר רכשנו בתחום פתרון המשוואות.

[עריכה] מכנה משותף

מציאת מכנה משותף הינה פעולה פשוטה וחשובה בפתרון משוואות עם שברים. נתבונן במשוואה הבאה:

$\frac{x}{4x-12}+\frac{1}{x-5}=0$

על מנת לפתור משוואה זו, עלינו "להיפטר" מהשברים ולעבור למשוואה אחרת שאותה אנחנו כבר יודעים לפתור, כמו למשל משוואה ריבועית. על מנת לעשות זאת, נמצא ראשית את המכנה המשותף לכל השברים המופיעים במשוואה. במקרה זה, המכנה המשותף הוא בדיוק $\ \left(4x-12\right)\cdot\left(x-5\right)$ . לאחר שמצאנו את המכנה המשותף נוכל לכפול בו את המשוואה כולה, שכן ברור שהמכנים לא יכולים להיות 0, אחרת המשוואה מאבדת את משמעותה. על כן:

$\frac{x}{4x-12}+\frac{1}{x-5}=0\ \ \ \ \ /\ \ \cdot\left(4x-12\right)\cdot\left(x-5\right)$
$\left(\frac{x}{4x-12}+\frac{1}{x-5}\right)\cdot\left(4x-12\right)\cdot\left(x-5\right)=0$
$\frac{x}{4x-12}\cdot\left(4x-12\right)\cdot\left(x-5\right) +\frac{1}{x-5}\cdot\left(4x-12\right)\cdot\left(x-5\right)=0$
$\;x\cdot\left(x-5\right)+4x-12=0$
$\;x^2-x-12=0$

את המשוואה האחרונה נפתור בעזרת נוסחת השורשים של משוואה ריבועית (זו שראינו בפרק הקודם). נקבל ש

$x_{1\,2}=\frac{1\pm \sqrt{1^2-4\cdot\left(-12\right)}}{2}= \frac{1 \pm 7}{2}$
$\;x_1=4$
$\;x_2=-3$

[עריכה] גורמים משותפים

לעיתים לא ניתן לפתור את המשוואה באופן טכני לחלוטין. כדוגמא ניקח את המשוואה

$x- \frac{7x-63}{x}+\frac{6\left(x-9\right)}{x^2}=9$

משוואה זו אינה נראית פשוטה כלל ועיקר. עלינו לפתור את המשוואה בשלבים. ראשית נחפש מכנה משותף על מנת "להפטר" מהשברים. נבצע זאת על ידי הכפלה ב- $\;x^2$ . ניתן לעשות זאת כך משום שהמכנים לעולם אינם 0 כי אחרת לביטוי אין שום משמעות. פעולה זו תהפוך את המשוואה למשוואה ללא שברים כך:

$x- \frac{7x-63}{x}+\frac{6\left(x-9\right)}{x^2}=9\;\;\;\;\;/\;\;\cdot x^2$
$x^2\cdot\left(x- \frac{7x-63}{x}+\frac{6\left(x-9\right)}{x^2}\right)=x^2\cdot 9$
$x^2\cdot x- x^2\cdot\frac{7x-63}{x}+x^2\cdot\frac{6\left(x-9\right)}{x^2}=9x^2$
$x^3- x\left(7x-63\right)+6\left(x-9\right)=9x^2$
$x^3- 7x^2+63x+6\left(x-9\right)=9x^2$

כאן נעצור לרגע. אם נמשיך לכנס אברים, לא נוכל להמשיך לפתור משום שנקבל משוואה ממעלה שלישית אשר איננו יודעים כיצד לפתור. עלינו למצוא דרך אחרת לפתרון. נשים לב ש-63 הוא כפולה של 9 ו 7 ולכן נוכל לסגור $\;x-9$ בתוך סוגרים ונקבל

$x^3- 7x\left(x-9\right)+6\left(x-9\right)=9x^2$

וכעת נעביר את אגף ימין שמאלה ונקבל:

$x^3- 9x^2 -7x\left(x-9\right)+6\left(x-9\right)=0$

שימו לב שכרגע ניתן להוציא $x 2$ מהביטוי: $x 3 - 9 x 2$ ואז נקבל את הביטוי:

$x^2\left(x-9\right)-7x\left(x-9\right)+6\left(x-9\right)=0$

כעת נשים לב שכל האיברים מוכפלים בביטוי $\left(x-9\right)$ , נוציא אותו בתור גורם משותף ונקבל:

$\left(x^2-7x+6\right)\left(x-9\right)=0$

כעת נקבל 2 מקרים נפרדים שבאחד מהם $\;x-9=0$ כלומר $\;x_1=9$ ומקרה נוסף שבו

$\;x^2 -7x +6=0$

אותו נפתור בעזרת הטרינום הריבועי ונקבל לאחר חישוב (בדוק!): $x 2 = 6, x 3 = 1$ ראינו כאן שאת המשוואה הזו לא ניתן להתיר בקלות אם לא היינו שמים לב ש $\;x-9$ הוא גורם משותף. תמיד כדאי לשים לב לגורמים משותפים, ועל כן, יש לחזור ולתרגל את הנושא ככל הניתן.

הפרק הקודם:
משוואות ריבועיות

משוואות עם שברים
תרגילים

הפרק הבא:
משוואות עם שורשים

[עריכה] תרגילים בנושא משוואות עם שברים

רשימת הפרקים

פתרו את המשוואות הבאות. יש למצוא את כל הפתרונות:

$\ {{\frac{1}{2}}{x}{-\frac{1}{4}}}+\frac{{{-\frac{19}{2}}}}{{{-2}{x}{-2}}} = {{x}{-\frac{3}{4}}}+\frac{{{-\frac{3}{2}}}}{{{-2}{x}{-2}}}$
$\ {{3}{x}{-3}}+\frac{{1}}{{{x}}} = {{2}{x}}+\frac{{1}}{{{x}}}$
$\ {{-5}}+\frac{{{-6}}}{{{-\frac{1}{2}}{x}-1}} = {{2}{x}{-3}}+\frac{{{-4}}}{{{-\frac{1}{2}}{x}-1}}$
$\ {{\frac{3}{2}}{x}{-\frac{5}{2}}}+\frac{{{3}}}{{{x}{-2}}} = {{\frac{1}{2}}{x}+{\frac{3}{2}}}+\frac{{{2}}}{{{x}{-2}}}$
$\ {{-\frac{1}{2}}{x}}+\frac{{{-9}}}{{-{x}{-2}}} = {{\frac{1}{2}}{x}{-2}}+\frac{{{-4}}}{{-{x}{-2}}}$
$\ {{\frac{1}{2}}{x}+{\frac{7}{4}}}+\frac{{{\frac{15}{8}}}}{{{x}{-\frac{1}{2}}}} = {{-\frac{1}{2}}{x}+{\frac{1}{4}}}+\frac{{{\frac{9}{8}}}}{{{x}{-\frac{1}{2}}}}$
$\ {-{x}+{6}}+\frac{{{-\frac{3}{2}}}}{{{-\frac{1}{2}}{x}+1}} = {{x}+{2}}+\frac{{{-\frac{3}{2}}}}{{{-\frac{1}{2}}{x}+1}}$
$\ {-{x}{-\frac{3}{2}}}+\frac{{{\frac{3}{2}}}}{{{-2}{x}+1}} = {{-\frac{1}{2}}{x}+{\frac{1}{4}}}+\frac{{{-\frac{9}{4}}}}{{{-2}{x}+1}}$
$\ {{-3}{x}{-\frac{5}{2}}}+\frac{{1}}{{-{x}}} = {{-2}{x}+{\frac{1}{2}}}+\frac{{-1}}{{-{x}}}$
$\ {{-\frac{1}{2}}{x}+{5}}+\frac{{{13}}}{{-{x}{-2}}} = {{\frac{1}{2}}{x}}+\frac{{1}}{{-{x}{-2}}}$
$\ {{\frac{1}{2}}{x}+{\frac{1}{2}}}+\frac{{{-5}}}{{{x}-1}} = {{-\frac{1}{2}}{x}+{\frac{1}{2}}}+\frac{{1}}{{{x}-1}}$
$\ {{\frac{1}{2}}{x}+{\frac{3}{2}}}+\frac{{{-\frac{3}{2}}}}{{{x}+1}} = {{-\frac{1}{2}}{x}{-\frac{1}{2}}}+\frac{{{\frac{1}{2}}}}{{{x}+1}}$
$\ {{10}}+\frac{{{31}}}{{{-\frac{1}{2}}{x}{-2}}} = {{2}{x}{-10}}+\frac{{{-18}}}{{{-\frac{1}{2}}{x}{-2}}}$
$\ {{4}{x}}+\frac{{{-\frac{11}{2}}}}{{{\frac{1}{2}}{x}}} = {{2}{x}{-2}}+\frac{{{\frac{1}{2}}}}{{{\frac{1}{2}}{x}}}$
$\ {{\frac{1}{4}}{x}+{\frac{3}{16}}}+\frac{{{\frac{61}{32}}}}{{{2}{x}+{\frac{1}{2}}}} = {{-\frac{1}{4}}{x}{-\frac{3}{16}}}+\frac{{{\frac{67}{32}}}}{{{2}{x}+{\frac{1}{2}}}}$
$\ {{-2}{x}+{\frac{3}{2}}}+\frac{{{-\frac{1}{4}}}}{{-{x}{-\frac{1}{2}}}} = {-{x}}+\frac{{1}}{{-{x}{-\frac{1}{2}}}}$
$\ {{2}}+\frac{{{-12}}}{{{\frac{1}{2}}{x}+{2}}} = {{-2}{x}+{10}}+\frac{{{-19}}}{{{\frac{1}{2}}{x}+{2}}}$
$\ {{-\frac{3}{4}}}+\frac{{{-2}}}{{{2}{x}}} = {{-\frac{1}{2}}{x}+{\frac{1}{4}}}+\frac{{{-2}}}{{{2}{x}}}$
$\ {{x}-1}+\frac{{{-5}}}{{-{x}-1}} = {{2}{x}{-4}}+\frac{{{-5}}}{{-{x}-1}}$
$\ {1}+\frac{{{4}}}{{{-2}{x}}} = {{\frac{1}{2}}{x}{-\frac{1}{2}}}+\frac{{{2}}}{{{-2}{x}}}$
$\ {{x}{-\frac{1}{4}}}+\frac{{{-\frac{7}{8}}}}{{{2}{x}+{\frac{1}{2}}}} = {{\frac{1}{2}}{x}+{\frac{3}{8}}}+\frac{{{\frac{13}{16}}}}{{{2}{x}+{\frac{1}{2}}}}$
$\ {{\frac{3}{2}}{x}+{7}}+\frac{{{18}}}{{{x}{-2}}} = {{\frac{1}{2}}{x}+1}+\frac{{{3}}}{{{x}{-2}}}$
$\ {{2}{x}{-5}}+\frac{{{9}}}{{{x}+{2}}} = {{x}-1}+\frac{{1}}{{{x}+{2}}}$
$\ {{14}}+\frac{{{-8}}}{{{\frac{1}{2}}{x}+1}} = {{-2}{x}+{8}}+\frac{{{-8}}}{{{\frac{1}{2}}{x}+1}}$
$\ {{\frac{1}{4}}{x}{-\frac{1}{16}}}+\frac{{{-\frac{95}{32}}}}{{{2}{x}+{\frac{1}{2}}}} = {{-\frac{1}{4}}{x}{-\frac{7}{16}}}+\frac{{{-\frac{25}{32}}}}{{{2}{x}+{\frac{1}{2}}}}$
$\ {{\frac{1}{2}}{x}-1}+\frac{{{3}}}{{{x}+{2}}} = {{-\frac{1}{2}}{x}}+\frac{{1}}{{{x}+{2}}}$
$\ {{\frac{3}{4}}{x}{-\frac{1}{16}}}+\frac{{{-\frac{289}{32}}}}{{{2}{x}{-\frac{1}{2}}}} = {{\frac{1}{4}}{x}{-\frac{3}{16}}}+\frac{{{-\frac{3}{32}}}}{{{2}{x}{-\frac{1}{2}}}}$
$\ {-1}+\frac{{-1}}{{-{x}-1}} = {{x}-1}+\frac{{-1}}{{-{x}-1}}$
$\ {{-\frac{1}{4}}{x}+{\frac{25}{16}}}+\frac{{{\frac{57}{32}}}}{{{-2}{x}{-\frac{1}{2}}}} = {{\frac{1}{4}}{x}{-\frac{1}{16}}}+\frac{{{\frac{31}{32}}}}{{{-2}{x}{-\frac{1}{2}}}}$
$\ {{x}+{\frac{3}{2}}}+\frac{{{\frac{9}{2}}}}{{{2}{x}-1}} = {{\frac{1}{2}}{x}+{\frac{1}{4}}}+\frac{{{\frac{9}{4}}}}{{{2}{x}-1}}$
$\ {{-\frac{1}{2}}{x}+{\frac{7}{2}}}+\frac{{{5}}}{{-{x}}} = {{\frac{1}{2}}{x}{-\frac{1}{2}}}+\frac{{{2}}}{{-{x}}}$
$\ {{\frac{1}{2}}{x}{-\frac{1}{2}}}+\frac{{{-3}}}{{{-2}{x}{-2}}} = {{x}{-2}}+\frac{{{-3}}}{{{-2}{x}{-2}}}$
$\ {{-5}}+\frac{{{\frac{17}{2}}}}{{-{x}+1}} = {{x}}+\frac{{{-\frac{1}{2}}}}{{-{x}+1}}$
$\ {{-3}{x}+{3}}+\frac{{{3}}}{{-{x}-1}} = {{-2}{x}+1}+\frac{{{3}}}{{-{x}-1}}$
$\ {{-\frac{1}{2}}{x}+{\frac{11}{2}}}+\frac{{{-\frac{5}{2}}}}{{-{x}+1}} = {{\frac{1}{2}}{x}+{\frac{5}{2}}}+\frac{{{-\frac{5}{2}}}}{{-{x}+1}}$
$\ {{-4}{x}{-10}}+\frac{{{7}}}{{{-\frac{1}{2}}{x}+1}} = {{-2}{x}{-6}}+\frac{{{7}}}{{{-\frac{1}{2}}{x}+1}}$
$\ {{\frac{3}{2}}{x}-1}+\frac{{{-5}}}{{{x}}} = {{\frac{1}{2}}{x}+1}+\frac{{{-2}}}{{{x}}}$
$\ {-{x}}+\frac{{{2}}}{{{-2}{x}{-2}}} = {{-\frac{1}{2}}{x}+{\frac{1}{2}}}+\frac{{{3}}}{{{-2}{x}{-2}}}$
$\ {{-2}}+\frac{{{\frac{7}{2}}}}{{{x}+{2}}} = {-{x}+1}+\frac{{{-\frac{5}{2}}}}{{{x}+{2}}}$
$\ {{6}{x}+{30}}+\frac{{{59}}}{{{\frac{1}{2}}{x}{-2}}} = {{4}{x}+{18}}+\frac{{{38}}}{{{\frac{1}{2}}{x}{-2}}}$
$\ {{-\frac{3}{2}}{x}{-\frac{11}{2}}}+\frac{{{\frac{15}{2}}}}{{-{x}+1}} = {{-\frac{1}{2}}{x}{-\frac{1}{2}}}+\frac{{{-\frac{1}{2}}}}{{-{x}+1}}$
$\ {-{x}}+\frac{{{-4}}}{{{-\frac{1}{2}}{x}+1}} = {{x}+{4}}+\frac{{{-4}}}{{{-\frac{1}{2}}{x}+1}}$
$\ {{-\frac{1}{2}}{x}{-\frac{5}{4}}}+\frac{{{-\frac{33}{4}}}}{{{2}{x}-1}} = {-{x}{-\frac{3}{2}}}+\frac{{{\frac{1}{2}}}}{{{2}{x}-1}}$
$\ {-{x}+{\frac{1}{2}}}+\frac{{{-\frac{13}{2}}}}{{{x}}} = {{-2}{x}{-\frac{1}{2}}}+\frac{{{-\frac{1}{2}}}}{{{x}}}$
$\ {{-\frac{3}{4}}{x}{-\frac{15}{8}}}+\frac{{{\frac{47}{8}}}}{{{-2}{x}+1}} = {{-\frac{1}{4}}{x}+{\frac{3}{8}}}+\frac{{{-\frac{3}{8}}}}{{{-2}{x}+1}}$
$\ {{2}}+\frac{{-1}}{{-{x}{-\frac{1}{2}}}} = {{x}+{\frac{1}{2}}}+\frac{{{-\frac{7}{4}}}}{{-{x}{-\frac{1}{2}}}}$
$\ {0}+\frac{{{-5}}}{{{\frac{1}{2}}{x}+{2}}} = {{-2}{x}+{6}}+\frac{{{-11}}}{{{\frac{1}{2}}{x}+{2}}}$
$\ {-1}+\frac{{{-6}}}{{{x}{-\frac{1}{2}}}} = {-{x}{-\frac{1}{2}}}+\frac{{{\frac{1}{4}}}}{{{x}{-\frac{1}{2}}}}$
$\ {{\frac{1}{2}}{x}{-\frac{7}{4}}}+\frac{{{-\frac{7}{8}}}}{{{x}{-\frac{1}{2}}}} = {{-\frac{1}{2}}{x}+{\frac{3}{4}}}+\frac{{{\frac{3}{8}}}}{{{x}{-\frac{1}{2}}}}$
$\ {{-6}{x}{-12}}+\frac{{{\frac{13}{2}}}}{{{-\frac{1}{2}}{x}+1}} = {{-4}{x}{-10}}+\frac{{{\frac{21}{2}}}}{{{-\frac{1}{2}}{x}+1}}$

[עריכה] תשובות סופיות

$\ \left\{{{3}},{{-3}}\right\}$
$\ \left\{{0},{{3}}\right\}$
$\ \left\{{{-3}},{0}\right\}$
$\ \left\{{{3}},{{3}}\right\}$
$\ \left\{{{-3}},{{3}}\right\}$
$\ \left\{{-1},{0}\right\}$
$\ \left\{{{2}},{{2}}\right\}$
$\ \left\{{{-2}},{-1}\right\}$
$\ \left\{{-1},{{-2}}\right\}$
$\ \left\{{1},{{2}}\right\}$
$\ \left\{{{3}},{{-2}}\right\}$
$\ \left\{{0},{{-3}}\right\}$
$\ \left\{{{3}},{{3}}\right\}$
$\ \left\{{{-3}},{{2}}\right\}$
$\ \left\{{0},{-1}\right\}$
$\ \left\{{-1},{{2}}\right\}$
$\ \left\{{{3}},{{-3}}\right\}$
$\ \left\{{{2}},{0}\right\}$
$\ \left\{{-1},{{3}}\right\}$
$\ \left\{{{2}},{1}\right\}$
$\ \left\{{{2}},{-1}\right\}$
$\ \left\{{-1},{{-3}}\right\}$
$\ \left\{{{2}},{0}\right\}$
$\ \left\{{{-2}},{{-3}}\right\}$
$\ \left\{{{-2}},{1}\right\}$
$\ \left\{{-1},{0}\right\}$
$\ \left\{{{-3}},{{3}}\right\}$
$\ \left\{{-1},{0}\right\}$
$\ \left\{{{3}},{0}\right\}$
$\ \left\{{-1},{-1}\right\}$
$\ \left\{{{3}},{1}\right\}$
$\ \left\{{-1},{{3}}\right\}$
$\ \left\{{{-2}},{{-2}}\right\}$
$\ \left\{{{2}},{-1}\right\}$
$\ \left\{{1},{{3}}\right\}$
$\ \left\{{{2}},{{-2}}\right\}$
$\ \left\{{{3}},{-1}\right\}$
$\ \left\{{{-2}},{0}\right\}$
$\ \left\{{0},{1}\right\}$
$\ \left\{{1},{{-3}}\right\}$
$\ \left\{{-1},{{-3}}\right\}$
$\ \left\{{{-2}},{{2}}\right\}$
$\ \left\{{{-3}},{{3}}\right\}$
$\ \left\{{{2}},{{-3}}\right\}$
$\ \left\{{{-2}},{{-2}}\right\}$
$\ \left\{{0},{1}\right\}$
$\ \left\{{{2}},{{-3}}\right\}$
$\ \left\{{{-2}},{{3}}\right\}$
$\ \left\{{0},{{3}}\right\}$
$\ \left\{{{-2}},{{3}}\right\}$

אלגברה תיכונית/משוואות/משוואות עם שברים/תרגילים/רמה ב

אלגברה תיכונית/משוואות/משוואות עם שברים/תרגילים/רמה ג

אלגברה תיכונית/משוואות/משוואות עם שברים/תרגילים/רמה ד

אלגברה תיכונית/משוואות/משוואות עם שברים/תרגילים/רמה ה

אלגברה תיכונית/משוואות/משוואות עם שברים/תרגילים/רמה ו

[עריכה] משוואות עם שורשים

משוואות עם שורשים הינן משוואות אשר מכילות בתוכן שורשים. הן מיוחדות כי הן מופיעות במקרים רבים, וישנן טכניקות מוצלחות במיוחד לפתרונן. אם כי, יש לציין כי כמו בכל מקרה במתמטיקה, את רוב התרגילים לא קל כלל לפתור. אנו נציג מספר מקרים שבהם קל לפתור את המשוואות הללו ונציג את השיטות לפתרון.

[עריכה] העלאה בריבוע

שיטה זו היא השיטה הבסיסית ביותר בפתרון משוואות עם שורשים. השיטה מתבססת על כך שאנו מעלים את שני אגפי המשוואה בריבוע. יש לשים לב שזוהי אינה פעולה מותרת במובן שהגדרנו קודם. הסיבה לכך נעוצה בעובדה שלפעולת השורש יש שני פתרונות סימטריים. אחד שלילי ואחד חיובי. בגלל מוסכמה אנו תמיד בוחרים ששורש הוא מספר חיובי, אך אין סיבה מתמטית להעדיף דוקא מספרים חיוביים על מספרים שליליים. על מנת להדגים את הבעיה, נתבונן במשוואה הבאה:

$\ x+3=2$

נעלה אותה בריבוע:

$\ x+3=2\ \ \ \ \ /\ \ {\uparrow}^2$

נקבל משוואה ריבועית!

$\;\left(x+3\right)^2=2^2$

$\;x^2+6x+9=4$
$\;x^2+6x+5=0$

מפתרון בשיטה הטרינום מקבלים מיד שהפתרונות הם $\;-1$ ו- $\;5$ אבל מבדיקה של ההצבה מקבלים שרק הפתרון $\;-1$ הוא המתאים ואילו עבור $\;x=5$ אינו פתרון של המשוואה המקורית כלל! כלומר, קיבלנו לאחר העלאה בריבוע יותר פתרונות ממספר הפתרונות של המשוואה המקורית. בעיה זו יכולה להתעורר גם במקרה שבמשוואה מופיעים גם שורשים. למרות זאת, הפתרון הנכון לא נעלם. את הבעיה שנוצרה ניתן לפתור בכך שאנו בודקים את הפתרונות על ידי הצבה במשוואה המקורית שנדרשנו לפתרונה.
על מנת להשתמש בשיטה ההעלאה בריבוע המשוואה צריכה להראות כך שברגע שנעלה את שני האגפים בריבוע נאבד את השורשים. אין זה המצב ברוב המקרים, ולעיתים קרובות נאלץ להביא את המשוואה למצב זה "בכוח", אם כי, בשלב זה נציג דוגמא שבה כבר הבאנו את המשוואה למצב הנוח ונפתור משם. המצב המדובר הוא מצב שבוא באגף אחד ישנו ביטוי תחת שורש ובאגף השני לא.

$x=\sqrt{45-4x}$

נעלה בריבוע:

$x=\sqrt{45-4x}\;\;\;\;/\;\;{\uparrow}^2$
$x^2=45-4x\;$
$\Downarrow$

$\;x_1=-9$
$\;x_2=5$

כעת קיבלנו שני פתרונות. איננו יכולים לדעת אם אכן שני הפתרונות הם פתרונות של המשוואה המקורית, וגם איננו יודעים, מי מהם הוא פתרון של המשוואה המקורית (אם בכלל). על מנת לבדוק זאת, נציב את הפתרונות במשוואה המקורית ונראה אם אנו מקבלים פסוק אמיתי:

$x=\sqrt{45-4x}$
$-9=\sqrt{45-\left(-36\right)}$

אבל זו סתירה, שכן, לא קיים מספר ממשי שהשורש שלו הוא מספר שלילי. לכן נותר לבדוק את הפתרון השני:

$x=\sqrt{45-4x}$
$5=\sqrt{45-4\cdot 5}\Leftrightarrow 5=\sqrt{25}\Leftrightarrow 5=5$

וזהו פסוק אמת. כלומר, התשובה היא $\;x=5$ בלבד.
נעיר כאן, שבמידה ושני האגפים של המשוואה בהכרח חיוביים לכל הצבה של הנעלם, לא מתקבלים פתרונות נוספים וניתן (אם כי לא תמיד רצוי) לוותר על הבדיקה.

[עריכה] החלפת נעלם

במתמטיקה בכלל, וגם בנושא זה, אנו מבקשים להגיע למצב שאנחנו כבר יודעים לפתור שהוא שקול למצב המקורי. במקרה זה, אנו מחפשים צורה של משוואה שאנו כבר מכירים. למשל נתונה המשוואה (פשוטה יחסית):

$x-\sqrt{x}-12=0$

במבט ראשון, לא ברור כיצד לפתור את המשוואה הזו אך מרגע שאנו מודעים לכך שמשוואה זו דומה מאוד למשוואה ריבועית רגילה, שאותה כבר חקרנו בפרק משוואות ריבועיות הפתרון נעשה קל מאוד. על מנת לראות בדיוק על מה מדובר נבצע פעולה שהיא תמיד חוקית והיא שינוי סימון. אנו נסמן את $\;\sqrt{x}$ ב- $\;t$ כלומר:

$\sqrt{x}=t$

כעת נציב את הסימון החדש במשוואה המקורית ונקבל ש:

$\;t^2-t-12=0$

זו משוואה ריבועית פשוטה שהפתרון שלה הוא $\;t_1=-3$ ו $\;t_2=4$ אך זהו עדיין אינו הפתרון, כי השאלה היתה לגבי $\;x$ ולא לגבי $\;t$ אז נותר לנו לעבור חזרה לנעלם המקורי:

$\sqrt{x}=t$

ולכן אנו יודעים ש

$\sqrt{x_1}=t_1$
$\sqrt{x_1}=-3$

אבל זה לא יכול להיות, כי אין מספר ממשי שהשורש שלו הוא שלילי! לכן, הפתרון למשוואה זו נפסל כי לא ניתן להציב אותו בסימון החדש.

$\sqrt{x_2}=t_2$
$\sqrt{x_2}=4$
$\;x=16$

וזה למעשה פותר את המשוואה (בדוק!).

[עריכה] כפל בצמוד

ישנה דרך אחרת אשר מתבססת על כפל בצמוד. פעולת הכפל בצמוד הוזכרה בפרק דוגמאות ושימושים נוספים של טכניקות אלגבריות פשוטות. נדגים את השימוש בשיטה זו על מנת לפתור את אותה משוואה שראינו קודם:

$x-\sqrt{x}-12=0$
$\left(x-12\right)-\sqrt{x}=0\;\;\;/\;\cdot\left[\left(x-12\right)+\sqrt{x}\right]$
$\left[\left(x-12\right)-\sqrt{x}\right]\cdot\left[\left(x-12\right)+\sqrt{x}\right] =0$
$\left(x-12\right)^2-\left(\sqrt{x}\right)^2=0$

המעבר האחרון הוא מעבר המתבסס על נוסחאות הכפל המקוצר ובמקרה זה הוא מבטל את קיום השורש במשוואה ומקבלים:

$\;x^2-25x+144=0$
$x_{1,2}=\frac{25\pm\sqrt{25^2-4\cdot 144}}{2}=\frac{25\pm 7}{2}$

והתוצאה המתקבלת היא אותה התוצאה שהתקבלה בשיטה הקודמת.

הפרק הקודם:
משוואות עם שברים

משוואות עם שורשים
תרגילים

הפרק הבא:
משוואות כלליות בנעלם אחד

אלגברה תיכונית/משוואות/משוואות עם שורשים/תרגילים

[עריכה] משוואות כלליות בנעלם אחד

כעת, אחרי שכבר ראינו חלק נכבד מסוגי המשוואות הרלוונטיים ללימודים לתיכון, הגיע הזמן לשלב את כל הטכניקות הללו ולהציג מספר טכניקות נוספות אשר יכולות להקל על פתרון משוואות במקרים רבים.

[עריכה] משוואות דו-ריבועיות

לעיתים אנו נתקלים במשוואה מהצורה:

$\;ax^4+bx^2+c=0$

זוהי משוואה ממעלה רביעית. הנוסחא לפתרון המשוואה הזו היא נוסחא מסובכת מאוד ואינה נלמדת לתיכון. למרות זאת, זהו רק סוג מסויים של משוואות ממעלה רביעית, סוג אשר אותו ניתן לפתור על נקלה. הפתרון מתבסס על הסימון: $\;t=x^2$ . כלומר, אנו עוברים לנעלם חדש - $\;t$ ומקבלים משוואה ריבועית, אותה אנו פותרים ללא קושי כפי שלמדנו. יש לשים לב, במקרה זה אנו מקבלים 4 פתרונות ולא 2 כפי שקיבלנו במשוואה ריבועית פשוטה. הבא נפתור משוואה כזו לדוגמא:

$\;x^4-25x^2+144=0$
$\;t^2-25t+144=0$
$\;t_1=16$
$\;t_2=9$

אך כאן לא סיימנו את הפתרון. אנו מחפשים את $\;x$ ולכן:

$x_{1,2}=\pm \sqrt{t_1}=\pm \sqrt{16}= \pm 4$
$x_{3,4}=\pm \sqrt{t_2}=\pm \sqrt{9}= \pm 3$

ובזאת מסתיים הפתרון של המשוואה הדו-ריבועית.
נתבונן בדוגמא נוספת:

$\;x^4-8x^2-128=0$
$\;t^2-8t-128=0$
$\Downarrow$
$t 1 = 16$
$t 2 = - 8$

נשים לב שכאן $\;t_2<0$ ולכן הוא איננו פתרון מתאים. הסיבה היא שאין מספר ממשי שהריבוע שלו הוא שלילי. כלומר, אין $\;x$ שניתן להעלות בריבוע ולקבל את $\;t_2$ . מכאן מסיקים שלמשוואה יש רק שני פתרונות והם $\;x_{1,2}=\pm 4$ .

[עריכה] משוואות עם ערכים מוחלטים

משוואות אלו ניתן גם לפתור בהרבה מהמקרים. קיימות שיטות רבות לפתרון משוואות אלו. נציג כמה מהן בלבד.

[עריכה] חלוקה למקרים

ניקח לדוגמא את המשוואה הבאה:

$\;\left|x-5\right|=1$

במקרה זה, הדרך הפשוטה ביותר היא לחלק את המשוואה למקרים. מכיוון שמדובר בערך מוחלט, הרי שהביטוי בתוך הערך המוחלט יכול להיות שלילי ועדיין לקיים את המשוואה. באותו אופן, הוא גם יכול להיות חיובי. לכן מחלקים את המשוואה לשני מקרים. האחד שבו הביטוי בתוך הערך המוחלט הוא חיובי, כלומר

$\;x-5=1$

כלומר $\;x=6$ ומקרה שני שבו

$\;-\left(x-5\right)=1$

והפתרון הוא $\;x=4$ וזהו הפתרון.

[עריכה] העלאה בריבוע

שיטת פתרון זו לא תמיד קשה יותר מחלוקה למקרים, כפי שניתן ללמוד מהדוגמא הקודמת. מותר להעלות בריבוע את שני אגפי המשוואה ללא חשש מכיוון ששניהם בהכרח חיוביים ולכן לא נקבל פתרון נוסף שלא היה במשוואה המקורית. מקבלים:

$\;\left|x-5\right|=1\;\;\;\;/\;\;{\uparrow}^2$
$\;\left(x-5\right)^2=1^2$
$x^2-10x+25=1\ /-1\;$
$\;x^2-10x+24=0$

הפתרון מתקבל מפתרון משוואה ריבועית רגילה והוא בדיוק אותו פתרון של השיטה לעיל (בדוק!).

הפרק הקודם:
משוואות עם שורשים

משוואות כלליות בנעלם אחד
תרגילים

הפרק הבא:
משוואות בשני נעלמים או יותר

תרגילים:

|x-3|=2

|x-2|=|2x-6|

|3x-7|=x

[עריכה] משוואות בשני נעלמים או יותר

[עריכה] שיטות פתרון

לאחר שלמדנו את נושא המשוואות בנעלם אחד, נותר לנו להכליל את הנושא ולעבור למשוואות ביותר מנעלם אחד. כרגיל במתמטיקה, אנו מעוניינים להגיע למצב שאנו מכירים, במקרה שלנו, מדובר במשוואה בנעלם אחד. על מנת לעשות זאת, יש לנו מספר כללים ושיטות שבהן אנו יכולים להשתמש. שיטות אלו אינן שונות בהרבה מהשיטות של פתרון משוואות בנעלם אחד.
לפני שנתחיל עלינו להגדיר כמה מושגים בסיסיים ולהדגיש את הרעיון הבסיסי של משוואות בכמה נעלמים. נגדיר ראשית ש-מערכת משוואות היא קבוצה של משוואות אשר כולן אמת. במילים אחרות מילת הקישור בניהן היא וגם.
מערכת משוואות תקרא שקולה למערכת אחרת אם לשתיהן יש בדיוק את אותם פתרונות (או אף פתרון) בו זמנית. אם למשל מערכת משוואות $\;A$ שקולה למערכת משוואות $\;B$ זה יסומן כך: $A\Leftrightarrow B$ ונאמר ש- $\;A$ שקולה ל- $\;B$ .

[עריכה] שיטת ההצבה

שיטת ההצבה היא השיטה הבסיסית ביותר והשימושית ביותר. נתחיל בדוגמא:

$\left\{ \begin{matrix}\left(I\right) & 2x+4y & = & 3 \\ \left(II\right) & 3x-7y & = & -1 \end{matrix} \right.$

בשיטת ההצבה עלינו לבודד את אחד הנעלמים, למשל את $\;x$ . ננסה לבודד אותו ממשואה $\left(I\right)$ . כאשר אנו עובדים על משוואה $\left(I\right)$ עלינו להדגיש זאת. ולכן נכתוב:
מתוך $\left(I\right)$ מתקבל ש:

$2x+4y=3\;\;\;\;/\;-4y$
$2x=3-4y\;\;\;\;/\;\cdot \frac{1}{2}$
$x=\frac{3-4y}{2}$

כעת קיבלנו את $\;x$ לפי $\;y$ כלומר קיבלנו קשר מתמטי בין שני הנעלמים. הפעולה שעשינו כרגע נקראת בידוד נעלם. במקרה זה בודדנו את $\;x$ . לא סיימנו מכיוון שעדיין לא מצאנו מה בדיוק הערך של $\;y$ . על מנת לעשות זאת עלינו להציב את $\;x$ במשוואה השניה במקום $\;x$ המקורי. נשים לב שאם נעשה זאת מיד נקבל משוואה חדשה בנעלם אחד - $\;y$ .

$\;3x-7y=-1$
$\Downarrow$

$3\cdot\left(\frac{3-4y}{2}\right)-7y=-1$

המעבר האחרון הוא הצבה של $\;x$ במשוואה השניה. כעת ניתן לפתור את המשוואה הזו ללא קושי, כי היא משוואה בנעלם אחד.

$\frac{3\cdot \left(3-4y\right)}{2}-7y=-1\;\;\;\;/\;\cdot 2$
$3\cdot \left(3-4y\right)-14y=-2$
$\;\;9-12y-14y=-2\;\;\;\;/\;\;-9$
$-26y=-11\;\;\;\;/\;\;\cdot \left(-\frac{1}{26}\right)$
$y=\frac{11}{26}$

וזו התשובה של נעלם אחד, כלומר קיבלנו את הערך של $\;y$ . כעת נציב במשוואה כלשהי את הערך של $\;y$ אשר חישבנו ונקבל שוב משוואה בנעלם אחד, רק שהפעם היא עבור $\;x$ . מכיון שכבר בודדנו את $\;x$ לפי $\;y$ מספיק להציב בביטוי שקיבלנו ש $y=\frac{11}{26}$ ונקבל:

$x=\frac{3-4\cdot\frac{11}{26}}{2}$

ולאחר חישוב מקבלים ש $\;x=\frac{17}{26}$ . על מנת לבדוק את הנכונות של הפתרון יש להציב את התוצאות במשוואות שלנו. אם מקבלים פסוק אמת בשתיהן, אנו יכולים להיות בטוחים שהתוצאה שקבלנו היא אכן פתרון.

[עריכה] חיבור וחיסור, כפל וחילוק משוואות

כאשר מופיעים לנו בשתי משוואות שני אברים דומים כדאי לעיתים לחבר או לחסר את המשוואות אחת מהשניה. הפעולה הזו היא פעולה מותרת מכיוון שההנחה הבסיסית של המשוואות היא ששני אגפי המשוואה הם אותו מספר ולכן פעולה של חיבור או חיסור משוואות שקולה לחיבור או חיסור שני האגפים במספר. לדוגמא:

$\left\{ \begin{matrix}\left(I\right) & 2x+4y & = & 3 \\ \left(II\right) & 2x-7y & = & -1 \end{matrix} \right.$

נחסר את $\left(II\right)$ מ- $\left(I\right)$ ונקבל

$\left\{ \begin{matrix}\left(I\right) & 2x+4y & = & 3 \\ \left(II\right) & 2x-7y & = & -1 \end{matrix} \right. \ \ \ \ /\ \left(I\right)-\left(II\right)$
$\Updownarrow$
$\left\{ \begin{matrix}\left(I\right) & 2x-2x+4y-\left(-7y\right) & = & 3-\left(-1\right) \\ \left(II\right) & 2x-7y & = & -1 \end{matrix} \right.$
$\Updownarrow$
$\left\{ \begin{matrix}\left(I\right) & 11y & = & 4 \\ \left(II\right) & 2x-7y & = & -1 \end{matrix} \right.$

מכאן ניתן בקלות להמשיך בשיטת ההצבה לאחר שנסיים לבודד את $\;y$ מתוך המשוואה הראשונה.
באותו אופן ניתן לחלק, להכפיל או לחבר משוואות. במקרה של חילוק או כפל, ברור שאסור לבצע פעולות אלו במידה ולא וידאנו ששני האגפים בהם אנו כופלים או מחלקים אינם 0. כידוע, הכפלה של משוואה ב-0 למעשה הופכת אותה לחסרת תוכן, ולכן מוסיפה פתרונות. במידה ואנו כופלים ב-0 אנו מקבלים יותר פתרונות ולכן מערכת המשוואות החדשה שתתקבל לא תהיה שקולה לקודמת. כך גם לגבי חילוק (אם כי חילוק ב-0 הופך את המשוואה לחסרת משמעות).

[עריכה] פעולת גאוס

פעולת גאוס ניתנה לה על שם המתמטיקאי הידוע גאוס אשר המציא אותה כחלק מאלגוריתם לפתרון וחקר של מערכות משוואות לינאריות במספר גדול של נעלמים אשר גם נושא את שמו. אין מניעה, עם זאת, להשתמש בה בכל סוג של מערכת משוואות, כל עוד היא יכולה לעזור להביא אותנו לפתרון. הפעולה טובה לצורך הבאת מערכת גדולה של משוואות לצורה של מערכת קטנה יותר וקלה יותר לפתרון.
פעולת גאוס היא פשוט הכפלה של שורה אחת (כלומר משוואה אחת) במספר קבוע, וחיבור עם משוואה אחרת. הפעולה טובה במיוחד כאשר יש לנו משוואה אחת אשר אחד הנעלמים שלה בא עם מקדם של 1 (אם כי ברור שתמיד ניתן להפוך את אחת המשוואות למשוואה שאחד המקדמים הוא 1). נדגים שימוש בפעולת גאוס על מערכת משוואות בת 3 נעלמים ו-3 משוואות.

$\left\{ \begin{matrix}\left(I\right) & x-5y+3z & = & 4 & \;\;\;\;/\;\; \times \left(-3\right) \;\;+\left(II\right) \\ \left(II\right) & 3x-7y-2z & = & -1 \\ \left(III\right) & 2x-y-5z & = & 1 \\ \end{matrix} \right.$
$\Updownarrow$
$\left\{ \begin{matrix}\left(I\right) & x-5y+3z & = & 4 & \;\;\;\;/\;\; \times \left(-2\right) \;\;+\left(III\right) \\ \left(II\right) & 3x-3x-7y+15y-2z-9z & = & -1-12 & \\ \left(III\right) & 2x-y-5z & = & 1 &\\ \end{matrix} \right.$
$\Updownarrow$
$\left\{ \begin{matrix}\left(I\right) & x-5y+3z & = & 4 \\ \left(II\right) & 8y-11z & = & -13 \\ \left(III\right) & 2x-2x-y+10y-5z-9z & = & 1-8 \\ \end{matrix} \right.$
$\Updownarrow$
$\left\{ \begin{matrix}\left(I\right) & x-5y+3z & = & 4 \\ \left(II\right) & 8y-11z & = & -13 \\ \left(III\right) & 9y-14z & = & -7 \\ \end{matrix} \right.$

נשים לב שכעת, המשוואות $\left(II\right)$ ו $\left(III\right)$ מהוות מערכת משוואות בשני נעלמים. אם נפתור אותה, נוכל להציב את $\;y$ ואת $\;z$ במשוואה הראשונה ונקבל את הפתרון עבור $\;x$ ובזה נפתור את כל המערכת. כלומר, שיטה זו נועדה לפתור מערכת גדולה של משוואות לינאריות. ניתן כמובן להשתמש בה גם במצבים אחרים.

[עריכה] דוגמאות ומקרים מיוחדים

כעת נבקש להדגים מספר מצבים מיוחדים ודוגמאות חשובות לפתרון מערכות משוואות.

[עריכה] חוסר פתרון

לא תמיד קיים פתרון למשוואות בכלל, וכך גם למערכות משוואות. לעיתים במהלך פתרון מערכות משוואות אנו מגיעים לסתירה. למשל, אנו עשויים להגיע למצב שבו באחת המשוואות מתקבל פסוק כמו- $\;1=5$ אשר בבירור הוא סתירה משום ש-1 הוא איננו 5. מצב זה אומר, שלמערכת המשוואות שלנו אין אף פתרון. כלומר, אין אף קבוצת מספרים שניתן להציב בכל הנעלמים ולקבל שכל המשוואות הן פסוק אמת.

[עריכה] דוגמא

הבא נתבונן במערכת המשוואות הבאה:

$\left\{ \begin{matrix}\left(I\right) & x-3y & = & 4 \\ \left(II\right) & 2x-6y & = & -13 \\ \end{matrix} \right.$

ננסה לפתור את המשוואה בשיטת גאוס. נכפול את $\left(I\right)$ ב- $\;(-2)$ ונוסיף ל- $\left(II\right)$ ונקבל

$\left\{ \begin{matrix}\left(I\right) & x-3y & = & 4 \\ \left(II\right) & 0 & = & -21 \\ \end{matrix} \right.$

ברור ש- $\left(II\right)$ היא סתירה, לכן אנו יכולים להסיק שלא קיים פתרון למשוואות מכיוון שהקיום של שתיהן ביחד יוצר סתירה. בהמשך נבין למה הכוונה כשאנו אומרים שהמשוואות מתקיימות "יחדיו".

[עריכה] אינסוף פתרונות

יתכן מצב שבו ישנם אינסוף פתרונות למערכת משוואות לינאריות. למעשה, למערכת משוואות לינאריות ישנם רק שלושה מצבים אפשריים:

ישנו פתרון יחיד
ישנם אינסוף פתרונות
אין אף פתרון

אנו נדון בהרחבה במקרים אלו בפרק חקירת מערכות של משוואות לינאריות.

[עריכה] דוגמא

נתבונן במקרה הבא:

$\left\{ \begin{matrix}\left(I\right) & x-3y & = & 4 \\ \left(II\right) & 2x-6y & = & 8 \\ \end{matrix} \right.$

נבצע את אותה הפעולה שעשינו בדוגמא קודמת למקרה שבו אין אף פתרון, והרי נקבל מערכת חדשה:

$\left\{ \begin{matrix}\left(I\right) & x-3y & = & 4 \\ \left(II\right) & 0 & = & 0 \\ \end{matrix} \right.$

מכיוון שביצענו רק פעולות מותרות, הרי ששתי המשוואות שקולות, כלומר כל פתרון של המערכת החדשה הוא פתרון של הישנה. המשוואה השניה, כפי שקל לשים לב, לא תורמת לנו כל מידע על הנעלמים, שכן היא אמת ברורה מאליה לכן ניתן למחוק אותה. נותרנו רק עם המשוואה הראשונה. מכאן די קל לראות שנוכל להציב כל ערך שנרצה ל- $\;x$ . למשל נוכל להציב $\;x=4$ ונקבל משוואה חדשה על $\;y$ :

$\;4-3y=4$

אם פותרים אותה מקבלים כמובן ש- $\;y=0$ . נקבל פתרון שונה ל- $\;y$ לכל ערך שנציב במקום $\;x$ . כל אחד מהזוגות הללו, למשל הזוג $\;x=4,\;y=0$ או בסימון המקובל $\left(4,0\right)$ , הוא פתרון למערכת המקורית (בדוק!). מכיוון שניתן להציב כל ערך במקום $\;x$ ולקבל פיתרון למשוואה, אנו מסיקים שישנם אינסוף פתרונות.
למרות שמספר הפתרונות הוא אינסופי, אין זה אומר שכל זוג מספרים פותר את המערכת, זאת מכיוון שהצבה של ערך מסויים של $\;x$ מכתיבה את הערך של $\;y$ . למשל הזוג $\left(4,1\right)$ הוא לא פתרון של המערכת, מכיוון שהוא יוצר סתירה במשוואה הראשונה.

[עריכה] מערכת משוואות לא לינאריות

מערכת משוואות ליניארית כזכור היא מערכת משוואות שבה כל המשוואות הן משוואות ליניאריות. משוואה לינארית היא כזכור משוואה אשר ניתן להביא לצורה:

$\;ax+by+\dots=c$

משוואה שאינה לינארית היא כל סוג של משוואה שאינה ניתנן להבאה לצורה הנ"ל, לדוגמא:

$\;ax^2+b=0$

קל לראות שפה המשתנה מופיע בחזקה שניה, ועל כן, זוהי איננה משוואה לינארית. אנו נתמקד בסעיף זה בפתרון של מערכות משוואות אשר לפחות אחת מהן איננה לינארית.
כמובן שכל הטכניקות שלמדנו עד כה למשוואות לינאריות תקפות גם כן למשוואות אי לינאריות, עם זאת קיימות טכניקות נוספות אשר ניתן להשתמש בכדי לפתור אותן.

[עריכה] בידוד נעלם

במקרה של משוואות לא לינאריות לעיתים קשה (אפילו בלתי אפשרי) לבודד את אחד הנעלמים. למשל:

$\left\{ \begin{matrix} \left(I\right) & xy+5y^2-3x &=& 0\\ \left(II\right)& \sqrt{xy+3}+\sqrt{5}y &=& \sqrt{5}\\ \end{matrix} \right.$

במקרה הזה, הנעלם $\;y$ קשור בכל מני אופנים, למשל, הוא קשור על ידי כפל ב- $\;x$ במשוואה הראשונה וקשור על ידי סימן שורש וחיבור במשוואה השניה. על מנת לפתור את מערכת המשוואות הנ"ל, עלינו למצוא דרך לבודד את אחד הנעלמים. די קל לראות שבמקרה הזה יותר קל לבודד את $\;x$ מהמשוואה הראשונה. במשוואה הראשונה:

$\begin{matrix} \\ xy-5y^2-3x&=&0\\ x\left(y-3\right)-5y^2&=&0\\ x\left(y-3\right)&=&5y^2\\ \end{matrix}$

כלינו להניח ש- $\;y\neq 3$ על מנת שנוכל לחלק את המשוואה ב- $\;y-3$ ויהיה עלינו לוודא שזו אכן הנחה סבירה שאינה גוררת איבוד של פתרונות. נקבל

$\;x=\frac{5y^2}{y-3}$

ואכן הצלחנו לבודד את $\;x$ . את התוצאה נציב כעת במשוואה השניה ונקבל:

$\begin{matrix} \sqrt{\frac{5y^2}{y-3} y+3}+\sqrt{5}y &=& \sqrt{5}\\ \sqrt{\frac{5y^3}{y-3}+3}&=&\sqrt{5}-\sqrt{5}y \ \ \ \;/\uparrow^2\\ \frac{5y^3}{y-3}+3&=&5\left(1-y\right)^2\\ 5y^3+3y-9&=&5\left(y^2-2y+1\right)\left(y-3\right)\\ 5y^3+3y-9&=&5\left(y^3-2y^2+y-3y^2+6y-3\right)\\ \end{matrix}$

את ההמשך נשאיר לקורא כתרגיל, שכן מתקבלת כאן משוואה במעלה שניה פשוטה עם הנעלם $\;y$

הפרק הקודם:
משוואות כלליות בנעלם אחד

משוואות בשני נעלמים או יותר
תרגילים

הפרק הבא:
בעיות מילוליות

[עריכה] משוואות בכמה נעלמים - תרגילים

רשימת הפרקים

[עריכה] משוואות לינאריות רמה א

$\left\{\begin{matrix} -3 y & = & 12 \\ 4 x-4 y & = & 32 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} 3 x-2 y & = & 9 \\ -x & = & -3 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} -3 x-4 y & = & 14 \\ 3 y-x & = & -4 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} -x-4 y & = & 4 \\ 4 x & = & 16 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} 3 x+4 y & = & -4 \\ 3 y-2 x & = & -3 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} 4 y-2 x & = & 4 \\ -4 x-y & = & -10 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} 3 x-2 y & = & -11 \\ 2 y-2 x & = & 10 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} 2 x+3 y & = & -11 \\ 4 x-4 y & = & 8 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} 3 x+y & = & 7 \\ 4 x-y & = & 7 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} -3 y & = & -6 \\ x+3 y & = & 8 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} x+3 y & = & 5 \\ -4 x-2 y & = & 10 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} -2 x-y & = & 0 \\ -4 x-3 y & = & -4 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} 2 y-x & = & 1 \\ 4 y-x & = & -1 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} -2 y & = & 2 \\ 4 x-y & = & -15 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} -2 x-4 y & = & 8 \\ 4 x+2 y & = & 8 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} 4 x+y & = & -5 \\ 2 x-3 y & = & 1 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} 3 x-3 y & = & -6 \\ 3 x & = & -6 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} 4 x+3 y & = & 17 \\ y-3 x & = & -3 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} 3 x+2 y & = & -17 \\ 2 y-x & = & -5 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} 2 y-2 x & = & 0 \\ 3 x+2 y & = & 20 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} 3 y-7 x & = & -46 \\ 2 x+8 y & = & 22 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} 6 x-2 y & = & 18 \\ -6 x-5 y & = & -18 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} 3 x+3 y & = & -3 \\ y-7 x & = & -65 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} -5 y & = & 5 \\ 4 x-7 y & = & -5 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} x-2 y & = & -2 \\ 2 x+9 y & = & 48 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} 4 x & = & 4 \\ 6 x-9 y & = & -30 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} -5 y & = & -10 \\ 9 y-6 x & = & 36 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} 5 x+7 y & = & -103 \\ 3 x-5 y & = & 21 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} 5 x+5 y & = & 0 \\ 5 x+9 y & = & 32 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} 6 x-4 y & = & 60 \\ 2 x-7 y & = & 71 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} x+6 y & = & 13 \\ -2 x-3 y & = & -8 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} 9 x-9 y & = & 9 \\ 6 x-2 y & = & -30 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} 3 x-4 y & = & -22 \\ 9 x-7 y & = & -46 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} 3 x & = & 3 \\ 9 x+9 y & = & 45 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} 3 x+8 y & = & 3 \\ 6 x+8 y & = & -18 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} 8 x & = & -32 \\ -x-y & = & 9 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} 4 y-2 x & = & -20 \\ -9 x-3 y & = & 99 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} -x-y & = & 0 \\ 4 x & = & -32 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} -7 x & = & -7 \\ 6 x+7 y & = & 62 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} -9 x-2 y & = & -8 \\ -8 x-3 y & = & -12 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} 2 x+7 y & = & -34 \\ -8 x-4 y & = & -8 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} -4 x & = & 24 \\ 6 y-x & = & -24 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} -4 x-6 y & = & -70 \\ -8 x-2 y & = & -70 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} 4 x+y & = & 23 \\ 7 y-6 x & = & -77 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} 9 x+6 y & = & -63 \\ 6 x-7 y & = & -42 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} 7 y-9 x & = & 63 \\ 8 x-9 y & = & -81 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} 6 x-5 y & = & -23 \\ 5 y-9 x & = & 47 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} -6 x-y & = & 16 \\ 7 x-9 y & = & -100 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} 4 x-7 y & = & -18 \\ x-8 y & = & 8 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} -9 x-2 y & = & 38 \\ 2 y-8 x & = & 30 \end{matrix}\right.$

[עריכה] תשובות

$\left(4,-4\right)$
$\left(3,0\right)$
$\left(-2,-2\right)$
$\left(4,-2\right)$
$\left(0,-1\right)$
$\left(2,2\right)$
$\left(-1,4\right)$
$\left(-1,-3\right)$
$\left(2,1\right)$
$\left(2,2\right)$
$\left(-4,3\right)$
$\left(-2,4\right)$
$\left(-3,-1\right)$
$\left(-4,-1\right)$
$\left(4,-4\right)$
$\left(-1,-1\right)$
$\left(-2,0\right)$
$\left(2,3\right)$
$\left(-3,-4\right)$
$\left(4,4\right)$
$\left(7,1\right)$
$\left(3,0\right)$
$\left(8,-9\right)$
$\left(-3,-1\right)$
$\left(6,4\right)$
$\left(1,4\right)$
$\left(-3,2\right)$
$\left(-8,-9\right)$
$\left(-8,8\right)$
$\left(4,-9\right)$
$\left(1,2\right)$
$\left(-8,-9\right)$
$\left(-2,4\right)$
$\left(1,4\right)$
$\left(-7,3\right)$
$\left(-4,-5\right)$
$\left(-8,-9\right)$
$\left(-8,8\right)$
$\left(1,8\right)$
$\left(0,4\right)$
$\left(4,-6\right)$
$\left(-6,-5\right)$
$\left(7,7\right)$
$\left(7,-5\right)$
$\left(-7,0\right)$
$\left(0,9\right)$
$\left(-8,-5\right)$
$\left(-4,8\right)$
$\left(-8,-2\right)$
$\left(-4,-1\right)$

[עריכה] משוואות לינאריות רמה ב

$\left\{\begin{matrix} y-x & = & 3 \\ x-6 y-5 z & = & 17 \\ -6 x-4 y-6 z & = & 46 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} 6 x-y & = & 14 \\ -5 x+3 y-z & = & -18 \\ -5 x+6 y+2 z & = & -18 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} -5 x+y-5 z & = & 18 \\ 2 x+4 y-6 z & = & -32 \\ -2 x-y-5 z & = & 4 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} 3 x-4 y+5 z & = & 36 \\ -6 x-6 y+4 z & = & 96 \\ 4 y-5 z & = & -54 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} 2 x-y-z & = & -2 \\ -4 x-3 y-3 z & = & -36 \\ -5 x+y+4 z & = & 5 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} 5 x-y-z & = & 8 \\ -5 x-4 y+3 z & = & -39 \\ 6 x+4 y+5 z & = & 17 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} -5 x-2 z & = & -9 \\ -3 x+2 y-3 z & = & 3 \\ -6 x-2 y+4 z & = & -10 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} x+2 y & = & -9 \\ 2 y-3 z & = & -18 \\ 6 x-6 y-2 z & = & 50 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} 6 x-5 y+5 z & = & 16 \\ -y-6 z & = & 9 \\ 2 x+5 y-6 z & = & -7 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} 6 x-2 y+z & = & -1 \\ -2 x+2 y+2 z & = & -2 \\ 2 x+2 y-2 z & = & 2 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} -x+y-4 z & = & 8 \\ -6 x+4 y+2 z & = & -16 \\ -3 x-4 y+6 z & = & -54 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} -x+3 y+4 z & = & 6 \\ x-5 y-z & = & 3 \\ 2 x-3 y+2 z & = & 18 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} -6 x+5 y-6 z & = & 24 \\ -6 x+2 y+5 z & = & 6 \\ y+2 z & = & 6 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} -x+y+2 z & = & 22 \\ -6 x-2 y+5 z & = & 58 \\ -5 x+6 y-5 z & = & 24 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} 6 x-4 y+2 z & = & -32 \\ 2 x-6 y+z & = & -12 \\ 6 x+5 y-2 z & = & -16 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} 5 x+2 y+4 z & = & -34 \\ 6 y+6 z & = & 0 \\ 2 x-4 y-z & = & -18 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} 4 x-6 y-6 z & = & -34 \\ -2 x-4 y+4 z & = & -26 \\ -3 x-4 y-4 z & = & -17 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} -6 x-2 z & = & -38 \\ -x-5 y-4 z & = & -41 \\ -4 x-2 z & = & -28 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} 5 x+5 y & = & -25 \\ 2 y+3 z & = & 12 \\ -2 x-6 y+6 z & = & 34 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} 3 x+4 y-z & = & 0 \\ 5 x+4 y+3 z & = & -12 \\ -2 y-4 z & = & 36 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} -6 x-6 y-6 z & = & -66 \\ x-y-4 z & = & -14 \\ 3 x-3 y-6 z & = & -24 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} 6 x-2 y-5 z & = & -31 \\ -x-2 z & = & -10 \\ 6 x-y-z & = & -8 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} -4 x-3 y+3 z & = & -6 \\ -4 x-5 y+5 z & = & -26 \\ -3 x-5 y+2 z & = & -20 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} -5 x+6 y+z & = & -23 \\ 3 x+4 y-2 z & = & -20 \\ 4 x-y+2 z & = & -9 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} -6 x+2 y+4 z & = & -10 \\ -3 x-4 z & = & 15 \\ 3 x-5 y+5 z & = & -8 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} 4 z-5 x & = & 4 \\ 3 x-5 y+4 z & = & 19 \\ -4 x-y-z & = & 2 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} 5 z-5 x & = & 5 \\ -x+6 y+4 z & = & 40 \\ 4 y+3 z & = & 29 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} -5 x-5 y+z & = & -59 \\ 6 z-3 x & = & -12 \\ 5 y-3 z & = & 27 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} -3 x+2 y+z & = & 11 \\ 6 x-5 y-z & = & -20 \\ -2 y-3 z & = & -1 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} 6 x & = & -6 \\ 6 x-6 y+z & = & -4 \\ -2 x+4 y-z & = & 0 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} 11 x-6 y+10 z & = & -90 \\ -9 x-10 y+3 z & = & 137 \\ 3 x-8 y-2 z & = & 88 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} -7 x+5 y+6 z & = & 3 \\ -2 x-7 y+10 z & = & -82 \\ 11 x-3 y-4 z & = & -59 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} -9 x-3 y-10 z & = & -38 \\ -6 x-y-7 z & = & -32 \\ 10 x+3 y+7 z & = & 36 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} -10 x+11 y+11 z & = & -81 \\ 7 x-y-5 z & = & 54 \\ -3 x+4 y-3 z & = & -18 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} 5 x+9 y & = & 86 \\ 4 x-5 y-7 z & = & -20 \\ -3 x+10 y-6 z & = & 105 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} -10 x+10 y-6 z & = & -32 \\ 11 x-11 y-3 z & = & -32 \\ 10 x-4 y+8 z & = & 94 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} -7 x+10 y+3 z & = & 35 \\ -10 x-6 y+8 z & = & -18 \\ z-5 x & = & -21 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} -9 x+3 y-8 z & = & 111 \\ 3 x-9 y-2 z & = & -81 \\ 4 x-8 z & = & 32 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} 7 x-4 y-6 z & = & -7 \\ -9 x-9 y-10 z & = & 126 \\ -4 x-2 y-6 z & = & 76 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} -9 x+10 y-9 z & = & 218 \\ 9 x-11 y+7 z & = & -209 \\ 3 x+5 y-z & = & 59 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} 7 x+11 y+11 z & = & -126 \\ 8 x+6 y-8 z & = & -126 \\ -x+5 y+3 z & = & -32 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} 2 x-y-6 z & = & 49 \\ -6 x+9 y-8 z & = & 193 \\ 3 x-10 y-3 z & = & -69 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} -8 x+y+7 z & = & 15 \\ 10 x+7 y+7 z & = & 147 \\ -5 x+6 y+6 z & = & 31 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} -4 x+4 y-9 z & = & -13 \\ 3 x+8 z & = & -26 \\ -3 x-9 y+z & = & 44 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} 8 x+5 y-11 z & = & -99 \\ 9 x+10 y-11 z & = & -90 \\ -11 x-2 y-6 z & = & 24 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} -2 x-2 y+8 z & = & 68 \\ 5 x-2 y-7 z & = & -74 \\ 5 x+2 y-3 z & = & -26 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} -9 y-z & = & 55 \\ 8 x-9 y-5 z & = & 147 \\ 10 z-6 x & = & -76 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} -6 x-y-3 z & = & 26 \\ 3 x+2 y+7 z & = & -31 \\ -2 x+9 y+8 z & = & 48 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} -11 x-10 y+8 z & = & -55 \\ 7 x-10 y-6 z & = & -15 \\ -4 x+5 y-5 z & = & -2 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} -9 x+10 y+3 z & = & 64 \\ -10 y & = & -100 \\ -11 x-7 y+6 z & = & -135 \end{matrix}\right.$

[עריכה] תשובות

$\left(-4,-1,-3\right)$
$\left(2,-2,2\right)$
$\left(-6,-2,2\right)$
$\left(-6,-6,6\right)$
$\left(3,4,4\right)$
$\left(2,5,-3\right)$
$\left(1,6,2\right)$
$\left(3,-6,2\right)$
$\left(1,-3,-1\right)$
$\left(0,0,-1\right)$
$\left(6,6,-2\right)$
$\left(6,0,3\right)$
$\left(1,6,0\right)$
$\left(-6,4,6\right)$
$\left(-4,0,-4\right)$
$\left(-6,2,-2\right)$
$\left(-1,6,-1\right)$
$\left(5,4,4\right)$
$\left(-5,0,4\right)$
$\left(6,-6,-6\right)$
$\left(3,5,3\right)$
$\left(0,3,5\right)$
$\left(-6,6,-4\right)$
$\left(-2,-5,-3\right)$
$\left(-1,-2,-3\right)$
$\left(0,-3,1\right)$
$\left(2,5,3\right)$
$\left(6,6,1\right)$
$\left(-4,-1,1\right)$
$\left(-1,0,2\right)$
$\left(-6,-11,-9\right)$
$\left(-9,0,-10\right)$
$\left(4,-6,2\right)$
$\left(7,0,-1\right)$
$\left(1,9,-3\right)$
$\left(7,8,7\right)$
$\left(6,5,9\right)$
$\left(-4,9,-6\right)$
$\left(-7,3,-9\right)$
$\left(-2,11,-10\right)$
$\left(-7,-9,2\right)$
$\left(-4,9,-11\right)$
$\left(7,1,10\right)$
$\left(10,-9,-7\right)$
$\left(-6,3,6\right)$
$\left(-1,3,9\right)$
$\left(11,-6,-1\right)$
$\left(-3,10,-6\right)$
$\left(3,3,1\right)$
$\left(1,10,-9\right)$

[עריכה] משוואות לינאריות רמה ג

$\left\{\begin{matrix} 3 y & = & 0 \\ -w+x-3 y-2 z & = & -9 \\ -3 w+3 x+2 y & = & -15 \\ -3 w-x-3 y+3 z & = & 3 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} 2 (x+y+z)-3 w & = & -6 \\ 2 z-w & = & -2 \\ 3 (x+y-z) & = & 0 \\ -w-3 x-2 y+3 z & = & -4 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} -3 w+2 x-2 y+z & = & 11 \\ 3 w-x+y+3 z & = & -5 \\ 3 w-3 x+2 y-2 z & = & -11 \\ -3 w-x+3 y-2 z & = & -4 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} -w+2 x+3 y & = & -11 \\ w+x+2 y+z & = & -5 \\ -3 w-3 x+z & = & -7 \\ 2 w+2 x-y-3 z & = & 10 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} 2 x-3 (y+z) & = & 15 \\ w-3 y & = & 8 \\ -2 x+3 y-z & = & -7 \\ -2 w-2 x-3 z & = & 8 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} -3 w+3 x+2 y+z & = & -1 \\ w+2 x-3 y-z & = & -8 \\ w-3 x-2 z & = & -1 \\ -w+x-2 y+3 z & = & -3 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} -2 w+x-2 (y+z) & = & 7 \\ 2 x-2 y+3 z & = & 21 \\ -3 x+2 y-3 z & = & -24 \\ 3 w+3 x-y+3 z & = & 15 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} -w-x+y-z & = & -6 \\ z-3 y & = & 6 \\ 3 (y+z)-x & = & -9 \\ -2 w-x+3 y & = & -11 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} 2 w+2 x+3 y-3 z & = & 10 \\ -3 w-3 x+y-2 z & = & -18 \\ w-x+3 y-z & = & 5 \\ 3 y-2 w & = & 5 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} 2 (-x+y+z)-3 w & = & 8 \\ w+2 y+z & = & 1 \\ -3 x-2 y-z & = & 8 \\ w-x-3 y+3 z & = & 6 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} -3 w-2 x+y-2 z & = & 1 \\ 2 w-3 x-2 z & = & -12 \\ 3 (-x+y+z)-w & = & 6 \\ w-y-2 z & = & -7 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} -2 w-3 x+3 y+z & = & -14 \\ 2 w-x-3 (y+z) & = & 12 \\ 3 w+x+3 (y+z) & = & -7 \\ -2 w-x-y+2 z & = & -9 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} 3 (w-z) & = & 18 \\ 2 w+x-y-3 z & = & 14 \\ -w+2 x-y-3 z & = & 2 \\ -2 w-y+z & = & -7 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} 3 w-2 x+3 y+2 z & = & -9 \\ -2 w-3 x+y+3 z & = & -11 \\ w+2 x-y-3 z & = & 10 \\ 2 w-x-y-3 z & = & -1 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} 2 (x+y-z)-w & = & 6 \\ w-x-2 y+3 z & = & -5 \\ 2 w+3 (x+y) & = & 5 \\ 3 w+x+3 y & = & 3 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} 2 w+3 x-2 y+2 z & = & -18 \\ 2 w-x+2 (y+z) & = & 2 \\ 3 w+x+2 (y+z) & = & -5 \\ 2 x+y+3 z & = & -1 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} -w-x-3 y-2 z & = & -2 \\ -3 w-y+z & = & -7 \\ 3 w-2 x-y-3 z & = & 5 \\ -2 w-3 x+3 y & = & -10 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} -2 (w+x+y) & = & -4 \\ -3 w-3 x-y-z & = & -7 \\ w-3 x+y-2 z & = & -4 \\ 2 w-2 x+3 z & = & -13 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} 3 w-x-3 z & = & 20 \\ 2 x+y & = & -2 \\ 2 w-x+y+3 z & = & 1 \\ w+2 x+z & = & -4 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} -3 w+2 x-2 z & = & -5 \\ w-3 (y+z) & = & 2 \\ -2 w+2 x+y+z & = & -5 \\ -2 x+3 y+z & = & 1 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} -3 x-y+3 z & = & 12 \\ 2 z-4 w & = & 4 \\ 4 w+3 x-y+3 z & = & -16 \\ -4 w-2 x-y+z & = & 12 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} 3 x-3 y+4 z & = & -3 \\ -4 x-3 y-2 z & = & -6 \\ -2 x-4 y+3 z & = & -15 \\ 3 w-2 x-3 y+4 z & = & -30 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} -4 w-2 x+3 y+4 z & = & 22 \\ -3 w-2 x-3 (y+z) & = & 15 \\ 4 w-2 y-z & = & -8 \\ 4 w-2 x+y-4 z & = & -26 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} -4 w-2 x+4 y+3 z & = & -20 \\ -4 (w+x+y) & = & -16 \\ 2 (2 x+y+2 z) & = & 16 \\ 3 w-3 x-2 y+2 z & = & 8 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} 2 (x-2 y) & = & 10 \\ -4 w-2 x+3 (y+z) & = & 9 \\ 2 w-4 x+y-3 z & = & -19 \\ y-4 w & = & 6 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} 3 x-4 y+2 z & = & 30 \\ 2 z-y & = & 12 \\ 2 (w-2 x+z) & = & 2 \\ -2 w-x-4 y+z & = & 16 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} w-2 x-y+2 z & = & 1 \\ 3 w-4 (y+z) & = & -16 \\ 2 (w-2 x+z) & = & -2 \\ 3 (x+y)-w & = & 9 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} w-3 x-2 y+2 z & = & -1 \\ 2 (2 w+x-y+z) & = & 0 \\ -4 w-3 x-4 y-z & = & -12 \\ 3 w-4 x+3 y & = & 16 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} 4 w+3 y & = & 20 \\ w+2 x+3 z & = & 4 \\ 4 w-2 x+y-2 z & = & 8 \\ -3 w-2 y-z & = & -12 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} 4 w+4 x-4 y-z & = & 10 \\ 2 w+x+3 z & = & 12 \\ -3 x+3 y+4 z & = & 8 \\ 3 w-3 x-2 y & = & 9 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} 3 w+4 x-3 y & = & 1 \\ 4 w+3 x+3 y+4 z & = & -11 \\ 4 w-3 y+4 z & = & -2 \\ 2 w-x-y-3 z & = & -8 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} -3 w-3 x-2 y+3 z & = & 2 \\ 3 y-2 z & = & -4 \\ w-3 x+y+3 z & = & -22 \\ -2 (w+y+2 z) & = & 30 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} -w-4 x+2 y+z & = & -8 \\ -4 w+2 x-y-3 z & = & -10 \\ -3 w+3 x-y-2 z & = & -6 \\ 3 w+2 z & = & 10 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} 4 (w+x+z) & = & -12 \\ 4 w-2 x+4 y-3 z & = & 1 \\ 4 w-2 x+2 y-z & = & -1 \\ 2 w+3 x+3 y+z & = & -9 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} 3 w+4 x+4 y-2 z & = & -13 \\ -3 w-3 x-y+z & = & 6 \\ -2 w+2 x+2 y-z & = & 4 \\ -2 w-4 x-y+2 z & = & 1 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} -2 (2 w+2 x+z) & = & -10 \\ -3 w+3 x+3 y+2 z & = & 3 \\ -x-4 (y+z) & = & -26 \\ -2 w+3 x+4 y+z & = & 7 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} w+3 x-4 y+2 z & = & -28 \\ 3 w-x+y-4 z & = & 5 \\ 3 w+x-3 y+2 z & = & -25 \\ -x-y+4 z & = & -8 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} w+3 x-3 y+4 z & = & -6 \\ x-4 y+z & = & -5 \\ w-3 x-4 (y+z) & = & -1 \\ -3 w-x-y-4 z & = & 0 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} -4 x+4 y+z & = & 13 \\ 3 x-4 y-3 z & = & -16 \\ -4 x+y-2 z & = & -2 \\ 3 w+3 x-4 z & = & 8 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} 4 (w-x-y) & = & -20 \\ -3 w-2 x-y-4 z & = & -20 \\ -2 w-3 x+4 y-z & = & -1 \\ -2 w-3 x-3 y+2 z & = & -16 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} -4 w+4 x+3 (y+z) & = & 17 \\ 4 w+3 x+4 y-4 z & = & -19 \\ -2 w-4 x-y+3 z & = & 15 \\ -3 x+2 y+3 z & = & 11 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} -4 w-3 x+4 y-3 z & = & -4 \\ -4 w-x-4 y & = & -14 \\ -3 w-x+4 y-2 z & = & 0 \\ 3 w+2 x+y+2 z & = & 7 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} -w-2 x-y-3 z & = & 17 \\ 4 x+2 y+3 z & = & -17 \\ 3 w+4 y-3 z & = & -19 \\ 2 z-x & = & -6 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} -3 w+4 x+2 y-4 z & = & -8 \\ -4 w+2 x+y+4 z & = & 24 \\ -4 w+x-3 y-z & = & -3 \\ 3 w-4 x-y+2 z & = & 6 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} -4 w+x-4 y+4 z & = & -27 \\ 4 w+4 x+3 y-3 z & = & 29 \\ -4 w+4 x+2 y-3 z & = & -4 \\ -3 w+3 x+3 y-2 z & = & -2 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} 3 w-2 x-3 y-4 z & = & 2 \\ -2 w-4 x+y-4 z & = & 2 \\ -2 (2 w-2 x+2 y+z) & = & -14 \\ 3 (y-z) & = & -15 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} -3 w+3 x-2 y-3 z & = & -9 \\ 3 w+3 y+4 z & = & 19 \\ 4 w-x+3 y+4 z & = & 20 \\ 2 w+y-z & = & 1 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} -3 w-x+4 y-z & = & -1 \\ -w+2 y+4 z & = & -16 \\ w-x-y+z & = & -3 \\ w-4 x-2 y-z & = & 0 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} 2 w-4 x+4 y-z & = & -5 \\ 2 w-3 x+4 z & = & -6 \\ 2 x+4 y-3 z & = & -11 \\ -2 w-x-3 y+z & = & 11 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} 3 x-2 w & = & 1 \\ -4 y & = & -16 \\ -4 w-3 x-3 y+4 z & = & -17 \\ 2 z-4 y & = & -24 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} \frac{1}{6} (-2 x+9 y-6 z) & = & \frac{4}{15} \\ -\frac{3 w}{4}-x-3 (y+z) & = & \frac{5}{4} \\ -w+\frac{4 x}{3}-2 z & = & -\frac{7}{15} \\ \frac{1}{4} (-5 w-8 x-2 y) & = & \frac{47}{20} \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} -\frac{4 x}{5}+y+\frac{3 z}{4} & = & \frac{133}{60} \\ 5 w+\frac{5 x}{4}-\frac{2 z}{5} & = & \frac{211}{30} \\ \frac{1}{20} (-5 w+60 x+4 y-4 z) & = & \frac{67}{20} \\ \frac{1}{4} (-w-10 x+10 y-3 z) & = & \frac{77}{6} \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} \frac{1}{6} (-15 w-15 x+4 y-12 z) & = & -\frac{37}{12} \\ \frac{5 w}{2}-\frac{4 y}{3} & = & \frac{37}{6} \\ w-\frac{3 x}{5}-y-\frac{2 z}{5} & = & \frac{29}{10} \\ 3 w-\frac{3 x}{2}+\frac{y}{3}-2 z & = & \frac{139}{12} \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} \frac{1}{4} (-6 w-2 x-3 y+10 z) & = & \frac{3}{16} \\ -\frac{2 w}{5}-2 x+\frac{3 y}{4} & = & \frac{709}{240} \\ -\frac{5 w}{3}+x-\frac{3 y}{2}+\frac{z}{2} & = & -\frac{55}{72} \\ \frac{3 w}{4}+\frac{4 x}{5}-\frac{y}{2} & = & -\frac{13}{8} \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} \frac{w}{5}-\frac{5 x}{4}+2 y+\frac{3 z}{4} & = & \frac{179}{20} \\ w & = & 3 \\ \frac{4 w}{3}+\frac{2 x}{5}+\frac{y}{3}-\frac{3 z}{4} & = & \frac{361}{75} \\ -w+2 x-\frac{y}{5}-\frac{3 z}{4} & = & -4 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} x-y-\frac{4 z}{3} & = & \frac{25}{12} \\ \frac{1}{12} (-16 w+16 x-6 y-9 z) & = & -\frac{19}{24} \\ -\frac{5 w}{4}-\frac{5 x}{2}+y & = & \frac{35}{16} \\ -\frac{2 w}{5}+5 x-y-4 z & = & \frac{69}{20} \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} \frac{4 w}{5}+\frac{1}{3} (4 x-12 y+z) & = & -\frac{901}{60} \\ -\frac{5 w}{4}+x-\frac{4 y}{5}+z & = & \frac{7}{10} \\ -\frac{4 w}{5}+\frac{3 x}{5}+y & = & \frac{129}{25} \\ -\frac{w}{4}+3 x-\frac{4 y}{5}-z & = & -\frac{13}{5} \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} \frac{1}{15} (20 w+5 x-6 z) & = & -\frac{13}{5} \\ -w-\frac{4 x}{5}+\frac{y}{5}+\frac{z}{3} & = & \frac{154}{75} \\ 4 w-\frac{x}{5}+y-\frac{3 z}{2} & = & -\frac{767}{100} \\ w-\frac{2 x}{5}-y & = & -\frac{67}{50} \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} \frac{5 w}{3}-2 x-\frac{5 y}{4}+5 z & = & -\frac{5}{2} \\ -\frac{w}{2}+\frac{3 x}{4}+y-z & = & \frac{13}{80} \\ -\frac{2 w}{5}+\frac{x}{2}+2 y+\frac{5 z}{4} & = & -\frac{277}{200} \\ 2 w-\frac{2 x}{3}-y+2 z & = & -\frac{59}{30} \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} \frac{1}{3} (-12 w-3 x-5 y-4 z) & = & -\frac{178}{15} \\ -\frac{2 w}{3}+4 x+4 y-z & = & \frac{1042}{45} \\ \frac{2 w}{3}+x+\frac{2 y}{3}-\frac{3 z}{4} & = & \frac{433}{90} \\ -\frac{4 w}{3}+4 x+\frac{3 y}{5} & = & \frac{428}{45} \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} -\frac{4}{15} (3 w-5 x+5 y) & = & -\frac{154}{45} \\ w+2 x-\frac{4 y}{5}-\frac{2 z}{3} & = & \frac{13}{30} \\ \frac{1}{6} (4 w-3 x-6 y+3 z) & = & -\frac{16}{15} \\ -\frac{2 w}{5}+x+y-z & = & \frac{23}{15} \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} w-x+2 y-\frac{3 z}{5} & = & \frac{171}{20} \\ -\frac{2 w}{5}-\frac{2 x}{3}+\frac{2 y}{3}+5 z & = & -\frac{407}{30} \\ -w-\frac{3 x}{5}-2 y+z & = & -\frac{291}{20} \\ -\frac{w}{4}+4 x-y+\frac{z}{5} & = & \frac{517}{80} \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} -\frac{w}{4}-\frac{x}{5}-2 y-5 z & = & -\frac{221}{40} \\ \frac{5 w}{3}-x-\frac{5 y}{2}-4 z & = & -\frac{31}{6} \\ \frac{5}{4} (w+4 x+2 z) & = & \frac{105}{8} \\ \frac{5 w}{4}+4 x+\frac{2 y}{5}+\frac{3 z}{2} & = & \frac{81}{8} \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} -\frac{3 w}{2}+\frac{4 x}{5}+y+5 z & = & -\frac{41}{4} \\ -w+\frac{x}{5}+\frac{2 y}{5}+\frac{3 z}{2} & = & -\frac{61}{20} \\ -5 w+\frac{4 x}{3}-\frac{5 y}{2}-\frac{3 z}{4} & = & -\frac{1}{3} \\ \frac{1}{6} (-2 w-10 y+9 z) & = & -1 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} \frac{3 x}{4}-3 y-\frac{z}{4} & = & \frac{139}{40} \\ \frac{1}{6} (9 x-6 y+4 z) & = & \frac{77}{60} \\ -2 w+\frac{3 x}{4}-\frac{4 y}{5}+\frac{z}{2} & = & \frac{91}{10} \\ -\frac{w}{5}-5 y+4 z & = & \frac{181}{20} \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} \frac{1}{60} (-75 w-12 x-20 y-150 z) & = & \frac{1541}{240} \\ \frac{1}{6} (-4 w+8 x-15 y-6 z) & = & \frac{11}{3} \\ -w-x+\frac{3 y}{4}+3 z & = & -\frac{41}{4} \\ w+\frac{x}{2}+4 y+\frac{2 z}{5} & = & -\frac{173}{40} \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} -w+x-2 y-\frac{3 z}{5} & = & \frac{29}{10} \\ -\frac{4 w}{5}-\frac{3 x}{4} & = & -\frac{321}{200} \\ -\frac{5 w}{3}+\frac{4 x}{5}-\frac{2 y}{3}+\frac{3 z}{2} & = & -\frac{38}{15} \\ -w-\frac{3 x}{5}+y+\frac{4 z}{3} & = & -\frac{137}{30} \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} -\frac{w}{5}-x-\frac{3 y}{2}+z & = & \frac{24}{5} \\ -w+3 x-\frac{5 y}{2}+5 z & = & -11 \\ x+5 y+\frac{3 z}{4} & = & \frac{3}{4} \\ \frac{1}{10} (-5 w-5 x+4 y-5 z) & = & \frac{63}{20} \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} -\frac{4 w}{5}-\frac{x}{2}+y+\frac{4 z}{3} & = & -\frac{451}{90} \\ -w-x+\frac{y}{3}+\frac{z}{5} & = & -\frac{76}{15} \\ \frac{1}{4} (-12 w+6 y+z) & = & -\frac{85}{12} \\ \frac{3 x}{5}-\frac{y}{4}-\frac{4 z}{3} & = & \frac{247}{90} \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} 2 w+3 x+2 y & = & -\frac{41}{4} \\ 2 y+\frac{4 z}{5} & = & -\frac{28}{5} \\ \frac{1}{4} (-4 x-10 y-5 z) & = & \frac{111}{16} \\ \frac{3 w}{4}+\frac{4 x}{5}-2 (y+z) & = & \frac{89}{20} \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} 3 w+\frac{3 x}{5}-2 y+4 z & = & -\frac{17}{3} \\ \frac{1}{3} (w-3 x+6 z) & = & \frac{2}{9} \\ 3 w-y+2 z & = & -\frac{13}{3} \\ -2 y & = & \frac{4}{3} \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} \frac{1}{12} (30 w-4 x+3 y-6 z) & = & \frac{13}{12} \\ \frac{1}{3} (-3 w-5 x-y) & = & \frac{3}{2} \\ w-\frac{3 x}{5}-\frac{y}{5}-\frac{5 z}{4} & = & \frac{27}{40} \\ \frac{3 w}{5}-x+2 y+\frac{5 z}{2} & = & \frac{11}{20} \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} -5 w-x-\frac{3 y}{5}+4 z & = & \frac{103}{15} \\ w-\frac{x}{2}+y+\frac{5 z}{3} & = & \frac{37}{90} \\ \frac{1}{5} (-4 w-x-3 y+10 z) & = & \frac{151}{75} \\ \frac{1}{10} (-15 w-4 x-6 z) & = & \frac{22}{25} \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} w-\frac{x}{5}-\frac{y}{2}+2 z & = & \frac{641}{100} \\ \frac{1}{12} (4 w+9 x+6 (y+z)) & = & \frac{89}{60} \\ \frac{1}{2} (-w-3 x-2 y) & = & \frac{33}{40} \\ \frac{5 w}{3}-\frac{2 x}{5}-\frac{2 y}{3}+3 z & = & \frac{957}{100} \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} \frac{w}{3}-4 y-\frac{3 z}{4} & = & \frac{1379}{120} \\ -\frac{3 w}{2}+x-y-3 z & = & \frac{3}{2} \\ \frac{1}{6} (-4 w-3 x+8 y-10 z) & = & -\frac{64}{15} \\ 2 w+\frac{x}{2}+\frac{5 z}{3} & = & -\frac{4}{15} \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} \frac{1}{12} (30 w+4 x+15 y-9 z) & = & \frac{151}{30} \\ w-2 x-y+\frac{z}{5} & = & -\frac{203}{25} \\ \frac{w}{3}-\frac{5 x}{4}+y-z & = & \frac{19}{40} \\ \frac{3 w}{5}+\frac{x}{2}-2 z & = & \frac{49}{20} \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} \frac{1}{2} (w-2 x+3 y+2 z) & = & \frac{3}{20} \\ \frac{1}{5} (-4 x+y-z) & = & \frac{1}{5} \\ -w-x+\frac{y}{3}+z & = & \frac{97}{60} \\ \frac{w}{4}+\frac{4 x}{3}+y-\frac{z}{4} & = & -\frac{23}{10} \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} -2 x-\frac{3 z}{5} & = & -\frac{23}{10} \\ \frac{1}{20} (-15 w-4 x-80 y+8 z) & = & \frac{103}{80} \\ \frac{1}{10} (-5 w-20 y-2 z) & = & -\frac{3}{8} \\ -w-x-\frac{5 y}{4}+z & = & \frac{15}{4} \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} -\frac{w}{5}-\frac{5 x}{4}+\frac{4 y}{3}+\frac{z}{4} & = & \frac{1121}{144} \\ \frac{w}{5}-y-\frac{5 z}{2} & = & -\frac{33}{8} \\ -\frac{5 w}{2}-\frac{4 x}{3}+3 y+\frac{2 z}{5} & = & \frac{40}{3} \\ -5 w-\frac{x}{2}-y+\frac{4 z}{5} & = & \frac{67}{6} \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} \frac{2 w}{5}+x+y-4 z & = & -\frac{59}{15} \\ \frac{1}{4} (-2 w+2 x+2 y-z) & = & \frac{2}{15} \\ 5 w-\frac{4 x}{3}-\frac{5 y}{2}-\frac{2 z}{5} & = & -\frac{2719}{450} \\ \frac{5 w}{2}+4 x-\frac{3 y}{4}-\frac{2 z}{5} & = & -\frac{2671}{300} \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} -\frac{4 w}{5}-\frac{x}{3}+\frac{3 y}{2} & = & -\frac{103}{105} \\ 2 x+\frac{2 y}{5}-\frac{z}{3} & = & -\frac{737}{315} \\ -\frac{w}{7}+x-y-\frac{5 z}{6} & = & -\frac{695}{882} \\ -\frac{6 w}{7}+7 x-\frac{2 (y+z)}{3} & = & -\frac{3233}{441} \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} \frac{1}{14} (-7 w+4 y+49 z) & = & -\frac{25}{8} \\ -\frac{3 w}{4}+\frac{7 x}{3}-3 y-\frac{5 z}{3} & = & \frac{145}{18} \\ -\frac{3}{2} (y+2 z) & = & \frac{39}{8} \\ \frac{3 w}{5}+\frac{5 x}{4}-\frac{7 y}{6}+\frac{3 z}{4} & = & \frac{37}{16} \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} -\frac{5 w}{3}+\frac{3 x}{2}+y+7 z & = & \frac{677}{60} \\ -\frac{2 w}{5}-\frac{4 x}{3}-\frac{2}{7} (7 y+z) & = & -\frac{58}{105} \\ -\frac{4 w}{5}+x-\frac{7 y}{3}+5 z & = & \frac{199}{30} \\ -7 w+\frac{7 x}{5}-\frac{2 y}{3}+3 z & = & \frac{527}{30} \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} -\frac{4 w}{3}+\frac{7 x}{6}-\frac{y}{5}-z & = & \frac{551}{1260} \\ \frac{w}{2}+x-\frac{3 y}{4}-\frac{7 z}{6} & = & \frac{283}{112} \\ \frac{4 w}{7}+\frac{2 x}{5}-\frac{4 y}{7}+3 z & = & \frac{26}{21} \\ \frac{1}{10} (-5 w+5 x+6 y+60 z) & = & -\frac{113}{60} \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} \frac{1}{2} (-w+10 x-6 y-8 z) & = & -\frac{1147}{84} \\ -\frac{w}{7}+\frac{2 x}{3}+\frac{y}{4}+\frac{2 z}{7} & = & -\frac{50}{147} \\ \frac{1}{30} (-18 w-24 x+24 y-25 z) & = & \frac{334}{105} \\ \frac{1}{15} (12 w+5 x-9 y) & = & -\frac{71}{30} \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} \frac{6 x}{5}-3 y+\frac{5 z}{3} & = & \frac{1059}{175} \\ \frac{1}{12} (14 w-9 y-4 z) & = & \frac{269}{84} \\ w-\frac{3 x}{5}+2 y+\frac{6 z}{7} & = & -\frac{17057}{3675} \\ \frac{4 w}{3}+\frac{x}{5}+y-\frac{7 z}{3} & = & \frac{27}{25} \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} -3 w-2 x-y & = & 0 \\ w-x-\frac{5 y}{2}+\frac{7 z}{2} & = & \frac{25}{4} \\ w-\frac{3 x}{4}+\frac{2 y}{3}+5 z & = & \frac{43}{12} \\ \frac{1}{6} (-w+18 x-3 y-42 z) & = & -\frac{37}{6} \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} 4 w+\frac{4 x}{7}-3 y-z & = & \frac{1679}{980} \\ -\frac{4 x}{5}+\frac{7 y}{6}-z & = & -\frac{61}{28} \\ \frac{w}{4}-x-\frac{y}{2}-\frac{4 z}{3} & = & -\frac{2671}{1680} \\ -2 w-\frac{3 x}{7}-6 z & = & -\frac{398}{49} \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} \frac{2 w}{5}-\frac{4 x}{7}-\frac{3 y}{4}+3 z & = & \frac{39}{28} \\ \frac{1}{2} (-w+4 x+y+2 z) & = & \frac{13}{7} \\ -\frac{4 w}{7}+\frac{x}{6}-\frac{3 y}{2}-\frac{4 z}{5} & = & \frac{688}{245} \\ \frac{5 w}{3}-\frac{5 x}{4}+y-\frac{z}{5} & = & -\frac{1753}{420} \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} \frac{2 w}{3}-\frac{x}{7}+2 y & = & -2 \\ 2 w+\frac{4 x}{7}+\frac{7 y}{5}-z & = & \frac{343}{60} \\ -w-\frac{4 x}{7}-\frac{3 y}{2}+\frac{5 z}{7} & = & -\frac{419}{168} \\ -w+\frac{4 x}{5}+y+\frac{4 z}{3} & = & -\frac{391}{180} \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} \frac{5 w}{4}+\frac{2 x}{5}-\frac{y}{2}+4 z & = & \frac{83}{21} \\ \frac{2 w}{3}+\frac{3 x}{4}-2 y-3 z & = & \frac{328}{315} \\ -3 w+\frac{5 x}{7}-2 y+\frac{4 z}{3} & = & \frac{146}{245} \\ \frac{5 w}{2}+\frac{2 y}{7}-2 z & = & \frac{221}{420} \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} -2 w+7 x+7 y-\frac{z}{2} & = & -\frac{19}{12} \\ \frac{1}{28} (-14 w-21 y-24 z) & = & \frac{11}{84} \\ \frac{1}{12} (-6 w-21 x+4 (y-7 z)) & = & -\frac{97}{24} \\ -\frac{w}{2}-\frac{4 x}{3}+\frac{6 y}{7}+\frac{z}{2} & = & -\frac{3}{28} \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} -\frac{3 w}{2}+\frac{7 x}{4}+7 y+z & = & \frac{281}{40} \\ \frac{w}{5}+2 x-\frac{3 y}{5}-\frac{5 z}{7} & = & \frac{376}{175} \\ 3 w+x+\frac{7 y}{5}-\frac{7 z}{3} & = & \frac{251}{150} \\ \frac{5 w}{2}-\frac{x}{3}-y-z & = & -\frac{9}{10} \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} \frac{2 w}{3}-2 x+4 y+\frac{3 z}{2} & = & -\frac{148}{105} \\ \frac{7 w}{6}+\frac{5 x}{3}+y-z & = & -\frac{22}{5} \\ \frac{1}{6} (-12 w-4 x-7 y) & = & \frac{503}{210} \\ \frac{3 w}{5}-\frac{3 x}{2}+\frac{4 y}{7}+z & = & \frac{83}{35} \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} -\frac{w}{3}-\frac{3 x}{7}+\frac{7 y}{4}-\frac{3 z}{2} & = & -\frac{4651}{336} \\ \frac{5 w}{3}+6 x-2 y-\frac{z}{4} & = & \frac{437}{12} \\ -\frac{w}{3}+\frac{5 x}{4}-2 z & = & -\frac{41}{6} \\ -\frac{5 w}{4}-\frac{5 x}{2}+\frac{7 y}{5}+z & = & -\frac{48}{5} \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} \frac{4 w}{5}-\frac{5 x}{7}-\frac{3 y}{2}-z & = & -\frac{137}{28} \\ \frac{3 w}{5}+\frac{5 x}{3}+3 y-\frac{5 z}{7} & = & \frac{31}{4} \\ \frac{1}{4} (10 w+3 x-y-12 z) & = & -\frac{7}{6} \\ \frac{1}{4} (-8 w-10 x+7 y+2 z) & = & -\frac{71}{24} \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} w-y+\frac{z}{4} & = & -\frac{9}{10} \\ \frac{1}{2} (-2 w+x+3 y-z) & = & \frac{43}{60} \\ -w+\frac{2 x}{7}-\frac{y}{2} & = & \frac{20}{21} \\ \frac{1}{2} (w-4 x+2 y+z) & = & \frac{1}{30} \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} -\frac{w}{3}-\frac{2 x}{5}+z & = & -\frac{8}{9} \\ -\frac{6 w}{5}+\frac{3 x}{2}-\frac{4 y}{7}-\frac{z}{2} & = & \frac{9}{10} \\ \frac{1}{30} (45 w+10 x-6 y+35 z) & = & -\frac{5}{3} \\ 3 w+\frac{7 x}{5}-2 y-\frac{5 z}{3} & = & \frac{2}{3} \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} w-x+y-\frac{3 z}{5} & = & \frac{7}{10} \\ -\frac{7 w}{5}-\frac{4 x}{7}-y+\frac{2 z}{3} & = & -\frac{6}{35} \\ 2 w+5 x & = & -2 \\ x-\frac{y}{2}-\frac{7 z}{4} & = & \frac{101}{40} \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} -\frac{w}{6}-\frac{4 x}{5}-\frac{7 y}{4}+z & = & \frac{3}{16} \\ \frac{3}{5} (z-2 y)-\frac{7 x}{6} & = & \frac{7}{12} \\ 3 w-\frac{2 x}{7}-\frac{2 y}{7}+z & = & -\frac{19}{5} \\ \frac{4 w}{5}+\frac{4 x}{5}+\frac{5 y}{2}+\frac{3 z}{4} & = & -\frac{147}{25} \end{matrix}\right.$

[עריכה] תשובות

$\left(-3,0,2,2\right)$
$\left(2,-2,0,2\right)$
$\left(-1,-3,1,-2\right)$
$\left(0,-3,-1,2\right)$
$\left(0,-3,-2,-1\right)$
$\left(0,3,2,3\right)$
$\left(3,-3,3,-2\right)$
$\left(3,-2,0,1\right)$
$\left(3,3,3,2\right)$
$\left(-3,0,1,0\right)$
$\left(0,-2,3,-3\right)$
$\left(2,-1,-3,1\right)$
$\left(-3,-2,-3,3\right)$
$\left(3,3,-3,-2\right)$
$\left(0,3,1,-2\right)$
$\left(-2,3,0,-3\right)$
$\left(2,0,-1,2\right)$
$\left(3,-2,-3,1\right)$
$\left(-2,2,-3,3\right)$
$\left(-3,-2,1,-1\right)$
$\left(-4,0,0,-1\right)$
$\left(3,0,-3,-4\right)$
$\left(-3,-4,4,-3\right)$
$\left(3,-2,2,3\right)$
$\left(1,-2,3,-2\right)$
$\left(2,-4,4,1\right)$
$\left(2,1,3,0\right)$
$\left(-1,2,-1,2\right)$
$\left(4,4,-2,2\right)$
$\left(0,0,2,3\right)$
$\left(1,-2,1,-3\right)$
$\left(1,-4,-4,-3\right)$
$\left(0,-4,2,2\right)$
$\left(0,-2,-3,0\right)$
$\left(2,-3,0,-3\right)$
$\left(-2,4,3,3\right)$
$\left(-3,3,-2,-3\right)$
$\left(-1,1,0,0\right)$
$\left(1,4,1,3\right)$
$\left(3,3,2,1\right)$
$\left(-1,1,2,-3\right)$
$\left(2,1,-2,2\right)$
$\left(0,-4,-3,-4\right)$
$\left(-4,4,3,-4\right)$
$\left(1,1,-2,4\right)$
$\left(-4,-2,3,0\right)$
$\left(3,-3,4,4\right)$
$\left(1,2,-4,4\right)$
$\left(-2,-4,-3,0\right)$
$\left(-1,4,-4,-2\right)$
$\left(-\frac{4}{5},0,0,-\frac{3}{5}\right)$
$\left(\frac{2}{3},5,-3,1\right)$
$\left(-\frac{3}{2},1,0,3\right)$
$\left(-\frac{5}{4},\frac{1}{4},-\frac{1}{2},-\frac{2}{3}\right)$
$\left(\frac{1}{5},4,\frac{4}{5},3\right)$
$\left(-\frac{5}{4},0,-\frac{5}{2},\frac{3}{4}\right)$
$\left(-\frac{2}{5},3,-\frac{1}{4},-3\right)$
$\left(-\frac{2}{5},-\frac{1}{2},-\frac{1}{2},-2\right)$
$\left(-\frac{5}{4},0,-\frac{4}{5},-\frac{3}{5}\right)$
$\left(2,4,\frac{2}{5},\frac{2}{3}\right)$
$\left(\frac{1}{3},2,\frac{1}{5},\frac{3}{2}\right)$
$\left(3,5,-3,-\frac{1}{4}\right)$
$\left(2,0,1,\frac{1}{2}\right)$
$\left(-\frac{5}{2},-\frac{3}{4},-\frac{3}{2},0\right)$
$\left(-\frac{1}{5},-\frac{5}{4},\frac{1}{2},-4\right)$
$\left(-\frac{3}{4},-1,-3,\frac{5}{4}\right)$
$\left(\frac{3}{2},-\frac{2}{5},-2,\frac{3}{5}\right)$
$\left(-5,1,1,-\frac{3}{2}\right)$
$\left(3,-2,-\frac{1}{3},\frac{4}{3}\right)$
$\left(\frac{1}{4},-\frac{5}{2},-\frac{3}{4},-3\right)$
$\left(-\frac{5}{3},-\frac{2}{3},-\frac{1}{2},-\frac{4}{3}\right)$
$\left(-1,-1,\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$
$\left(-\frac{1}{5},0,\frac{2}{3},-\frac{4}{5}\right)$
$\left(-\frac{4}{5},1,4,-\frac{5}{4}\right)$
$\left(-\frac{3}{5},-3,\frac{1}{2},-\frac{2}{5}\right)$
$\left(\frac{5}{2},3,-\frac{3}{5},0\right)$
$\left(-\frac{3}{4},-1,1,-\frac{1}{5}\right)$
$\left(\frac{1}{4},\frac{1}{5},3,-\frac{5}{4}\right)$
$\left(-5,\frac{2}{3},\frac{5}{4},-\frac{5}{3}\right)$
$\left(-\frac{4}{3},1,\frac{4}{5},-1\right)$
$\left(-1,-\frac{4}{7},\frac{1}{3},\frac{4}{7}\right)$
$\left(\frac{2}{3},-\frac{7}{4},-\frac{3}{4},0\right)$
$\left(\frac{1}{2},\frac{1}{5},1,-2\right)$
$\left(\frac{5}{7},-\frac{7}{4},-\frac{1}{7},\frac{2}{3}\right)$
$\left(-\frac{3}{2},2,\frac{1}{7},-\frac{5}{6}\right)$
$\left(\frac{2}{5},-\frac{7}{3},-\frac{6}{7},1\right)$
$\left(-1,-1,\frac{1}{2},1\right)$
$\left(\frac{2}{7},-\frac{3}{5},\frac{5}{4},\frac{1}{4}\right)$
$\left(1,-\frac{5}{3},\frac{1}{3},-\frac{5}{7}\right)$
$\left(\frac{7}{2},-\frac{7}{4},-\frac{1}{6},3\right)$
$\left(-\frac{2}{7},-\frac{5}{4},\frac{3}{5},\frac{5}{6}\right)$
$\left(\frac{1}{2},-1,\frac{3}{2},-\frac{4}{3}\right)$
$\left(\frac{3}{2},\frac{3}{5},\frac{4}{5},\frac{2}{5}\right)$
$\left(-2,-\frac{7}{5},0,\frac{2}{7}\right)$
$\left(6,-\frac{1}{4},7,1\right)$
$\left(3,\frac{7}{6},0,-\frac{5}{4}\right)$
$\left(-\frac{1}{6},0,\frac{2}{5},-1\right)$
$\left(0,0,-1,-\frac{1}{3}\right)$
$\left(-\frac{2}{5},-\frac{3}{5},-\frac{3}{2},0\right)$
$\left(-\frac{1}{2},-\frac{5}{4},-\frac{5}{2},-\frac{3}{5}\right)$

אלגברה תיכונית/משוואות/משוואות בשני נעלמים או יותר/תרגילים/משוואות לא לינאריות רמה א

אלגברה תיכונית/משוואות/משוואות בשני נעלמים או יותר/תרגילים/משוואות לא לינאריות רמה ב

אלגברה תיכונית/משוואות/משוואות בשני נעלמים או יותר/תרגילים/משוואות לא לינאריות רמה ג

[עריכה] בעיות מילוליות

[עריכה] הקדמה

בעיות מילוליות הינן תרגילים מתמטיים המנוסחים בצורת "סיפור". מתוך השאלה עלינו להבין בעצמנו את הנתונים והקשר ביניהם

בחלק זה נלמד את כל סוגי הבעיות המילוליות שיכולים להופיע בבגרות.

רשימת הפרקים

דרישות קדם: כדאי מאוד לעבור על פרקי החשבון במדף מתמטיקה. לרוב בעיות אלה מצריכות שימוש באחוזים ועקב כך בשברים עשרוניים. כדאי לעבור גם על פתרון משוואות ממעלה ראשונה ושנייה.

בהצלחה!

מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/גרסא להדפסה/חלק 1

מתוך ויקיספר, אוסף ספרי הלימוד והמדריכים החופשי.

[עריכה] אלגברה תיכונית

[עריכה] הקדמה

[עריכה] איזה ידע קודם נדרש?

טכניקות בסיסיות

אלגברה אלמנטרית

[עריכה] קישורים חיצוניים

[עריכה] חוקי החשבון

[עריכה] המספרים הנייטרליים 0 ו-1

[עריכה] המספר ההופכי והמספר הנגדי

[עריכה] חוקי החילוף של החיבור והכפל

[עריכה] חוק הקיבוץ

[עריכה] חוק הפילוג

[עריכה] הסכם סדר הפעולות

[עריכה] חיבור וחיסור של שברים

[עריכה] תרגילי חזרה על חוקי פעולות החשבון הבסיסיות

[עריכה] שברים

[עריכה] תרגילים

[עריכה] פתרונות

[עריכה] סימון חזקות

[עריכה] משמעות החזקה

[עריכה] חזקה עם מעריך טבעי

[עריכה] פעולות על חזקות

[עריכה] חיבור וחיסור מעריכים בחזקות

[עריכה] חזקה של חזקה

[עריכה] חזקות שאינן חיוביות

[עריכה] חזקות של המעריך 0

[עריכה] חזקות עם מעריך שלילי

[עריכה] סיכום

[עריכה] תרגילים

[עריכה] תשובות סופיות

[עריכה] שורשים פשוטים

[עריכה] שורש ריבועי

[עריכה] שורש מסדר n

[עריכה] חזקות של מספרים רציונליים

[עריכה] שורשים של מספרים שליליים ומעריכים אי-רציונליים

[עריכה] תרגילים

[עריכה] תשובות

[עריכה] טכניקות אלגבריות פשוטות

[עריכה] טכניקות של פישוט

[עריכה] מינימום של פעולות חשבון

[עריכה] צמצום שברים וביטול אברים נגדיים

[עריכה] קו שבר יחיד

[עריכה] כינוס אברים

[עריכה] פתיחת סוגריים

[עריכה] הוצאת גורם מחוץ לסוגריים

[עריכה] דוגמא 1

[עריכה] דוגמא 2

[עריכה] דוגמא 3

[עריכה] נוסחאות הכפל המקוצר

[עריכה] תרגילים בנושא טכניקות של פישוט

[עריכה] רבי איבר

[עריכה] ייצוג של פולינומים

[עריכה] דרגה של פולינום

[עריכה] שורש של פולינום

[עריכה] כפל פולינומים

[עריכה] פירוק טרינום ריבועי לגורמים

[עריכה] תשובות

[עריכה] תשובות

[עריכה] דוגמאות ושימושים נוספים

[עריכה] דוגמאות

[עריכה] דוגמא לשימוש בנוסחאת כפל מקוצר לצמצום

[עריכה] דוגמא לשימוש בפורוק טרינום בפישוט של שברים

[עריכה] כפל בצמוד

[עריכה] תרגילים נוספים

[עריכה] משוואות

[עריכה] מה היא משוואה

[עריכה] דוגמאות

[עריכה] סוגי משוואות

[עריכה] תרגילים פשוטים

[עריכה] תשובות

[עריכה] הפעולות המותרות

[עריכה] חיבור או חיסור במספר

[עריכה] כפל במספר שאינו 0

[עריכה] חילוק במספר שאינו 0

[עריכה] הפעולות המותרות - תרגילים

[עריכה] תרגילים

[עריכה] מהי משוואה ריבועית

[עריכה] פתרון על ידי הוצאת שורש

[עריכה] שורש מסדר $n$